X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum

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1 X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum 173 X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum In Abwesenheit von Quellen, ρ el. = 0 j el. = 0, nehmen die Bewegungsgleichungen (X.9) (X.11) für die elektromagnetischen Felder oder (X.21) für die Potentiale in Lorenz-Eichung die gleiche Form an, zwar im Vakuum E(t, r) = 0 B(t, r) = 0; Φ(t, r) = 0 A(t, r) = 0 (in Lorenz-Eichung). Zur Umschreibung einiger Gleichungen führt man eine positive Zahl c gemäß (X.29a) (X.29b) c 2 1 ɛ 0 µ 0 (X.29c) ein. Dann wird der d Alembert-Operator (X.10) zu 1 c 2 2 t 2 +. (X.29d) Die Bewegungsgleichungen (X.29) sind alle der gleichen Form f(t, r) = 0, mit f einer skalaren oder vektoriellen Funktion. Die Lösungen dieser Differentialgleichung die auch in anderen Bereichen der Physik auftritt werden zunächst in X.4.1 vorgestellt. Dann werden die Ergebnisse auf den Fall des elektromagnetischen Feldes im Vakuum angewandt, wobei die Eigenschaften des Feldes einer Welle präzisiert werden ( X.4.2).

2 174 Zeitabhängige elektromagnetische Felder X.4.1 Klassische Wellengleichung Dieses Paragraph befasst sich mit der Herleitung der (genügend regulären) reellen Lösungen der (klassischen) Wellengleichung (51) f(t, r) = 0 (X.30) für skalare Funktionen f, wobei der d Alembert-Operator durch Gl. (X.29d) definiert ist. X.4.1 a Ebene Wellen Als einfaches aber wichtiges Beispiel kann man zunächst eine Lösung betrachten, die nur von z = x 3 abhängt: f(t, z). Diese ist somit unabhängig von x 1, x 2 daher konstant in der transversalen (x 1, x 2 ) Ebene, weshalb sie als ebene Welle bezeichnet wird. Unter dieser Annahme wird die klassische Wellengleichung (X.30) zur (1 + 1)-dimensionalen Differentialgleichung 1 2 f(t, z) c 2 t f(t, z) z 2 = 0. (X.31) Der Differentialoperator dieser Gleichung kann faktorisiert werden: ( z 1 )( c t z + 1 ) f(t, z) = 0. (X.32) c t Zur Lösung dieser partiellen Differentialgleichung lohnt es sich, die Variablenänderung x + z + ct, x z ct (X.33a) durchzuführen. Die entsprechende Rücktransformation zu den ursprünglichen Variablen lautet t = x+ x 2c, x = x+ + x 2 (X.33b) Die partiellen Ableitungen nach den neuen Variablen lassen sich mit Hilfe der Kettenregel durch die Ableitungen nach den alten Variablen ausdrücken, zwar x = t + x + t + z x + z = 1 ( 1 2 c t + ) (X.34a) z x = t x t + z x z = 1 ( 1 2 c t + ). (X.34b) z Dank diesen Ergebnissen lautet die Bewegungsgleichung (X.32) in den neuen Variablen d.h. 1 4 x x + f(x+, x ) = 0, 2 f(x +, x ) x x + = 0. (X.35) Die allgemeine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung ist der Form f(x +, x ) = f (x + ) + f + (x ) mit f f + zwei beliebigen Funktionen einer einzigen reellen Variablen. Kommt man zu den ursprünglichen Variablen t, z zurück, so lautet die allgemeine Lösung der Gl. (X.31) f(t, z) = f (z + ct) + f + (z ct). (X.36) (51) Gleichung (X.30) wird oft als die Wellengleichung bezeichnet. Man findet aber auch andere partielle Differentialgleichungen mit zeit- ortsabhängigen Lösungen, die als Wellen bezeichnet werden z.b. für Schwerewellen in Flüssigkeiten, Stoßwellen in Fluiden, oder Wellenfunktionen in der Quantenmechanik. Deshalb wird hier die Bezeichnung klassische Wellengleichung verwendet.

