Kapitel 5 Reihen 196

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel 5 Reihen 196"

Transkript

1 Kapitel 5 Reihen 96

2 Kapitel 5. Definition und Beispiele 97

3 Das Material dieses Kapitels können Sie nachlesen in: MICHAEL SPIVAK, Calculus, Kapitel 22 DIRK HACHENBERGER, Mathematik für Informatiker, Kapitel 4 Definition 5. (Reihen) Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a l = a 0 + a + a eine Reihe; die einzelnen a l sind die Glieder dieser Reihe. Definition 5.2 (Partialsummen) Die endlichen Summe der Form n s n := a l = a 0 + a +...+a n heißen Partialsummen. 98

4 Definition 5.3 (Konvergenz von Reihen) Konvergiert die Folge der Partialsummen (s n ), so heisst die obige Reihe konvergent und man nennt a l := lim n s n die Summe der Reihe. Divergiert (s n ), so heisst die Reihe divergent. Bemerkung Beachte die Doppelbedeutung des Symbols a l einerseits als Bezeichnung für die Reihe und andererseits für die Summe (falls diese existiert). 99

5 Beispiel 5.4 Wir haben bereits gesehen, dass die geometrische Reihe ql = +q+ q die Partialsummen s n = +q+ q q n = qn+ q hat. Für q < gilt lim n q n = 0. Folglich konvergiert die geometrische Reihe in diesem Fall und hat die Summe q l = q. Im Falle q ist die geometrische Reihe divergent, da sie die nachfolgende Konvergenzbedingung verletzt. 200

6 Satz 5.5 Ist die Reihe a l konvergent, so gilt lim a l= 0. l Diese Bedingung ist für Konvergenz notwendig, aber nicht hinreichend. Damit die Reihe a l konvergiert, müssen die Glieder a l genügend schnell gegen Null konvergieren. Dazu folgendes Beispiel. 20

7 Beispiel 5.6 Wir untersuchen die harmonische Reihe l = Man nennt die Partialsumme H n := n Zahl. Es gilt: Satz 5.7 H =, H 2 =.5, H 3.83, H Die harmonische Reihe ist divergent. Das heisst lim H n=. n l die n-te harmonische 202

8 Bei den bisher betrachteten Reihen waren alle Glieder positiv. Da jede monotone beschränkte Folge konvergiert, erhalten wir allgemein: Satz 5.8 Eine Reihe a l mit reellen nichtnegativen Gliedern a l 0 ist genau dann konvergent, wenn ihre Folge der Partialsummen beschränkt ist. Beispiel 5.9 Betrachte die Reihe Wir zeigen, dass s n := l 2. n l 2 2. Daraus folgt mit dem Satz, dass die Reihe konvergiert. Euler zeigte genauer, dass die Summe dieser Reihe gleich π 2 /6 ist! 203

9 Beispiel 5.0 n Betrachte l (l+). Es gilt l (l+) = l l+, also n n ( l (l+) = l ) n n = l+ l l+ Es folgt: l (l+) = lim = n 2 3 n n+ = n+. n n l (l+) = lim n ( ) =. n+ 204

10 Aus den Rechenregeln für Grenzwerte erhalten wir sofort die folgenden Regeln für das Rechnen mit Reihen. Satz 5. (Rechenregeln für konvergente Reihen) Sind a l und b l konvergente Reihen und λ C, so sind auch die Reihen (a l + b l ) und λa l konvergent und es gilt: (a l + b l ) = λa l a l + b l, = λ a l. 205

11 Kapitel 5.2 Konvergenzkriterien 206

12 Das Cauchy-Kriterium für Reihen ist die Grundlage für die meisten Konvergenzkriterien, die wir im folgenden besprechen werden. Satz 5.2 (Cauchy-Kriterium für Reihen) Eine Reihe a l ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ε>0 eine Schwelle n ε gibt, mit m>n n ε m a l < ε. l=n+ Die sogenannt absolut konvergenten Reihen sind besonders einfach zu analysieren und zu handhaben. Definition 5.3 (absolute Konvergenz von Reihen) Eine Reihe a l heisst absolut konvergent, wenn die zugehörige Betragsreihe a l konvergiert. 207

