Aus dem Programm Wirtschafts- und Finanzmathematik. Zinsderivate von S. Reitz, W. Schwarz und M.R.W. Martin

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1 Meinung zum Buch In diesem Buch kombinieren Martin, Reitz und Wehn ihre umfassenden Markt- und Praxiskenntnisse mit mathematisch exakter Darstellung. Es ist unbedingt empfehlenswert für alle, die sich fundiert in die Modellierung und Bewertung von Kreditrisiken einarbeiten wollen. Prof. Dr. Philipp J. Schönbucher, ETH Zürich

2 Aus dem Programm Wirtschafts- und Finanzmathematik Zinsderivate von S. Reitz, W. Schwarz und M.R.W. Martin Mathematik für Wirtschaftsingenieure 1 und 2 von N. Henze und G. Last Finanzmathematik für Einsteiger von M. Adelmeyer und E. Warmuth Einführung in die Finanzmathematik von J. Tietze Übungsbuch zur Finanzmathematik von J. Tietze Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik von J. Tietze Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik von J. Tietze Finanzderivate mit MATLAB von M. Günther und A. Jüngel Derivate, Arbitrage und Portfolio-Selection von W. Hausmann, K. Diener und J. Käsler Operations Research von H.-J. Zimmermann vieweg

3 Marcus R. W. Martin Stefan Reitz Carsten S. Wehn Kreditderivate und Kreditrisikomodelle Eine mathematische Einführung

4 Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Dr. Marcus R.W. Martin Prof. Dr. Stefan Reitz Dr. Carsten S. Wehn 1. Auflage September 2006 Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlag GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Petra Rußkamp Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die in diesem Beitrag geäußerten Ansichten und Meinungen sind die persönlichen der Autoren und können nicht als die Meinung der Deutschen Bundesbank oder der DekaBank betrachtet werden. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN ISBN

5 Vorwort Thus, mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. (Bertrand Russell: Mathematics and the Metaphysicians, 1918) Ambition is a state of permanent dissatisfaction with the present. (Emanuel Derman: My Life as a Quant, 2004) Liebe Leserin, lieber Leser, die Themen Kreditderivate und Kreditrisikomodelle haben gerade in den vergangenen Jahren eine hohe Aufmerksamkeit erfahren, die immer noch enorm zunimmt. Viele modelltheoretischen Überlegungen stehen gerade erst am Anfang und oft überholen die Märkte diese Entwicklungen sogar noch in rasanter Weise. Grund genug also, sich eingehender mit dieser Materie auseinander zu setzen und die mathematischen Fragestellungen und Ansätze in diesem einführenden Lehrbuch angemessen zu reflektieren. Was erwartet Sie mit dem Studium dieser Einführung? Sie sollten damit die Erwartung verbinden, einen grundlegenden mathematischen Einstieg in das Thema der Bewertung von Kreditderivaten und die Modellierung von Kreditportfolien geboten zu bekommen. Wir möchten Ihnen zunächst einen Überblick über die vielfältige Produktpalette geben, die sich gegenwärtig bei Kreditderivaten bietet, wobei eine gewisse Einschränkung hinsichtlich der mathematischen Behandlung der am häufigsten gehandelten und wichtigsten Kreditderivate aufgrund der umrissenen Produktvielfalt zwingend erforderlich ist. Daher beginnen wir mit solchen Kreditderivaten, denen prinzipiell ein Referenzaktivum (wie beispielsweise ein Kredit oder eine Anleihe) zugrunde liegt. Als deren Prototypen und Grundbaustein der Kreditderivatemärkte behandeln wir vor allem Credit Default Swaps (CDS) ausführlich mathematisch, da die hierfür verwendeten Modelle und Marktinformationen auch für die Bewertung komplexerer Derivate eine zentrale Rolle spielen. Danach betrachten wir Kreditderivate, welche ihren Wert aus einem Korb von Referenzaktiva ableiten. Hierbei interessieren wir uns unter Bewertungsaspekten vorrangig für Basket Default Swaps, Collateralized Debt Obligations (CDO) und vor allem auf die hoch aktuellen Single Tranche CDO Swaps wie beispielsweise der itraxx- oder CDX-Kreditindizes-Familien und deren Bewertung. Besonders letztgenannte Produkte benötigen einen umfangreicheren mathematischen Unterbau, da sie eine Portfoliomodellierung

