Euler-Approximation. Leonie van de Sandt. TU Dortmund Prof. Dr. Christine Müller. 5. Juni 2012
|
|
- Katharina Maurer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Euler-Approximation Leonie van de Sandt TU Dortmund Prof. Dr. Christine Müller 5. Juni 2012 Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Definition der Euler-Approximation Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
4 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Definition der Euler-Approximation 3 Simulation der Euler-Approximation Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Definition der Euler-Approximation 3 Simulation der Euler-Approximation 4 Vorstellung des Milstein-Schemas Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
6 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Definition der Euler-Approximation 3 Simulation der Euler-Approximation 4 Vorstellung des Milstein-Schemas 5 Zusammenfassung Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
7 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Definition der Euler-Approximation 3 Simulation der Euler-Approximation 4 Vorstellung des Milstein-Schemas 5 Zusammenfassung 6 Literatur Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
8 Einleitung Einleitung Gegeben: stochastische Differentialgleichung dx t = b(t, X t )dt + σ(t, X t )dw t Gesucht ist stetige Lösung X t, 0 t T Es kann eine diskrete Approximation für Lösung gefunden werden Euler-Approximation bietet häufig verwendetes numerisches Simulationsverfahren Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
9 Einleitung Zunächst formale Definition der Euler-Approximation Anschließend Simulationen anhand von zwei Beispielen: Ornstein-Uhlenbeck-Prozess Cox-Ingersoll-Ross-Prozess Vorstellung des Milstein-Schemas als Alternative zur Euler-Approximation mit Simulation Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
10 Definition der Euler-Approximation Definition der Euler-Approximation Gegeben sei stochastische Differentialgleichung dx t = b(t, X t )dt + σ(t, X t )dw t mit determinischtem Anfangswert X t0 = X 0 und Diskretisierung Π N ([0, T ]) Die Lösung dieser Gleichung sei der Prozess X t, 0 t T mit T > 0 Euler-Approximation von X ist stetiger stochastischer Prozess Y genügt iterativem Schema Y i+1 = Y i + b(t i, Y i )(t i+1 t i ) + σ(t i, Y i )(W i+1 W i ) i = 0, 1,..., N 1 und Y 0 = X 0 Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
11 Definition der Euler-Approximation konstante Schrittweite t = t i+1 t i = 1 N zwischen den Zeitpunkten t i und t i+1 kann man linear interpolieren: Y (t) = Y i + t t i t i+1 t i Y i+1 Y i für t [t i, t i+1 ) Euler-Approximation konvergiert gegen die Lösung der stochastischen Differentialgleichung schwach mit Ordnung β = 1 stark mit Ordnung γ = 1 2 Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
12 Simulation der Euler-Approximation Simulation der Euler-Approximation Zur Simulation nur der Wiener Prozess zu simulieren: Y i+1 = Y i + b(t i, Y i )(t i+1 t i ) + σ(t i, Y i )(W i+1 W i ) Als Lösung der stochastischen Differentialgleichung zwei Beispiele, welche zu simulieren sind: Ornstein-Uhlenbeck-Prozess Cox-Ingersoll-Ross-Prozess Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
13 Simulation der Euler-Approximation Der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess Eindeutige Lösung der stochastischen Differentialgleichung dx t = (θ 1 θ 2 X t )dt + θ 3 dw t Explizite Lösung ist dann gegeben durch: X t = θ ( 1 + θ 2 x 0 θ 1 θ 2 ) t e θ2t + θ 3 e θ 2t hier: b(t, x) = (θ 1 θ 2 x) und σ(t, x) = θ 3 0 e θ 2(u) dw u Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
14 Simulation der Euler-Approximation Simulation des OU-Prozesses mit Euler >set.seed(123) >T <- 1 >x <- 10 >theta <- c(0, 5, 3.5) >Z <- BM(x=x,T=T,N=100) >N <- 100 >Dt <- T/N >t <- seq(0,t,by=dt) >Y <- numeric(n+1) >Y[1] <- x >for(i in 1:N){ + Y[i+1] <- Y[i] + (theta[1] - theta[2]*y[i])*dt + + theta[3]*(z[i+1]-z[i])} >Y <- ts(y,start=0, deltat=t/n) >plot(y) Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
15 Simulation der Euler-Approximation Y N=10 N=100 N= Time Abbildung: Simulation des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses mithilfe der Euler-Approximation Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
16 Simulation der Euler-Approximation Ornstein-Uhlenbeck-Prozess auch mit der Integraldarstellung zu simulieren: X t = θ ( 1 + x 0 θ ) t 1 e θ2t + θ 3 e θ 2t e θ2(u) dw u θ 2 θ 2 0 Zur Veranschaulichung der Approximationsgüte der Euler-Approximation werden beide Simulationen mit verschiedenen Schrittweiten in je einer Grafik dargestellt Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