13 Satz 5.4 Jede absolut konvergente Reihen ist konvergent. Beispiel 5.5 Zum Beispiel ist die geometrische Reihe q l absolut konvergent für q <, andernfalls divergent. Bemerkung 2 Die Umkehrung des Satzes ist falsch: Im nächsten Abschnitt werden wir zeigen, dass die alternierende harmonische Reihe ( ) l+ l = konvergiert. Weil die Reihe der Absolutbeträge divergiert (harmonische Reihe) ist diese alternierende Reihe nicht absolut konvergent. 208

14 Allgemeiner nennt man konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihen bedingt konvergent. Die Eigenschaften solcher Reihen werden im nächsten Abschnitt diskutiert. Die absolute Konvergenz einer Reihe lässt sich z.b. nachweisen durch Vergleich mit einer bekannten Reihe. Satz 5.6 (Majorantenkriterium) Gilt a l b l für alle l l 0 und ist die Reihe b l konvergent, so ist die Reihe a l absolut konvergent. Man nennt die Reihe b l eine konvergente Majorante von a l. 209

15 Beispiel 5.7 Die Reihe l+( ) l l (2l ) 3 ist absolut konvergent mit konvergenter Majorante Satz 5.8 (Minorantenkriterium). l 2 Gilt 0 b l a l für alle l l 0 und ist die Reihe b l divergent, so ist auch die Reihe a l divergent. Die Reihe b l heisst divergente Minorante von a l. 20

16 Beispiel 5.9 Die Reihe l+ l divergiert mit divergenter Minorante 2l. Besonders nützlich ist oftmals der Vergleich mit der geometrischen Reihe in Form folgender Kriterien. Satz 5.20 (Quotientenkriterium) Für die Reihe a l existiere der Grenzwert α= lim l a l+ a l. Gilt α<, so ist die Reihe absolut konvergent. Gilt hingegen α>, so ist die Reihe divergent. 2

17 Bemerkung 3 a Im Fall lim l+ = l a l kann keine allgemeine Aussage gemacht werden kann. Beide Reihen l 2 und erfüllen nämlich diese Bedingung, aber die linke Reihe ist konvergent und die rechte divergent. Ein weiteres nützliches Kriterium ist das Wurzelkriterium. Satz 5.2 (Wurzelkriterium) Für die Reihe a l existiere der Grenzwert α := lim l l a l. l Gilt α<, so ist die Reihe absolut konvergent. Gilt hingegen α>, so ist die Reihe divergent. 22

18 Bemerkung 4 Die Beispiele von vorher, und l 2 l, zeigen, dass wiederum im Fall lim l l a l = keine allgemeine Aussage gemacht werden kann. Beispiel 5.22 Die Exponentialreihe konvergiert für jedes x R absolut. Die Reihe lq l ist für q < absolut konvergent. Für q ist die Reihe lq l divergent. x l l! 23

19 Kapitel 5.3 Bedingte Konvergenz 24

20 Definition 5.23 (alternierende Reihen) Eine Reihe ( )l a l, bei der die Glieder a l eine strikt monoton fallende Nullfolge bilden, d.h. mit a l > a l+ > 0 und lim a l = 0, l heisst alternierend. Satz 5.24 (Leibnizsches Konvergenzkriterium) Eine alternierende Reihe ( )l a l ist konvergent. Ausserdem ist der Abbruchfehler stets kleiner gleich dem ersten vernachlässigten Glied, d.h. l=n+ ( )l a l a n+. Beispiel 5.25 Die Reihe ( ) l+ /l ist alternierend und heisst alternierende harmonische Reihe. Sie konvergiert nach Satz

21 Bemerkung 5 Beim Rechnen mit bedingt konvergenten Reihen ist Vorsicht geboten, wie folgendes Beispiel zeigt. s = s 2 = 2 4 s+ 2 s = 3s 2 = Die untenstehende Reihe besteht aus den gleichen Gliedern, wie die alternierende harmonische, nur erscheinen die Glieder in anderer Reihenfolge. Offenbar hat sich der Wert dieser Reihe durch Umordnen der Glieder um den Faktor 3 2 vergrössert! 26