3 X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum 175 Dieses mathematische Ergebnis lässt sich einfach interpretieren. Betrachte man beispielsweise die Funktion f + (z ct): sie nimmt den gleichen Wert für alle Raumzeitpunkte (t, z) an, für welche z ct einen konstanten Wert hat. Somit bleibt das Profil entlang der z-achse des durch f modellierten Signals zur Zeit t = t 0 global unverändert zu einem späteren Zeitpunkt t 1 ; es wird jedoch in positive z-richtung um z = c(t 1 t 0 ) verschoben, entsprechend einer Ausbreitung des Signals mit Geschwindigkeit +c. Wiederum modelliert der Term f ein Signal, das sich in negative z-richtung mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c will man die Richtung auch in der Geschwindigkeit berücksichtigen, c fortpflanzt. Solche sich ausbreitenden Signale werden als Wellen bezeichnet. (51) Dann ist die allgemeine Lösung (X.36) eine Superposition von rechts- linkslaufenden ebenen Wellen. Bemerkung: Genauer handelt es sich bei den durch f oder f + beschriebenen Signalen um fortschreitende Wellen. Betrachtet man aber den Fall mit f = f +, so breitet sich die resultierende Welle f nicht mehr aus: es handelt sich um eine stehende Welle. X.4.1 b Allgemeine Lösung Um die allgemeine Lösung der klassischen Wellengleichung (X.30) herzuleiten, ist es günstig, die Fourier-Darstellung der räumlichen Abhängigkeit von f(t, r) einzuführen. Somit kann man f(t, r) = f(t, k) e i k r d 3 k (X.37a) schreiben, wobei die räumlich Fourier-transformierte Funktion f(t, k) durch f(t, k) = f(t, r) e i k r d 3 r (X.37b) gegeben ist. Unter Verwendung der Identität (e i k r ) = i k e i k r wird die klassische Wellengleichung (X.30) angewandt auf die Darstellung (X.37a) zu [ 1 2 f(t, ] k) c 2 t 2 k 2 f(t, k) e i k r d 3 k = 0, wobei Integration über k Ableitung nach der Zeit t oder nach den Ortskoordinaten r ausgetauscht wurden. Nach inverser Fourier-Transformation soll der Term in den eckigen Klammern verschwinden. Definiert man ω k c k, (X.38) so ergibt sich für jeden Wellenvektor k die Differentialgleichung 2 f(t, k) t 2 + ω 2 k f(t, k) = 0. (X.39a) Man erkennt die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators mit Kreisfrequenz ω k, deren allgemeinen Lösung f(t, k) = f + ( k) e iω t k + f ( k) e iω k t (X.39b) ist, mit f + ( k) f ( k) zwei beliebigen Funktionen. Wenn die gesuchte Lösung f(t, r) reell sein soll, stehen f + ( k) f ( k) in Zusammenhang miteinander. Die komplexe Konjugation der Beziehung (X.37a) lautet f(t, r) [ ] = f(t, k) e i k r d 3 k = [ ] f(t, k) e i k r d 3 k, wobei die zweite Gleichung aus der Substitution k k folgt. f(t, r) is reellwertig, wenn f(t, r) =

4 176 Zeitabhängige elektromagnetische Felder f(t, r), d.h. nach Vergleich des letzten Terms in der obigen Gleichung mit der rechten Seite von Gl. (X.37a), wenn f(t, k) = f(t, k) für alle t k. Angewandt auf die Lösung (X.39b) lautet diese Bedingung f + ( k) e iω k t + f ( k) e iω k t = [ f+ ( k) ] e iω k t + [ f ( k) ] e iω k t, d.h. nach Identifizierung der Terme in e iω k t f ( k) = [ f+ ( k) ] k. (X.40) Die Terme in e iω t k führen zur gleichen Bedingung. Setzt man schließlich die Lösung (X.39b) der Gl. (X.39a) in die Fourier-Darstellung (X.37a), so lautet die letztere [ f(t, r) = f+ ( k) e iω t k + f ( ) e iω k t e i k r d 3 k [ = f+ ( k) e i(ω k t k r) + f ( ) e i(ω k t k r) d 3 k, wobei die Substitution k k unter Berücksichtigung von ω k = ω k im zweiten Summanden des [ Integranden des letzten Integrals gemacht wurde. Ersetzt man in jenem Term f ( k) durch f+ ( k) ], wie aus Bedingung (X.40) folgt, so sieht man, dass der Term genau komplex konjugiert zum ersten Summanden ist. Unter Einführung der Notation a( k) 2 f + ( k) ergibt sich somit für die allgemeine reelle Lösung der klassischen Wellengleichung (X.30) f(t, r) = Re a( k) e i(ω t k k r) d 3 k ]. (X.41) Somit lässt sich die allgemeine Lösung als Superposition von (unendlich vielen) ebenen Wellen a( k) e i(ω k t k r) schreiben. Dabei heißt die Beziehung (X.38) zwischen Kreisfrequenz ω k Wellenvektor k dieser ebenen Wellen Dispersionsrelation. Das Verhältnis c ϕ ( k) ω k / k ist die Phasengeschwindigkeit der Welle mit Wellenvektor k wobei im Fall der klassischen Wellengleichung (X.30) c ϕ ( k) = c für alle k. Bemerkung: Die komplexe Amplitude a( k) C lässt sich prinzipiell durch die Angabe von Anfangsbedingungen f(t=0, r) f(t=0, r)/ t festlegen. X.4.2 Elektromagnetische Wellen X.4.2 a Elektromagnetische Potentiale Gemäß den Ergebnissen des vorigen X.4.1 lauten die allgemeinen Lösungen der Bewegungsgleichungen (X.29b) für die elektromagnetischen Potentiale im Vakuum Φ(t, r) = Re a( k) e i(ω k t k r) d 3 (X.42a) A(t, r) = Re b( k) e i(ω k t k r) d 3 mit beliebigen a( k) C b( k) C 3 mit der Dispersionsrelation ω k c k. Dabei sollen Φ A die Lorenz-Eichbedingung (X.16) erfüllen: ( [ 1 Φ(t, r) c 2 + t A(t, r) = Re iω ] k c 2 a( k) + i k b( k) e i(ω k t k r) d 3 ) k = 0. (X.42b) (X.42c)

