Ferienkurs Theoretische Mechanik 2010 Lagrange Formalismus

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1 Fakultät für Physik Michael Schrapp Technische Universität München Vorlesung Ferienkurs Theoretische Mechanik 2010 Lagrange Formalismus Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 2 Generalisierte Koordinaten und Koordinatensysteme 2 3 Langrange-Gleichungen 2.Art 3 4 Lagrange-Gleichungen 1. Art 6 5 Erhaltungsgrößen zyklische Koordinaten Erhaltungssätze

2 1 Motivation In der Newton schen Mechanik haben wir Systeme betrachtet, wo sich Teilchen prinzipiell durch den ganzen zugrunde liegenden Raum bewegen konnten. Bei vielen Problemen ist es oft zu aufwendig, bzw. gänzlich unmöglich alle auf ein Teilchen wirkenden Kräfte korrekt zu beschreiben oder zu erkennen, daher werden wir nun einen Formalsimus kennenlernen mit dessen Hilfe wir ohne die Kenntnis der angreifenden Kräfte Bewegungsgleichungen aufstellen und lösen können. 2 Generalisierte Koordinaten und Koordinatensysteme Um mechanische Systeme zu beschreiben, ist es oft sinnvoll, sich von den üblichen kartesischen Koordinaten zu verabschieden, und sogenannte generalisierte Koordinaten q i zu verwenden, die nicht unbedingt die Dimension einer Länge haben müssen. Die zeitliche Änderung dieser Koordinaten q i bezeichnet man als generalisierte Geschwindigkeiten. Kennt man zu jedem Zeitpunkt gleichzeitig jede Koordinate und ihre Geschwindigkeit, so ist das System vollständig beschrieben. Grundsätzlich hat man genauso viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade, egal wie sie gewählt sind. Es gibt immer eine Transformation zwischen den kartesischen und den generalisierten Koordinaten: r 1 = r 1 (q 1,..., q n, t).. r N = r N (q 1,..., q n, t) Im folgenden betrachten wir die wichtigsten Koordinaten-Transformationen, die dazugehörigen zeitlichen Ableitungen sowie den Betrag der Geschwindigkeit in den neuen Koordinaten. Kugelkoordinaten x(t) = ρ sin ϕ(t) cos θ(t) (t)=sin ϕ cos θ + ρ cos ϕ ϕ cos θ ρ sin ϕ sin θ θ y(t) =ρ sin ϕ(t) sin θ(t) (t)=sin ϕ sin θ + ρ cos ϕ ϕ sin θ + ρ sin ϕ cos θ θ z(t) =ρ cos ϕ(t) (t)=cos ϕ ρ sin ϕ ϕ ebene Polarkoordinaten x(t) = ρ cos ϕ, ẋ(t) = ρ cos ϕ ρ sin ϕ ϕ y(t)=ρ sin ϕ, ẏ(t) = ρ sin ϕ + ρ cos ϕ ϕ v 2 = ẋ 2 + ẏ 2 = ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 Zylinderkoordinaten x(t) = ρ cos ϕ, ẋ(t) = ρ cos ϕ ρ sin ϕ ϕ y(t)=ρ sin ϕ, ẏ(t) = ρ sin ϕ + ρ cos ϕ ϕ z(t)=z(t) v 2 = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 + ż 2 Wir werden nun mithilfe dieser generalisierten Koordinaten im nächsten Kapitel die Euler-Lagrange Gleichung herleiten. 2