17 Simulation der Euler-Approximation Simulation des OU-Prozesses via Integral >T <- 1 >x <- 10 >theta <- c(0, 5, 3.5) >N <- 100 >Dt <- T/N >t <- seq(0,t,by=dt) >itosumou.n <- 0 >XOU.N <- rep(x,n+1) >for(i in 1:N){ + itosumou.n<-itosumou.n+exp(theta[2]*t[i])*(z[i+1]-z[i]) + XOU.N[i+1]<-theta[1]/theta[2]+(x-theta[1]/theta[2])* + exp(-theta[2]*t1[i])+theta[3]*exp(-theta[2]*t[i])* + itosumou.n} >XOU.N <- ts(xou.n,start=0, deltat=dt) Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
18 Simulation der Euler-Approximation Y Euler Approximation via Integral Time Abbildung: Simulation des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses mit Euler-Approximation und via Integral mit 10 Schritten Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
19 Simulation der Euler-Approximation Y Euler Approximation via Integral Time Abbildung: Simulation des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses mit Euler-Approximation und via Integral mit 100 Schritten Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
20 Simulation der Euler-Approximation Y Euler Approximation via Integral Time Abbildung: Simulation des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses mit Euler-Approximation und via Integral mit 1000 Schritten Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
21 Simulation der Euler-Approximation Der Cox-Ingersoll-Ross-Prozess Lösung der stochastischen Differentialgleichung dx t = (θ 1 θ 2 X t )dt + θ 3 Xt dw t Explizite Lösung ist dann gegeben durch: X t = θ ( 1 + θ 2 x 0 θ 1 θ 2 ) t e θ2t + θ 3 e θ 2t hier: b(t, x) = (θ 1 θ 2 x) und σ(t, x) = θ 3 x 0 e θ 2u X u dw u Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
22 Simulation der Euler-Approximation Simulation des CIR-Prozesses mit Euler >T <- 10 >x <- 10 >theta <- c(1, 1, 1) >Z <- BM(x=x,T=T,N=100) >N <- 100 >Dt <- T/N >Y <- numeric(n1+1) >Y[1] <- x >for(i in 1:N){ + Y[i+1] <- Y1[i] + (theta[1] - theta[2]*y[i])*dt + + theta[3]*sqrt(y[i])*(z[i+1]-z[i])} >Y <- ts(y,start=0, deltat=t/n) >plot(y) Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
23 Simulation der Euler-Approximation Y N=50 N=100 N= Time Abbildung: Simulation des Cox-Ingersoll-Ross-Prozesses mithilfe der Euler-Approximation Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
24 Simulation der Euler-Approximation Y Euler Approximation via Integral Time Abbildung: Simulation des Cox-Ingersoll-Ross-Prozesses mit Euler-Approximation und via Integral mit 50 Schritten Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
25 Simulation der Euler-Approximation Y Euler Approximation via Integral Time Abbildung: Simulation des Cox-Ingersoll-Ross-Prozesses mit Euler-Approximation und via Integral mit 100 Schritten Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
26 Simulation der Euler-Approximation Y Euler Approximation via Integral Time Abbildung: Simulation des Cox-Ingersoll-Ross-Prozesses mit Euler-Approximation und via Integral mit 1000 Schritten Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
27 Vorstellung des Milstein-Schemas Vorstellung des Milstein-Schemas Das Milstein-Schema ist ebenfalls eine Methode, um Lösungen stochastischer Differentialgleichungen zu approximieren Definition des Milstein-Schemas: Y i+1 = Y i + b(t i, Y i ) t + σ(t i, Y i )(W i+1 W i ) σ(t i, Y i )σ x (t i, Y i ){(W i+1 W i ) 2 t} Es wird Gebrauch vom Itô-Lemma gemacht, wodurch der Term σ x (t i, Y i ) als Ableitung nach x von σ(t i, Y i ) hinzukommt Für den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit b(t, x) = θ 1 θ 2 x und σ(t, x) = θ 3 stimmen Euler-Approximation und Milstein-Schema überein Als Beispiel zum Vergleich der beiden Approximations-Schemen kann man den Cox-Ingersoll-Ross-Prozess verwenden Hierbei ist dann σ x = 1 x für θ 3 = 2 Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
28 Vorstellung des Milstein-Schemas R Code für die Simulation des CIR-Prozesses mit dem Milstein-Schema >N <- 100 >x <- 10 >T <- 10 >Dt <- T/N >theta <- c(1, 1, 1) >X <- numeric(n+1) >X[1] <- x >for(i in 1:N){ + X[i+1] <- X[i] + (theta[1] - theta[2]*x[i])*dt + + theta[3]*sqrt(x[i])* + (Z[i+1]-Z[i])+(1/2)*theta[3]* + sqrt(x[i])*(1/sqrt(x[i]))*((z[i+1]-z[i])^2-dt)} >X <- ts(x,start=0, deltat=t/n) Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
29 Vorstellung des Milstein-Schemas X Euler Milstein Integral Time Abbildung: Simulation des Cox-Ingersoll-Ross-Prozesses mit Euler-Approximation, Milstein-Schema und via Integral mit 100 Schritten Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
30 Zusammenfassung Zusammenfassung Euler-Approximation häufig verwendetes numerisches Verfahren zur Simulation von Lösungen stochastischer Differentialgleichungen Iteratives Schema, welches Wiener Prozess beinhaltet Zu simulieren ist der Wiener Prozess Je kleiner die Schrittweite gewählt wird, desto besser die Approximation Milstein-Schema ebenfalls gut für Approximation und Simulation, enthält weiteren Term σ x (t, x) Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
