Göttge-Piller, Höger

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2 VP b) Das Schaubild von hat für 3 6 genau zwei Wendepunkte. c) Es gilt Gegeben ist die Funktionenschar mit ²² für 0. Für welchen Wert von t schließt das Schaubild der entsprechenden Funktion mit der x-achse eine Fläche der Größe Flächeneinheiten ein? Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden..

3 Wahlteil Klausur Nr. 1 Krümmungen untersuchen, Funktionenscharen Göttge-Piller, Höger Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 4. Gegeben ist die Funktionenschar mit für, 0. Bestimmen Sie die Wendepunkte in Abhängigkeit von t und deren Ortskurve. 5. Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Felsens und einer Straße. Der Querschnitt des Felsens wird im Bereich 6 0 durch die Funktion mit VP / 8 beschrieben. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. Das Straßenniveau wird durch die x-achse festgelegt. Der höchste Punkt des Felsens sei H. a) In welcher Höhe über dem Straßenniveau liegt H? Auf welcher Höhe über dem Straßenniveau fällt der Fels am steilsten ab? Geben Sie das Gefälle an dieser Stelle in Prozent an. b) Zwei Meter vom Fuß des Felsens entfernt steht eine Person und schaut nach oben. Bis zu welcher Höhe wird die Felswand bei einer Augenhöhe von 1,75m gesehen? c) Um die Gefahr von Steinschlag auf einem 30m langen Teilstück zu reduzieren, wird die Felskuppe im Bereich 6 2,5 teilweise abgetragen und hat nun dort eine Begrenzung, die durch g mit! " 3 beschrieben werden kann. Auch hier ist die Längeneinheit 1m. Berechnen Sie das Volumen des abgetragenen Felsens. 6. Gegeben ist eine ganzrationale Funktion mit $ " %²& mit $ 0, % '0 und & 0. Beweisen oder widerlegen Sie (ohne Nachweis der hinreichenden Bedingung), dass für jede solche Funktion gilt: Der Abstand der beiden Wendepunkte von f beträgt immer 2( ) *. Viel Erfolg! Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe Schule Notengebung von 32 VP Rückgabe am 25. Februar 2016 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel:

4

5 VP b) Das Schaubild von hat für 3 6 genau zwei Wendepunkte. Die Aussage ist wahr, denn nur an den Stellen 2 und 1 liegen Extremstellen der ersten Ableitung von f und damit Wende- stellen von f vor. c) Es gilt 4. Die Aussage ist wahr, denn eine Stammfunktion von ist die dargestellte Funktion und damit. / Gegeben ist die Funktionenschar mit ²² für 0. Für welchen Wert von t schließt das Schaubild der entsprechenden Funktion mit der x-achse eine Fläche der Größe Flächeneinheiten ein? Zunächst alle Nullstellen bestimmen: 0, d.h. ²² 0, also 6 Dann eine Stammfunktion bestimmen: " 2² " ² " Die beschriebene Fläche berechnet sich: " t t t 7 7 t 7 Dieser Term nimmt für t 61 den Wert an. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Merkhilfe für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden..

6 Erwartungshorizont Wahlteil Aufgabe 4 Bilden der ersten beiden Ableitungen der Funktionenschar: 3 2² bzw. 62² mit, 0 Notwendige Bedingung für Wendestellen: 0, also 62²0, d.h. 9 : ; <² Hinreichende Bedingung 0 und 0, deshalb 6 0 für alle t, also auch 1 3 ²0. Die y-koordinate des Wendepunktes erhält man durch Einsetzen: = 1 3 ²> =1 3 ²> = 1 3 ²> 1 Die Wendepunkte haben also die Koordinaten A < B : ; <²7 : CD <E F Elimination des Parameters für die Ortskurve: Wegen ² gilt ² 3 und somit für die y-koordinate: Die gesuchte Ortskurve lautet G9 ; 9H. Aufgabe 5 a) Mit dem GTR erhält man die maximale Höher h=10. Die höchste Stelle des Felsens liegt also in 10m Höhe. Die Ableitung f hat ihr absolutes Minimum an der Stelle x=-2 (GTR). Es gilt f(-2)=4,6 und f (-2)=-2,7 (GTR) In der Höhe 4,6m fällt der Fels am steilsten ab. Das Gefälle beträgt dort 270%. b) Zunächst muss die Nullstelle von f bestimmt werden, die dem rechten Rand des Felsens entspricht. Das ist bei x=0 der Fall. Also steht die Person an der Stelle x=2, wegen der Augenhöhe sind die Augen im Modell am Punkt I 2 1,75. An der gesuchten Berührstelle K stimmt die Steigung von f mit der Steigung der Tangente durch A überein. Es gilt also: K L Für die Tangente gilt: L &, setzt man die Koordinaten von A ein, gilt: & 1,752L Also K 1,752 K. Da Funktion und Tangente im Berührpunkt auch den gleichen Funktionswert haben, kann man mit dem GTR die Schnittstelle bestimmen: K N4,02. Die zugehörige Höhe ist K N9,22 Die Person kann die Felswand bis zu einer Höhe von 9,2m sehen. (3 VP)

7 c) Das Volumen des abgetragenen Felsen entspricht dem Produkt aus Querschnittfläche zwischen den beiden Schaubildern und der Länge des Teilstücks von 30m. Also gilt:, P 30 Q! R N91,1 2 Das Volumen beträgt etwas mehr als 91m³. Aufgabe 6 Für mit $ " %²& gilt 4$ 2% und 12$²2%. Die notwendige Bedingung für die Wendestellen lautet 0. Das führt auf ² S S und damit auf 6( T T Da wegen der y-achsensymmetrie von f beide Wendepunkte den gleichen Funktionswert haben, genügt es den horizontalen Abstand d der beiden Wendepunkte zu bestimmen: ( ) * U( ) * V2( ) *

c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende.

c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende. VP b) Das Schaubild von hat für 36 genau zwei Wendepunkte. c) Das Schaubild von verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende. 3. Gegeben ist die Funktionenschar mit

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