Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik

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1 Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik Das zweite Kapitel beschäftigte sich mit den Methoden der beschreibenden Statistik. Im Mittelpunkt der kommenden Kapitel stehen Verfahren der schließenden Statistik. Dabei soll das folgende Kapitel mit dem Konzept der Test-Theorie vertraut machen, eine Auswahl wichtiger Tests vorstellen und in die Methodik der Intervallschätzung einführen. 8 Grundgedanken zur Test-Theorie 8.1 Zielsetzung statistischer Tests Aus der beschreibenden Statistik kennen wir statistische Maßzahlen zur Charakterisierung von vorgelegten Verteilungen, so zum Beispiel das arithmetische Mittel x und die Standardabweichung s, oder den Korrelationskoeffizienten r für bivariable Verteilungen. Aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennen wir weitere Größen, um Verteilungen festzulegen, etwa die Parameter p und k einer Binomialverteilung B(k; p). Diese Zahlenwerte dienen dazu, gewisse Verteilungen möglichst knapp darzustellen. Die Verteilungen sollen wiederum gewisse existierende Sachverhalte und Zusammenhänge beschreiben. Die Grundgesamtheiten, deren Verteilungen dargestellt werden sollen, sind oft so umfangreich, dass es sinnvoll ist, die Eigenschaften der Grundgesamtheiten nur an kleineren Stichproben zu untersuchen. Aus den Messwerten bzw. Beobachtungsdaten der Stichproben berechnet man Schätzwerte, die die wahren Werte der Grundgesamtheit schätzen. Ein Ziel der Test-Theorie ist es, aufgrund dieser Schätzwerte Aussagen über die wahren Werte zu machen und Entscheidungen zu treffen. Beispiel: Als langjähriger Erfahrungswert gilt, dass etwa 48% aller Neugeborenen weiblich sind, man nimmt daher als Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt den Wert p = 0.48 an. Eine Erhebung an drei Krankenhäusern ergab bei 680 Geburten einen Stichprobenanteil von 51% für Mädchengeburten, d.h. 3% mehr als zu erwarten war. Ist die Erhöhung nun als zufällig anzusehen, etwa wegen einer zu kleinen Stichprobe, oder muss angenommen werden, dass die Erhöhung nicht zufällig, sondern aufgrund unbekannter Ursachen signifikant, d.h. bedeutsam ist?

2 78 Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik Um zwischen den Maßzahlen der Stichprobenverteilung und den Werten der Grundgesamtheit zu unterscheiden, ist es üblich, Maßzahlen der Stichprobe (Schätzwerte) mit lateinischen Buchstaben wie x, s, r und d oder mit einem Dach wie ˆp, ˆλ zu bezeichnen und die zugehörigen Maßzahlen der Grundgesamtheit (wahre Werte) mit griechischen Buchstaben wie μ, σ, ρ und δ oder ohne Dach wie p, λ zu benennen. Die Test-Theorie hat nun die Aufgabe, eine Verbindung zwischen Stichproben und Grundgesamtheit, zwischen Experiment und Wirklichkeit herzustellen. In der Test-Theorie wird aufgrund von Stichprobenwerten geprüft, ob gewisse Hypothesen über die zugehörigen Grundgesamtheiten zutreffen oder nicht. Es gilt, sich zu entscheiden, ob eine Hypothese beizubehalten oder zu verwerfen ist. Beispiel: Man hat die Hypothese, dass eine normalverteilte Grundgesamtheit den wahren Mittelwert μ = 18 hat. In einem Experiment ermittelte man an einer Stichprobe den Mittelwert x = Mit Hilfe des Tests kann man entscheiden, ob man die Abweichung des experimentellen Mittelwertes x von 18 als geringfügig, zufällig und somit für vernachlässigbar hält, oder ob der Unterschied zwischen x unddemwert18sogroßist,dassdiehypothese vom Mittelwert μ = 18 fallengelassen werden sollte. Wir wollen die im Beispiel beschriebene Entscheidungs-Situation jetzt etwas umformulieren. Statt von einer einzigen Hypothese gehen wir von zwei Hypothesen aus: Die erste Hypothese, dass der wahre Mittelwert μ gleich dem theoretischen Wert μ T = 18 ist, wollen wir Nullhypothese nennen und kurz mit H 0 (μ = μ T )bzw.h 0 (μ = 18) bezeichnen. Die zweite Hypothese, dass der wahre Mittelwert μ nicht gleich dem Wert μ T = 18 ist, wollen wir Alternativhypothese nennen und mit H 1 (μ μ T )bzw.h 1 (μ 18) bezeichnen. Der Test hat dann die Aufgabe, bei der Entscheidung zwischen H 0 und H 1 zu helfen. 8.2 Fehler1.Artund2.Art Die Test-Theorie kann nur statistische Aussagen über den Wahrheitsgehalt von Hypothesen machen, d.h. die Tests bergen immer die Gefahr von Fehlern. Man unterscheidet dabei zwei Arten von Fehlern, die in den nächsten Abschnitten beschrieben werden Der α-fehler Bei unserer Test-Entscheidung zwischen H 0 und H 1 kann es durchaus passieren, dass eine unglückliche Stichprobenzusammenstellung uns veranlasst,