22 Ohne Beweis geben bemerken wir noch die folgenden Resultate: Satz 5.26 (Riemannscher Umordnungssatz) Durch Umordnen der Glieder kann jede reelle, bedingt konvergente Reihe jede reelle Summe annehmen oder sogar divergent gemacht werden. Zum Glück ist dies nicht der Fall bei absolut konvergenten Reihen, die sich in vielerlei Hinsicht ähnlich wie endliche Summen verhalten. Satz 5.27 (Umordnung absolut konvergenter Reihen) Es sei a l eine absolut konvergente Reihe mit Summe s. Dann können die Summanden der Reihe beliebig umgeordnet werden ohne dass sich sich das Konvergenzverhalten der Reihe ändert. 27

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele

Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Kapitel 4. Reihen 4.1. Definition und Beispiele Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a ν = a 0 + a 1 + a 2 +... eine Reihe; die einzelnen a ν sind die Glieder dieser Reihe. Um

Mehr

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 8. Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016 G. Matthies Ingenieurmathematik

Mehr

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 + 8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die

Mehr

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10.1 Majoranten- und Minorantenkriterium 10.3 Wurzelkriterium 10.4 Quotientenkriterium 10.9 Riemannscher Umordnungssatz 10.10 Äquivalenzen zur absoluten

Mehr

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n) 2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C 2.1.1 Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt

Mehr

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die 3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch

Mehr

Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008

Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008 Ferienkurs Analysis 1, SoSe 2008 Unendliche Reihen Florian Beye August 15, 2008 1 Reihen und deren Konvergenz Definition 1.1. Eine reelle bzw. komplexe Reihe ist eine unendliche Summe über die Glieder

Mehr

Folgen und Reihen. 1 Konvergenz

Folgen und Reihen. 1 Konvergenz Folgen und Reihen Man betrachte viele Zahlen hintereinander geschrieben. Solche Folgen von Zahlen können durch nummeriert werden. Es entsteht eine Zuordnung der natürlichen Zahlen zu den Gliedern der Folge.

Mehr

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt.

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt. 7 KONVERGENTE FOLGEN 35 und die größe untere Schranke mit bezeichnet haben. inf M = Infimum von M Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt der Limes superior der Folge, und lim

Mehr

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß.

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N.Dannwirdder Grenzwert der Teilfolge (a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge

Mehr

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen

n=1 a n mit reellen Zahlen a n einen 4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die

Mehr

Die alternierende harmonische Reihe.

Die alternierende harmonische Reihe. Die alternierende harmonische Reihe Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe k k + = 2 + 3 4 + konvergiert nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium, und es gilt k k + = ln2 = 06934 für den Grenzwert

Mehr

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba. Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz

Mehr

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert 4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K

Mehr

HM I Tutorien 6 und 7

HM I Tutorien 6 und 7 HM I Tutorien 6 und 7 Lucas Kunz. Dezember 207 und 8. Dezember 207 Inhaltsverzeichnis Vorwort 2 2 Theorie 2 2. Definition einer Reihe.............................. 2 2.2 Absolute Konvergenz..............................

Mehr

Absolute Konvergenz. Definition 3.8. Beispiel 3.9. Eine Reihe. a n. konvergent ist. Die alternierende harmonische Reihe aber nicht absolut konvergent.

Absolute Konvergenz. Definition 3.8. Beispiel 3.9. Eine Reihe. a n. konvergent ist. Die alternierende harmonische Reihe aber nicht absolut konvergent. Definition 3.8 Eine Reihe n=1 a n heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergent ist. a n n=1 Beispiel 3.9 Die alternierende harmonische Reihe aber nicht absolut konvergent. n=1 ( 1)n 1 n ist zwar

Mehr

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt

Mehr

Folgen und Reihen. Thomas Blasi

Folgen und Reihen. Thomas Blasi Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................

Mehr

KAPITEL 2. Folgen und Reihen

KAPITEL 2. Folgen und Reihen KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n).

Mehr

Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014

Folgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014 Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen

Mehr

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut

Mehr

6 - Unendliche Reihen

6 - Unendliche Reihen Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 1 6 Unendliche Reihen Definition 6.1 (Unendliche Reihen) Sei eine Folge aus C. Unter der unendlichen Reihe mit den Gliedern versteht man das Symbol oder Die Zahl heißt

Mehr

HM I Tutorium 5. Lucas Kunz. 24. November 2016

HM I Tutorium 5. Lucas Kunz. 24. November 2016 HM I Tutorium 5 Lucas Kunz 24. November 206 Inhaltsverzeichnis Theorie 2. Definition einer Reihe.............................. 2.2 Wichtige Reihen................................. 2.3 Limites inferior

Mehr

1 Reihen von Zahlen. Inhalt:

1 Reihen von Zahlen. Inhalt: 5 Kapitel 3 Reihen Reihen von Zahlen Inhalt: Konvergenz und Divergenz von Reihen reeller oder komplexer Zahlen, geometrische Reihe, harmonische Reihe, alternierende Reihen. Cauchy-Kriterium, absolute Konvergenz,

Mehr

Folgen und Reihen. Christoph Laabs, n s k und ist Grenzwert dieser Reihe.

