Strategische Spiele in Normalform; Schwache Dominanz. Strategienprofil der Gegenspieler (s i ) Kapitel 3: Spiele in Normalform

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1 Strategische Spiele in Normalform; Schwache Dominanz 3. Spiele in Normalform Definition Strategienprofil der Gegenspieler Anwendung: Soziales Dilemma (verallgemeinertes GD) Definition: Spiele in Normalform Definition: Ein Spiel G in Normalform (auch: in strategischer Form oder: in Strategieform) besteht aus den folgenden 3 Elementen: 1. Einer Menge von Spielern i I = {1,..., n}; 2. Einer Menge von Strategien, dem Strategienraum S i, für jeden Spieler; 3. Einer Nutzenfunktion für jeden Spieler u i : S 1... S n R (s 1,..., s n ) u i (s 1,..., s n ) 4. Schwache Dominanz Schwach dominierte Strategien, IESWS Beispiel Anwendung: Zweitpreisauktion wobei u i (s 1,..., s n ) = Nutzen von SPi, wenn SP1 Strat. s 1,..., SPn Strat. s n wählt Schreibweise: G = (I; S 1,..., S n ; u 1,..., u n ). Strategien s i begriffl. unterscheiden von Strategienprofilen s = (s 1,..., s n ). 1 / 18 3 / 18 Kapitel 3: Spiele in Normalform Wir verallgemeinern die Bimatrix-Spiele auf mehr als zwei Spieler: Zahl der Spieler ist nun n. beliebige Strategiemengen S i ; es kann z.b. auch S i = R + sein Eine Strategie für SPi bezeichnen wir nun typischerweise mit s i. S i ist die Menge aller möglichen Strategien von SPi. Ein Tupel s = (s 1,..., s n ) heißt Strategienprofil. Die Menge aller Strategienprofile ist S = S 1... S n Wird das Strategienprofil s = (s 1,..., s n ) gespielt, so erhält S i den Nutzen u i (s 1,..., s n ) Strategienprofil der Gegenspieler (s i ) Häufig sind wir daran interessiert, was sich verändert, wenn... nur SPi seine Strategie ändert,... alle anderen Spieler ihre Strategie beibehalten Für ein solches Strategienprofil der Gegenspieler schreiben wir s i = (s 1,..., s i 1, s i+1,... s n ) Damit: u i (s i, s i ) = Nutzen von SPi, wenn er s i gegen s i spielt. Entsprechend sei S i = S 1... S i 1 S i+1... S n die Menge aller Strategienprofile ohne die Strategie von SP i. 2 / 18 4 / 18

2 Dominanz Das Dominanzkonzept überträgt sich auf allgemeine Normalformenspiele: Definition: Sei G ein Spiel in Normalform. Eine Strategie s i von SPi heißt strikt dominiert, wenn es eine Strategie s i S i gibt, so dass u i (s i, s i ) < u i (s i, s i ) Entsprechend übertragen sich für alle s i S i Iterierte Elimination von strikt dominierten Strategien (IESDS), Dominanzlösung, dominante Strategie. Anmerkung: Zur Identifikation strikt dominierter Strategien müssen wir schauen, ob eine der Strategien s i von SP i immer schlechter ist als eine andere, wobei immer bedeutet: für alle Strategienprofile s i der Gegenspieler oder egal, was die anderen Spieler machen. Soziales Dilemma (verallgemeinertes GD) n Studenten können mit dem Fahrrad oder dem Auto zur Uni fahren. Es sei V A der private Nutzen des Autofahrens. Es seien C A die Kosten einer Autofahrt (als gesamte Umweltbelastung). Die Gesamtkosten C A einer Autofahrt werden zu gleichen Teilen von allen getragen. D.h. die Kosten, die ein Autofahrer internalisiert, sind c A = C A /n. Es gelte: C A > V A > c A [ SozialeKostenA > PrivaterVorteil A > PrivateKosten A ] Jeder Student wählt aus zwei Strategien: S i = {A, F}, s i = A(uto) oder s i = F(ahrrad) Bezeichnet n A (s i ) die Anzahl der anderen Autofahrer, so sind die externalisierten Kosten der anderen Autofahrer durch c A n A (s i ) gegeben. Nutzenfunktion von i also: { VA c A c A n A (s i ), wenn s i = A u i (s i, s i ) = c A n A (s i ), wenn s i = F 5 / 18 7 / 18 Dominanzlösung Wir hatten: Als nächstes verallgemeinern wir das Gefangenendilemma auf die Situation mit n > 2 Spielern. u i (s i = A, s i ) = V A c A c A n A (s i ) u i (s i = F, s i ) = c A n A (s i ) Unter der Annahme V A > c A (privater Vorteil > internalisierte Kosten) sieht man sofort: s i = F ist strikt dominiert von s i = A Das Spiel ist (nicht-iterativ) dominanz-lösbar, die Dominanzlösung lautet: s = (A,..., A) (Alle fahren Auto.) Wir brauchen hier gar keine iterative Elimination: IESDS endet in der ersten Runde (weil jeder Spieler eine strikt dominante Strategie hat). Insofern ist hier gar kein besonders hohes strategisches Denken erforderlich (die Rationalitätsannahmen halten sich in Grenzen.) 6 / 18 8 / 18