6 vi Vorwort benötigen, welcher im Rahmen eines eigenen Kapitels ausgiebig Platz auch aus dem Blickwinkel der Risikomessung und Portfoliosteuerung eingeräumt wird. Wir beziehen uns allerdings im Wesentlichen auf marktgängige Handelsprodukte und vernachlässigen dabei in weiten Teilen die für bilaterale Engagements wie z.b. einen klassischen Kredit eingesetzten Verfahren zur Bonitätsbeurteilung wie Rating- oder Scoringverfahren. Die Motivation, ein solches Buch zu schreiben, liegt dabei nahe: Zum einen fehlt trotz einiger hervorragender englischer Monographien im deutschsprachigen Raum bislang ein solches Werk, welches auch die aktuelleren Entwicklungen auf den Kreditderivatemärkten (vor allem im Bereich der Single Tranche CDO Swaps) berücksichtigt. Zum anderen sind alle drei Autoren regelmäßig teilweise auch von Berufs wegen als Dozenten tätig und daher der Idee verpflichtet, eine didaktische, umfassende und dennoch in sich geschlossene Aufbereitung der Modellierung von Kreditderivaten zu erstellen. Auch wenn das Buch in deutscher Sprache geschrieben ist, so bleibt es aufgrund der aus dem englischsprachigen Raum resultierenden Dynamik der Finanzmärkte oft nicht aus, dass adäquate deutsche Übersetzungen für englische Fachtermini fehlen. Wir verwenden daher, wo nötig, diese etablierten, englischen Begrifflichkeiten. Es ist nahezu überflüssig, zu erwähnen, dass eine mathematische Einführung in der Sprache der Mathematik, d.h. hier zumeist der Stochastik, geschrieben ist. Es wird dabei versucht, die Monographie in sich lesbar zu halten und zugleich möglichst wenige elementare Resultate aufzuführen, um den Rahmen nicht zu sprengen. Dies bedeutet, dass in einem entsprechenden Anhang viele der im restlichen Buch aufgeführten und verwendeten Resultate als Ganzes aufbereitet sind, die Kapitel 1 bis 4 jedoch nur das Notwendigste an Hintergrundinformationen bereit stellen. In diesen Kapiteln wird versucht, sich auf die wesentlichen Erkenntnisse im Zusammenhang mitden Produkten und hierfür notwendigen Modellen zu beschränken. Sofern einzelne Resultate nicht im Detail bewiesen werden, wird die geneigte Leserin und der geneigte Leser auf entsprechende weiterführende Literatur verwiesen. Auch im finanzmathematischen Bereich und insbesondere für Kreditderivate existiert eine Vielzahl empfehlenswerter, zum Teil weit über den Stoff der hier behandelten Themen hinausgehender Literatur. Daher findet sich am Ende eines jeden Kapitels eine kurze Auflistung von entsprechenden Hinweisen. Das Buch ist wie folgt aufgebaut: Im ersten Kapitel werden verschiedene kreditrisikobehaftete Produkte mit den jeweils unterschiedlichen Auszahlungsmodalitäten und Charakteristika dargestellt. Dies umfasst die gängigen,

