TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 Prof. Dr. M. Keyl M. Kech TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) MA S Sommersem. 216 Lösungsblatt 3 ( ) Zentralübung Z3.1. Parameterinvarianz des Kurvenintegrals Für die C 1 -Kurve : [a, b] R n sei φ : [α, β] [a, b] eine C 1 -Parametertransformation, = φ. Ist F : R n R n ein stetiges Vektorfeld, so gilt F (y) dy = (sgn φ ) F (y) dy Erinnerung: Das Kurvenintegral von F entlang der Kurve ist definiert als b F (y) dy = F ((t)) ẋ(t)dt a wobei die Funktion t F ((t)) ẋ(t) stetig ist. Wir berechnen F (y) dy = β α F ( (s)) (s)ds = b = (sgn φ ) a β α F ((φ(s)) ẋ(φ(s))φ (s)ds t=φ(s) = F ((t)) ẋ(t)dt = (sgn φ ) F (y) dy. φ(β) φ(α) F ((t)) ẋ(t)dt Z3.2. Innere, äußere und Randpunkte Sei (M, d) ein metrischer Raum, A M. Der Abstand eines Punktes von A ist definiert als dist(, A) := inf{d(, y) : y A} Wir definieren den signierten Abstand, { dist(, A), A, sdist(, A) := dist(, M \ A), A. (a) Skizzieren Sie für A =] 2, 1[ {} [1, 2] R die Funktion sdist(, A). (b) Man zeige: (i) sdist(, A) < A, (ii) sdist(, A) = A, (iii) sdist(, A) > M \ A.

2 (a) sdist, A (b) (i) = : sdist(, A) < ɛ := dist(, M \ A) > U ɛ () A ist innerer Punkt von A. = : A ɛ > : U ɛ () A dist(, M \ A) ɛ >. (iii) wie (i), mit A und M \ A vertauscht. (ii) folgt direkt aus (i) und (iii). Z3.3. Vereinigung und Durchschnitt von offenen und abgeschlossenen Mengen. Sei (M, d) ein metrischer Raum. (a) Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen: Sei I eine beliebige Menge und zu jedem i I sei A i M offen. Dann ist (b) Endliche Schnitte offener Mengen sind offen: Sei I eine endliche Menge und zu jedem i I sei A i M offen. Dann ist (c) Wie lauten die analogen Aussagen für abgeschlossene Mengen? A i offen. A i offen. (d) Geben sie je ein Beispiel dafür an, dass der Schnitt abzählbar vieler offener Mengen nicht wieder offen zu sein braucht und dass die Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Mengen nicht wieder abgeschlossen zu sein braucht. (a) Sei A i. Es gibt also ein i I, so dass A i. Da A i offen ist, ist A i eine Umgebung von. Wegen A i A i ist also auch A i eine Umgebung von. (b) Sei A i, I <. Zu jedem i gibt es ein ɛ i >, so dass U ɛi () A i. Mit ɛ := min ɛ i > ist U ɛ () U ɛi () für alle i I. Also ist U ɛ () A i. (c) Beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. (d) In (R, ): ] 1 n, 1 n [= {}, n N [ 1 n, 1 1 n ] =], 1[, n 2

3 Tutoraufgaben T3.1. Ein einfaches Kurvenintegral Berechnen sie das Kurvenintegral des Vektorfeldes F (, y, z) = ( y,, z) entlang einer Schraubenlinie konstanter Steigung um die z-achse, die von (1,, ) nach (1,, 2π) läuft. Wir parametrisieren eine k-fache Schraubenlinie durch γ k (t) = (cos t, sin t, αt), t [, 2πk], wobei k N. γ() = (1,, ) ist immer erfüllt, damit auch γ(2πk) = (1,, 2π) gilt, muss α = 1 k gewählt werden. Somit ist 2πk 2πk sin t sin t F () d = F (γ(t)) γ(t)dt = cos t cos t dt 1 γ k t 1 k = 2πk T3.2. Innere, äußere und Randpunkte (sin 2 t + cos 2 t + 1 k 2 t)dt = 2πk + (2πk)2 2k 2 = 2πk + π 2. Sei (M, d) ein metrischer Raum, A M. Als Abkürzung setzen wir A c = M \ A. (a) Man zeige: A genau dann, wenn jede Umgebung von sowohl Punkte von A, als auch Punkte von A c enthält. (b) Vervollständigen Sie: Formel ist innerer Punkt oder Randpunkt oder äußerer Punkt von A. A X A X X A X (A c ) X ( A ) c X X A c X A c X X ( A) c X X (a) Beweis: : Sei A = A \ A. Das bedeutet, dass weder äußerer noch innerer Punkt von A ist. Sei U M eine beliebige Umgebung von. U ist nicht in A enthalten (sonst wäre innerer Punkt von A), also ist U A c. U ist nicht in A c enthalten (sonst wäre äußerer Punkt von A), also ist U A. : Sei M ein Punkt, so dass für jede Umgebung U von gilt : U A und U A c. Somit ist U A c und U A. ist also weder äußerer noch innerer Punkt von A, also A. (b) s.o., Bemerkung: ( A) c = A c A. Die Aufgabe testet nur elementare Mengenlehre, wenn man beachtet, dass A, A und M \ A paarweise disjunkte Mengen sind, deren Vereinigung ganz M ergibt.

