Die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nach der relativistischen Dynamik von Dirac.

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1 Die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nah der relativistishen Dynamik von Dira. Von 0. Klein in Kopenhagen. (Eingegangen am 24. Dezember 1928.) Es wird die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nah der neuen Dirashen Dynamik untersuht. Bei sehr großen Werten des Potentialsprungs dringen der Theorie zufolge Elektronen gegen die auf sie wirkende elektrishe Kraft durh die Sprungflähe und kommen auf der anderen Seite mit einer negativen kinetishen Energie an. Dies dürfte als ein besonders shroffes Beispiel der von Dira hervorgehobenen Shwierigkeit der relativistishen Dynamik zu betrahten sein. Einleitung. Wie Dira 1 hervorgehoben hat, besteht eine ernste Shwierigkeit für die relativistishe Quantentheorie in dem Umstand, dass ein Elektron in einem Kraftfeld nah der Theorie negative Energiewerte annehmen kann, die mit den physikalish sinnvollen positiven Energiewerten im allgemeinen durh Übergangsmöglihkeiten verbunden sind. Auh in seiner neuen, in anderer Hinsiht so erfolgreihen Behandlung der relativistishen Quantendynamik ist es ihm niht gelungen, diese Shwierigkeit zu überwinden. In den folgenden Zeilen soll auf ein elementares Beispiel hingewiesen werden, wo diese Shwierigkeit besonders shroff zum Vorshein kommt. Es handelt sih hierbei um die Reflexion und Brehung von Elektronenwellen an einer Grenzflähe, wo das elektrostatishe Potential einen Sprung hat. 1. Es sei E die Totalenergie eines in einem kräftefreien Raumteil bewegten Elektrons, während p 1, p 2, p 3 die Komponenten seiner Bewegungsgröße nah den Ahsen eines rehtwinkligen Koordinatensystems angeben mögen, wo das Elektron die Koordinaten x 1, x 2, x 3 hat. Wir wollen annehmen, daß 1 P. A. M. Dira, Pro. Roy. So. 117, 612, Zeitshrift für Physik. Bd. 53 1

2 das elektrostatishe Potential in dem Raumteil von Null vershieden ist, und zwar soll das Elektron die konstante potentielle Energie P besitzen. Diese Festsetzung hat natürlih nur dann eine Bedeutung, wenn wir diesen Raumteil mit einem anderen Raumteil vergleihen, wo das Potential einen anderen Wert hat. Es gilt nun nah der gewöhnlihen Relativitätsmehanik die folgende Beziehung zwishen der Energie E P, die wir die kinetishe Energie des Elektrons nennen wollen (obgleih sie bei einem ruhenden Elektron niht Null, sondern m 0 2 ist), und der Bewegungsgröße ( E P ) 2 = p p p m 0 2, (0) wo m 0 die Ruhemasse des Elektrons und die Lihtgeshwindigkeit bedeuten. Die fraglihe Shwierigkeit hängt damit zusammen, daß die kinetishe Energie sowohl positive wie negative Werte annehmen kann, wodurh neben den physikalish sinnvollen Lösungen noh weitere Lösungen mit negativer kinetisher Energie vorhanden sind, denen ein physikalisher Sinn niht zugesprohen werden kann. In der gewöhnlihen Relativitätsmehanik liegt hierin deshalb keine Shwierigkeit, weil das Quadrat der Bewegungsgröße nie negativ werden kann, so daß nah (0) die kinetishe Energie nie Null wird; denn da in dieser Theorie nur kontinuierlihe Übergänge vorkommen, bedeutet dies, daß die negativen Energiewerte nie erreiht werden können. In der Quantentheorie sind aber die fraglihen Lösungen im allgemeinen niht voneinander trennbar, weil einerseits diskontinuierlihe Strahlungsübergänge möglih sind und andererseits die Elektronenwellen hier durh Gebiete dringen können, wo das Elektron, klassish gesprohen, eine imaginäre Bewegungsgröße hätte. 2. Für ein Elektron in einem elektrostatishen Kraftfeld, wo das Potential V ist, können wir nah Dira das quantendynamishe Problem auf folgende Wellengleihung zurükführen: { E + ev mit der adjungierten Gleihung { E + ev ϕ } + βm ψ ih } + βm + ih α k ψ x k = 0 (1) α k ϕ x k α k = 0 (2) wo E wieder die Totalenergie des Elektrons bedeutet, die wir als gegeben betrahten können, während e seine Ladung bezeihnet und h die mit 2π 2

