Quantencomputer: Einführung
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- Eugen Kajetan Knopp
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1 Quantencomputer: Einführung Martin Lange Institut für Informatik Ludwig-Maximilians-Universität München Quantencomputer: Einführung p.1/29
2 Einleitung Quantencomputer: Einführung p.2/29
3 Geschichte Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den Gesetzen der Physik Quantencomputer: Einführung p.3/29
4 Geschichte Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den Gesetzen der Physik was sind die Gesetze der Physik? Quantencomputer: Einführung p.3/29
5 Geschichte Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den Gesetzen der Physik was sind die Gesetze der Physik? klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei Quantencomputer: Einführung p.3/29
6 Geschichte Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den Gesetzen der Physik was sind die Gesetze der Physik? klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik Quantencomputer: Einführung p.3/29
7 Geschichte Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den Gesetzen der Physik was sind die Gesetze der Physik? klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik Quantencomputer: Einführung p.3/29
8 Geschichte Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den Gesetzen der Physik was sind die Gesetze der Physik? klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik Nachteil: nicht sonderlich intuitiv Quantencomputer: Einführung p.3/29
9 Die Church-Turing-These allgemein akzeptiert in der Informatik: Quantencomputer: Einführung p.4/29
10 Die Church-Turing-These allgemein akzeptiert in der Informatik: Jeder Algorithmus kann als (probabilistische) Turing-Maschine dargestellt werden. Quantencomputer: Einführung p.5/29
11 Die Church-Turing-These allgemein akzeptiert in der Informatik: Jeder Algorithmus kann als (probabilistische) Turing-Maschine dargestellt werden. wichtiger Aspekt des Modells Turing-Maschine: Quantencomputer: Einführung p.6/29
12 Die Church-Turing-These allgemein akzeptiert in der Informatik: Jeder Algorithmus kann als (probabilistische) Turing-Maschine dargestellt werden. wichtiger Aspekt des Modells Turing-Maschine: Satz: Es gibt eine universelle Turing-Maschine. Quantencomputer: Einführung p.7/29
13 Die Church-Turing-These allgemein akzeptiert in der Informatik: Jeder Algorithmus kann als (probabilistische) Turing-Maschine dargestellt werden. wichtiger Aspekt des Modells Turing-Maschine: Satz: Es gibt eine universelle Turing-Maschine. Idee wird in jedem Computer benutzt, geht auf von Neumann zurück Quantencomputer: Einführung p.8/29
14 Deutschs Idee Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen Begriff Algorithmus Quantencomputer: Einführung p.9/29
15 Deutschs Idee Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen Begriff Algorithmus Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar Quantencomputer: Einführung p.9/29
16 Deutschs Idee Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen Begriff Algorithmus Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine simulieren. Quantencomputer: Einführung p.9/29
17 Deutschs Idee Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen Begriff Algorithmus Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine simulieren. Aber was ist? Quantencomputer: Einführung p.9/29
18 Deutschs Idee Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen Begriff Algorithmus Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine simulieren. Aber was ist? Quantencomputer, da die Welt quantenmechanisch ist Quantencomputer: Einführung p.9/29
19 Von Interesse für die Informatik Quantencomputer ist Berechnungsmodell Quantencomputer: Einführung p.10/29
20 Von Interesse für die Informatik Quantencomputer ist Berechnungsmodell Wie verhält er sich zu anderen (z.b. TM, Schaltkreisen, Prog.-sprachen,... ) bzgl. der Berechnungsstärke? Antwort: Quantencomputer: Einführung p.10/29
21 Von Interesse für die Informatik Quantencomputer ist Berechnungsmodell Wie verhält er sich zu anderen (z.b. TM, Schaltkreisen, Prog.-sprachen,... ) bzgl. der Berechnungsstärke? Antwort: mindestens so stark: kann per Definition TM simulieren Quantencomputer: Einführung p.10/29
22 Von Interesse für die Informatik Quantencomputer ist Berechnungsmodell Wie verhält er sich zu anderen (z.b. TM, Schaltkreisen, Prog.-sprachen,... ) bzgl. der Berechnungsstärke? Antwort: mindestens so stark: kann per Definition TM simulieren höchstens so stark: kann auf TM simuliert werden Quantencomputer: Einführung p.10/29