4 T3.3. Beispiele für Inneres, Abschluss und Rand Geben Sie das Innere, den Abschluss und den Rand folgender Mengen an und begründen Sie kurz. (a) M = ( 1, 1] 2 R 2. (b) B = { R 3 : 1} R 3. (c) S 2 = { R 3 : = 1} R 3. (a) M = ( 1, 1) 2, Die anschauliche Begründung ist: rechts stehen genau die Punkte von M, für die es eine in M enthaltene ɛ-umgebung gibt. Ausführlicher Beweis: : (, y) M M ist Umgebung von (, y) es gibt ein ɛ > mit B ɛ ((, y)) M 1 > ɛ und 1 y > ɛ < 1 und y < 1 (, y) ( 1, 1) 2. : (, y) ( 1, 1) 2 < 1 und y < 1 mit ɛ := min{1, 1 y } gilt B ɛ ((, y)) M (, y) M. M = [ 1, 1] 2, Kurzbegründung: R 2 \ [ 1, 1] 2 sind genau die Punkte, für die eine ɛ-umgebung eistiert, die disjunkt zu M ist. Ausführlicher Beweis: : (, y) M (, y) (R 2 \ M) es gibt ein ɛ > mit B ɛ ((, y)) R 2 \ M > 1 oder y > 1 (, y) [ 1, 1] 2. Damit ist [ 1, 1] 2 M gezeigt. : (, y) [ 1, 1] 2 > 1 oder y > 1 mit ɛ := ma{ 1, y 1} gilt B ɛ ((, y)) R 2 \ M (, y) M. Also ist M [ 1, 1] 2 gezeigt. M = {(, y) : ma{, y } = 1} = [ 1, 1] { 1, 1} { 1, 1} [ 1, 1]. Begründung: M = [ 1, 1] 2 \ ( 1, 1) 2. (b) B = B, (c) B = U 1 (), B = S 2. S 2 =, Begründung: Zu jedem ɛ > ist (1 + ɛ) S 2. S 2 = S 2, Begründung: R 3 \ S 2 ist offen ( 1 mit ɛ := 1 > ist U ɛ () S 2 = ). S 2 = S 2. Hausaufgaben H3.1. Beispiele für Kurvenintegrale Wir betrachten drei Kurven im R 2 von A = (, 1) nach B = (1, 2), γ 1 ist die direkte Verbindung von A nach B, γ 2 ist der Streckenzug von A über (1, 1) nach B, γ 3 verläuft längs der Parabel y = Berechnen Sie jeweils die Kurvenintegrale entlang γ 1, γ 2, γ 3 für die Vektorfelder (a) F 1 (, y) = ( 2 y +y 2 ), (b) F2 (, y) = ( 2 +y +y 2 ).