3 3 Langrange-Gleichungen 2.Art Die Euler-Lagrange-Gleichungen 2.Art lassen sich aus einem allgemeinem Prinzip ableiten, das nicht nur in der Mechanik seine Verwendung findet, sondern auch bei der Quantentheorie und manche Feldtheorien. Zu jedem mechanischen System definiert man über die gesamte Bahn der Bewegung ein Funktional S, das man Wirkung nennt. S := dtl(q i, q i, t) (i = 1,.., f) (1) Dabei bekommt ein Funktional eine Funktion (hier L) als Argument bildet sie auf eine Zahl ab. Das Hamilton sche Prinzip, bzw. Prinzip der kleinsten Wirkung besagt, dass ein mechanisches System sich immer so weiterentwickelt, dass die Wirkung stationär ist (z.b. minimal). In anderen Worten: Jede realisierbare Bewegung kann nur durch eine Lagrange-Funktion L beschrieben werden, für die S stationär wird. Ähnlich der Definition von Extramelpunkten verschwindet damit jede Variation von S: δs = dtδl(q i, q i, t) = 0 (i = 1,.., f) (2) (Warum dies gelten muss ist nicht einfach zu beweisen und würde den Rahmen sprengen. Der Beweis über Bewegungen in zweidimensionalen Ebenen geht auf Leonhard Euler zurück.) Gesucht sind jedenfalls die Funktionen L, bzw. die Bahnen q i (t) und q i (t) für die diese Relation gilt. Wir betrachten nun eine Bewegung zwischen und t 2. Die einzige Voraussetzung die wir für eine wohldefinierte Bewegung fordern, ist dass q( ), q(t 2 ), q( ) und q(t 2 ) festgelegt, und nicht variiert werden. Was dazwischen passieren soll, untersuchen wir im Folgenden: Die,,totale Variation der Lagrangefunktion lautet: [ L δl = δq i + L ] δ q i q i q i + L t Zu diesem Term stellen wir das variierte Wirkungsintegral auf. Da das Integral absolut konvergent ist, kann man Integration und Summation vertauschen: 0 = δs = dtδl = Partielle Integration des zweiten Summanden liefert: δs = L dt δq i + L δq i q i q i δt }{{} =0 ( L dt δq i + L ) δ q i q i q i t 2 (3) (4) ( ) dt δq i (5) dt q i Da δq i ( ) = δq i (t 2 ) = 0, nach Voraussetzung, fällt der zweite Term raus. ( 0 = δs = L dtδq i d ) L (6) q i dt q i Da die Variation von S mit jeder beliebigen Variation δq i verschwinden muss, kann nur noch der Klammerterm gleich Null sein: L = 0 (7) q i dt q i 3

4 Damit haben wir eine der wichtigsten Gleichungen der theoretischen Mechanik erreicht: Die Lagrange- Gleichung 2. Art, bzw. die Euler-Lagrange-Differentialgleichung: L = 0 (8) dt q i q i Der große Vorteil dieser Differentialgleichung ist, dass man daraus die Bewegungsgleichungen der Koordinaten q i leicht ermitteln kann, ohne sich dabei Gedanken über die wirkenden Kräfte zu machen. Im folgenden werden wir einige Beispiele und Anwendungen diskutieren. Beispiel zum Variationsprinzip Zwischen 2 parallelen Drahtkreisen (Radius R) spannt sich eine Seifenhaut. Die Kreise haben einen Abstand D voneinander. Gesucht ist die Form der Seifenhaut. Lösung: Die Seifenhaut stellt eine Fläche dar, die durch Rotation einer Kurve y = y(x) um die x-achse erzeugt werden kann. Wegen der Oberflächenspannung stellt sich die Seifenhaut so ein, dass ihre Fläche minimal wird. (keine Schwerkraft) Für ein Wegelement der Kurve gilt ds 2 = dx 2 + dy 2 und somit für die Länge ds = dx 2 + dy 2 = 1 + y 2 dx Durch Rotation um die x-achse ensteht eine zylinderische Teilfläche der Größe 2πyds. Die Aufintegration liefert: D/2 A = 2π dxy 1 + y 2 = minimal D/2 Somit ist die Funktion L(y, y, x) = y 1 + y 2 unsere Lagrange Funktion, wobei y unserer generalisierten Koordinate q und x der Zeit t entspricht. Da unsere Lagrange Funktion nicht explizit von x abhängt, gilt der Energieerhaltungssatz: L y y L = const. Dies werden wir morgen noch näher begründen. Partielles ableiten und einsetzen ergibt: y 1 + y 2 = c Dies kann integriert werden: x = ± y (x) = dy y dx = ± 2 c 2 1 dy = arcosh(y/c) + const. (y/c)2 1 4