3 dividierte Plankshe Konstante bedeutet. Die Größen α 1, α 2, α 3 und β sind Matrizen mit vier Reihen und Kolonnen, die den Relationen genügen: α i α k + α k α i = 0, i k, α i β + βα i = 0, α 2 1 = α2 2 = α2 3 = β2 = 1 Dementsprehend bestehen die Funktionen ϕ und ψ aus je vier Komponenten ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4 bzw. ψ 1, ψ 2, ψ 3, ψ 4. Bezeihnet γ eine Matrix mit vier Reihen und Kolonnen, so soll hierbei γψ als eine Abkürzung für die vier Größen 4h=1 γ ik ψ k (i = 1, 2, 3, 4) gelten, wo γ ik die Matrixelemente von γ bezeihnen. Ebenso soll ϕγ aufgefaßt werden als 4 h=1 ϕ k γ ki (i = 1, 2, 3, 4). Man sieht, daß es danah erlaubt ist, die Gleihung (1) von links und die Gleihung (2) von rehts mit irgend einer Matrix zu multiplizieren, ohne ihre Gültigkeit zu beeinträhtigen. Dies bedeutet eben nur eine lineare Transformation des Gleihungssystems Wir wollen nun annehmen, daß links von der Ebene x 1 = 0 das Potential V gleih 0 ist, während rehts von dieser Ebene ev = P gilt, wo P eine positive Größe bedeutet. Man wird also erwarten, daß bei dem Durhgang durh diese Ebene die Elektronen einen Teil P ihrer kinetishen Energie verlieren. Um die Reflexion und Brehung von Elektronenwellen an dieser Diskontinuitätsflähe untersuhen zu können, ist es notwendig, die Grenzbedingungen bei Unstetigkeitsflähen für die Dirashen Wellengleihungen aufzufinden. Man kann, wie üblih 2, diese durh Betrahtung der Diskontinuitätsflähe als Grenzfall eines Gebiets endliher Dihte, in dem sih die diskontinuierlihe Größe, in diesem Falle das Potential, rash ändert, ableiten. Da sih die Gleihungen (1) hinsihtlih der Differentialquotienten der Komponenten von ψ senkreht auf der Diskontinuitätsflähe, in diesem Falle ψ 1 x 1, ψ 2 x 1, ψ 3 x 1, ψ 4 x 1 auflösen lassen, so folgt unmittelbar, falls das Potential in dem Übergangsgebiet nur endlih bleibt, daß die vier Größen ψ 1, ψ 2, ψ 3, ψ 4 und natürlih ebenso ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4 beim Durhqueren der Diskontinuitätsflähe kontinuierlih bleiben 3. 2 Vgl. H. Faxen und J. Holtsmark, ZS. f. Phys. 45, 311, 1927, wo eine ähnlihe Betrahtung für die Shrödingershe Wellengleihung durhgeführt wurde. 3 Durh die Lösbarkeit der Gleihung (1) hinsihtlih des Differentialquotienten der vier Komponenten von ψ nah einer beliebigen räumlihen Rihtung folgt auh, daß für eine stetige Lösung alle vier Komponenten niht an einer Flähe gleih Null sein können, ohne überhaupt zu vershwinden. Die bei der Shrödingershen Gleihung benutzte Grenzbe- } (3) 3

4 3. Ohne wesentlihe Einshränkung können wir nun eine rein harmonishe einfallende Welle betrahten, die senkreht auf die Ebene x 1 = 0 auftrifft. Wir setzen demnah für die einfallende Welle, indem wir für x 1 einfah x shreiben: ψ e = v e e i h (px Et), (4) wo t die Zeit und p den Impuls des Elektrons bezeihnet. Durh Einsetzen von diesem Ausdruk in (1) bekommen wir ein System von linearen algebraishen Gleihungen für die vier Komponenten der Amplitude v e das folgendermaßen geshrieben werden kann: E/ + α/p + βm 0 = 0, (5) wo wir α für α 1 gesetzt haben. Wenn ν e niht identish vershwinden soll, folgt hieraus die Beziehung E 2 / 2 = p 2 + m 2 0 2, (6) welhe ein Spezialfall von (0) ist. Für E wollen wir hierbei den positiven Wert wählen. Es sind nun zwei der Komponenten von v e frei wählbar, was eben den beiden Einstellungsmöglihkeiten des Elektrons in einem Magnetfeld entspriht 4. Aus (6) folgt, daß der Impuls der reflektierten Welle p sein muß, während für die gebrohene Welle ein Impulswert p folgt, der durh die Beziehung ( ) E P 2 = p 2 + m (7) gegeben ist. Vorerst wollen wir P als so klein annehmen, daß aus (7) ein positiver Wert für p 2 folgt. Wir können dann setzen: ψ r = v r e i h ( px Et), ψ g = v g e i h ( px Et), (8) wo ψ r und ψ g zu der reflektierten bzw. gebrohenen Welle gehören. Aus (1) folgt: { { } E E P 0} αp + βm v r = 0, + α p + βm 0 v g = 0. (9) dingung ψ 0 an einer Wand wird also bei der Dirashen Theorie sinnlos und muß durh Bedingungen ersetzt werden, die in einer näheren Festlegung der physikalishen Beshaffenheit der Wand zu suhen sind. 4 Vgl. C. G. Darwin, Pro. Roy. So 118, 654,