5 X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum 177 Die elektromagnetischen Potentiale Φ A können noch über die Eichtransformation (X.14) durch äquivalente Potentiale Φ A ersetzt werden, die ebenfalls der Lorenz-Bedingung genügen, solange die Funktion χ der Transformation die Gleichung (X.17) d.h. die klassische Wellengleichung erfüllt. Mit gelten χ(t, r) = Re Φ (t, r) = Φ(t, r) χ(t, r) t d( k) e i(ω k t k r) d 3 [ = Re( a( ] k) + iω k d( k) e i(ω k t k r) d 3 ) k ( [ b( A (t, r) = A(t, r) + χ(t, r) ] = Re k) + i kd( k) e i(ω k t k r) d 3 ) k. Eine besonders geeignete Wahl ist d( k) = ia( k)/ω k für jeden k, die zum einfachen Skalarpotential Φ (t, r) = 0 (X.43a) führt. Wiederum lautet das entsprechende Vektorpotential A (t, r) = Re ε( k) e i(ω k t k r) d 3, (X.43b) wobei der Polarisationsvektor ε( k) durch ε( k) b( k) + i kd( k) = b( k) a( k) k ω k gegeben ist. Dabei kann noch ε( k) reell oder komplex sein. Eine Einschränkung über den Polarisationsvektor folgt aus der Eichbedingung. Mit Φ (t, r) = 0 wird die Lorenz-Eichbedingung automatisch zur Coulomb-Eichbedingung (X.15) A (t, r) = Re i ε( k) k e i(ω k t k r) d 3 = 0. Diese Bedingung ist nur dann erfüllt, wenn ε( k) k = 0 (X.44) für jeden Wellenvektor k, d.h. wenn der Polarisationsvektor senkrecht auf die Ausbreitungsrichtung der entsprechenden ebenen Welle ist. Somit sind elektromagnetische Wellen im Vakuum transversal polarisiert. X.4.2 b Elektrisches magnetisches Feld Setzt man die elektromagnetischen Potentiale (X.43) in die Beziehungen (X.12) (X.13), so lauten die entsprechenden elektrischen magnetischen Felder E(t, r) = A (t, r) = Re iω k ε( t k) e i(ω k t k r) d 3 (X.45a) B(t, r) = A (t, r) = Re i k ε( k) e i(ω k t k r) d 3. (X.45b) Betrachte man eine monochromatische ebene Welle, d.h. eine Lösung mit nur einem einzigen Wellenvektor: ε( k) = N ε( k 0 ) δ (3)( k k0 ) mit N einer unwesentlichen Normierungskonstanten. Dann gelten

6 178 Zeitabhängige elektromagnetische Felder E(t, r) = Re [iω k0 ε( k 0 ) e i(ω k0 t ] [ k 0 r) B(t, r) = Re i k 0 ε( k 0 ) e i(ω k0 t 0 r). Auf diesen Felder erkennt man die folgenden Eigenschaften. Erstens sind E(t, r) B(t, r) automatisch senkrecht aufeinander E(t, r) B(t, r) = 0. Dann sind E(t, r) B(t, r) beide senkrecht zur Bewegungsrichtung k 0 (X.46) k0 E(t, r) = k 0 B(t, r) = 0. (X.47) Schließlich gilt dank k 0 = ω k0 /c B(t, r) E(t, r) =. (X.48) c