5 Aufgrund der Symmetrie des Problems (x x) erhalten wir als Bahnkurve: y(x) = c cosh(x/c) Die Konstante c wird über die Randbedingung y(±d/2) = R bestimmt. R/c = cosh( R 2c ) Diese Gleichung kann jedoch nur numerisch oder graphisch gelöst werden. Beispiel: Massepunkt auf Ebene Eine Masse M gleite Reibungsfrei auf einer schiefen Ebene (siehe Skizze). Bestimme die Lagrange-Funktion und daraus die Bewegungsgleichung. Lösung: Zunächst müssen geeignete generalisierte Koordinaten bestimmt werden. Da in unserem Beispiel die Bewegung des Massepunkts auf die schiefen Ebene eingeschränkt ist, hat unser Problem lediglich einen Freiheitsgrad. Als generalisierte Koordinate wählen wir daher den vom Massepunkt zurückgelegten Weg s auf der schiefen Ebene. Wir müssen nun einen Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten x,y sowie unserer generalisierten Koordinate s herstellen. Dieser lautet: Nun können wir die kinetische und potentielle Energie angeben: Für die Lagrange Funktion L folgt: die Euler-Langrange Bewegungsgleichung d dt x = cos αs (9) y = sin αs (10) T = m/2(ẋ 2 + ẏ 2 ) = m/2((cos α) 2 ṡ 2 + (sin α) 2 ṡ 2 ) = m/2ṡ 2 (11) U = mgy = mg sin αs (12) L = T U = m/2ṡ 2 mg sin αs (13) L q i L q i = 0 liefert die Bewegungsgleichung: d (mṡ) + mg sin α = 0 (14) dt m s = mg sin α (15) Dies ist eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung. Die allgemeine Lösung erhalten wir durch 2-maliges integrieren. g sin α s(t) = s 2 + c 1 s + c 2 (16) 2 Die Konstanten c 1 und c 2 müssen durch Anfangsbedingungen festgelegt werden. 5

6 4 Lagrange-Gleichungen 1. Art Wir wollen nun noch die Lagrange-Gleichungen 1. Art diskutieren. Zwangsbedingungen: Sind Nebenbedingungen, die die Freiheitsgrade einschränken. Es existiert also eine Funktion F mit folgender Eigenschaft: F k ( r 1,... r N, t) = 0 Die Bewegungsgleichung erhalten wir aus den Newton-Axiomen: m i r i = i U + s λ k i F k, i = 1...N (17) k=1 wobei λ k der sogenannte Lagrange-Multiplikator ist. Wurden die Bewegungsgleichungen aufgestellt, so muss λ k eliminiert werden. Beispiel: Massepunkt auf Ebene II Wir betrachten wieder das Problem von oben, nun aber wollen wir die Bewegungsleichung mit dem Lagrange-Formalismus 1. Art lösen. Lösung: Zunächst legen wir den Ursprung des Koordinatensystems in den Punkt (a, b) und verwenden x und y als generalisierte Koordinaten. Da sich der Massepunkt lediglich auf der schiefen Ebene bewegen kann, gilt folgende Zwangsbedingung: F (x, y) = F (s) = y tan α x = 0 (18) Und für den Gradienten der Zwangsbedingung folgt: ( tan α F = 1 ) Nun folgt mit den Lagrangegleichungen 1. Art: ( ) mẍ = mÿ ( 0 + λ( tan α) mg + λ 1 ) lösen wir die zweite Zeile nach dem Lagrange Parameter λ auf und setzen das Ergebnis in die erste Zeile ein, bekommen wir: mẍ = tan α m (tan αẍ + g) (19) Nach kurzem umformen und der Variablentransformation x = cos α s (siehe oben) erhalten wir das bekannte Ergebnis: s = sin α g (20) 6

7 5 Erhaltungsgrößen 5.1 zyklische Koordinaten Wir schauen uns die Euler-Lagrange Gleichungen 2. Art nochmals genauer an. L = 0 (21) dt q i q i Zu jeder Koordinaten q i definiert man zunächst den konjugierten oder kanonischen Impuls p i : p i := L q i Beispiele hierfür wären der gewöhnliche Impuls, der Drehimpuls, etc.. Eine Koordinate heißt zyklisch, falls die Lagrange-Funktion nicht von dieser Koordinate abhängt q i zyklisch L q i = 0 Aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgert man sofort für deren konjugierten Impuls: L = = 0 L = p i = const. dt q i q }{{} i dt q i q i =0 Damit gilt: Jede zyklische Koordinate führt auf eine Erhaltungsgröße. Beispiel Betrachten wir ein freies Teilchen (also U=0) in einer Dimension, so ist die Lagrange Funktion gleich der kinetischen Energie. L = m 2 ẋ2 (22) Es gilt: L x = 0 Der Ausdruck L ẋ = mẋ ist also eine Erhaltungsgröße. Dies ist gerade der Impuls des Teilchens. Wir haben somit ganz allgemein den Impulserhaltungssatz bestätigt. 5.2 Erhaltungssätze Man kann mit Hilfe der Lagrange-Mechanik zeigen, dass folgende Erhaltungssätze mit Symmetrien des Systems zusammenhängen: 1. Energieerhaltung folgt aus Invarianz der Lagrange-Funktion unter zeitlicher Translation (L(t+δt) = L(t)) 2. Invarianz unter räumlicher Translation liefert Impulserhaltung 3. Invarianz unter räumlichen Drehungen folgt Drehimpulserhaltung 7

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