5 Die Grenzbedingung lautet nun einfah: v e + v r = v g. (10) Wenn wir die vier Komponenten der einfallenden Welle als gegeben betrahten, so haben wir aht Unbekannte, nämlih die vier Komponenten von v r und die vier Komponenten von v g. Auf Grund von (9) sind aber nur vier von diesen unabhängig, so daß (10) gerade die genügende Anzahl von Gleihungen für die Berehnung derselben liefert. Wir können die Auflösung der Gleihungen hinsihtlih v r leiht in der folgenden Weise erhalten. Aus (5) und der ersten Gleihung (9) folgt: Aus (9) folgt auf Grund von (10) und also oder E/ + βm 0 )(v e + v r ) = αp(v e v r ). (E/ + βm 0 )(v e + v r ) = (P/ α p)(v e + v r ) (P/ αp )(v + v r ) αp(v v r ) {P/ α(p + p)} v r = {P/ + α(p p)} v e. Durh Multiplikation beider Seiten dieser Beziehung mit P + α(p + p) folgt unter Berüksihtigung von α 2 = 1 mit Hilfe von (6) und (7) 2P/(E/ + αp) v r = P 2 / 2 (p + p) v e. (11) 2 Um dieses Resultat physikalish verwerten zu können, müssen wir die entsprehende Lösung der adjungierten Wellengleihung (2) suhen, denn nah Dira gibt ϕψdv = 4 1 ϕ k ψ k dv die Wahrsheinlihkeit, daß wir das Elektron in dem Volumenelement dv antreffen. Hieraus folgt für die Wahrsheinlihkeit, daß das Elektron ein auf der x-ahse senkrehtes Flähenelement df in der Zeit dt durhquert, eϕαψdf dt, wo ϕαψ als Abkkürzung für 4 i,h=1 ϕ i α ik ψ k steht 5. Es ist nun, wie Dira gezeigt hat, möglih, für α und β Hermiteshe Matrizen zu wählen. Wenn ψ eine Lösung der Gleihung 5 * P. A. M. Dira, Pro. Roy. So. 118, 351,

6 (1) bedeutet, so wird ϕ = konjugiert komplex von ψ eine Lösung von (2) sein. Indem wir bei Hermiteshen Matrizen für ϕ und ψ konjugiert komplexe Größen wählen, bekommen wir offenbar reelle Ausdrüke für ϕψ und ϕαψ. Wir setzen demnah ϕ e = u e e i h (px Et), ϕ r = u r e i h ( px Et), ϕ g = u g e i h ( px Et), } (12) wo u r, u r und u g, falls α und β hermitesh sind, zu den Größen v e, v r und v g konjugiert komplex sind. Aus (2) und (12) ergibt sih u e {E/ + βm 0 αp} = 0, u r {E/ + βm 0 + αp} = 0 u g { E P + βm 0 + α p } = 0. } (13) Wir leiten nun aus (5) und (13) eine nützlihe Identität ab, indem wir (5) von links mit u e α und die erste Gleihung (13) von rehts mit αv e multiplizieren. Da α und β antikommutieren und α 2 = 1, bekommen wir durh Addition oder E/u e αv e + pu e v e = 0 u e αv e = p2 E u ev e. (14) In der Partikelauffassung bedeutet p2 die Geshwindigkeit des Elektrons E (Gruppengeshwindigkeit), so daß diese Gleihung einen Zusammenhang zwishen Stromdihte und Dihte gibt, wie er der gewöhnlihen Hydrodynamik entspriht. Ähnlihes gilt natürlih für die reflektierte und die gebrohene Welle (bei der letzteren ist E durh die kinetishe Energie E P zu ersetzen). Zur Berehnung des Bruhteils der Elektronen, der reflektiert bzw. gebrohen wird, genügt es also, die Größen u r v 4 und u g v g durh die Komponenten der einfallenden Welle auszudrüken. Durh eine ähnlihe Rehnung wie die, welhe zu dem Ausdruk (11) führte, finden wir nun u r = u e 2P/(E/ + αp) P 2 / 2 (p + p) 2. (15) 6