23 Das ist aber noch nicht alles... Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell! Quantencomputer: Einführung p.11/29
24 Das ist aber noch nicht alles... Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell! Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn: Quantencomputer: Einführung p.11/29
25 Das ist aber noch nicht alles... Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell! Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn: bekannte Komplexitätsklassen (P, NP, PSPACE, EXPTIME) robust weil unabhängig von Maschinenmodell Quantencomputer: Einführung p.11/29
26 Das ist aber noch nicht alles... Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell! Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn: bekannte Komplexitätsklassen (P, NP, PSPACE, EXPTIME) robust weil unabhängig von Maschinenmodell gilt das auch für Quantencomputer? Quantencomputer: Einführung p.11/29
27 Begriffsbildung Überblick über das Seminar Quantencomputer: Einführung p.12/29
28 Begriffsbildung Überblick über das Seminar der Quantencomputer als Berechnungsmodell (Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten,... ) Quantencomputer: Einführung p.12/29
29 Begriffsbildung Überblick über das Seminar der Quantencomputer als Berechnungsmodell (Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten,... ) Quanten-Komplexitätsklassen Quantencomputer: Einführung p.12/29
30 Begriffsbildung Überblick über das Seminar der Quantencomputer als Berechnungsmodell (Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten,... ) Quanten-Komplexitätsklassen Algorithmen für Quantencomputer Quantencomputer: Einführung p.12/29
31 Begriffsbildung Überblick über das Seminar der Quantencomputer als Berechnungsmodell (Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten,... ) Quanten-Komplexitätsklassen Algorithmen für Quantencomputer Anwendung: Kryptographie Quantencomputer: Einführung p.12/29
32 Begriffsbildung Überblick über das Seminar der Quantencomputer als Berechnungsmodell (Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten,... ) Quanten-Komplexitätsklassen Algorithmen für Quantencomputer Anwendung: Kryptographie Programmiersprachen für Quantencomputer Quantencomputer: Einführung p.12/29
33 Begriffsbildung Quantencomputer: Einführung p.13/29
34 Quanten-Bits QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer Bit QuBit Zustand Messung liefert Zustand danach Quantencomputer: Einführung p.14/29
35 Quanten-Bits QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer Bit QuBit Zustand Messung liefert Zustand danach Quantencomputer: Einführung p.14/29
36 Quanten-Bits QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer Bit QuBit Zustand mit Messung liefert Zustand danach Quantencomputer: Einführung p.14/29
37 Quanten-Bits QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer Bit QuBit Zustand mit Messung liefert mit Zustand danach Quantencomputer: Einführung p.14/29
38 Quanten-Bits QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer Bit QuBit Zustand mit Messung liefert mit mit mit Zustand danach Quantencomputer: Einführung p.14/29
39 Quanten-Bits QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer Bit QuBit Zustand mit Messung liefert mit mit mit Zustand danach Quantencomputer: Einführung p.14/29
40 Quanten-Bits QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer Bit QuBit Zustand mit Messung liefert mit mit mit Zustand danach Quantencomputer: Einführung p.14/29
41 Operationen auf QuBits sind immer linear, Quantencomputer: Einführung p.15/29
42 Operationen auf QuBits sind immer linear, d.h. beschrieben durch Matrix Quantencomputer: Einführung p.15/29
43 Operationen auf QuBits sind immer linear, d.h. beschrieben durch Matrix Sei : Quantencomputer: Einführung p.15/29
44 Operationen auf QuBits sind immer linear, d.h. beschrieben durch Matrix : Sei Quantencomputer: Einführung p.15/29
45 Welche Operationen sind zugelassen? nur unitäre, Quantencomputer: Einführung p.16/29
46 Welche Operationen sind zugelassen? nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix, wobei mit Quantencomputer: Einführung p.16/29
47 Welche Operationen sind zugelassen? nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix, wobei mit ist -Einheitsmatrix Quantencomputer: Einführung p.16/29