31 Literatur Literatur Iacus, S. M. (2008): Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations: With R Examples. 1. Auflage. New York: Springer. Iacus, S. M. (2009): sde: Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations.R package version url: R Development Core Team (2011):R : A Language and Environment for Statistical Computing.ISBN R Foundation for Statistical Computing. Vienna, Austria. url: Leonie van de Sandt (TU Dortmund) Euler-Approximation 5. Juni / 26
Seminarvortrag. Euler-Approximation. Marian Verkely TU Dortmund
Seminarvortrag Euler-Approximation Marian Verkely TU Dortmund 03.12.14 1 / 33 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Simulierte Prozesse 3 Euler-Approximation 4 Vasicek-Prozess: Vergleich analytische Lösung
MehrEinige parametrische Familien für stochastische Prozesse
Einige parametrische Familien für stochastische Prozesse Seminar: Grundlagen der und Statistik von dynamischen Systemen 26. November 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 3 4 5 Einleitung Ziel des Vortrages:
MehrGeometrische Brownsche Bewegung und Brownsche Brücke
Geometrische Brownsche Bewegung und Brownsche Brücke Korinna Griesing Dozentin: Prof. Dr. Christine Müller 17. April 2012 Korinna Griesing 1 (26) Inhalt Motivation Statistische Methoden Geometrische Brownsche
MehrEinige parametrische Familien für stochastische Prozesse
Technische Universität Dortmund Fakultät Statistik Seminar: Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen Einige parametrische Familien für stochastische Prozesse Ausarbeitung Dozentin:
MehrMaximum-Likelihood-Schätzung für das Black-Scholes-Mertonund das Cox-Ingersoll-Ross-Modell
Maximum-Likelihood-Schätzung für das Black-Scholes-Mertonund das Cox-Ingersoll-Ross-Modell Vortrag im Seminar Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen Philipp Aschersleben Fakultät
MehrGeometrische Brownsche Bewegung und Brownsche Brücke
Seminar: Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen SoSe 2012 Geometrische Brownsche Bewegung und Brownsche Brücke Korinna Griesing 10. April 2012 Dozentin: Prof. Dr. Christine Müller
MehrDiffusionsprozesse und lineare stochastische DGL
Diffusionsprozesse und lineare stochastische DGL Michele Bieber TU Dortmund - Fakultät Statistik 15. Mai 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Diffusionsprozesse Stochastische DGL eines Diffusionsprozesses
MehrEin-Faktor-Zinsmodelle
Ein-Faktor-Zinsmodelle M. Gruber 14. 05 2014 Zusammenfassung Beispiel mit Realdaten (Euro Libor overnight, Euribor 3 weeks), Vasicek-Modell mit Simulation, Cox-Ingersoll-Ross-Modell mit Simulation, Hull-White-Modell.
MehrStrukturerhaltende Integrationsverfahren für stochastische Differentialgleichungen in der Modellierung von Zinsderivaten
Strukturerhaltende Integrationsverfahren für stochastische Differentialgleichungen in der Modellierung von Zinsderivaten Michael Günther, Christian Kahl und Thilo Roßberg Bergische Universität Wuppertal
MehrStochastik Praktikum Simulation stochastischer Prozesse
Stochastik Praktikum Simulation stochastischer Humboldt-Universität zu Berlin 15.10.2010 Übersicht 1 Brownsche Bewegung und Diffusionsprozesse 2 Brownsche Brücke 3 Ornstein Uhlenbeck 4 Zusammengesetzte
MehrFokker-Planck Gleichung
Fokker-Planck Gleichung Max Haardt WWU Münster 21. November 2008 Inhalt 1 Einleitung Langevin Gleichung Fokker-Planck Gleichung 2 Herleitung Mastergleichung Kramers-Moyal Entwicklung Fokker-Planck Gleichung
MehrMaximum-Likelihood-Schätzung für das Black-Scholes-Merton-Modell und das Cox-Ingersoll-Ross-Modell
Seminar: Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen SS 2012 Maximum-Likelihood-Schätzung für das Black-Scholes-Merton-Modell und das Cox-Ingersoll-Ross-Modell Thema 10 Philipp Probst
MehrGeneralisierte Momentenmethode
Im Rahmen des Seminars Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen Generalisierte Momentenmethode Sebastian Szugat 26. Juni 2012 Prof. Dr. Christine Müller Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis
MehrSimulationstechnik V
Simulationstechnik V Vorlesung/Praktikum an der RWTH Aachen Numerische Simulation von Strömungsvorgängen B. Binninger Institut für Technische Verbrennung Templergraben 64 2. Teil 2-1 1) Welche Garantie
MehrDifferentialgleichungen
Differentialgleichungen Viele physikalische Probleme können mathematisch als gewöhnliche Differentialgleichungen formuliert werden nur eine unabhängige Variable (meist t), z.b. Bewegungsgleichungen: gleichmäßig
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN BACHELORARBEIT. Theorie und Simulation einer zweidimensionalen stochastischen Differentialgleichung.