Folgen und Reihen. Christoph Laabs, n s k und ist Grenzwert dieser Reihe. Folgen und Reihen Christoph Laabs, christoph.laabs@tu-dresden.de Grundlagen Eine Reihe ist darstellbar durch z. B. = a 0 + a + a 2 + a + a 4 +... Ausgesprochen wird das als Summe von von k bis Unendlich.

Mehr

Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung

Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung Marcus Jung 5.03.20 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Reihen 3. Denition.................................... 3.2 Konvergenzkriterien für Reihen........................

Mehr

D-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu. MC-Fragen Serie 1. Einsendeschluss: Freitag, der :00 Uhr

D-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu. MC-Fragen Serie 1. Einsendeschluss: Freitag, der :00 Uhr D-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu MC-Fragen Serie 1 Einsendeschluss: Freitag, der 26.09.2014 12:00 Uhr 1. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) Eine divergente Folge ist nicht

Mehr

eine reelle oder komplexe Folge ist, kann man daraus eine neue Folge {s n } n=0 konstruieren durch s n = a 0 + a a n, a k.

eine reelle oder komplexe Folge ist, kann man daraus eine neue Folge {s n } n=0 konstruieren durch s n = a 0 + a a n, a k. Analysis, Woche 7 Reihen I 7. Folgen aus Folgen Wenn a n eine reelle oder komplexe Folge ist, kann man daraus eine neue Folge s n konstruieren durch s n = a 0 + a + + a n, oder netter geschrieben s n =

Mehr

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Ferienkurs Seite 1 Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12 Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 20.03.2012 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2

Mehr

Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium

Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion 1.2 Zahlenfolgen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen 1.4 Konvergenzkriterien 1.5 Unendliche Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen 1.7 Rechnen

Mehr

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,. 2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 24. Reihen

Mathematik I. Vorlesung 24. Reihen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 24 Reihen Wir betrachten Reihen von komplexen Zahlen. Definition 24.1. Sei ( ) k N eine Folge von komplexen Zahlen. Unter der Reihe versteht

Mehr

3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67. n+1. a p und a n. beide nicht konvergent, so gilt die Aussage des Satzes 3.2.6

3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67. n+1. a p und a n. beide nicht konvergent, so gilt die Aussage des Satzes 3.2.6 3.3. KONVERGENZKRITERIEN 67 und l n+1 wiederum als kleinsten Wert, so dass A 2n+2 = A 2n+1 + l n+1 k=l n < A. Alle diese Indizes existieren und damit ist eine Folge {A k } k N definiert. Diese Folge konvergiert

Mehr

10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit

10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit 10 Aus der Analysis Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2

Mehr

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16)

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) 1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) Kapitel 7: Konvergenz und Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.

Mehr

5. Reihen. k=1 x k = s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k =0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied.

5. Reihen. k=1 x k = s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k =0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied. 5 5. Reihen Im Folgenden sei X K n oder ein beliebiger K-Vektorraum mit Norm. 5.. Definition. Es sei (x k ) Folge in X. DieFolge n s n x k n,,... der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe und wird mit

Mehr

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen

Mehr

Ferienkurs Analysis 1

Ferienkurs Analysis 1 Skript Ferienkurs Analysis 1 Fabian Hafner und Thomas Baldauf TUM Wintersemester 2016/17 04.04.2017 Das Skript wurde teilweise übernommen vom Skript des Ferienkurses WS 2014, verfasst von Andreas Wörfel.

