Einfache eindim. Bewegungen unter Krafteinwirkung

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1 Einfache eindim. Beweunen unter Krafteinwirkun N. Peters, A. Oettin, C. Janetzki (Dr. W. Seifert) 4. Noember 203 Senkrechter Wurf und Fall im D Für den senkrechten Fall und Wurf (x-achse nach oben) ilt ween F = m die Beweunsleichun: mẍ = m () Für h rde kann dabei = const anenommen werden. So eribt sich als Lösun Für die Steizeit folt aus = ẋ = 0 t Stei = o Steihöhe x max = x(t Stei ) = h + 2 ( o )2 Ableitun des Eneriesatzes für diesen Fall: Aus (3) folt für die Geschwindikeit (t) = t (2) x(t) = h + t 2 t2 (3) x max = h + 2 o 2. und damit für die maximale ẋ(t) = (t) = t t = ẋ (4) Eliminiert man die Zeit in x(t), eribt sich: x = h + ( ẋ) 2 ( ẋ ) 2 = h + 2 o ẋ 2 o 2 + ẋ ẋ2 2 = h + 2 o 2 ẋ2 2 (5) Multipliziert man beidseiti mit m, erhält man nach Umordnun der Terme:

2 mx + m 2 ẋ2 = mh + m 2 2 o (6) = E 0 = const. Eneriesatz! Denitionen: kinetische Enerie E kin = T = m 2 ẋ2 (7) potentielle Enerie E pot = U = F (x)dx = ( m)dx = mx + U 0 (8) Hinweis: Das Potential (hier des homoenen Schwerefeldes) ist nur bis auf eine Konstante bestimmt. Beim senkrechten Fall wird die potentielle Enerie mh des bei x = h > 0 ruhenden Massepunktes (d.h. ẋ = 0) umewandelt in kinetische Enerie m 2 ẋ2. Bei x = 0 beträt die Geschwindikeit = 2h (siehe Eneriesatz). Hinweis: Der Eneriesatz eribt sich auch aus der Dl. durch Multiplikation mit ẋ : mẍ = m ẋ d dt (m 2 ẋ2 ) + mẋ = 0 d dt (m 2 ẋ2 + mx) = 0 m 2 ẋ2 + mx = E 0 = const. (9) Denition: Arbeit W = r 2 r F d r Die pot. Enerie am Ort x 2 ist leich der Arbeit, die man aufwenden muss, um die Masse m (een die Kraft) on x nach x 2 zu brinen. Eneriesatz : T + U = T 2 + U 2 T 2 T = U U 2 = x x 2 F (x)dx = x2 x F (x)dx = W (0) Satz on der kinetischen Enerie (siehe z.b. A. Budo: Theor. Mechanik, Verla der Wissenschaften, Berlin 969, Seite 44): Die Zunahme der kinetischen Enerie ist leich der Arbeit aller auf dem Masssenpunkt einwirkenden Kräfte. 2

3 2 Fall aus roÿer Höhe (ohne Reibun) Vorbemerkun: Die Erdbeschleuniun nimmt nur in Nähe der Erdoberäche den konstanten Wert 9.8 m an; wird über die Graitationskraft wie folt deniert: s 2 Mit der Graitationskonstanten F = m M Erde R 2 Erde = M Erde R 2 Erde = m () (2) m3 = k s 2 und den Werten für die Erde (projiziert auf eine olumenleiche Kuel): erhält man M Erde = k rde = m = M Erde R 2 Erde 9.8 m s 2. Der freie Fall aus roÿer Höhe (D-Beweun) lässt sich mit Hilfe des Eneriesatzes lösen. Dazu brauchen wir die potentielle Enerie: x U = F (x )dx = Mm x x 0 x = Mm x 0 x + U 0 (3) Normierun auf unendlich weit entfernten Punkt: U(x ) = 0 U 0 = 0 U(x) = Mm x Hinweis: Die Graitationskraft ist in Wahrheit abstandsabhäni (Kuelsymmetrie) F = Mm r 2 e r U(r) = Mm r Das Problem 'Fall aus rosser Höhe' kann aber als D Problem elöst werden. Mit der ertikalen Koordinate x eribt sich der Eneriesatz (D) wie folt: (4) (5) Mit = M R 2 m 2 ẋ2 Mm x = E 0 = const. (6) und den Anfansbedinunen x(t = 0) = x 0 und (t = 0) = 0 folt: m 2 ẋ2 mr2 = E 0 x m 2 2 mr2 = mr2 x x 0 2 = 2R 2 ( x x 0 ) (7) 3