48 Welche Operationen sind zugelassen? nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix, wobei mit ist -Einheitsmatrix Quantencomputer: Einführung p.16/29
49 Welche Operationen sind zugelassen? nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix, wobei mit ist -Einheitsmatrix ist mit Einträgen komplex-konjugiert Quantencomputer: Einführung p.16/29
50 Welche Operationen sind zugelassen? nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix, wobei mit ist -Einheitsmatrix ist ist mit Einträgen komplex-konjugiert transponiert Quantencomputer: Einführung p.16/29
51 Welche Operationen sind zugelassen? nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix, wobei mit ist -Einheitsmatrix ist ist mit Einträgen komplex-konjugiert transponiert Aber auch: jede unitäre Operation ist zulässig! Quantencomputer: Einführung p.16/29
52 Lineare Algebra Vektorraum der Dimension -Vektor Quantencomputer: Einführung p.17/29
53 Lineare Algebra Vektorraum der Dimension -Vektor -Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen Quantencomputer: Einführung p.17/29
54 Lineare Algebra Vektorraum der Dimension -Vektor -Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen inneres Produkt = Skalarprodukt Quantencomputer: Einführung p.17/29
55 Lineare Algebra Vektorraum der Dimension -Vektor -Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen inneres Produkt = Skalarprodukt äußeres Produkt, -Matrix Quantencomputer: Einführung p.17/29
56 Lineare Algebra Vektorraum der Dimension -Vektor -Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen inneres Produkt = Skalarprodukt äußeres Produkt, -Matrix Tensorprodukt Quantencomputer: Einführung p.17/29
57 . Quantencomputer: Einführung p.18/29 Tensorprodukt...
58 Tensorprodukt Quantencomputer: Einführung p.18/29
59 Tensorprodukt Quantencomputer: Einführung p.18/29
60 2 QuBits geg. 2 QuBits in Zuständen und Quantencomputer: Einführung p.19/29
61 2 QuBits geg. 2 QuBits in Zuständen und Tensorprodukt zum Zusammenbauen größerer Systeme Quantencomputer: Einführung p.19/29
62 2 QuBits geg. 2 QuBits in Zuständen und Tensorprodukt zum Zusammenbauen größerer Systeme Zustand eines 2-QuBit-System beschrieben durch Quantencomputer: Einführung p.19/29
63 Operationen auf 2-QuBit-Systemen unitäre Matrizen der Form Quantencomputer: Einführung p.20/29
64 Operationen auf 2-QuBit-Systemen unitäre Matrizen der Form usw. für -QuBit-Systeme Quantencomputer: Einführung p.20/29
65 Quantenmechanik ist nicht intuitiv Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand Quantencomputer: Einführung p.21/29
66 Quantenmechanik ist nicht intuitiv Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand messe, dann ; Ergebnisse unabhängig voneinander Quantencomputer: Einführung p.21/29
67 Quantenmechanik ist nicht intuitiv Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand messe, dann ; Ergebnisse unabhängig voneinander aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand Quantencomputer: Einführung p.21/29
68 Quantenmechanik ist nicht intuitiv Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand messe, dann ; Ergebnisse unabhängig voneinander aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit jeweils Quantencomputer: Einführung p.21/29
69 Quantenmechanik ist nicht intuitiv Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand messe, dann ; Ergebnisse unabhängig voneinander aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit und Folgezustand jeweils Quantencomputer: Einführung p.21/29
70 Quantenmechanik ist nicht intuitiv Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand messe, dann ; Ergebnisse unabhängig voneinander aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit und Folgezustand und Folgezustand jeweils Quantencomputer: Einführung p.21/29
71 Quantenmechanik ist nicht intuitiv Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand messe, dann ; Ergebnisse unabhängig voneinander aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit und Folgezustand und Folgezustand jeweils Messung von 2. QuBit liefert danach Wert des 1.! Quantencomputer: Einführung p.21/29
72 Schaltelemente Lemma: Sei unitär. Dann ist unitär. Quantencomputer: Einführung p.22/29
73 Schaltelemente Lemma: Sei unitär. Dann ist unitär. Folgerung: Operationen auf QuBits sind reversible Schaltelemente haben gleiche Anzahl von Ein- und Ausgängen Quantencomputer: Einführung p.22/29