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN Fakultät II Institut für Mathematik BACHELORARBEIT im Studiengang Mathematik über das Thema Theorie und Simulation einer zweidimensionalen stochastischen Differentialgleichung
Mehr70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen
70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70. Motivation Zufallsvariablen sind nicht immer diskret, sie können oft auch jede beliebige reelle Zahl in einem Intervall [c, d] einnehmen. Beispiele für solche
MehrBewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität
Bewertung Amerikanischer Optionen mit stochastischer Volatilität Mathias Weigler Universität zu Köln 1. Mai 2014 Ziel dieses Vortrags: Modellierung und Einführung in die Theorie der Optionspreisbewertung
MehrZufällige stabile Prozesse und stabile stochastische Integrale. Stochastikseminar, Dezember 2011
Zufällige stabile Prozesse und stabile stochastische Integrale Stochastikseminar, Dezember 2011 2 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile stochastische Prozesse - Definition Stabile Integrale α-stabile
Mehr- Numerik in der Physik - Simulationen, DGL und Co. Max Menzel
- Numerik in der Physik - Simulationen, DGL und Co. Max Menzel 4.1.2011 1 Übersicht Differenzialgleichungen? Was ist das? Wo gibt es das? Lösen von Differenzialgleichungen Analytisch Numerisch Anwendungen
MehrSeminar Gewöhnliche Differentialgleichungen
Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Dynamische Systeme I 1 Einleitung 1.1 Nichtlineare Systeme In den vorigen Vorträgen haben wir uns mit linearen Differentialgleichungen beschäftigt. Nun werden
MehrÜbungen zu Meteorologische Modellierung Teil 'Grundlagen der Numerik'
Übungen zu Meteorologische Modellierung Teil 'Grundlagen der Numerik' 1. Diskretisierung in der Zeit: Die Evolutionsgleichung Kurzzusammenfassung Zur Erprobung der Verfahren zur zeitlichen Diskretisierung
MehrStrukturerhaltende Approximationen von Wurzel-Diffusionsgleichungen
Strukturerhaltende Approximationen von Wurzel-Diffusionsgleichungen Bachelorarbeit 2. September 211 vorgelegt von Kirsten Bernhard Geb. am: 7. August 1987 in: Frankfurt am Main Matrikelnummer: 36849 Studienrichtung:
MehrExkurs: Method of multiple scales (Mehrskalen Methode)
Exkurs: Method of multiple scales (Mehrskalen Methode) dr. karin mora* Im folgenden betrachten wir nichtlineare dynamische Systeme (NDS) mit sogenannten kleinen nichtlinearen Termen. Viele mathematische
MehrETHZ, D-MATH. Numerische Methoden D-PHYS, WS 2015/16 Dr. V. Gradinaru
ETHZ, D-MATH Prüfung Numerische Methoden D-PHYS, WS 5/6 Dr. V. Gradinaru..6 Prüfungsdauer: 8 Minuten Maximal erreichbare Punktzahl: 6. Der van-der-pol Oszillator ( Punkte) Der van-der-pol Oszillator kann
MehrFinite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen
Finite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen Michael Pokojovy 8. Oktober 2007 Das Ritzsche Verfahren Sei R n ein beschränktes offenes Gebiet mit abschnittsweise glattem Rand S. Betrachte
MehrFinite Elemente I Konvergenzaussagen
Finite Elemente I 195 5 onvergenzaussagen 5 onvergenzaussagen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006 Finite Elemente I 196 5.1 Interpolation in Sobolev-Räumen Wesentlicher Baustein der FE-onvergenzanalyse
MehrDarstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen
Kapitel 8 Darstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen Wir hatten im Beispiel 5. gesehen, dass die Wärmeleitungsgleichung t u u = f auf Ω (0, ) (8.1) eine parabolische Differentialgleichung
MehrDiffusionsprozesse und lineare stochastische Differentialgleichungen
Diffusionsprozesse und lineare stochastische Differentialgleichungen Michele Bieber Projektbericht im Rahmen des Seminars Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen Sommersemester
