mathematik-abc for das Lehramt P. Gothner Elemente der Algebra

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1 mathematik-abc for das Lehramt P. Gothner Elemente der Algebra

2 mathematik-abc for das Lehramt Herausgegeben von Prof. Dr. Stefan Deschauer, Dresden Prof. Dr. Klaus Menzel, Schwabisch GmOnd Prof. Dr. Kurt Peter MOiler, Karlsruhe Die Mathematik-ABC-Reihe besteht aus thematisch in sich abgeschlossenen Einzelbanden zu den drei Schwerpunkten: Algebra und Analysis, Bilder und Geometrie, Computer und Anwendungen. In diesen drei Bereichen werden Standardthemen der mathematischen Grundbildung gut verstandlich behandelt, wobei Zielsetzung, Methoden und Schulbezug des behandelten Themas im Vordergrund der Darstellung stehen. Die einzelnen Bande sind nach einem "Zwei-Seiten-Konzept" aufgebaut: Der fachliche In halt wird fortlaufend auf den linken Seiten dargestellt, auf den gegenoberliegenden rechten Seiten finden sich im Sinne des "learning by doing" jeweils zugehorige Beispiele, Aufgaben, stoffliche Erganzungen und Ausblicke. Die Beschrankung auf die wesentlichen fachlichen Inhalte und die Erlauterungen anhand von Beispielen und Aufgaben erleichtern es dem Leser, sich auch im Selbststudium neue Inhalte anzueignen oder sich zur PrOfungsvorbereitung konzentriert mit dem notwendigen ROstzeug zu versehen. Aufgrund ihrer Schulrelevanz eignet sich die Reihe auch zur Lehrerweiterbildung.

3 Elemente der Algebra Eine EinfUhrung in Grundlagen und Denkweisen Von Doz. Dr. Peter Gothner Universitat Leipzig B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart. Leipzig 1997

4 Doz. Dr. habil. Peter G6thner Geboren 1932 in Leipzig. Studium an der Padagogischen Hochschule Potsdam. Von 1961 bis 1970 Lehrer fur Mathematik an der Erweiterten Oberschule Grimma. Ab 1970 tatig an der Universitat Leipzig, vorwiegend in der Fachausbildung von Lehrem fur Mathematik. Promotion 1976, Habilitation 1985 an der Sektion Mathematik der Universitat Leipzig. Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Gothner, Peter: Elemente der Algebra: eine Einfijhrung in Grundlagen und Denkweisen I Peter Gothner. - Stuttgart; Leipzig: Teubner, 1997 (Mathematik-ABC fijr das Lehramt) ISBN-13: e-isbn-13: : / Das Wer!< einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschatzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fijr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1997 Druck und Bindung: Druckhaus.Thomas Mantzer" GmbH, Bad Langensalza

5 Einfiihrung Das Wort Algebra entstammt dem Titel.Hisab aljabr W'almugabalah" (Erganzung und Ausgleich) von MUHAMED IBN MUSA AL CHW ARAZMI, einem Mathematiker und Astronom, der urn 810 bis 840 am Hofe des Sohnes von HARUN AL RASCHID in Bagdad wirkte. Algebra wurde zunachst als Bezeichnung fur die Lehre von der.auflosung von Gleichungen durch Hinzufugen und Weglassen von Gliedern auf beiden Seiten einer Gleichung" benutzt. Die Behandlung von Umformungsregeln fur Glezchungen, in den en mit VIETA ( ) auch Variable auftraten, war uber einen langen Zeitraum Gegenstand der (klassischen) Algebra. Am Ende des 18. Jahrhunderts traten Fragen nach der Existenz von Losungen algebraischer Gleichungen sowie die Suche nach Methoden zum Losen solcher Gleichungen in den Vordergrund. Insbesondere fuhrte die Frage nach.radikaldarstellungen" fur Losungen - die bekannte Losungsformel fur quadratische Gleichungen kann als solche bezeichnet werden - bereits vor etwa 200 J ahren zu Methoden, bei denen Eigenschaften algebraischer Strukturen genutzt wurden. Zunachst waren diese nur Hilfsmittel zur Untersuchung von Problemen der klassischen Algebra; es zeigte sich jedoch bereits am Ende des 19. Jahrhunderts, dab ihre Bedeutung wesentlich weiter reicht und dab sie sich auf zahlreiche Probleme in anderen mathematischen Gebieten und in den Naturwissenschaften anwenden lassen. Aus solchen Erkenntnissen heraus entwickelte sich die.moderne" C.abstrakte" oder Jormale" oder.axiomatische") Algebra. Die mit dem Wort Algebra verbundenen Auffassungen haben sich also in der mathematikhistorischen Entwicklung mehrfach verandert. Heute ist die klassische Algebra in der.modernen" Algebra aufgehoben. Man interessiert sich - sehr vereinfacht gesagt - in der Algebra weniger dafur, womit man rechnet, sondern vielmehr wie man rechnet, und untersucht, welche.rechenregeln" und Zusammenhange aus Grundeigenschaften von Operationen und Relationen folgen. Beim Umgang mit Operationen und Relationen in speziellen Mengen erkennt man Analogien: So besitzen z.b. die Addition von Matrizen, die Multiplikation von positiven rationalen Zahlen, die Addition von Folgen reeller Zahlen ubereinstimmende Eigenschaften. Sieht man von der Spezifik der genannten Mengen und Operationen ab und betrachtet eine (beliebige) Menge G, in der eine (beliebige) Operation.0" mit gewissen Grundeigenschaften definiert ist, so spricht man von einer speziellen algebraischen Struktur. Eines der oben genannten konkreten Gebilde, z.b. [Q+;.J, ist genau dann ein Modell fur eine Struktur (G; 0), wenn man die Elemente von G mit positiven rationalen Zahlen belegt, die Operation.0" als Multiplikation rationaler Zahlen interpretiert und nachweist, dab in [Q+;.J die fiir.0" geforderten Grundeigenschaften erfiillt sind. Analogiebetrachtungen konnen also zu einer algebraischen Struktur fiihren, und Kenntnisse iiber algebraische Strukturen ermoglichen umgekehrt das Vergleichen, Ordnen und Systematisieren mathematischer Inhalte. tiber diese Systematisierungsmoglichkeit hinaus hat die Beherrschung algebraischer Strukturen einen weit bedeutungsvolleren Vorzug: Aus relativ wenigen Grundeigenschaften kann eine ganze Theorie fiir die jeweilige Struktur abgeleitet werden.