7 Aus (10) und (15) folgt dann ( ) 2 2P/ u r v r u p 2 / 2 (p + p) 2 e (E/ + αp) 2 v e ( ) 2 { 2P/ = (E 2 / 2 + p 2 )u P 2 / 2 (p + p) 2 e v e + 2Ep } u eαv e oder nah (14) und (6) ( ) 2 2P m 0 u r v r = u P 2 / 2 (p + p) 2 e v e. (16) Die Größe ( ) 2 2P m 0 P 2 / 2 (p+ p) gibt also den Bruhteil der Elektronen an, der 2 reflektiert wird. Wie man mit Hilfe von (6) und (7) leiht nahweist, wähst dieser Reflexionskoeffizient mit zunehmendem P von Null für P = 0 und erreiht bei P = E m 0 2 den Wert Eins. Eben hier wird nun p 2 gleih Null, und bei weiterem Anwahsen von P treten wir in das Gebiet der imaginären p ein, das wir nun untersuhen wollen. In der klassishen Theorie bedeutet das Imaginärwerden von p, daß das Elektron so weit in das Feld eindringt, daß seine Geshwindigkeit Null wird und dann zurükgeworfen wird. In der Wellentheorie werden auh rehts von der Grenzflähe die Wellenfunktionen endlihe Werte haben; wie wir aber sehen werden, entsprehen die Verhältnisse zunähst der Totalreflexion in der Optik. Wenn p imaginär ist, können wir setzen: ψ g = v g e µx i E h t, ϕ g = u g e µx+i E h t, (17) wo µ eine reelle Größe bedeutet, die offenbar positiv sein muß, da sonst die Dihte rehts von der Grenzflähe mit x ins Unendlihe wahsen würde. Eben wie in diesem Fall µ reell ist, so muß nah den allgemeinen Vorshriften der Theorie der mit x proportionale Exponent in ψ g und ϕ g dasselbe Vorzeihen haben. Dies bedeutet aber, daß wir bei ψ g die Größe p gleih ihµ setzen, bei ϕ g dagegen gleih ihµ. Mit dieser Festsetzung bekommen wir aus (11) und (15) v r = 2P/(E/ + αp)v e P 2 / 2 (p + ihµ) 2, u r = u e 2P/(E/ + αp) P 2 / 2 (p ihµ) 2 (18) 7

8 und also u r v r = (2P/) 2 (E 2 / 2 p 2 ) [(P/ + p) 2 + µ 2 h 2 ][P/ p) 2 + µ 2 h 2 ] u ev e. Wir können diesen Ausdruk mit Hilfe von (6) und (7) vereinfahen. Zunähst folgt und also mit p 2 = µ 2 h 2 Es folgt deshalb einfah p 2 = p 2 P (2E P ) 2 (19) (P/ ± p) 2 + µ 2 h 2 = 2P/(E/ ± p). (P/ ± p) 2 + µ 2 h 1 2 = 2P/(E/ ± p). (20) Der reflektierte Strom ist also gleih dem einfallenden Strom, während hinter der Grenzflähe eine exponentiell abfallende Wellenlösung besteht. Die Bedingung für diesen Fall ist nah (19) p 2 < P (2E P ), eine Bedingung, die bei wahsendem P dann zuerst erfüllt wird, wenn P den Wert 2 E E 2 / 2 p 2 = E m 0 2 übershreitet. Wenn P noh weiter zunimmt, so wird die Größe µ zuerst anwahsen; wegen es in P quadratishen Gliedes in (19) erreiht sie aber ein Maximum, das bei P = E eintritt. Von da an wird µ kleiner und ist bei P = E + E 2 / 2 p 2 = E + m 0 2 wieder Null. Für noh größere P nimmt p wieder reelle Werte an, so daß die Formeln (11), (15) und (16) wieder die Lösung des Problems darstellen. In diesem Gebiet ist indessen die kinetishe Energie E P negativ, so daß wir tatsählih in das mehanish verbotene Gebiet gelangt sind. Dies hat zur Folge, daß die Gruppengeshwindigkeit, die durh 2 p gegeben ist, dem Impuls entgegengerihtet ist, und wir müssen für p einen negativen Wert nehmen 6 Dies sieht E P man leiht, wenn man als Anfangszustand eine Wellengruppe annimmt, die sih von der linken Seite her gegen die Grenzflähe bewegt. Wir sind also zu dem eigentümlihen Resultat gelangt, daß für P -Werte, die größer als E + m o 2 sind, ein Bruhteil der Elektronen die Potentialshwelle durhshreitet, indem ihre kinetishe Energie von dem ursprünglihen positiven sih in einen negativen Wert verwandelt. Es ist von Interesse, 6 Ih hatte ursprünglih diesen Umstand niht beahtaet, sondern er ergab sih in einem Gespräh mit Herrn W. Pauli, dem ih hier herzlihst danken möhte. 8