3 8 Grundgedanken zur Test-Theorie 79 unsere Nullhypothese zu verwerfen, obwohl sie in Wirklichkeit richtig ist. Einen solchen Irrtum bezeichnet man als Fehler 1. Art oder α-fehler. Allerdings stellt uns die Test-Theorie Mittel zur Verfügung, um die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art selbst festzulegen, diese Wahrscheinlichkeit nennt man α-risiko oder Irrtumswahrscheinlichkeit α, oder man spricht vom Signifikanzniveau α. Beispiel: Es soll eine Lieferung Äpfel der Qualität Extra darauf geprüft werden, ob sie höchstens 15% an Äpfeln schlechterer Qualität enthält. Von jeder Palette entnimmt man eine Stichprobe vom Umfang k = 10 und schließt von den 10 Äpfeln auf die Zusammensetzung der gesamten Palette (Grundgesamtheit). Unsere beiden Hypothesen sind: H 0 : Die untersuchte Palette ist gut, d.h. sie enthält höchstens 15% schlechtere Äpfel. H 1 : Die untersuchte Palette ist nicht gut, d.h. sie enthält mehr als 15% schlechtere Äpfel. Gehen wir davon aus, dass H 0 richtig ist, so können wir mit Hilfe der Binomialverteilung B(k ; p) =B(10 ; 15%) die Wahrscheinlichkeiten P(i) und P(i) berechnen (vgl. Tabelle 8.1 und 24.1): P(i): P(i): Wahrscheinlichkeit, genau i schlechtere Äpfel in der Stichprobe vorzufinden. Wahrscheinlichkeit, höchstens i schlechtere Äpfel in der Stichprobe vorzufinden. Die Tabelle 8.1 gibt uns darüber Auskunft, dass wir bei Richtigkeit unserer Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.95 höchstens 3 Äpfel schlechterer Qualität in der Stichprobe finden werden. Anders ausgedrückt, bei 1000 guten Paletten würde man nur in 50 Stichproben mehr als 3 schlechtere Äpfel finden. Stellen wir die Vorschrift auf Lehne jede Palette ab, in deren Stichprobe mehr als 3 Äpfel schlechterer Qualität enthalten sind!, so werden wir nur in 5% der Entscheidungen eine gute Palette irrtümlich ablehnen. Wenn wir also bereit sind, in 5% der Fälle die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie stimmt, würden wir ein α-risiko von α = 5% akzeptieren und die Vorschrift befolgen. Wir entscheiden also folgendermaßen : In unserem Stichprobenumfang von k = 10 werden i schlechtere Äpfel vorgefunden. Ist i K, so wird H 0 angenommen. Ist i>k, so wird H 0 abgelehnt. Dabei gilt für unseren Fall K = 3; man nennt dieses K den kritischen Wert. Unser Vorgehen wird in Abb. 8.1 (a) dargestellt. Die schwarzen Stäbe stellen die Wahrscheinlichkeit dar, einen Fehler 1. Art zu begehen. Gäbe es

