Ausgewählte Fragen der Geldtheorie und -politik

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1 Ausgewählte Fragen der Geldtheorie und -politik Prof. Dr. Jochen Michaelis Wintersemester 2014/2015 Appendix B: Log-Linearisieren

2 Zietz, Joachim (2008): A Clarifying Note on Converting to Log-Deviations from the Steady State, Economics Bulletin 3: Uhlig, Harald (1999): A Toolkit for Analysing Nonlinear Dynamic Stochastic Models Easily, in: R. Marimon und A. Scott (Eds.); Computational Methods for the Study of Dynamic Economics, Oxford University Press, S Methode, um Komplexität nicht-linearer Modelle zu reduzieren Anwendungsgebiete, u.a.: RBC-Modelle Neu-Keynesianische Makro New Open Macro (Obstfeld/Rogoff) DSGE-Modelle 2

3 Ansatz: Log-Linearisieren Das Gleichungssystem ist nichtlinear: einige Gleichungen sind linear, einige sind multiplikativ, einige sind linear-multiplikativ macht selbst numerische Lösung schwierig Annahme: in der Nähe des Steady States ist das Modell näherungsweise linear in logarithmierten Größen Daher log-lineare Taylor-Approximation an der Stelle des Steady States exakt für multiplikative (=log-lineare) Systeme umso besser, je log-linearer in der Umgebung des Steady State Bewegungen der Variablen können als Prozentabweichungen vom Steady State interpretiert werden. 3

4 Taylor-Reihen-Approximation der Funktion f(x): Taylor-Approximation T x = f(x o) 0! + f x 0 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 + f (x) f (x) x0 x x 4

5 Beispiel: f x = x 2 T-A erster Ordnung: T x = f x 0 + f x 0 x x 0 + o( ℶ 2 ) = (x 0 ) 2 +2x 0 (x x 0 ) T-A zweiter Ordnung: T x = f x 0 + f x 0 x x 0 + f x 0 2 = (x 0 ) 2 +2x 0 (x x 0 )+(x x 0 ) 2 x x o( ℶ 3 ) Linearisierungspunkt sei x 0 = 2 T x = x 2 = 4x 4 Angenommen, es sei x = 3 wahrer Wert: f x = 3 2 = 9 Taylor-Approximation: T x = 4x 4 = 12 4 = 8 5

6 Definitionen X t = Variable (z.b. Output, Arbeitszeit) X = Gleichgewichtswert (Steady State-Wert) der Variablen X t x t = lnx t = Logarithmus dieser Variable x = llx = Logarithmus des Steady State (B.1) x t x t x = llx t llx log deviation of X t from its steady state X x t ist (ungefähr) gleich der prozentualen Abweichung von X t vom Steady state X Beispiel: Steady State = 100 aktueller Wert = 101 Prozentabweichung exakt: = 0.01 = 1% Log-Differenz: ln 101 ln 100 = = 0.995% 6

7 Sei f(x) die im Punkt X zu log-linearisierende Funktion und sei x x x = llx llx die Prozentabweichung vom Steady State. 1. Schritt: logarithmiere f(x) llf(x) 2. Schritt: verwende Taylor-Approximation für llf(x) llf X lll X + X X=X (lll llx ) = lll X + X X=X x = lll X + f (X) f(x) = lll X + f (X ) f(x ) X x 1 / X=X x (B.2) llf X lll X f (X ) f(x ) X x 7

8 Ergebnis der log-linearen Taylor-Approximation llf X lll X f X f X X x Prozentabweichung des Steigungs- Prozentabweichung des Funktionswerts vom koeffizient Arguments, d.h. einer Modell- Steady State variablen, vom Steady State Mehrere Variablen llf X 1, X 2, lll X 1, X 2, f XX X 1,X 2, f X 1,X 2, X 1 x 1 + f XX X 1,X 2, f X 1,X 2, X 2 x 2 + 8

9 1. Beispiel: lineare Technologie Y t = A t N t lhs: rhs: lly t lly = 1 Y Y y t = y t ll(a t N t ) ln A N = N A N A a t + A A N N n t Es resultiert: y t = a t + n t 9

