Lösung zu Aufgabe 4 auf Blatt 1 zur Linearen Algebra 1

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5 Lösung zu Aufgabe 4 auf Blatt 1 zur Linearen Algebra 1 Aufgabe 4. Bei einem Schulexperiment in einer Klasse mit hochbegabten Schülerinnen wurde wie folgt vorgegangen: Die Lehrerin klebt jeder Schülerin einen Punkt auf die Stirn. Die Punkte waren entweder gelb oder schwarz. Jede Schülerin konnte die Punkte aller anderen sehen, aber nicht ihren eigenen Punkt. Ferner wissen alle Schülerinnen, dass mindestens ein gelber Punkt verteilt wurde! Die Lehrerin gab dann die folgende Verhaltensvorschrift aus: Nach jeweils 10 vollen Minuten schlägt sie einen Gong. Alle Schülerinnen, die zum Zeitpunkt eines Gongschlags wüssten (durch schlaues Nachdenken!), dass Sie einen gelben Punkt auf der Stirn hätten, sollten dann zur Tafel gehen. Nach dem achten Gongschlag begab sich (erstmals) eine Gruppe von Schülerinnen zur Tafel. Frage: Wieviele Schülerinnen gingen zur Tafel? (Wir setzen hier voraus, dass alle teilnehmenden Schülerinnen in der Lage waren, diese Aufgabe zu lösen!) Lösung: Für jedes n N sei A(n) die Aussage: Haben genau n Schülerinnen einen gelben Punkt, so gehen genau diese Schülerinnen genau nach dem n-ten Gongschlag zur Tafel. Umgekehrt gilt: Wenn direkt nach dem n-ten Gongschlag mindestens eine Schülerin zur Tafel geht, dann gibt es genau n Schülerinnen mit gelbem Punkt. Wir beweisen die Aussagen A(n) mit vollständiger Induktion nach n N. Ist dies erledigt, so folgt aus der Aufgabenstellung, dass genau 8 Schülerinnen einen gelben Punkt erhalten haben. Im folgenden sei G die Anzahl der Schülerinnen mit gelbem Punkt. Induktionsanfang (n = 1): Ist G = 1, so sieht genau eine Schülerin bei ihren Mitschülerinnen keinen gelben Punkt. Da sie aber weiß, dass es mindestens einen gelben Punkt gibt, kann sie daraus schließen, dass sie selbst einen gelben Punkt hat. Sie geht also nach dem ersten Gongschlag zur Tafel. Alle anderen Schülerinnen können natürlich nicht zweifelsfrei geschlossen haben, dass sie einen gelben Punkt haben (da es ja nicht stimmt). Sie werden daher nicht zur Tafel gehen! Sei nun umgekehrt nach dem ersten Gongschlag eine Gruppe von Schülerinnen zur Tafel gegangen. Wäre G > 1, so hätte vor dem ersten Gongschlag jede Schülerin bei ihren Mitschülerinnen mindestens einen gelben Punkt sehen können. Ohne weitere Informationen hätte sie daher nicht wissen können, ob sie selbst einen gelben oder einen schwarzen Punkt bekommen hätte. Es wäre daher, im Widerspruch zur Annahme, keine Schülerin nach dem ersten Gongschlag zur Tafel gegangen. Es folgt G = 1. Induktionsschluss: Wir nehmen nun an, dass die Aussagen A(1),..., A(n) alle bewiesen sind. Sei G = n + 1. Dann sehen alle Schülerinnen mit gelbem Punkt genau n gelbe Punkte bei den Mitschülerinnen. Sie wissen daher, dass entweder G = n oder G = n + 1 gelten muss, wobei der Fall G = n + 1 genau dann eintritt, wenn sie selbst einen gelben Punkt erhalten haben. Sie wissen auch (da sie diesen Beweis führen können), dass im Fall G = n die Schülerinnen mit gelbem Punkt genau nach dem n-ten Gongschlag zur Tafel gehen würden. Nach dem n-ten Gongschlag geht aber keine Schülerin zur Tafel, da dies nach A(n) umgekehrt auch bedeuten würde, dass G = n, was nicht stimmt. Folglich wissen alle betroffenen n + 1 Schülerinnen nach dem n-ten Gongschlag, dass G = n + 1 und dass sie selbst einen gelben Punkt bekommen haben. Sie gehen daher alle direkt nach dem n + 1-ten Gongschlag zur Tafel. Geht umgekehrt nach dem n + 1-ten Gongschag eine Gruppe von Schülerinnen zur Tafel, so muss G n + 1 gelten, denn in jedem anderen Fall wären die betroffenen Schülerinnen nach A(1),..., A(n) schon vorher zur Tafel gegangen. Wäre G > n + 1, so würden alle Schülerinnen bei ihren Mitschülerinnen mindestens n + 1 gelbe Punkte sehen. Jede Schülerin wüsste also schon zu Beginn des Experiments, dass G n + 1 gilt. Die wahren Aussagen A(1),..., A(n) würden in diesem Fall keine weiteren Informationen liefern. In diesem Fall hätte also keine Schülerin zum Zeitpunkt des n + 1-ten Gongschlags wissen können, ob sie selbst betroffen ist oder nicht. Es wäre daher niemand nach dem n + 1-ten Gongschlag zur Tafel gegangen. Folglich gilt G = n