Kapitel 3 Schließende Statistik

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1 Bemerkung 3.34: Die hier betrachteten Konfidenzintervalle für unbekannte Erwartungswerte sind umso schmaler, je größer der Stichprobenumfang n ist, je kleiner die (geschätzte) Standardabweichung σ (bzw. ˆσ) ist, je kleiner das Konfidenzniveau 1 α bzw. je größer die Irrtumswahrscheinlichkeit α ist. Dr. Karsten Webel 330

2 Beispiel 3.37: (Fortsetzung Bsp & 3.33) a) Wieviele Studierende müssen befragt werden, damit das 95%-Konfidenzintervall für die mittlere Wartezeit nicht breiter ist als vier Minuten? b) Wieviele mittelständische Unternehmen müssen befragt werden, damit das 90%-Konfidenzintervall für den Anteil der Betriebe, die bei Lockerung des Kündigungsschutzes zusätzliche Mitarbeiter einstellen wollen, nicht breiter als zehn Prozentpunkte ist? Dr. Karsten Webel 331

3 Beispiel 3.37: (Fortsetzung) zu a) bisher: L = V o V u = 14,7 9,8 = 4,9 = 4 Minuten & 54 Sekunden jetzt: L! 4 Dr. Karsten Webel 332

4 Beispiel 3.37: (Fortsetzung) dazu: L = V o V u = X + u 1 α 2 σ n = 2 u 1 α 2 σ n ( X u 1 α 2 σ n ) also: L! 4 n ( ) 2 u1 α 2 σ 2 = 4 ( ) 2 1, = 24,01 Es müssen mindestens 25 Studierende befragt werden. Dr. Karsten Webel 333

5 Beispiel 3.37: (Fortsetzung) zu b) bisher: L = V o V u = 0,5 0,3 = 0,2 = 20 Prozentpunkte jetzt: L! 0,1 Dr. Karsten Webel 334

6 Beispiel 3.37: (Fortsetzung) dazu: L = V o V u = ˆp + u 1 α 2 ˆσ n (ˆp u 1 α2 ˆσ n ) = 2u 1 α 2 ˆσ n Problem: L hängt nun auch über ˆσ von n ab Dr. Karsten Webel 335

7 Beispiel 3.37: (Fortsetzung) Lösung: Abschätzung durch ˆσ = ˆp (1 ˆp) 1/2 0.5 σ^ p^ Dr. Karsten Webel 336

8 Beispiel 3.37: (Fortsetzung) Damit folgt: L = 2 u 1 α 2 ˆσ n 2 u 1 α 2 1/2 n = u 1 α 2 n. Also: L! 0,1 n ( u1 α 2 0,1 ) 2 = ( ) 2 1,645 = 270, ,1 Es müssen mindestens 271 mittelständische Unternehmen befragt werden. Dr. Karsten Webel 337

9 Bemerkung 3.38: Fazit zur Intervallschätzung Konfidenzintervalle für den unbekannten Erwartungswert einer Normalverteilung mit bekannter Varianz (Quantile der Standardnormalverteilung) Konfidenzintervalle für den unbekannten Erwartungswert einer Normalverteilung mit unbekannter Varianz (Quantile der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden approximative Konfidenzintervalle für unbekannte Anteile einer Binomialverteilung (Quantile der Standardnormalverteilung) Dr. Karsten Webel 338

10 Statistische Signifikanztests

11 Motivation: Quelle: Süddeutsche Zeitung, 07. August Dr. Karsten Webel 340

12 Motivation: bisher: Punkt- und Intervallschätzungen für unbekannte Parameter einer Verteilung, dabei keine Verwendung von Vorinformationen jetzt: Vorinformationen, Vermutungen über einzelne Parameter einer Verteilung oder über sonstige Eigenschaften einer Zufallsvariablen sind bekannt ( Nullhypothese ) Dr. Karsten Webel 341

13 Beispiel 3.39: Wartezeiten beim ZfS (Fortsetzung Bsp. 3.19) Das Zentrum für Studienangelegenheiten an der TU Dortmund behauptet, dass die mittlere Wartezeit von Besuchern nicht mehr als zehn Minuten beträgt. Eine Befragung von 16 zufällig ausgewählten Besuchern ergab folgende Wartezeiten (in Minuten): 12, 20, 5, 15, 8, 1, 30, 25, 10, 4, 17, 11, 20, 10, 6, 2. Nehmen Sie an, dass diese Wartezeiten Realisationen einer normalverteilten Zufallsvariablen mit bekannter Standardabweichung σ = 5 sind. Wie ist die Behauptung des Zentrums für Studienangelegenheiten zu bewerten? Dr. Karsten Webel 342

14 Beispiel 3.39: Wartezeiten beim ZfS (Fortsetzung) Situation: X 1,X 2,...,X 16 uiv N(µ,25). Testproblem: H 0 : µ 10 gegen H 1 : µ > 10. Dr. Karsten Webel 343