74 Schaltelemente Lemma: Sei unitär. Dann ist unitär. Folgerung: Operationen auf QuBits sind reversible Schaltelemente haben gleiche Anzahl von Ein- und Ausgängen z.b. CONTROLLED-NOT oder Quantencomputer: Einführung p.22/29
75 Schaltkreise... Quantencomputer: Einführung p.23/29
76 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Quantencomputer: Einführung p.23/29
77 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden Quantencomputer: Einführung p.23/29
78 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: Quantencomputer: Einführung p.23/29
79 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: betrachte Aktion auf und : Quantencomputer: Einführung p.23/29
80 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: betrachte Aktion auf und : Quantencomputer: Einführung p.23/29
81 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: betrachte Aktion auf und : Quantencomputer: Einführung p.23/29
82 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: betrachte Aktion auf und : Quantencomputer: Einführung p.23/29
83 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: betrachte Aktion auf und : Quantencomputer: Einführung p.23/29
84 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: betrachte Aktion auf und : Quantencomputer: Einführung p.23/29
85 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: betrachte Aktion auf und : Quantencomputer: Einführung p.23/29
86 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: betrachte Aktion auf und : Quantencomputer: Einführung p.23/29
87 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: betrachte Aktion auf und : Quantencomputer: Einführung p.23/29
88 Schaltkreise gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden z.b. QuBit-Vertauscher: betrachte Aktion auf und : Quantencomputer: Einführung p.23/29
89 Messen Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen Messen beeinflusst Zustand des Sytems Quantencomputer: Einführung p.24/29
90 Messen Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen Messen beeinflusst Zustand des Sytems Messapparat ist ebenfalls physikalisches System Quantencomputer: Einführung p.24/29
91 Messen Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen Messen beeinflusst Zustand des Sytems Messapparat ist ebenfalls physikalisches System Sei mögliches Resultat einer Messung Quantencomputer: Einführung p.24/29
92 Messen Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen Messen beeinflusst Zustand des Sytems Messapparat ist ebenfalls physikalisches System Sei mögliches Resultat einer Messung Messung geg. durch unitären Operator, d.h. Messung ist Quantencomputer: Einführung p.24/29
93 Quantencomputer arbeiten anders die Gesetze des Quantumcomputing lassen sich als Postulate formulieren Quantencomputer: Einführung p.25/29
94 Quantencomputer arbeiten anders die Gesetze des Quantumcomputing lassen sich als Postulate formulieren 1. Postulat: (Zustandsraum) Zu jedem isolierten, physikalischen System gehört ein Hilbertraum (= komplexer Vektorraum mit innerem Produkt). Der Zustand des Systems wird beschrieben durch einen Vektor der Einheitslänge in diesem Raum. Quantencomputer: Einführung p.25/29
95 2. Postulat: (Evolution) Die Evolution eines isolierten Systems vom Zeitpunkt zu wird durch einen unitären Operator in dem zug. Hilbertraum beschrieben. Quantencomputer: Einführung p.26/29
96 3. Postulat: (Messung) Messungen sind gegeben durch eine Reihe unitären Messoperatoren. Für diese gilt: von Quantencomputer: Einführung p.27/29
97 3. Postulat: (Messung) Messungen sind gegeben durch eine Reihe unitären Messoperatoren. Für diese gilt: von wird in gemessen mit Wahrscheinlichkeit Quantencomputer: Einführung p.27/29
98 3. Postulat: (Messung) Messungen sind gegeben durch eine Reihe unitären Messoperatoren. Für diese gilt: von wird in gemessen mit Wahrscheinlichkeit der Zustand nach dieser Messung ist Quantencomputer: Einführung p.27/29
99 3. Postulat: (Messung) Messungen sind gegeben durch eine Reihe unitären Messoperatoren. Für diese gilt: von wird in gemessen mit Wahrscheinlichkeit der Zustand nach dieser Messung ist die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1 Quantencomputer: Einführung p.27/29
100 4. Postulat: (Zusammengesetzte Systems) Der Zustandsraum eines zusammengesetzten Systems ist das Tensorprodukt der Zustandsräume seiner Komponenten. D.h. sind Komponenten in Zuständen, dann ist das Gesamtsystem im Zustand Quantencomputer: Einführung p.28/29
101 The End Quantencomputer: Einführung p.29/29
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