MehrIterative Algorithmen für die FSI Probleme II
Iterative Algorithmen für die FSI Probleme II Rebecca Hammel 12. Juli 2011 1 / 22 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 2 / 22 Zur Wiederholung: Wir definieren unser Fluid-Gebiet Ω(t) durch Ω(t) = {(x 1, x 2 ) R 2
MehrMATHEMATISCHE METHODEN DER PHYSIK 1
MATHEMATISCHE METHODEN DER PHYSIK 1 Helmuth Hüffel Fakultät für Physik der Universität Wien Vorlesungsskriptum Sommersemester 2012 Version vom 08-03-2012 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen
Mehr12 Gewöhnliche Differentialgleichungen
2 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Einleitung Sei f : D R wobei D R 2. Dann nennt man y = f(x, y) (5) eine (gewöhnliche) Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung. Als Lösung von (5) akzeptiert
MehrMathematische Methoden für Informatiker
Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 8.12.2016 20. Vorlesung Differentialgleichungen n-ter Ordnung Lösung einer Differentialgleichung Veranschaulichung der Lösungsmenge Anfangswertprobleme Differentialgleichungen
MehrDie Fakultät. Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten 13. September 2003
Die Fakultät Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 3. September 2003 Dieser Artikel gibt die Definition der klassischen Fakultät und führt von dort aus zunächst zu der Anwendung in Taylor-Reihen
MehrGewöhnliche Differentialgleichungen Woche 1
Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche Einführung. Modelle Eine gewöhnliche Differentialgleichung gibt eine Relation zwischen einer unbekannten Funktion und deren Ableitung(en). Nun kann man unendlich
MehrErste Schritte mit R. 2.1 Herunterladen der freien Software R
Erste Schritte mit R 2 BevorwirunsmitdeninKap.1 eingeführten Fragestellungen beschäftigen, brauchen wir noch ein Werkzeug, um die Datensätze später wirklich auswerten zu können. Sicher lässt sich das in
MehrStochastik-Praktikum
Stochastik-Praktikum Simulation stochastischer Prozesse Peter Frentrup Humboldt-Universität zu Berlin 27. November 2017 (Humboldt-Universität zu Berlin) Zufallszahlen und Monte Carlo 27. November 2017
MehrAbbildung 10.1: Das Bild zu Beispiel 10.1
Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten I. Definition einer Mannigfaltigkeit Die Definition einer Mannigfaltigkeit braucht den Begriff Diffeomorphismus, den wir in Definition 9.5 festgelegt haben. Seien U,
MehrSpringers Mathematische Formeln
Lennart Rade Bertil Westergren Springers Mathematische Formeln Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler Übersetzt und bearbeitet von Peter Vachenauer Dritte,
Mehr3 Das Programm 3. 4 Dateien 4. 5 Aufgaben 4. 6 Ausblick 5
Contents 1 Ziele dieser Uebung 1 2 Finite-Differenzen-Methode 1 3 Das Programm 3 4 Dateien 4 5 Aufgaben 4 6 Ausblick 5 1 Ziele dieser Uebung 1.1 Einleitung Wir erweitern das Problem aus der letzten Uebung
MehrKapitel 6. Suffiziente Statistiken. 6.1 Vorbetrachtungen
Kapitel 6 Suffiziente Statistiken In diesem Kapitel untersuchen wir einen weiteren statistischen Begriff, der eng mit Likelihoodfunktionen zusammenhängt und mit der Frage nach eventuell möglicher Datenreduktion
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 10
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist
Mehr10 Stabilität und steife Systeme
Numerik II 34 Stabilität und steife Systeme Inhalt. Absolute Stabilität. Was sind steife Differentialgleichungen?.3 Weitere Stabilitätsbegriffe Stabilität und steife Systeme TU Bergakademie Freiberg, SS
MehrComputersimulationen in der Astronomie
Computersimulationen in der Astronomie Fabian Heimann Universität Göttingen, Fabian.Heimann@stud.uni-goettingen.de Astronomisches Sommerlager 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Differentialgleichungen 3 1.1 Beispiele.....................................