6 6 Einfiihrung J ede (allgemeine) Aussage in einer solchen Strukturtheorie gilt dann "automatisch" in jedem konkreten Verkniipfungsgebilde, welches Modell dieser Struktur ist. Man mub damit diese Aussage fiir solche Modelle gar nicht mehr beweise~.' sondern stiitzt sich auf den einmaligen Beweis innerhalb der Strukturtheorie. Uber diese Bewelsokonomie hinaus erweist sich die durch die Konzentration auf das Wesentliche erreichte Klarheit in der Beweisfiihrung als psychologischer Vorteil. In den Kapiteln 1 und 2 werden die Anfiinge von Strukturtheorien erarbeitet. Sind zwei Gebilde Modell ein und derselben Struktur, so konnen sie dennoch nicht notwendig identifiziert werden. Es gibt z.b. sowohl Gruppen mit endlich vielen als auch solche mit unendlich vielen Elementen; es gibt Gruppen, in welchen die Gruppenoperation kommutativ ist, aber auch nichtkommutative Gruppen. Manche Gebilde sind jedoch "strukturell vollkommen identisch", sie unterscheiden sich eigentlich nur durch die Bezeichnung der Elemente und die Bezeichnung der Operation. Man nennt solche Gebilde zueinander isomorph. Mitunter sind zwei Gruppenmodelle zwar nicht isomorph, doch so "verwandt", dab eines als "vergrobertes Abbild" des anderen aufgefabt werden kann. Man spricht dann von einem homomorphen Bild eines Gruppenmodells (Kapitel 3). Die Frage nach Moglichkeiten, aus gegebenen Strukturen weitere zu konstruieren oder eine Struktur in eine andere emzubetten, fiihrt zu allgememen K onstruktionspnnziplen, die sich wiederum auf Modelle der "beteiligten" Strukturen anwenden lassen. So konnen Zahlberelchserwezterungen als Spezialfall allgemeiner algebraischer Konstruktionen betrachtet werden (Kapitel 4), und die Teilbarkeltslehre fiir ganze Zahlen (oder auch fiir Polynome) ordnet sich der "Teilbarkeitstheorie" in (speziellen) Ringen unter (KapiteI5). Das Problem der Losbarkeit algebraischer Gleichungen wird im Kapitel 6 aufgegriffen. SchlieBlich wird (im Kapitel 7) zusiitzlich zu den in einer Struktur festgelegten Operationen eine mit diesen "vertriigliche" OrdnungsrelatlOn eingefiihrt. Es ist das Ziel des Bandes "Elemente der Algebra", in die Anfiinge der Begriffswelt algebraischer Strukturen und in ihre gegenseitigen Beziehungen einzufiihren. Insofern stehen allgemeine Begriffe und allgemeine Methoden im Vordergrund; einige wichtige Resultate, die zur klassischen Algebra gehoren, werden in den strukturellen Rahmen eingeordnet. Die algebraischen Inhalte werden fortlaufend auf den linken Seiten dargestellt; auf den gegeniiberliegenden rechten Seiten findet der Leser jeweils zugehorige Beispiele und Ubungen. 1m Zusammenhang mit der Darstellung begriffiicher Inhalte ist es vor allem Anliegen des Buches, den Leser mit Denkweisen der Algebra vertraut zu machen. SchlieBlich ist es mir ein Bediirfnis, der B.G. Teubner Verlagsgesellschaft fiir die verstiindnisvolle Zusammenarbeit und Frau Jacqueline Muller fiir ihre Unterstiitzung bei der technischen Bearbeitung des Manuskriptes herzlich zu danken. Leipzig, Juni 1997 Peter Gothner