3 Soziales Optimum Das soziale Optimum ist definiert als dasjenige Strategienprofil s, das die Gesamtwohlfahrt W (s) = n i=1 u i(s) maximiert. Um es zu bestimmen, schreiben wir die individ. Nutzenfunktionen als: { V A c A n A (s) falls s i = A u i (s) = c A n A (s) falls s i = F wobei n A (s) die Gesamtzahl der Autofahrer angibt. Für die Wohlfahrt (den Gesamtnutzen) folgt durch Summation: W (s) = V A n A (s) n c A n A (s) = (V A C A ) n A (s) = (C A V A ) n A (s) wobei C A = n c a die Gesamtkosten einer Autofahrt darstellt. Unter der Annahme C A > V A ist der Gesamtnutzen 0 und wird 0 nur, wenn n A (s) = 0. Der Gesamtnutzen wird also maximiert, wenn alle Fahrrad fahren. Kapitel 4: Schwache Dominanz Man kann das Dominanzkonzept leicht abschwächen... um schärfere Prognosen (weniger überlebende Strategien) zu bekommen. Man kann unterstellen, dass rationale Spieler nicht nur... keine strikt dominierten Strategien spielen,... sondern auch keine schwach dominierten. Zur Orientierung: Immer: {Nash-GGe} {s : s hat i.e. strikt dominierter S. überlebt} Manchmal: {Nash-GGe} {s : s hat i.e. schwach dominierter S. überlebt} D.h. mit der Elimination schwach dominierter Strategien eliminiert man manchmal auch Nash-Gleichgewichte. Auch: Wenn jeder Spieler eine schwach dominante Strategie hat (erst recht wenn sie strikt dominante Strategien haben), dann wird dadurch ein Nash-GG definiert. 9 / / 18 Unter der Annahme d.h. Diskussion C A > V A > c A SozialeKosten Auto > PrivaterVorteil Auto > InternalisierteKosten Auto bekommen wir eine extreme Dichotomie: Maximierung des Gesamtnutzens Alle fahren Fahrrad (und dies hängt an der Annahme V A < C A.) Spieltheoretische Lösung (Dominanz) Alle fahren Auto (und dies hängt an der Annahme V A > c A ). Verallgemeinerung des Gefangenendilemmas. Beispiel für schwache Dominanz x y z a 0, 0 0, 5 3, 2 Es gibt keine strikt dominierten Strategien (2 3 Vgle erforderlich!) Aber: Betrachte Strategien a und b von SP1: Gegen alle Strategien von SP2 ist b mindestens so gut wie a und gegen x oder z ist b sogar besser als a. Wir sagen: a ist schwach dominiert durch b. 10 / / 18

4 Schwach dominierte Strategien Definition: Sei G ein Spiel in Normalform. Eine Strategie s i von SPi heißt schwach dominiert, wenn es eine Strategie s i S i gibt, so dass u i (s i, s i ) u i (s i, s i ) für alle s i S i u i (s i, s i ) < u i (s i, s i ) für mindestens ein s i S i Analog zur it. Elimination strikt dominierter Strategien (IESDS) können wir nun eine iterierte Elimination schwach dominierter Strategien (IEWDS) durchführen ( W für weakly ) und von der schwachen Dominanzlösung usw. reden. Dies führt i.d.r. zu einer stärkeren Einschränkung der möglichen Spielausgänge. Anwendung: Zweitpreisauktion Die Zweitpreisauktion ist ein oft verwendetes Auktionsverfahren. Z.B. verwendet ebay eine Version einer Zweitpreisauktion. (Für unerfahrene Bieter empfiehlt ebay genau die schwache Dominanzlösung, die darauf hinausläuft, dass der Bieter seine wahre Werteinschätzung bietet.) Auktionsregeln: Gebote werden verdeckt abgegeben. Das höchste Gebot gewinnt. Der Gewinner zahlt das zweithöchste Gebot. Die Zweitpreisauktion ist schwach dominanzlösbar. Neu bei dieser Anwendung: Die Strategieräume sind kontinuierliche Mengen, nämlich S i = [0, ). Um die Auktion im bisherigen Rahmen behandeln zu können, muss vorausgesetzt werden, dass jeder Spieler weiß, wie die anderen Spieler das Objekt bewerten. (Das Ergebnis gilt auch ohne diese Voraussetzung.) 13 / / 18 Runde 1: Runde 2: Runde 3: Runde 4: SP1: a schwach dom. durch b SP2: keine WDS od. SDS Elimination von a SP1: keine SDS od. WDS SP2: y schwach dom. durch z Elimination von y SP1: c strikt dom. durch b SP2: keine SDS od. WDS Elimination von c SP1: z strikt dom. durch x Elimination von z Beispiel zu IEWDS Runde 5: Verfahren endet; (b, x) ist schwache Dominanzlösung x y z a 0, 0 0, 5 3, 2 x y z x z b 2, 1 4, 0 c 1, 1 1, 3 x z b 2, 1 4, 0 Anm: Alle Strategien überleben hier it. Elim. strikt dominierter Strategien. Zweitpreisauktion als strategisches Spiel Es gibt ein zu versteigerndes Objekt und n Spieler (Bieter). Die Bewertung des Objektes von SPi sei v i. Jeder Spieler gibt ein nicht-negatives Gebot s i ab: s i S i = [0, ). Um die Nutzenfunktion u i (s i, s i ) von SP i zu definieren, beachten wir, dass von den Geboten s i der anderen Bieter nur deren Maximalgebot eine Rolle spielt: m i := max s i = max j i Falls s i > m i, ist u i (s i, s i ) = v i m i Falls s i < m i, ist u i (s i, s i ) = 0 Falls s i = m i, wird gelost. s j 14 / / 18