Mehr2. Numerische Verfahren für AWPe 2.1 Das Euler-Verfahren
2.1 Das Euler-Verfahren Wir betrachten das AWP y = f (t, y), y(t 0 ) = y 0. (AWP) Unter den Voraussetzungen von Satz 1.1 besitzt es eine eindeutige Lösung, sagen wir über dem Intervall I. Wir wollen diese
MehrBemerkungen. f (x 1,..., x i + x i,..., x n ) f (x 1,..., x n ) lim. f xi (x 1,..., x n ) =
Bemerkungen Die Erweiterung der Definition von partiellen Ableitungen 1. Ordnung für Funktionen u = f (x 1,..., x n ) mit n > 2 Veränderlichen ist offensichtlich: f xi (x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x i
MehrMartingal-Maße. Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time (Hans Föllmer, Alexander Schied) Manuel Müller Mathematisches Institut
Martingal-Maße Manuel Müller 29.04.2016 Mathematisches Institut Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time (Hans Föllmer, Alexander Schied) Seite 2 Martingal-Maße 29.04.2016 Inhaltsverzeichnis
MehrSpline-Räume - B-Spline-Basen
Spline-Räume - B-Spline-Basen René Janssens 4. November 2009 René Janssens () Spline-Räume - B-Spline-Basen 4. November 2009 1 / 56 Übersicht 1 Erster Abschnitt: Räume von Splinefunktionen Grundlegende
MehrOtto-von-Guericke-Universität Magdeburg. Studienarbeit. Simulation der Euler- und Milsteinapproximation
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Studienarbeit Simulation der Euler- und Milsteinapproximation Anja Schulze 8. Oktober 22 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Ein spezieller zeitstetiger Prozess:
MehrBrownsche Bewegung. M. Gruber. 20. März 2015, Rev.1. Zusammenfassung
Brownsche Bewegung M. Gruber 20. März 2015, Rev.1 Zusammenfassung Stochastische Prozesse, Pfade; Definition der Brownschen Bewegung; Eigenschaften der Brownschen Bewegung: Kovarianz, Stationarität, Selbstähnlichkeit;
MehrBrownsche Bewegung. M. Gruber SS 2016, KW 11. Zusammenfassung
Brownsche Bewegung M. Gruber SS 2016, KW 11 Zusammenfassung Stochastische Prozesse, Pfade; Definition der Brownschen Bewegung; Eigenschaften der Brownschen Bewegung: Kovarianz, Stationarität, Selbstähnlichkeit;
MehrFolgen und Reihen. Thomas Blasi
Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................
MehrKomplexe Analyse von Wahldaten am Beispiel der Wahlen in Deutschland zwischen 1924 und 1933
Komplexe Analyse von Wahldaten am Beispiel der Wahlen in Deutschland zwischen 1924 und 1933 André Klima1, Helmut Küchenhoff1, Paul W. Thurner2 1 Statistisches Beratungslabor, Institut für Statistik 2 Geschwister-Scholl-Institut
MehrAstrophysikalsiches Numerikum: Gewöhnliche Differentialgleichungen am Beispiel Weißer Zwerge
Astrophysikalsiches Numerikum: Gewöhnliche Differentialgleichungen am Beispiel Weißer Zwerge A. Schweitzer Wintersemester 2005/06 Links, Literatur und weitere Informationen Die Numerical Recepies sind
MehrSocio-Economic Modelling
Socio-Economic Modelling Seminar Partielle Differentialgleichung Andreas Günnel 20. Mai 2008 1/29 Andreas Günnel Socio-Economic Modelling Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Einleitung 2 3 2/29 Andreas Günnel
Mehr1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung 1.1 Grundlagen 1.2 Euler-Vorwärts-Verfahren 1.3 Runge-Kutta-Verfahren 1.4 Stabilität 1.5 Euler-Rückwärts-Verfahren 1.6 Differentialgleichungssysteme Prof. Dr. Wandinger
MehrNachklausur am Donnerstag, den 7. August 2008
Nachklausur zur Vorlesung Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2008 Prof. Dr. Martin Rumpf Dr. Martin Lenz Dipl.-Math. Nadine Olischläger Nachklausur am Donnerstag, den 7. August 2008 Bearbeitungszeit:
MehrRekurrente Neuronale Netze. Rudolf Kruse Neuronale Netze 227
Rekurrente Neuronale Netze Rudolf Kruse Neuronale Netze 227 Rekurrente Netze: Abkühlungsgesetz Ein Körper der Temperaturϑ wird in eine Umgebung der Temperaturϑ A eingebracht. Die Abkühlung/Aufheizung des
Mehr3. Ebene Systeme und DGL zweiter Ordnung
H.J. Oberle Differentialgleichungen I WiSe 2012/13 3. Ebene Systeme und DGL zweiter Ordnung A. Ebene autonome DGL-Systeme. Ein explizites DGL-System erster Ordung, y (t) = f(t, y(t)), heißt bekanntlich
MehrQuasi-Monte-Carlo-Algorithmen
Quasi-Monte-Carlo-Algorithmen Peter Kritzer Institut für Finanzmathematik/Institut für Didaktik der Mathematik Johannes Kepler Universität Linz peter.kritzer@jku.at Tag der Mathematik, April 2011 P. Kritzer
MehrKapitel 16 : Differentialrechnung
Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen
MehrDierentialgleichungen 2. Ordnung
Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:
Mehr5. Vorlesung Wintersemester
5. Vorlesung Wintersemester 1 Bewegung mit Stokes scher Reibung Ein dritter Weg, die Bewegungsgleichung bei Stokes scher Reibung zu lösen, ist die 1.1 Separation der Variablen m v = αv (1) Diese Methode
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II 2014
Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben
MehrGMA. Grundlagen Mathematik und Analysis. Nullstellen und Fixpunkte Reelle Funktionen 3. Christian Cenker Gabriele Uchida
GMA Grundlagen Mathematik und Analysis Reelle Funktionen 3 Christian Cenker Gabriele Uchida Data Analytics and Computing Nullstellen cos log : 0, 0,? 1 Fixpunkte Beispiel 1 Beispiel 2 1 0 0 und 1 1sin,?
