Berechnung der Leitfähigkeit ( ) Anzahl der Ladungsträger im Leitungsband

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1 8.1 Berechnung der eitfähigkeit Quantitativ wird die eitfähigkeit σ berechnet durch: adung des Elektrons Beweglichkeit der adungsträger im eitungsband ( ) σ = e µ n + µ p n Anzahl der adungsträger im eitungsband p Anzahl der Defektelektronen im Valenzband Beweglichkeit der adungsträger im Valenzband ie kommen die Elektronen bei Halbleitern eigentlich ins eitungsband und wie viele gibt es dort?

2 8. elche Zustände sind denn eigentlich besetzt?

3 8. elche Zustände sind denn eigentlich besetzt? ( 0 ) im Prinzip sollte das Ganze ähnlich wie beim Atom erfolgen - Besetzung von unten nach oben -...wie viele Elektronen kann man in ein Band hineinsetzen? Uns hilft: Bloch-Elektronen verhalten sich an den Bandextrema so ähnlich wie freie Elektronen, allerdings mit einer anderen Masse. Betrachten wir also den Fall von quasifreien Elektronen in einem (makroskopischen) ürfel der Kantenlänge

4 8.4 Parabelnäherung Direkter Halbleiter z.b. GaAs Indirekter Halbleiter z.b. Si, Ge ie sieht das dann konkret im Fall von parabolischen Bändern aus? Hier ist der Bezugspunkt für die Energie das Minimum des eitungsbandes bzw. das Maximum des Valenzbandes V.

5 8.5 Zustandsdichte : Badewannen-Analogie Höhe ie viel asser ist in einer Badewanne, die bis zur Höhe von 0 cm über dem Boden gefüllt ist? ie viele iter passen in die nächsten 10 cm? Die Antwort hängt von der Form der Badewanne ab! Integrieren ergibt Gesamtwassermenge. iter asser pro cm Höhe

6 8.6 Zustandsdichte in Kristallen Die assermenge in einer bis zu einer bestimmten Höhe gefüllten Badewanne hängt von der Form der Badewanne ab. Genauso hängt die Anzahl der adungsträger in einem bis zu einer bestimmten Energie gefüllten Band von der Form der Bandstruktur ab. Die Anzahl der erlaubten Zustände pro Volumeneinheit und pro Energieintervall ist durch die Zustandsdichte g() gegeben. Höhe iter asser pro cm Höhe g()

7 8.7 siehe Tafelanschrieb

8 8.8 Zustandsdichte in der Parabelnäherung In der Parabelnäherung verhalten sich Elektronen im B quasifrei mit der effektiven Masse m n. Ihre Zustandsdichte ist gegeben durch: ( m ) 4π e g( ) = h In der Parabelnäherung verhalten sich öcher im VB quasifrei mit der effektiven Masse m p. Ihre Zustandsdichte ist gegeben durch: ( m ) 4π h gv( ) = V h

9 8.9 Zusammenfassung Parabolische Bänder Dispersionsrelation Zustandsdichte ( m ) 4π e g( ) = h k C( k) = G + m e G F N N V V k = m h V ( m ) 4π h gv( ) = V h g()

10 8.10 Besetzung der Bänder Bei T = 0 K sind alle Zustände im Valenzband (VB) mit Elektronen besetzt und alle Zustände im eitungsband (B) sind unbesetzt. eitfähigkeit σ = 0, da es keine beweglichen adungsträger gibt. Bei steigender Temperatur T beobachtet man, dass mehr und mehr Zustände im eitungsband besetzt sind und mehr und mehr Zustände im Valenzband frei sind. Da es mehr bewegliche Träger gibt, steigt die eitfähigkeit zunächst mit der Temperatur. ie können wir die Besetzung der Zustände berechnen??? T = 0 K T = 150 K T = 00 K B B B VB VB VB

11 8.11 ie kommen Elektronen ins B? Elektronen können vom Valenzband (VB) ins eitungsband (B) übergehen, wenn ihnen mindestens die Energie G zugeführt wird. Quantenmechanisch gesehen geht das Elektron durch Energiezufur von einem Zustand im Valenzband in einen Zustand im eitungsband über. Die Energie kann auf verschiedene Arten zugeführt werden: Thermische Energie (Stoß mit dem wackelnden Atomgitter) Elektromagnetische Strahlung Elektrische Felder B G VB x

12 8.1 Quantenstatistik arum befinden sich bei höheren Temperaturen eigentlich Elektronen in höheren Niveaus? Aus der Thermodynamik: Die Besetzung der Zustände erfolgt so, dass die freie Energie minimiert wird: F=U-TS=Min! Die innere Energie ergibt als Summe der Energie der einzelnen Elektronen: U = n i i i

13 8.1 Quantenstatistik 1 Für die Entropie gilt: S = klnp F=U-TS=Min! k=1, JK -1 = 8,61eV K -1 ist die Boltzmannkonstante Hierbei ist P die Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten. Nehmen wir an, wir hätten 6 Elektronen auf zwei Energieniveaus 1 und zu verteilen: enn alle Elektronen im Zustand 1 sind, gibt es nur eine einzige Realisierungsmöglichkeit. 1 S=0 Das ist der Zustand für T=0.