9 die Gruppengeshwindigkeit dieser durhgehenden Elektronen zu berehnen. Für diese folgt aus (7) 2 ( ) P E p = m (21) P E Für P = E + m 0 2 ist diese Geshwindigkeit, wie zu erwarten, gerade gleih Null. Sie wähst dann mit wahsendem P, um für P = die Lihtgeshwindigkeit zu erreihen. Der Reflexionskoeffizient, der für P = E + m 0 2 gleih Eins ist, nimmt für wahsendes P, wie man aus dem Ausdruk (16) ersieht, allmählih ab bis zu dem Wert E/ p für P =. Der entsprehende Grenzwert des Bruhteils E/+p 2p E/+p der Elektronen, der durh die Grenzflähe dringt, ist also, d.h. von derselben Größenordnung wir das Verhältnis der Geshwindigkeit der einfallenden Elektronen zu der Lihtgeshwindigkeit, und kann für große p-werte beträhtlihe Werte annehmen. Für p = m, einer Geshwindigkeit der einfallenden Elektronen von etwa 70% der Lihtgeshwindigkeit entsprehend, bekommen wir z.b. den Wert 2( 2 1), d.h. etwa 83%. Es ist natürlih niht wesentlih, daß wir hier P = angenommen haben; offenbar würde man Zahlen von derselben Größenordnung bekommen, sobald P mehrere Male größer ist als die Ruheenergie m 0 2 des Elektrons. Auf die Frage nah der Möglihkeit, solhe Potentialsprünge experimentell zu realisieren, wollen wir hier niht eingehen. Es soll nur hervorgehoben werden, daß die fraglihe Shwierigkeit niht an die Annahme einer Unstetigkeit gebunden ist, die nur zur mathematishen Vereinfahung gewählt wurde. Auh wenn die Sprungflähe durh ein kleines Gebiet ersetzt wird, wo das Potential rash aber stetig anwähst, werden nah der Theorie, wie aus der ganzen Rehnungsweise ervorgeht, Elektronen in das verbotene Gebiet, wo sie negative kinetish Energie besitzen, eindringen, was eng damit zusammenähngt, daß in dem oben diskutierten Fall der Totalreflexion die Wellenlösung hinter der Grenzflähe niht vershwindet, obgleih das Elektron hier nah der klassishen Mehanik eine imaginäre Bewegungsgröße besitzen würde. Es sei auh erwähnt, daß dem Ausdruk (16) zufolge der Reflexionskoeffizient von Elektronen, die mit der Bewegungsgröße p von einem Raumteil, wo die potentielle Energie P ist, gegen die Grenzflähe nah dem freien Raum fallen, denselben Wert hat wie der Reflexionskoeffizient für den umgekehrten Prozeß. 9

10 Als Resultat unserer Ausführungen können wir also feststellen, daß die von Dira betonte Shwierigkeit der relativistishen Quantenmehnanik unter Umständen shon bei rein mehanishen Problemen, wo von keinen Strahlungsvorgängen die Rede ist, auftreten kann. Am Ende dieser Note möhte ih Herrn Professor N. Bohr meinen herzlihsten Dank sagen für viele Gesprähe, die wesentlih zur Klärung obenstehender Überlegungen beigetragen haben. Kopenhagen, Universitetets Institut for teoretisk Fysik, Dez