MehrSchwache Konvergenz. Ivan Lecei. 18. Juni Institut für Stochastik
Institut für Stochastik 18. Juni 2013 Inhalt 1 2 3 4 5 Nach ZGWS konvergiert für n F n (x) = P{ X 1+...+X n np npq x} gegen F(x) = 1 2π x e 1 2 u2 du, wenn die X i unabhängig und bernoulliverteilt sind
MehrMathematik 2. 4y Springer Vieweg. Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. Albert Fetzer Heiner Fränkel. 7. Auflage
Albert Fetzer Heiner Fränkel Mathematik 2 Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 7. Auflage Mit Beiträgen von Akad. Dir. Dr. rer. nat. Dietrich Feldmann Prof. Dr. rer. nat. Albert Fetzer
MehrNumerik von Anfangswertaufgaben Teil II
Institut für Numerische Mathematik und Optimierung Numerik von Anfangswertaufgaben Teil II Numerik partieller Differentialgleichungen Oliver Ernst Hörerkreis: 6. Mm, 8. Mm Sommersemester 2012 Inhalt 1.
Mehr4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen
4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen Allgemeine Problemstellung: Gegeben sei die gemeinsame Verteilung der ZV en X 1,..., X n (d.h. bekannt seien f X1,...,X n bzw. F X1,...,X n ) Wir betrachten
Mehr7 Der Satz von Girsanov
7 Der Satz von Girsanov Der Satz von Girsanov wird uns eine neue Perspektive auf die Rolle des Drifts liefern. Die Prozesse Brownsche Bewegung B t, Brownsche Bewegung mit Drift X t = B t + µt haben wir
MehrDer Taylorsche Satz Herleitung und Anwendungen
Der Taylorsche Satz Herleitung und Anwendungen Joachim Schneider Juni 2004 Zusammenfassung Es wird ein enfacher Beweis des Taylorsche Satz über die lokale Approximierbarkeit hinreichend glatter Funktionen
MehrKonvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung
Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung Michael de Mourgues LMU München Bruck am Ziller, 08.01.2015 Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 1/14 Das
MehrBrownsche Bewegung. Satz von Donsker. Bernd Barth Universität Ulm
Brownsche Bewegung Satz von Donsker Bernd Barth Universität Ulm 31.05.2010 Page 2 Brownsche Bewegung 31.05.2010 Inhalt Einführung Straffheit Konvergenz Konstruktion einer zufälligen Funktion Brownsche
MehrMonotone Approximationen durch die Stirlingsche Formel. Wir beginnen mit einem einfachen Beweis einer schwachen Form von Stirlings
Monotone Approximationen durch die Stirlingsche Formel Wir beginnen mit einem einfachen Beweis einer schwachen Form von Stirlings Formel für n!: e n n e n n! e n n+/2 e n Genauer zeigen wir, dass die Folge
MehrEnrico G. De Giorgi. Mathematik. 2. Auflage Lehrstuhl für Mathematik Universität St.Gallen. Diese Version: August 2014.
Enrico G. De Giorgi Mathematik 2. Auflage 2014 Lehrstuhl für Mathematik Universität St.Gallen Diese Version: August 2014. c 2014, Enrico De Giorgi, Universität St.Gallen, alle Rechte vorbehalten. Die Vervielfältigung
Mehr3 Funktionen in mehreren Variablen
3 Funktionen in mehreren Variablen Funktionen in mehreren Variablen Wir betrachten nun Abbildungen / Funktionen in mehreren Variablen. Dies sind Funktionen von einer Teilmenge des R d nach R. f : D f R,
MehrM.Sc. Brice Hakwa. Zufallsprozesse und stochastische Integration. Chap 6: Monte-Carlo-Simulation
M.Sc. Brice Hakwa Zufallsprozesse und stochastische Integration Chap 6: Monte-Carlo-Simulation Motivation 1. In vielen Problemstellungen der Finanzmathematik und des Risikomanagements ist die Dynamik der
MehrSpringers Mathematische Formeln
г Lennart Rade Bertil Westergren Springers Mathematische Formeln Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschaftswissenschaftler Übersetzt und bearbeitet von Peter Vachenauer Inhaltsverzeichnis
MehrAnalysis 2, Woche 3. Differentialgleichungen I. 3.1 Eine Einleitung
Analysis, Woche 3 Differentialgleichungen I 3 Eine Einleitung Eine Differentialgleichung beschreibt eine Beziehung zwischen Ableitungen einer Funktion oder Vektorfunktion und dieser Funktion selbst Die
Mehr11 Stochastisches Integral und Itô-Formel
11 Stochastisches Integral und Itô-Formel Im diskreten Finanzmodell bei selbstfinanzierender Strategie ϑ = {ϑ n n=,...,n mit Anfangswert V gilt : Ṽ n ϑ = V + n ϑ T j S j. j=1 Dieser diskontierte Wertprozess
Mehr4. Differentialgleichungen
4. Differentialgleichungen Prof. Dr. Erich Walter Farkas 10.11.2011 Seite 1 Einleitung Viele in der Natur stattfindende Vorgänge können durch sogenannte Differentialgleichungen beschrieben werden. Unter