14 8.14 Quantenstatistik Der Zustand (5 e s in 1, und 1 e in ) lässt sich mehrfach realisieren. D.h. seine Entropie S=k lnp ist endlich. F=U-TS=Min! Je höher die Temperatur ist, desto stärker sorgt die damit verbundene Entropieerhöhung für eine Besetzung der höheren Zustände. Obwohl die innere Energie größer wird, wird u. U. die freie Energie kleiner!

15 8.15 siehe Tafelanschrieb!

16 8.16 Quantenstatistik Aus einer konsequenten thermodynamischen Betrachtung dieser Situation lässt sich die ahrscheinlichkeit ableiten, dass ein Zustand bei einer Energie mit einem Elektron besetzt ist. Die ahrscheinlichkeit, dass ein quantenmechanischer Zustand der Energie bei gegebener Temperatur T besetzt ist, ist F wird als Fermi- Energie bezeichnet. 1 ft (, ) = F 1+ exp( ) kt Fermi-Dirac-Verteilung

17 8.17 ft (, ) = Fermi-Dirac-Verteilung 1 F 1+ exp( ) Bei der T=0 K ergibt sich eine Stufenfunktion. kt

18 8.18 Anzahl der adungsträger Jetzt wissen wir, mit welcher ahrscheinlichkeit f() ein Zustand im thermischen Gleichgewicht mit einem Elektron besetzt ist. Um die Anzahl der adungsträger zu berechnen müssen wir nur noch wissen, wie viele Zustände es insgesamt gibt. Die Anzahl der erlaubten Zustände pro Volumeneinheit und pro Energieintervall nennt man die Zustandsdichte g(). Die Anzahl der Elektronen im eitungsband (bzw. die Anzahl der öcher im Valenzband) mit einer Energie ist im thermischen Gleichgewicht gegeben durch: n ( ) = g ( ) f( ) bzw. ( ) p( ) = gv( ) 1 f( ) Durch Integrieren über alle Energien erhält man die Gesamtzahl der adungsträger n bzw. p. B F VB x

19 8.19 Anzahl/Dichte der adungsträger Für die Anzahl der adungsträger gilt damit: th th V ( ) n = n ( d ) = g( fd ) ( ) bzw. p = p ( d ) = g( ) 1 f ( ) d V V n () g() n (), p ()

20 8.0 Berechnung der Dichte der adungsträger 1 F ffd( ) = exp = fmb( ) F kt 1+ exp kt Boltzmann scher Grenzfall der Fermi-Dirac-Verteilung Damit ergibt sich dann: ( ) ( ) 4π me F n = g( ) f( ) d = exp d h kt me F exp exp exp h kt kt kt 4π = d Jetzt kann substituiert werden: x = kt

21 8.1 Berechnung der Dichte der adungsträger ( ) 4π m n = d e F exp exp exp h kt kt kt Integrationsgrenzen: 0; d = ktdx ( ) e F 4π m n = ( kt) exp x exp ( x) dx h kt = N exp kt mit N F π mkt e = h N ist die effektive Zustandsdichte des eitungsbandes = π

22 8. Berechnung der Dichte der adungsträger Genauso kann für die Besetzung des Valenzbandes mit öchern abgeleitet werden: F p = NV exp kt mit NV V π mkt h = h N V ist die effektive Zustandsdichte des Valenzbandes -Beschreibung des Halbleiters durch zwei effektive Niveaus mit entsprechend großer Zustandsdichte -Besetzung erfolgt mit einem Boltzmann-Faktor. - allerdings ist N,V kein echter Materialparameter, da T-abhängig

23 8. Der intrinsische Halbleiter Multiplikation ergibt: F V F np = N exp NV exp = kt B kt B V F + F G = NN V exp = NN V exp kt B kt B mit = G V D.h. Elektronen- und ochkonzentration stellen sich ein nach einer Art Massenwirkungsgesetz! Für den intrinsischen Halbleiter gilt: ρ(), ni = pi = NNV exp G kt B

24 8.4 Eigenleitungsträgerdichte Da im Halbleiter Elektronen im B und öcher im VB paarweise entstehen gilt: nth = pth = ni n i nennt man die Eigenleitungsträgerdichte. Berechnung des Produktes ergibt: G nthpth = n ( T) = N exp i NV kt Die adungsträgeranzahl n i im thermischen Gleichgewicht hängt vom Bandabstand G, den effektiven Massen der Bänder und der Temperatur ab. Beispiele für Eigenleitungsträgerdichten bei Zimmertemperatur (T=9 (00) K): Ge : n =.4 10 i Si : n = i InP : n = i 1 10 GaAs : n = i cm cm cm 8 cm 8

25 8.5 Temperaturabhängigkeit von n i Für T = 9 K (Raumtemperatur) ist th = kt = 5 mev. G 1 ev = 40 th. G nthpth = n ( T) = N exp i NV kt Source:[]