10 2. Beispiel: Cobb-Douglas Produktionsfunktion Y t = A t K t α N t β Steady State: Y = A K α N β lhs: rhs: s.o. ll(a t K t α N t β ) ln A K α N β = K α N β A a A K α N β t + αk α 1 N β K k A K α N β t + βk α N β 1 N n A K α N β t Es resultiert: y t = a t + αk t + βn t 10

11 Hier schneller : Logarithmiere und subtrahiere den natürl. Logarithmus des Steady States (B.3) lll t = lla t + αlll t + βlll t y t = a t + αk t + βn t lly = lla + αααk + βββn y = a + αk + βn Subtrahieren: y t y = a t a + α(k t k ) + β(n t n ) (B.4) y t = a t + αk t + βn t 11

12 3. Beispiel: Gütermarkgleichgewicht (B.5) Y t = C t + G t Steady State: Y = C + G lhs: s.o. rhs: ln C t + G t ln C + G = 1 C +G C c t + 1 C +G G g t Es resultiert: y t = C Y c t + G Y g t 12

13 3. Beispiel: Gleichung mit Erwartungswerten Euler-Gleichung für optimalen intertemporalen Konsum E t [ C σ t+1 ] = β(1 + I t ) P σ tc t E t P t+1 Logarithmieren: (B.6) ln{e t [ C σ t+1 ]} = llβ + ln 1 + I t + lll t + ll[c σ t ] lle t P t+1 Achtung: Problem bei Erwartungswerten lle t x t+1 E t (llx t+1 ) Hier: ln{e t [ C t+1 σ ]} E t [ll C t+1 σ ] und lle t P t+1 E t (llp t+1 ) 13

14 Jensen sche Ungleichung: lle t x t+1 > E t (llx t+1 ) ln x t+1 ln( E t x t+ 1) E (ln ) t x t+ 1 1 E t x t+1 x t+1 14

15 Annahme: x t+1 sei log-normal verteilt: x t+1 ~lll(μ, σ 2 ) dann ist llx t+1 normal-verteilt mit Erwartungswert μ: llx t+1 ~NN((μ, σ 2 ) Erwartungswert einer lognormal-verteilten Variable: E t x t+1 = e μ+0.5σ2 Logarithmus der lognormal-verteilten Variable: ln E t x t+1 = lle μ+0.5σ2 = μ + 0.5σ 2 Erwartungswert der normal-verteilten Variable llx t+1 : E t llx t+1 = μ ln( E x 2 2 1) Et (ln xt+ 1) = µ + 0,5σ µ = 0,5 const. t t+ σ = 15

16 Es resultiert: ln E t x t+1 E t llx t+1 = μ + 0.5σ 2 μ = 0.5σ 2 = ccccc. Varianzen sind zeitinvariant; sie fallen also weg, wenn Abweichungen von einem Steady State betrachtet werden. Daher werden die Konstanten von vornherein weggelassen, d.h. log-linearisierung im Erwartungswert ist zulässig!! Anwendung bei Euler-Gleichung: ln{e t [ C t+1 σ ]} = E t [ll C t+1 σ ] und ll(e t P t+1 ) = E t llp t+1 Einsetzen in (B.6): σe t lnc t+1 = llβ + ln 1 + I t + lll t + σllc t E t llp t+1 16

17 σσ t lnc t+1 = llβ + i t (E t llp t+1 lll t ) + σσσc t σσ t lnc t+1 = llβ + i t E t π t+1 + σσσc t Im Steady State gilt: σσ t lnc = llβ + ı E t π =0 + σσσc Für die Abweichung vom Steady State resultiert die Log-linearisierte Euler-Gleichung (B.7) c t = E t c t+1 1 σ (ı t E t π t+1 ) 17

18 Schwachpunkte der Technik der log-linearisierung Approximation gilt nur für kleine Abweichungen vom Steady State, d.h. große Schocks werden nicht adäquat abgebildet Es werden nur Erwartungswerte einer Zufallsvariablen betrachtet, spielt die Varianz eine Rolle wie bei Risikoüberlegungen, ist log-lin. nicht geeignet Ausweg in Neu-Keynesianischer Makro: Second-order Taylor-Approximation, vgl. Benigno und Woodford, Journal of Economic Theory (2012) 18