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Wintersemester 2012/2013 Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Aufgabe 1: Bruchrechnung Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf (a) x x 2 1
MehrEinführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens
in einige Teilbereiche der für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Finanzmathematik 2 Lineare Programme 3 Differentialgleichungen 4 Statistik:
MehrGewöhnliche Dierentialgleichungen
Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat
MehrSeite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx
Seite Aufgabe : a Berechnen Sie das Integral b Berechnen Sie das Integral +x x+x dx. π sin x dx. c Differenzieren Sie die Funktion ft = t e t s ds. Nur Leibniz-Formel a + x x + x dx = d dx lnx + x dx =
MehrHerleitung der Bessel-Funktionen mit dem Integral-Iterationsverfahren
Herleitung der Bessel-Funktionen mit dem Integral-Iterationsverfahren Dr. rer. nat. Kuang-lai Chao Göttingen, den 3. Februar 009 Abstract Derivation of Bessel functions with the integral iterative method
MehrDas Black-Scholes Modell
Vathani Arumugathas Das Black-Scholes Modell 1 Das Black-Scholes Modell Vathani Arumugathas Seminar zu Finanzmarktmodellen in der Lebensversicherung, Universität zu Köln 10. Juni 016 Inhaltsverzeichnis
MehrLösungsvorschläge zur Klausur
Prüfung in Höhere Mathematik 3 5. September 3 Lösungsvorschläge zur Klausur für bau, ernen, fmt, IuI, mach, tema, umw, verf, geod und so weiter ; Aufgabe : Punkte Im R 3 wird eine Fläche T durch die Abbildung
MehrIngenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen
Hans Benker Ingenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA, MATLAB und MuPAD in der Anwendung vieweg X Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Ingenieurmathematik
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung
MehrVF-3: Es seien A R n n beliebig aber regulär, b R n und gesucht sei die Lösung x R n von A x = b.
NumaMB F14 Verständnisfragen-Teil (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen (hinschreiben). Bewertung: Vier Fragen richtig beantwortet
MehrNumerische Verfahren
Numerische Verfahren Numerische Methoden von gewöhnlichen Differentialgleichungen (AWP) Prof. Dr.-Ing. K. Warendorf, Prof. Dr.-Ing. P. Wolfsteiner Hochschule für Angewandte Wissenschaften München (FH)
MehrVerallgemeinerte Funktionen
Verallgemeinerte Funktionen. Der Raum der Grundfunktionen Für den Vektorraum R n, n N, über R betrachten wir die Euklidische Norm kk W R n! R; v x 7! p ux x > x WD t n und bezeichnen eine Menge A R n als
MehrVorlesung im SoSe 2010 Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik
Univ. Leipzig Mathematisches Institut Vertretung Professur Stochastische Prozesse Max v. Renesse email: mrenesse@math.tu-berlin.de Vorlesung im SoSe 2010 Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik
MehrKonvergenz gegen einen Prozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen
Konvergenz gegen einen rozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen Saskia F. Glaffig 20.07.17 "Wiederholung" Definition (vgl. Jacod, Shiryaev, I.3.26: oissonprozess). Ein erweiterter oissonprozess
MehrHöhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. I. Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 7 4.5.7 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik
MehrParareal. Ein paralleler Lösungsalgorithmus für gewöhnliche Differentialgleichungen. Johannes Reinhardt. Parareal 1 Johannes Reinhardt
Ein paralleler Lösungsalgorithmus für gewöhnliche Differentialgleichungen Johannes Reinhardt 1 Johannes Reinhardt Übersicht Grundlagen Gewöhnliche Differentialgleichungen Numerische Methoden Der Algorithmus
Mehr5 Randwertprobleme. y = f(t, y, y ) für t J, (5.2a) y(t 0 ) = y 0, y(t) = y T (5.2b) zu gegebener Funktion f und Werten y 0, y T.
5 Randwertprobleme Bei den bisher betrachteten Problemen handelte es sich um Anfangswertprobleme. In der Praxis treten, insbesondere bei Differentialgleichungen höherer Ordnung, auch Randwertprobleme auf.
MehrStabilität von geschalteten DAEs
Elgersburg Workshop 2011, 16.02.2011, 17:30-18:00 Einleitung Klassische DAEs Distributionelle Lösungen für geschaltetet DAEs Inhalt 1 Einleitung Systemklasse: Definition und Motivation Beispiele 2 Klassische
MehrReelle Zufallsvariablen
Kapitel 3 eelle Zufallsvariablen 3. Verteilungsfunktionen esultat aus der Maßtheorie: Zwischen der Menge aller W-Maße auf B, nennen wir sie W B ), und der Menge aller Verteilungsfunktionen auf, nennen
Mehr