15 Beispiel 3.40: Salz in der Suppe Ein skeptischer Mensagänger möchte an einem bestimmten Tag die Nullhypothese Mindestens die Hälfte aller Suppen ist versalzen. überprüfen. Er will diese Nullhypothese verwerfen, wenn von fünf zufällig ausgewählten Suppen keine einzige versalzen ist. Wie ist diese Testprozedur zu beurteilen? Dr. Karsten Webel 344

16 Beispiel 3.40: Salz in der Suppe (Fortsetzung) Situation: X 1,X 2,...,X 5 uiv Bin(1,p) mit X i = 1, i-te Suppe ist versalzen 0, sonst. Testproblem: H 0 : p 0,5 gegen H 1 : p < 0,5. Testentscheidung: Lehne H 0 ab, wenn T = 5 X i = 0 i=1 gilt. Dr. Karsten Webel 345

17 Bemerkung 3.41: mögliche Konsequenzen einer Testentscheidung Richter Freispruch Verurteilung Angeklagter unschuldig nicht gut schuldig nicht gut Dr. Karsten Webel 346

18 Bemerkung 3.41: mögliche Konsequenzen einer Testentscheidung (Fortsetzung) Testentscheidung Lehne H 0 nicht ab Lehne H 0 ab Realität H 0 wahr Fehler 1. Art H 0 falsch Fehler 2. Art Dr. Karsten Webel 347

19 No test based upon a theory of probability can by itself provide any valuable evidence of the truth or falsehood of a hypothesis. (Neyman & Pearson (1933), On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses, Phil Trans R Soc Lond A 231, ) Dr. Karsten Webel 348

20 Beispiel 3.42: Salz in der Suppe (Fortsetzung Bsp. 3.40) Die Wahrscheinlichkeit, weniger als die Hälfte aller Suppen als versalzen einzuordnen, obwohl mindestens die Hälfte aller Suppen versalzen ist, beträgt: P(Fehler 1. Art) = P(H 0 ablehnen H 0 wahr) = max p P(T = 0 p 0,5) = P(T = 0 p = 0,5), da T Bin(5,p) ( ) 5 = 0,5 0 0,5 5 = 0,5 5 0 = 0,03125 = 3,125%. Dr. Karsten Webel 349

21 Beispiel 3.42: Salz in der Suppe (Fortsetzung) Die Wahrscheinlichkeit, mindestens die Hälfte aller Suppen als versalzen einzuordnen, obwohl weniger als die Hälfte aller Suppen versalzen ist, beträgt: P(Fehler 2. Art) = P(H 0 nicht ablehnen H 0 falsch) = P(T > 0 p < 0,5) = 1 P(T = 0 p < 0, 5), da T Bin(5,p) ( ) 5 = 1 p 0 (1 p) 5 0 = 1 (1 p) 5. Dr. Karsten Webel 350

22 Beispiel 3.42: Salz in der Suppe (Fortsetzung) p H 1 0,49 0,45 0,35 0,25, 0,05 P(Fehler 2. Art) 96,550% 94,967% 88,397% 76,270% 22,622% Dr. Karsten Webel 351

23 Beispiel 3.42: Salz in der Suppe (Fortsetzung) 1 P (H 0 ablehnen) H 1 H 0 p Dr. Karsten Webel 352

24 Definition 3.43: Gütefunktion Es sei θ Θ = Θ 0 Θ 1 mit Θ 0 Θ 1 =. Gegeben sei weiter ein beliebiger Test für das Testproblem H 0 : θ Θ 0 gegen H 1 : θ Θ 1. Dann heißt die Funktion g(θ) = P(H 0 ablehnen θ) Gütefunktion des Tests. Dr. Karsten Webel 353

25 Bemerkung 3.44: Interpretation: Gütefunktion = P(Fehler 1. Art) auf H 0 Gütefunktion = 1 P(Fehler 2. Art) auf H 1 gleichzeitiges Minimieren beider Fehlerwahrscheinlichkeiten unmöglich gebe maximale Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art vor ( Signifikanzniveau ) und minimiere Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art Dr. Karsten Webel 354

26 Bemerkung 3.45: Jeder statistische Signifikanztest kann nach folgendem Standardschema durchgeführt werden: 1. Aufstellen des Testproblems, Festlegung des Signifikanzniveaus α 2. Bestimmung einer geeigneten Prüfgröße sowie deren Verteilung unter H 0 3. Festlegung des kritischen Bereichs (Verwerfungs- oder Ablehnbereichs) 4. Berechnung der Realisation der Prüfgröße anhand der gezogenen Stichprobe 5. Ablehnen von H 0, wenn sich die Realisation der Prüfgröße im kritischen Bereich befindet Dr. Karsten Webel 355

27 Bemerkung 3.45: (Fortsetzung) f(x) Dichte unter H 0 kritischer Bereich kritischer Wert Dr. Karsten Webel 356

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