4 Aus dieser Formel für die Geschwindikeit lassen sich drei Aussaen herleiten: (I) Berechnun der ersten kosmischen Geschwindikeit, die für die Beweun auf einem stabilen Erdorbit mit dem Radius r = notwendi ist. Auf einer Kreisbahn sind Graitationskraft und Zentrifualkraft im Gleichewicht. Daraus folt: Mm = m 2 I = M rde rde rde Mit I = rde folt für die erste kosmische Geschwindikeit = 7.9 km s (II) Für den Fall aus einem unendlich weit entfernten Punkt auf die Erdoberäche ( d.h. on x 0 bis x = rde ) ilt : 2 = 2 = 2 M 2 II = 2 2 (8) Die Geschwindikeit II ist die soenannte zweite kosmische Geschwindikeit. Da die Gesetze der Mechanik reersibel sind, ist diese Geschwindikeit auch notwendi, um on nach x zu elanen: Die so. 'Fluchteschwindikeit' aus dem Graitationsbereich der Erde beträt II =.2 km s Hinweis: Die dritte kosmische Geschwindikeit ist die Fluchteschwindikeit on der Sonne, berechnet on der Erdbahn aus. Dazu erwendet man wieder die Formel für die 2. kosmische Geschwindikeit, wobei nun die Sonnenmasse und der Abstand Erde- Sonne einesetzt werden. Dies eribt III = 42, km/s. Für weitere Informationen siehe http : //de.wikipedia.or/wiki/kosmische_geschwindikeiten. (III) Ableitun einer Näherun für den Fall rosser Höhe: h sei roÿ, aber h <. Vor: x 0 = + h mit h < und x = sowie ɛ = h : 2 = 2RE( 2 + h ) (9) = 2 ( + h ) = 2 + ɛ Die Entwicklun der eometrischen Reihe ±ɛ = ɛ + ɛ2 ɛ liefert die Approximation: (20) 2 ( ɛ + ɛ 2 ɛ 3...) = 2 ɛ ɛ 2 + ɛ 3... (2) 2 ɛ ɛ (22) 4

5 Die Entwicklun der Taylorreihe für x liefert die Näherun x x 2. = 2 ɛ( ɛ 2 ) = 2h( h ) (23) 2 Eränzun: Wie nimmt mit der Höhe h ab? Voraussetzunen: a) Graitationskraft=Gewichtskraft, d.h. Mm r 2 = m b) Mit r = (Radius der Erde) folt für die Erdeschleuniun E = M R 2 E c) im beliebien Abstand r ilt : (r) = M r 2 Sei nun r = + h, so ist (h) = M R 2 E R 2 E ( + h) 2 = E + h ) 2 (24) Spezialfall: Für h, also x = h eribt sich mit Taylor eine ute Näherun: = 2x ( + x) 2 (25) (h) E ( + h ) 2 (26) Beispielsweise ist für h = 64 km und = 637 km: h 0.0 ( + h = x = 0.98 ) 2 Hinweis: Auch das Potential U(r) = Mm r lässt sich für r = R e +h in eine Taylorreihe entwickeln. In erster Näherun eribt sich das homoene Schwerepotential U = U o + mh! 3 Fall in widerstrebendem Medium Modellmässi können Reibunskräfte proportional zur Geschwindikeit bzw. zum Geschwindikeitsquadrat anesetzt werden : F S = R (27) F N = R 2 2 e = R 2 (28) 5

6 F S ist die Stokes'sche Reibun (für nicht turbulente Strömunen, z.b. beim Kuelfalliskosimeter), F N die Newton'sche Reibun (für turbulente Strömunen, ilt z.b.für die Beweun röÿerer Körper in Luft). Die Reibunskraft wirkt stets der Gewichtskraft enteen; im D Fall erhält man als Dl. für den Fall im widerstrebenden Medium: mẍ = m mẋ ẍ + ẋ = (29) (29) ist eine ewöhnliche inhomoene Dierentialleichun (Dl.) mit konstanten Koezienten. Es existieren zwei Lösunsmölichkeiten: Umschreiben in eine Dl.. Ordnun, anschlieÿend Trennun der Variablen Lösun der hom. Dl. durch e-ansatz + eine spezielle Lösun der inhom. Dl. Beim Lösen der Dl. nach der ersten Variante wird wie folt oreanen: Umschreiben in eine Dl.. Ordnun: Trennun der Variablen = ẋ = + (30) d dt = t 0 dt = t = d ln (3) Diese letzte Gleichun wollen wir zunächst für < betrachten. Dann ilt nämlich: ln t = = ln( ) e t = (32) Unter der Nebenbedinun (t = 0) = = 0 eribt sich = 0 = 0 (t) = ( e t ) (33) end = lim n (t) = (34) 6

7 Der Fall > mit der Anfansbedinun (0) = > ist esondert zu betrachten: t = ln = ln( ) ln( ) = ln( ) (35) (t) = ( e t ) + e t (36) Hinweis: In beiden fällen erhält man (34) als Grenzeschwindikeit! Zum Abschluss empfehlen wir die zweite Variante zur Übun: Ermittle die Lösun der Dl. 2. Ordnun (29) unter Berücksichtiun der Nebenbedinunen x(t = 0) = x 0 und ẋ(t = 0) =. Wir eben hier nur die Lösun zur Kontrolle an: x(t) = x 0 + (e t ) + t 7