7 Inhalt 1 Strukturen mit einer binaren Operation Gruppen und Halbgruppen Der Gruppenbegriff Additive bzw. multiplikative Schreibweise von Gruppen Halbgruppen, Ordnung von Gruppen und Halbgruppen Folgerungen aus Gruppen- und Halbgruppenaxiomen Neutrale Elemente in Gruppen und Halbgruppen Losbarkeit von Gleichungen in Gruppen Unterschiedliche Axiomensysteme fur Gruppen Potenzen von Gruppenelementen Isomorphie Begriff der Iso~?rphie Isomorphie als Aquivalenzrelation Ubertragung von Struktureigenschaften durch Isomorphismen U nterstrukturen Untergruppen und Unterhalbgruppen Durchschnitt von Untergruppen - Komplexe erzeugen Untergruppen Nebenklassen - der Satz von LAGRANGE Konstruktion von Nebenklassen Zusammenhang zwischen Gruppenordnung und Ordnung einer Untergruppe Zyklische Gruppen Erzeugende Elemente Struktur zyklischer Gruppen Permutationsgruppen, Restklassengruppen und Gruppen von Deckabbildungen Gruppen von Permutationen Restklassengru pp en Der kleine FERMATsche Satz Gruppen von Deckabbildungen Isomorphieklassen von Gruppen kleiner Ordnung 60

8 8 Inhalt 2 Strukturen mit zwei binaren Operationen Ringe und Korper Die Struktur eines Ringes Die Struktur eines Korpers Folgerungen aus Ring- und Korperaxiomen Rechenregeln in Ringen Nullteiler Potenzgesetze und Gesetze der Vervielfachung in Ringen Unterstrukturen von Ringen und Korpern Unterringe und Unterkorper Charakteristik von Ringen und Korpern - Primkorper Isomorphe Einbettungen 76 3 Strukturerhaltende Abbildungen Homomorphe Abbildungen Gruppen- und Ringhomomorphismen Eigenschaften homomorpher Abbildungen Der Kern homomorpher Abbildungen Homomorphiesatze N ormalteiler, Gruppenhomomorphismen und Faktorgruppen Der Homomorphiesatz fur Gruppen Ideale, Restklassenringe, der Homomorphiesatz fur Ringe 88 4 Konstruktion von Strukturen Direkte Produkte Konstruktion von Integritatsbereichen aus Halbringen Von einer kommutativen reguliiren Halbgruppe zur Gruppe Vom Modul [~; +J zum Integritiitsbereich [~; +;.J Konstruktion eines Quotientenkorpers aus einem Integritatsbereich Zielstellungen und Ansiitze bei der Konstruktion eines Quotientenkorpers Existenz und Eindeutigkeit des Quotientenkorpers 98

9 Inhalt Polynomringe Addition und Multiplikation von Polynomen Polynomringe und ihre Eigenschaften Einsetzungshomomorphismen Quadratische Erweiterungsringe Korpererweiterungen Zielstellungen und Ansiitze fur Korpererweiterungen Einfache Korpererweiterungen Algebraische Korpererweiterungen Teilbarkeit Teilbarkeit in Integritatsbereichen Eigenschaften der Teilerrelation Einheiten und Assoziiertheit Primelemente GroBter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches Euklidische Ringe Der euklidische Algorithmus im Ring der ganzen Zahlen Teilbarkeitsaussagen in euklidischen Ringen Zerlegung in Primelemente Teilbarkeitsaussagen in ZPE-Ringen Diophantische Gleichungen und lineare Kongruenzen Algebraische Gleichungen Abspaltung von Linearfaktoren Die Menge C der komplexen Zahlen als algebraisch abgeschlossener Korper Darstellung von Nullstellen durch Radikale Algebraische Behandlung von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 138

10 10 Inhalt 7 Angeordnete Strukturen Positivitatsbereiche in Gruppen und Ringen Ordnungsrelationen und Positivitatsbereiche Archimedische Anordnungen und Dichtheit Vollstandig angeordnete Korper 146 L8sungshinweise zu den Ubungen 148 Uberblick iiber benutzte Symbole 167 Literatur 168 Sachverzeichnis 169