7 aber längst nicht alle möglichen Kreditderivate. Außerdem werden die Märkte für Kreditderivate beschrieben. Im zweiten Kapitel werden die Grundlagen der Theorie zur Bewertung von Kreditderivaten gelegt. Ausgehend von der Black-Scholes-Welt nutzen wir Argumente wie Arbitragefreiheit aus und stellen schließlich die typischen Klassen bei der Modellierung von Ausfällen vor. Portfoliomodelle sind Gegenstand des dritten Kapitels. Hierbei werden mehrere Basiswerte gleichzeitig modelliert und das gemeinsame Verhalten beschrieben. Es werden die in der Praxis etablierten Portfoliomodelle dargestellt. Die Erkenntnisse der ersten drei Kapitel werden schließlich in Kapitel 4 in der Bewertung der vorgestellten Produkte zusammengeführt. Hierbei wird auf Aspekte wie Kalibrierung an Marktpreisen aber auch auf sehr aktuelle Ergebnisse und Ansätze im Zusammenhang mit der Bewertung von Single Tranche CDO Swaps unter Berücksichtigung des Skews der Basiskorrelationen eingegangen. Wir möchten uns bei unseren Kollegen Julia Armakola, Andreas Backes, ThomasGottweis, Peter Oppelt und Dr. Heiko Wagner von der Deutschen Bundesbank, Dr. Andreas Zapp von der Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht, Dr. Carsten Binnenhei, DavidDiJorio und Dr. Thomas Kreibich von der DekaBank sowie Stefanie Kammer von der Justus-Liebig-Universität Gießen bzw. Hochschule für Bankwirtschaft Frankfurt für die kritische Durchsicht des Manuskripts, zahlreiche Anregungen und Diskussionen bedanken. Ganz besonders danken wir Professor Dr. Philipp Schönbucher und Professor Dr. Wolfgang Schmidt für ihre wertvollen Hinweise und Kommentare. Aufgrund ihrer Anmerkungen konnte das Buch deutlich an Reife und Qualität gewinnen. Nicht zuletzt möchten wir Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch und Frau Petra Rußkamp vom Vieweg Verlag für Ihre Unterstützung und schier endlose Geduld bei der Vorbereitung dieses Buches unseren Dank aussprechen. In dem oben genannten Sinne wünschen die Autoren den Lesern viel Spaß, aber auch die entsprechende Ambition beim Studium des vorliegenden Buchs. Obermöllrich, Lehnheim, Siegen im Juni 2006 Disclaimer: Die in diesem Beitrag geäußerten Ansichten und Meinungen sind die persönlichen der Autoren und können nicht als die Meinung der Deutschen Bundesbank oder der DekaBank betrachtet werden. vii

8 viii Vorwort Widmungen Für Anna-Carina und meine Großeltern. M.R.W.M. Meinen Eltern. S.R. Meiner Familie. C.S.W.

9 Inhaltsverzeichnis Vorwort v 1 Märkte und Produkte Grundlegende Begriffe Kreditrisiko und Kredit Rating als Bonitätseinschätzung Der Markt für Kreditderivate Hintergrund und Entstehungsgeschichte Markttiefe und Teilnehmer Grundlegende mathematische Begriffsbildung Elementare kreditrisikobehaftete Produkte Kredit Defaultable Bond Convertible Bonds Kontrahentenrisiko in OTC-Finanzinstrumenten Kreditderivate auf ein einzelnes Referenzaktivum Credit Default Swaps Digital Default Swaps Quotierungen Asset Swaps Total Rate of Return Swaps Credit Linked Notes Optionen auf Defaultable Bonds und Credit Spread Produkte Kreditderivate auf ein Portfolio von Referenzaktiva und -schuldnern First-to-Default-Basket m th -to-default-basket Collateralized Debt Obligations Standardisierte Single Tranche CDO Swaps auf liquide Kreditindizes wie itraxx und CDX Hybride und sonstige Kreditderivate Weiterführende Literatur