Mehr

Folgen und Reihen. Kapitel Zahlenfolgen

Folgen und Reihen. Kapitel Zahlenfolgen Kapitel 2 Folgen und Reihen 2. Zahlenfolgen Definition. Eine Folge reeller Zahlen a 0,a,a 2,..., die gewonnen wird durch eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl n N genau eine reelle Zahl a n zuordnet,

Mehr

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2

Mehr

Reihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Reihen. Kapitel 3. Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 3 Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 160 / 543 Inhalt Inhalt 3 Reihen Absolute Konvergenz Potenzreihen Elementare Funktionen Anwendung:

Mehr

4 Reihen und Finanzmathematik

4 Reihen und Finanzmathematik 4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei

Mehr

Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD

Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 6 Folgen Konvergenzkriterien Reihen Potenzreihen 2322004 Gerd Rapin grapin@mathuni-goettingende Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung

Mehr

Unendliche Reihen. D.h. Die Summe einer unendlichen Reihe ist der Grenzwert der Folge der Partialsummen.

Unendliche Reihen. D.h. Die Summe einer unendlichen Reihe ist der Grenzwert der Folge der Partialsummen. Unendliche Reihen Wegen der elementaren Eigenschaften der Zahlen ist lar, was unter einer endlichen Summe von Zahlen a + a 2 +... + zu verstehen ist. Vorderhand ist noch nicht erlärt, was unter einer unendlichen

Mehr

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

GRUNDLAGEN MATHEMATIK Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen Mathematik

Mehr

Das Newton Verfahren.

Das Newton Verfahren. Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren

Mehr

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9.2 Konvergenz von Reihen 9.5 Monotoniekriterium für Reihen 9.6 Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen 9.9 Rechenregeln für konvergente Reihen 9.10 Absolute

Mehr

Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe. 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe. 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya Folgen und Reihen: Beispiele Unter dem Bildungsgesetz einer unendlichen Reihe n i= versteht man einen funktionalen Zusammenhang

Mehr

Kapitel 4 Folgen und Reihen

Kapitel 4 Folgen und Reihen Kapitel 4 Folgen und Reihen Inhalt 4.1 4.1 Konvergenzkriterien für für Folgen 4.2 4.2 Reihen 4.3 4.3 Achilles und und die die Schildkröte Seite 2 4.1 Konvergenzkriterien für Folgen Wiederholung (vgl. (vgl.

Mehr

4. Reihen. Im Folgenden sei K = R oder K = C und (x k ), (y k ),... Folgen in K Definition. Wir schreiben. x k = s. und sagen, die Reihe

4. Reihen. Im Folgenden sei K = R oder K = C und (x k ), (y k ),... Folgen in K Definition. Wir schreiben. x k = s. und sagen, die Reihe 9 4. Reihen Im Folgenden sei K R oder K C und (x k ), (y k ),... Folgen in K. 4.. Definition. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.

$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +. Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Hochschule Darmstadt FB Mathematik und Naturwissenschaften Wirtschaftsmathematik für die Betriebswirtschaftslehre (B.Sc.) Sommersemester 207 Adam Georg Balogh Dr. rer. nat. habil. Adam Georg Balogh E-mail:

Mehr

Mathematik I - Woche 10

Mathematik I - Woche 10 Mathematik I - Woche 0 Philip Müller Reihen. Was ist eine Reihe Wir hatten bis jetzt Folgen. Eine Folge (a n ) n N ist eine Vorschrift, die von den natürlichen Zahlen, in die reellen Zahlen abbildet. Ein

Mehr

Kapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen

Kapitel 3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen Kapitel 3 Folgen und Reihen 3. Folgen 3.2 Cauchy Folgen 3.3 Unendliche Reihen 3.4 Absolut konvergente Reihen 3.5 Multiplikation von Reihen 3.6 Potenzreihen 3. Folgen In diesem gesamten Abschnitt bezeichnen

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

Modul Grundbildung Analysis WiSe 10/11. A.: Wurde in diesem Kapitel behandelt. C.: Weitere Fragen (Nicht nur für die Klausur interessant)

Modul Grundbildung Analysis WiSe 10/11. A.: Wurde in diesem Kapitel behandelt. C.: Weitere Fragen (Nicht nur für die Klausur interessant) Modul Grundbildung Analysis WiSe 10/11 Im Folgenden bedeutet A: Wurde in diesem Kapitel behandelt B: Interessante Aufgaben C: Weitere Fragen (Nicht nur für die Klausur interessant) V1 Konvergenz, Grenzwert

Mehr

Folgen und Reihen. Beschränkte Folge: Es gibt eine Zahl c = const.