5 Zunächst parametrisieren wir die Kurven durch γ 1 (t) = (1 t)a + tb = (t, 1 + t), t [, 1], γ 2 stellen wir durch sukzessives Durchlaufen zweier regulärer Kurven dar: γ 21 (t) = (t, 1), γ 22 (t) = (1, 1 + t), jeweils mit t [, 1] und γ 3 (t) = (t, 1 + t 2 ), t [, 1]. (a) Für F 1 lauten die Kurvenintegrale 1 1 ( F 1 () d = F 1 (γ 1 (t)) γ 1 (t)dt = t 2 (1+t) ) ( t+(1+t) 1 ) dt = (2t 2 + 2t)dt = = 5 3, γ 1 F 1 () d = F 1 () d + 1 F 1 () d = (t 2 1 1)dt + (1 + (1 + t) 2 )dt γ 2 γ 21 γ 22 = (2 + 2t + t 2 )dt = = 8 3, γ 3 F 1 () d = 1 ( t 2 (1+t 2 )) ( t+(1+t 2 ) 1 ) 1 2 2t dt = 1 + 2t 2 + 2t 5 + 4t 3 + 2t)dt = = 2. (b) Für F 2 geht das ganz analog, γ 1 F 2 () d = 1 γ 2 F 2 () d = γ 3 F 1 () d = F 2 (γ 1 (t)) γ 1 (t)dt = γ 21 F 2 () d + = = 14 3, 1 1 ( t 2 +(1+t) ) ( t+(1+t) 1 ) dt = (2t 2 + 4t + 2)dt = 14 3, γ 22 F 2 () d = ( t 2 +(1+t 2 )) ( t+(1+t 2 ) 1 ) 2 2t dt = = = (t 2 + 1)dt + 1 (1 + (1 + t) 2 )dt 2t 2 + 2t 5 + 4t 3 + 2t)dt Da F 2 konservativ auf ganz R 2 ist, hängt das Ergebnis nur von den Endpunkten ab. H3.2. Das Innere und der Abschluss Sei (M, d) ein metrischer Raum, A M. (a) A A A. (b) Ist A offen, so ist A = A. (c) Das Innere von A ist offen. (d) Ist A abgeschlossen, so ist A = A. (e) Der Abschluss von A ist abgeschlossen. (f) A ist abgeschlossen. Wiederholung: Für ɛ > heißt U ɛ () = {y M : d(, y) < ɛ} ɛ-umgebung von. U M heißt Umgebung von M, falls es eine ɛ-umgebung von gibt, die in U enthalten ist.

6 A heißt offen, falls A für jedes seiner Elemente eine Umgebung darstellt. A heißt abgeschlossen, falls A c offen ist. ist innerer Punkt von A ist gleichbedeutend mit A ist Umgebung von. ist äußerer Punkt von A ist synonym zu ist innerer Punkt von A c. ist Randpunkt von A ist gleichbedeutend mit ist weder innerer noch äußerer Punkt von A (a) A ist innerer Punkt von A es gibt ɛ > mit U ɛ () A U ɛ () A. A ist kein äußerer Punkt von A A. (b) Sei A offen. Zu zeigen ist nur A A: Sei A. Da A offen ist, gibt es ein ɛ >, so dass U ɛ () A. Somit ist A eine Umgebung von, ist also innerer Punkt von A, A. (c) Beweis von A ist offen. zu zeigen: zu jedem A ist A eine Umgebung von. Sei A, dann ist innerer Punkt von A, d.h., A ist Umgebung von. Es gibt also ein ɛ >, so dass U ɛ () ganz in A liegt. Da U ɛ () offen ist, ist jedes y U ɛ () innerer Punkt von U ɛ () und damit auch innerer Punkt von A. Somit gilt U ɛ () A. A ist also Umgebung von. (d) Sei A abgeschlossen. Zu zeigen ist nur: A A, bzw. A c A c. Sei A c. Da A c offen ist, ist äußerer Punkt von A. Also ist nicht in A, m.a.w. A c. (e) Beweis von A ist abgeschlossen. Zu zeigen ist: A c ist offen. A c ist aber die Menge der äußeren Punkte von A, also offen, da es zu jedem äußeren Punkt von A eine ɛ > gibt, mit U ɛ () M \ A. (f) ( A) c = A A c ist als Vereinigung zweier offener Mengen offen. H3.3. Charakterisierung abgeschlossener Mengen Sei (M, d) ein metrischer Raum, A M. (a) Sei ( n ) n N eine Folge in A, die gegen M konvergiert. Zeigen Sie, dass A. { } (b) A = M es gibt eine Folge a : N A mit lim a n = =: GW(A), die Menge n der Grenzwerte von A. Als Abkürzung setzen wir A c = M \ A. (a) Beweis durch Widerspruch: Gelte A a n M. Annahme: A, d.h., ist äußerer Punkt von A. Dann gibt es ein ɛ > mit U ɛ () A c. Dies bedeutet aber, dass für alle n N a n U ɛ (), bzw. d(a n, ) > ɛ, im Widerspruch zu d(a n, ). (b) Aus (a) folgt direkt GW(A) A. Zu zeigen bleibt: A GW(A). Sei A. 1. Fall: A. Die konstante Folge n = konvergiert gegen, also GW(A). 2. Fall: A. Nach Aufgabe 4(a) gilt für jedes ɛ >, dass U ɛ () A. Zu jedem n N wählen wir also ein n U 1 () A. Offenbar gilt d( n, ) 1 n n, bzw., n. Also ist GW(A).