5 Beispiel zur Zweitpreisauktion Betrachte n = 3 Bieter mit Bewertungen v 1 = 3, v 2 = 4, v 3 = 5. Wenn jeder Spieler die eigene Bewertung bietet, d.h. s 1 = 3, s 2 = 4, s 3 = 5, gewinnt SP 3 mit Nutzen u 3 = v 3 m 3 = 5 4 = 1. Wenn SP 3 ein Gebot s 3 oberhalb m 3 = 4 gemacht hätte, hätte er auch gewonnen, aber den gleichen Nutzen, u 3 = v 3 m 3 = 1. Wenn SP 3 unterhalb von m 3 = 4 geboten hätte, hätte er nicht gewonnen; er hätte geringeren Nutzen, nämlich u 3 = 0 (< 1). Man sieht: SP3 hat nie mehr Nutzen u 3 als den, den er durch Bieten seiner Bewertung v 3 bekommt. Es mag überraschen, aber dies gilt ganz allgemein, auch wenn die anderen beiden Bieter anders geboten hätten. Das ist die Aussage von... Satz: Die Strategie s i = v i ist schwach dominant für Bieter i, d.h. s i v i u i (s i, s i ) u i (v i, s i ) für jedes Strategienprofil (Kombination von Geboten) s i der Gegenbieter. Beweis: Bieten von v i ist schwach dominante Strat. Für den formalen Beweis des Satzes folgen wir Fudenberg/Tirole, p.11. Es wird gezeigt, dass für (einen beliebigen) Bieter i weder ein Gebot s i oberhalb seiner Werteinschätzung v i noch ein Gebot s i unterhalb von v i besser ist als das Gebot v i. Fall s i > v i : Fall m i > s i : Dann gewinnt SPi nicht, geht also mit u i = 0 raus. Das hätte er aber auch durch Bieten von v i (< s i ) bekommen: Er verliert dann auch damit. Fall m i v i : Dann gewinnt SPi und geht mit u i = v i m i raus. Auch das hätte er schon durch Bieten von v i bekommen (auch im Fall m i = v i?) v i < m i < s i : Dann gewinnt SPi, geht aber mit u i = v i m i < 0 raus. Durch Bieten von v i hätte er verloren, wäre aber mit u i = 0 rausgegangen. Fall m i = s i : Dann wird gelost. Verliert SPi, geht er mit u i = 0 raus, was er auch mit v i < s i erzielt hätte. Gewinnt er, geht er mit u i =v i m i =v i s i <0 raus. Durch Bieten von v i < s i = m i hätte er aber u i = 0 bekommen. In jedem Fall: Bieten irgendeines s i > v i nicht besser als Bieten von v i. Fall s i < v i : Kann analog behandelt werden. 17 / 18 Diskussion (mit Überleitung zum Nash-GG) Das Spiel Zweitpreisauktion hat eine schwache Dominanzlösung, die darin besteht, die eigene Werteinschätzung zu bieten Die Empfehlung von ebay, die eigene Werteinschätzung zu bieten, entspricht also einem rationalisierbaren Bieterverhalten. Das mag für die Empfehlung von ebay eine Rolle gespielt haben, aber ob die Bieter bei Zweitpreisauktionen tatsächlich so rational agieren, dass ihnen die schwache Dominanz der Strategie bewusst wird, erscheint fragwürdig (beachte die vielen Fallunterscheidungen im Beweis). Aber: Wenn jeder Spieler eine schwach dominante Strategie hat, so wird dadurch immer ein Nash-Gleichgewicht definiert. Für das Nash-GG benötigt man nur, dass si = v i eine beste Antwort auf das Strategienprofil s i = v i der Gegenspieler ist, während die schwache Dominanz bedeutet, dass si = v i eine beste Antwort auf jedes Strategienprofil s i der Gegenspieler ist. Dass die Spieler ein Nash-GG spielen erscheint realistischer, als dass sie sich bewusst machen, dass sie eine schwach dominante Strategie haben. 19 / / 18