Folgen und Reihen. Beschränkte Folge: Es gibt eine Zahl c = const. Folgen und Reihen Folgen: Def.: Eine Abbildung a N K, n a(n) := a n (K = R C) wird Zahlenfolge genannt. Sie heißt reelle (komplexe) Zahlenfolge, falls K = R(C) ist. Symbole: a n K: Elemente der Folge,

Mehr

Konvergenz von Folgen

Konvergenz von Folgen " Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 6 Folgen Reihen 1005 Gerd Rapin Übersicht Folgen Konvergenz von Folgen Realisierung in MuPAD Reihen Eponentialfunktion Logarithmus Sinus Cosinus

Mehr

Folgen und Reihen. Kapitel Folgen und Grenzwerte

Folgen und Reihen. Kapitel Folgen und Grenzwerte Kapitel 3 Folgen und Reihen Wie bereits in der Einleitung angedeutet, beschäftigt sich die Analysis sehr stark mit Grenzprozessen. Wir werden in diesem Kapitel die wichtigsten Grenzprozesse, nämlich die

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 0/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale) Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe

Mehr

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007

Folgen und Reihen. Katharina Brazda 9. März 2007 Katharina Brazda 9. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2 1.1 Definition von Folgen - explizite und rekursive Darstellung.............. 2 1.2 Wachstumsverhalten von Folgen - Monotonie und Beschränktheit..........

Mehr

Spickzettel Mathe C1

Spickzettel Mathe C1 Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine

Mehr

4 Reihen. s n = a 1 + a 2 + + a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben.

4 Reihen. s n = a 1 + a 2 + + a n = Die Folge (s n ) n N der Partialsummen heißt eine (unendliche) Reihe und wird auch als a k. k=1. )n N geschrieben. 4 Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei (a k ) k N eine Folge. Wir definieren

Mehr

c < 1, (1) c k x k0 c k = x k0

c < 1, (1) c k x k0 c k = x k0 4.14 Satz (Quotientenkriterium). Es sei (x k ) Folge in K. Falls ein k 0 existiert, so dass für k k 0 gilt x k 0 und x k+1 x k c < 1, (1) so ist x k absolut konvergent. Beweis. Aus (1) folgt mit vollständiger

Mehr

Folgen und Reihen. Mathematik I für Chemiker. Daniel Gerth

Folgen und Reihen. Mathematik I für Chemiker. Daniel Gerth Folgen und Reihen Mathematik I für Chemiker Daniel Gerth Überblick Folgen und Reihen Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Folgen und Reihen versteht; Was man unter Grenzwert von Folgen und Reihen versteht;

Mehr

V.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte

V.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte V.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte S. 108 110 A. Bereits bekannt: Folge Extrem wichtig: Grenzwert bzw. Konvergenz: a n a oder lim n a n = a : ε R, ε > 0 n 0 N : a n a < ε n n 0 Begriffe: Fast

Mehr

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. 7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der

Mehr

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 3. Übung Übersicht

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 3. Übung Übersicht ANALYSIS I FÜR TPH WS 206/7 3. Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel 5 und 6 Aufgabe : Untersuchung von Reihen mittels Konvergenzkriterien Aufgabe 2: Konvergenz und Berechnung von Reihen I Aufgabe 3: ( )

Mehr

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Fragen und Antworten Folgen und Reihen (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Reihen 2 1.1 Fragen............................................... 2 1.1.1 Folgen...........................................

Mehr

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ 2.0.-28.0. Aufgabe G (Grenzwertberechnung)

Mehr

Folgen und Reihen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Folgen und Reihen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Folgen und Reihen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-0062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Folgen Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung f : N R. Statt f (n) schreibt man

Mehr

Folgen und Reihen. Zahlenfolgen , ,

Folgen und Reihen. Zahlenfolgen , , 97 Wegener Math/5_Reihen Mittwoch 04.04.2007 8:38:52 Folgen und Reihen Zahlenfolgen Eine Zahlenfolge a besteht aus Zahlen a,a 2,a 3,a 4,a 5,... Die einzelnen Zahlen einer Folge heißen Glieder oder Terme.

Mehr

Konvergenzbegriffe und Konvergenzkriterien

Konvergenzbegriffe und Konvergenzkriterien Kapitel 4 Konvergenzbegriffe und Konvergenzkriterien 4. Konvergenz reeller Zahlenfolgen Im Abschnitt 2.5 haben wir bereits den Begriff des Grenzwerts einer Folge eingeführt und Rechenregeln für Folgengrenzwerte

Mehr

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden

Mehr

Rechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration.

Rechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration. Rechenoperationen mit Folgen. Die Menge aller Folgen in V bildet einen Vektorraum, V N, für den die Addition und skalare Multiplikation wie folgt definiert sind. (a n ) n N + (b n ) n N := (a n + b n )

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 17 Potenzreihen Definition 17.1. Es sei (c n ) n N eine Folge von reellen Zahlen und x eine weitere reelle Zahl. Dann heißt

Mehr

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert Reihenentwicklungen Herbert Paukert 1 REIHENENTWICKLUNGEN Eine kurze Einführung Herbert Paukert [1] Reihen mit konstanten Gliedern [2] Potenzreihen [3] Reihenentwicklung von Funktionen Reihenentwicklungen

Mehr

3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen

3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen 3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N} Beweis: Sei a n ) n N nach oben

Mehr

Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen

Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Mathematisches Seminar Analysis I - Einige Lösungen und Ergänzungen von Dipl.-Math. Joscha Prochno Dipl.-Math. Dennis

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Oliver Matte Max Lein Zentralübung Mathematik für Physiker 2 Analysis ) Wintersemester 200/20 Lösungsblatt 5 2..200) 32. Häufungspunkte Sei a

Mehr

Konvergenz und Stetigkeit

Konvergenz und Stetigkeit Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 10. Dezember 2012 Konvergenz Definition Fourierreihen Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn es ein

Mehr

Konvergenz und Stetigkeit

Konvergenz und Stetigkeit Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 10. Dezember 2008 Konvergenz Definition Fourierreihen Obertöne Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn

Mehr

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5 3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber

Mehr

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Analysis I. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching March 5, 07 Erinnerung (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z

Mehr

1 Folgen und Stetigkeit

1 Folgen und Stetigkeit 1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt

Mehr

Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Kapitel 8 Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Der in Definition 7. eingeführte Begriff einer Folge ist nicht auf die Betrachtung reeller Zahlen eingeschränkt und das Beispiel {a n } = {x

Mehr

Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen

Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen. Definition des Konvergenzbegriffs Eine Folge reeller Zahlen a n n heißt konvergent gegen a in Zeichen a n = a, falls gilt > 0 n 0 n n 0 : an a < Hinweise: Bei

Mehr

Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV

Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV Vorkurs Mathematik Herbst 009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil IV. Folgen und die Konstruktion von R Im vorherigen Kapitel haben wir Z und Q über (formale) Lösungsmengen von Gleichungen der Form

Mehr

Folgen. Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung. dann als. notiert, und das wird abgekürzt mit. nennt man die Folgenglieder.

Folgen. Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung. dann als. notiert, und das wird abgekürzt mit. nennt man die Folgenglieder. Folgen Eine (unendliche) (Zahlen)folge ist eine Abbildung Statt dann als schreibt man auch oder ähnlich, die Folge wird notiert, und das wird abgekürzt mit. Die nennt man die Folgenglieder. Mathematik

Mehr

Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C

Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C 5.10. Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0

Mehr

In diesem Kapitel werden wir Reihen untersuchen. Die Konvergenz von Reihen mit Hilfe der Konvergenz der Teilsummenfolge definiert.

In diesem Kapitel werden wir Reihen untersuchen. Die Konvergenz von Reihen mit Hilfe der Konvergenz der Teilsummenfolge definiert. Kapitel 3 Reihen In diesem Kapitel werden wir Reihen untersuchen. Die Konvergenz von Reihen mit Hilfe der Konvergenz der Teilsummenfolge definiert. Inhaltsangabe 3. Konvergenz von Reihen..................

Mehr

Höhere Mathematik II. (Vorlesungskript)

Höhere Mathematik II. (Vorlesungskript) Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Universität der Bundeswehr München Höhere Mathematik II (Vorlesungskript) Univ. Prof. Dr. sc. math. Kurt Marti 2 2 L

Mehr

Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Konvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,

Mehr

$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.

$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade. $Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2015/16 Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Grundlagentest Polynome! Testfrage: Polynome 1 Die Summe

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 8 10. November 2009 Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen Definition 27. Eine (reelle bzw. komplexe) Zahlenfolge ist eine R- bzw. C-wertige

Mehr