10 x Inhaltsverzeichnis 2 Modellierung des Kreditrisikos und Arbitragetheorie Black-Scholes-Modell Grundlegende Annahmen und die Dynamik des Underlyings Dynamik des Derivates und die Black-Scholes-PDE Die Black-Scholes-Formel für Aktienoptionen Arbitragefreies Marktmodell für das Kreditrisiko Theoretische Grundlagen der Modellierung Grundannahmen für die Modellierung endfälliger, kreditrisikobehafteter Produkte Allgemeine Arbitragetheorie Äquivalente Martingalmaße Bewertung endfälliger, kreditrisikobehafteter Forderungen Berücksichtigung kreditrisikobehafteter Kuponzahlungen Anwendung von Numéraire-Techniken Modellklassen fürdasausfallereignis Unternehmenswertmodelle Hazardraten- und Intensitätsmodelle Weiterführende Literatur Portfoliomodelle Kreditrisiken im Portfolio Aufgaben des Risiko-Controllings und -Managements von Banken Die Verlustverteilung Formaler Rahmen Erwartete und unerwartete Ausfälle im Kreditportfolio Ökonomisches Kapital und Credit Value-at-Risk Korrelierte Ausfälle Das Bernoulli-Modell Das Poisson-Modell Faktormodelle Modellierung eines Kreditportfolios nach Merton Das Einfaktormodell von Vasicek (1987) Asymptotische analytische Näherungen Copulas

11 Inhaltsverzeichnis xi 3.7 Portfoliomodelle in der Praxis - ein Überblick CreditMetrics R Das KMV R -Modell CreditRisk+ R Risikomaße für Kreditportfolios Kohärente Risikomaße Risikobeiträge Weiterführende Literatur Bewertung von Kreditderivaten Generalvoraussetzungen Bewertung von CDS mit Intensitäts- und Hazardratenmodellen Das Intensitätsmodell als Marktstandard für CDS Kalibrierung des Intensitätsmodells an Marktpreisen Anmerkungen zur Recovery Rate Fortgeschrittene Methoden zur Bewertung von CDS und Kreditderivaten auf Einzelnamen Hinweise auf weiterführende Literatur Die Rolle von Unternehmenswertmodellen Kapitalstrukturarbitrage und Anwendungsbereiche Der Ansatz von Hull, Nelken & White (2003) Weitere Ansätze und Literaturhinweise Grundlegende Verfahren zur Bewertung von Basket Default Swaps und CDO Das Modell von Li (2000) mit Gaußscher Copula Bewertung von Basket Default Swaps mit Monte-Carlo- Simulation nach Li (2000) Bewertung von CDO und Single Tranche CDO-Swaps Allgemeiner Rahmen zur Darstellung von Faktormodellen Das Einfaktormodell als Marktstandard zur Preisquotierung von STCDO-Swaps Einbettung des Einfaktormodells von Vasicek (1987) in den allgemeinen Rahmen Rekursive Ermittlung der bedingten Verlustverteilung bei Faktormodellen Unbedingte Verlustverteilung und Sensitivitäten Asymptotische analytische Näherungen und STCDO- Swaps Smile-Effekt der impliziten Korrelation von Tranchen Basiskorrelationen und deren Skew

12 xii Inhaltsverzeichnis 4.7 Aktuelle Entwicklungen und Bewertungsmodelle Faktormodelle mit lokalen Korrelationen Ein kurzer Überblick über Modelle mit stochastischen Korrelationen Zur Einbeziehung systemischer Schock-Elemente in die Modellierung Weitere Modellklassen EinigeAnmerkungenzuFaktormodellen Weiterführende Literatur A Zufallsvariablen und stochastische Prozesse 265 A.1 Zufallsvariablen und σ-algebren A.2 Wichtige reellwertige Verteilungen und deren Eigenschaften267 A.3 Elementare stochastische Prozesse A.4 Filtrationen und bedingte Erwartungen A.5 Martingale und Sprungprozesse B Stochastische Differenzialgleichungen und stochastische Integration 289 B.1 Stochastische Differenzialgleichungen und stochastische Integration B.2 Itô-Prozesse und Itô s-lemma B.3 Beispiele für SDEs, Satz von Feynman-Kac und Satz von Girsanov C Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen 309 C.1 Copulas und Sklars Theorem C.2 Das kanonische Beispiel für eine zweidimensionale Copula 312 Literaturverzeichnis 314 Index 325