10. Übungsblatt zur Einführung in die Stochastik

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1 Fachbereich Mathematik rof. Dr. Michael Kohler Dipl.-Math. Adreas Fromkorth Dipl.-If. Jes Mehert SS Übugsblatt zur Eiführug i die Stochastik Aufgabe 38 (3 ukte Die Zufallsvariable X,..., X seie uabhägig idetisch auf θ,2θ gleichverteilt, d.h. sie sid uabhägig ud besitze (jeweils eie Dichte f θ : R R + mit { θ für θ x 2θ, f θ (x 0 für x θ,2θ. Hierbei ist θ R + ei arameter der Dichte f θ. (a Zeige Sie, dass der Schätzer T (X,...,X 2 3 ei erwartugstreuer Schätzer für θ ist. (b Ist der Schätzer i a auch stark kosistet? Begrüde Sie ihre Atwort. Lösug: a EX R 2θ θ 3 2 θ. x f(xdx x θ dx T (X,...,X ist erwartugstreuer Schätzer für θ,da 2 E θ T (X,...,X E θ E θ X θ θ für alle θ > 0. b Der Schätzer ist auch stark kosistet, da ach dem Gesetz der große Zahle gilt: für alle θ > 0. T (X,...,X f.s. 2 3 E θ(x θ

2 0. Übug Eiführug i die Stochastik Aufgabe 39 (3 ukte Die zufällige Lebesdauer eier Leuchtstoffröhre hägt icht vo der gesamte Bredauer, soder ur vo der Azahl der Ei ud Ausschaltvorgäge ab. Die Wahrscheilichkeit, dass eie Röhre beim k te Eischaltvorgag ausfällt, sei p k ( p (k N, wobei der arameter p (0, als Maß für die Güte der Röhre agesehe werde ka. I eier Glühlampefabrik wird die Qualität der produzierte Röhre dadurch kotrolliert, dass Röhre uabhägig voeiader durch Relais städig ei ud ausgeschaltet werde. Dabei wird registriert, wa die eizele Röhre ausfalle. Das Ergebis dieser Versuche sei k,..., k N, d.h. die i te Röhre ist beim te Eischaltvorgag ausgefalle. Bestimme Sie durch Awedug des Maximum Likelihood rizips eie Schätzug des arameters p ausgehed vo k,..., k. Lösug: Wahrscheilichkeit, dass die Röhre beim k-te Versuch ausfällt, beträgt p k ( p Maximum-Likelihood Schätzer: Es gilt p(k,...,k argmax p (0, X k,...,x k X k,...,x k Uabhägigkeit p ( p ( p p ( wobei die Maximierug dieses Ausdrucks äquivalet zur Maximierug vo ( L(p log( p + log p. Es gilt da L (p p + wobei dieser Ausdruck gerade Null ist, falls «p p+ p +p p( p, p ( p p p 0 Wir erhalte somit als Maximum-Likelihood Schätzer vo p p(k,...,k., 2

3 0. Übug Eiführug i die Stochastik Aufgabe 40 (3 ukte Ei Fluguterehme möchte die zufällige Azahl X der ersoe, die ach Erwerb eies Flugtickets icht (rechtzeitig zum Abflug erscheie, stochastisch modelliere. Nimmt ma a, dass bei 240 verkaufte Flugtickets jede eizele erso, die ei Flugticket erworbe hat, ubeeiflusst vo de adere Käufer der Flugtickets mit Wahrscheilichkeit p 0, icht zum Abflug erscheit, so ist die zufällige Zahl X der icht zum Abflug erscheiede ersoe biomialverteilt mit arameter 240 ud p, d.h. ( X k p k k ( p k (k {0,,...,}. Bei de letzte zeh Abflüge sid x 0,x 2 6,x 3 5,x 4,x 5 2,x 6 5,x 7 6,x 8 6,x 9,x 0 3 der jeweils 240 ersoe, die ei Flugticket gekauft hatte, icht zum Abflug erschiee. Kostruiere Sie mit Hilfe des Maximum-Likelihood-rizips ausgehed vo diese Date eie Schätzug vo p. Lösug: X sei b(240, p-vrteilt. Für de Maximum-Likelihood Schätzer p vo p muss gelte Es gilt p argmax p (0,. 0 0 ( 246 p ( p ( 240 ( p ( p ( 240 p 75 ( p Die Maximierug dieses Ausdrucks ist äquivalet zur Maximierug der Fufktio f(p p 75 ( p 2325 bzw. wege der Mootoie der Logarithmusfuktio der Maximierug vo: Es gilt u ud l(p 75log(p log( p. l (p 75 p p 2325p ( p ( p( p p ,0325 l (325 0 ud somit hat l eie Maximalstelle i 0,0325. Als ML-Schätzer erhalte wir daher p 0,0325. Aufgabe 4 (3 ukte Wirtschaftswisseschaftler W. möchte die Dauer vo Arbeitslosigkeit stochastisch modelliere. Dazu beschreibt er sie durch eie exp(λ Verteilug, d.h. durch eie Verteilug, die eie Dichte f : R R + besitzt mit { λ e λ x für x 0, f(x 0 für x <

4 0. Übug Eiführug i die Stochastik Um de ubekate arameter λ > 0 zu schätze, lässt er sich vom Arbeitsamt für vier zufällig herausgegriffee Arbeitslose ermittelte, dass diese geau x 2 bzw. x 2 2 bzw. x 3 8 bzw. x 4 8 Moate ach Verlust ihres bisherige Arbeitsplatzes eie eue Arbeitsstelle gefude habe. (a Kostruiere Sie de Maximum Likelihood Schätzer für λ ud gebe Sie a, was ma im Falle der obige Stichprobe als Schätzug für λ erhält. (b Zeige Sie, dass der Schätzer ei stark kosisteter Schätzer für λ ist. T (X,...,X Lösug: X,...,X exp(λ-verteilt, d. h. sie habe die Dichte { λ e λx,x 0 f λ (x 0,x < 0 a Für de Maximum-Likelihood Schätzer vo λ muss gelte, dass er das roduckt der Dichte bei gegebee Schätzwerte maximiert. I userem Fall heißt es, dass er defiiert ist als argmax λ>0 f λ ( argmax λ>0 λ e λxi 0, (. i argmax λ>0 λ e λ 0, (x,...,x. Dieser Ausdruck wird geau da maximal, we x,...,x > 0 ud ( log λ e λ : L(λ maximal wird. Es gilt u ud somit Weiterhi gilt L(λ log(λ λ λ L (λ λ. 0 λ ud da L (λ < 0 gilt für alle λ > 0 erhalte wir als ML-Schätzer also i userem Fall λ, λ

5 0. Übug Eiführug i die Stochastik b Nach dem starke Gesetz der große Zahle gilt: lim E(. I userem Fall sid die uabhägig idetisch exp(λ-verteilt mit Erwartugswert λ ud somit gilt lim λ ud daher auch lim λ. Also ist T (X,...,X stark kosisteter Schätzer für λ. 5