Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag

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1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 11/1 Blatt Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag 45. a) Wegen A 4 7 II 1 III I I I 1 1 III+5II 5 5 ist r Rang(A) und damit genauer gilt: dim Kern(f) 4 r sowie dim Bild(f) r ; U Kern(f) {x 4 f(x) } stimmt mit dem Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems A x mit den freien Variablen x und x 4 überein; folglich ist 1 u 1, u eine Basis von U. W Bild(f) {f(x) x 4 } stimmt mit dem Spaltenraum der Matrix A überein; da die erste und dritte Spalte einen Pivot beinhaltet, bilden die erste und dritte Spalte von A, also eine Basis von W. 1 w 1 1 1, w 4 b) Für eine lineare Abbildung g : R R 4 mit Kern(g) W und Bild(g) U müßte nach der Dimensionsformel dim R dim Kern(g) + dim Bild(g) dim W + dim U + 4 gelten; daher kann es keine derartige lineare Abbildung geben.,

2 46. a) Die Vektoren t v 1 1, v 1, v 1 t sind genau dann linear unabhängig, wenn die Matrix B (v 1, v, v ) invertierbar ist. Wegen t ( det(b) ) + + t ( + + 4) t 4 t Sarrus ist dies genau für t 4 t 4 t ± der Fall. Für t ist v v und damit v v + ( 1) v, für t ist v + v v 1 und damit ( ) v v + 1 v eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors aus den dann linear abhängigen Vektoren v 1, v, v. b) Im Hinblick auf a) treffen wir die folgende Fallunterscheidung: Für t ± sind v 1, v, v linear unabhängige Vektoren in R, wegen dim R also eine Basis von R. Damit gibt es nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung genau eine lineare Abbildung f : R R mit f(v 1 ) w 1, f(v ) w und f(v ) w. Für t gilt v v ; wegen w w kann es überhaupt keine Abbildung f : R R mit f(v ) w und f(v ) w geben, insbesondere existiert damit auch keine lineare Abbildung f : R R mit f(v 1 ) w 1, f(v ) w und f(v ) w. Für t liegt die nichttriviale Linearkombination v 1 + v + v des Nullvektors aus den Vektoren v 1, v, v vor; dies entspricht genau w 1 + w + w Die linear unabhängigen Vektoren v 1, v lassen sich nun zu einer Basis v 1, v, v 4 von R ergänzen, und für jede Wahl des Vektors w 4

3 gibt es nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung eine (zu w 4 eindeutig bestimmte) lineare Abbildung f : R R mit f(v 1 ) w 1, f(v ) w und f(v 4 ) w 4, welche dann auch f(v ) f( v 1 v ) f(v 1 ) f(v ) w 1 w w erfüllt. Folglich gibt es in diesem Fall insgesamt unendlich viele lineare Abbildungen f : R R mit f(v 1 ) w 1, f(v ) w und f(v ) w. 47. a) Für den R Vektorraum V mit dim V < betrachten wir den Endomorphismus f : V V mit den Unterräumen U Kern(f) und W Bild(f) von V. Wir erhalten zum einen mit der Dimensionsformel für Unterräume dim(u + W ) + dim(u W ) dim U + dim W und zum anderen mit der Dimensionformel für lineare Abbildungen woraus sich wegen zusammen dann dim Kern(f) + dim Bild(f) dim V, Kern(f) Bild(f) { V }, also dim(u W ), dim V dim Kern(f) + dim Bild(f) dim U + dim W ergibt; wegen U + W V folgt daraus schon dim(u + W ) + dim(u W ) dim(u + W ) V U + W, also V Kern(f) + Bild(f), mit Kern(f) Bild(f) { V } also V Kern(f) Bild(f). b) Für einen Endomorphismus f : V V mit f f f betrachten wir den Bildraum Bild(f) {f(v) v V } sowie die Menge Fix(f) der Fixpunkte von f, also Fix(f) {v V f(v) v}, und haben Bild(f) Fix(f) zu zeigen: Für sei v Bild(f), es gibt also ein u V mit v f(u); wegen ergibt sich damit v Fix(f). f(v) f(f(u)) (f f) (u) f(u) v

4 Für sei v Fix(f); es ergibt sich direkt v f(v) Bild(f). Für jedes v Kern(f) Bild(f) gilt zum einen v Bild(f), also v Fix(f), und damit f(v) v, zum anderen v Kern(f) und damit f(v) V, zusammen also v f(v) V ; demnach ist Kern(f) Bild(f) {}, woraus gemäß a) dann V Kern(f) Bild(f) folgt. 48. Für alle A, B und λ gilt und f(a + B) (A + B) M M (A + B) (A M + B M) (M A + M B) f(λ A) (λ A) M M (λ A) (A M M A) + (B M M B) f(a) + f(b) λ (A M) λ (M A) λ (A M M A) λ f(a); damit ist f linear. Für eine Matrix A 1 a 1 a gilt dabei f(a) A M M A a 1 a a 1 a a11 a 11 + a 1 a11 + a 1 a 1 + a a 1 a 1 + a a 1 a a1 a 11 + a 1 a, a 1 a 1 und für Kern(f) und Bild(f) ergibt sich: Für eine Matrix A 1 a 1 a gilt A Kern(f) f(a) a1 a 11 + a 1 a a 1 a 1 a 1 und a a 11 + a 1 ; damit besteht Kern(f) genau aus den Matrizen der Form A a a 11 + a 11 + a mit a 11, a 1. Folglich bilden die beiden Matrizen 1 1 B 1 und B 1 1

5 ein Erzeugendensystem von Kern(f); wegen λ1 λ λ 1 B 1 + λ B λ 1 + λ λ 1 λ für alle λ 1, λ sind B 1, B auch linear unabhängig und damit sogar eine Basis von Kern(f). Insgesamt ergibt sich also dim Kern(f). Für jede Matrix A 1 a 1 a gilt a1 a f(a) 11 + a 1 a a 1 a 1 1 ( a 1 ) + ( a a 1 a ) 1. Folglich bilden die beiden Matrizen 1 B 1 1 und B 4 1 ein Erzeugendensystem von Bild(f); wegen λ λ λ B + λ 4 B 4 4 λ λ λ λ 4 für alle λ, λ 4 sind B, B 4 auch linear unabhängig und damit sogar eine Basis von Bild(f). Insgesamt ergibt sich also dim Bild(f).