4 80 Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik Tabelle 8.1. Die Wahrscheinlichkeiten P (i) sind berechnet nach einer Binomialverteilung B(k; p) mitk = 10 und p =0.15 Anzahl schlechterer Äpfel in der Stichprobe. i Wahrscheinlichkeit, genau i schlechtere Äpfel in der Stichprobe zu finden. P(i) Wahrscheinlichkeit, höchstens i schlechtere P(i) Äpfel in der Stichprobe zu finden. Abb. 8.1a,b. Sobald mehr als 3 schlechtere Äpfel in der Stichprobe sind, so lehnen wir die Palette als nicht gut ab, d.h. 3 ist unser kritischer Wert K. Ertrennt Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese H 0.In(a) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung unter Gültigkeit von p = 0.15 dargestellt. Alle schwarzen Stäbe (rechts von K) stellen den α-fehler dar und haben zusammen eine Gesamthöhe von In (b) ist die Verteilung unter Gültigkeit von p =0.5 dargestellt. Alle schraffierten Stäbe (links von K) stellen den β-fehler dar und haben zusammen eine Gesamthöhe von 0.172

5 8 Grundgedanken zur Test-Theorie 81 außer dem Fehler 1. Art keine weitere Irrtumsmöglichkeit, so könnte man α und damit das Risiko 1. Art beliebig verringern: Je weiter man den kritischen Wert K nach rechts verschieben würde, desto geringer wäre die Gesamthöhe aller schwarzen Stäbe zusammen, desto kleiner wäre somit auch α. Das geht aber nicht, weil noch eine weitere Fehlermöglichkeit berücksichtigt werden muss Der β-fehler Neben einer unberechtigten Ablehnung der Nullhypothese (Fehler 1. Art) ist es ebenso möglich, dass man die Nullhypothese beibehält, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist; dies nennt man einen Fehler 2. Art oder β-fehler. Beispiel: Wir wollen unsere Vorschrift beim Testen der Apfelqualität beibehalten, also Paletten als gut akzeptieren, solange höchstens 3 Äpfel schlechterer Qualität in der Stichprobe sind. Angenommen, alle untersuchten Paletten wären schlecht, d.h. sie hätten statt unserer vermuteten 15% in Wahrheit 50% Äpfel minderer Qualität. Das Akzeptieren solcher schlechter Paletten als gut wäre ein Fehler 2. Art. Wie sehen die Wahrscheinlichkeiten für diesen Fehler aus, wenn wir unseren kritischen Wert K =3beibehalten? Die Tabelle 8.2 sagt aus, dass wir von 1000 schlechten Paletten 172 fälschlicherweise als gut akzeptieren würden, denn für i =3ist P (i) = Unser β-fehler wäre also 17.2%. In Abb. 8.1 (b) stellen die schraffierten Stäbe den β-fehler graphisch dar, unter der Voraussetzung, dass p = 0.5, d.h. 50% der Äpfel mindere Qualität haben. Tabelle 8.2. Die Wahrscheinlichkeiten P (i) sind berechnet nach einer Binomialverteilung B(k ; p) mitk = 10 und p =0.5 i P (i) P (i) Wir konnten in unserem Beispiel die Größe des β-fehlers nur berechnen, indem wir unterstellten, der wahre Anteil schlechterer Äpfel in der Palette betrage 50%. Meist kennt man den wahren Wert von p nicht, daher ist dann auch β unbekannt und das bedeutet, dass man im Falle der Beibehaltung von H 0 nicht weiß, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die beibehaltene Nullhypothese falsch ist. Man kann also nur bei Ablehnung der Nullhypothese eine Irrtumswahrscheinlichkeit α angeben. Beispiel: Falls unser Test zur Ablehnung einer Palette führt, also H 0 verwirft, so ist mit Irrtumswahrscheinlichkeit α =5% nachgewiesen, dass die Palette den Qualitätsanforderungen nicht genügt. Falls der Test zur Annahme

6 82 Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik der Palette führt, so ist damit keineswegs die Güte der Palette nachgewiesen, da wir die β-wahrscheinlichkeit nicht kennen. Unser Modell zum Testen von Hypothesen behandelt also H 0 und H 1 nicht gleich. Während durch Eingrenzung des Fehlers 1. Art die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese nicht größer als α werden kann, ist der Wahrscheinlichkeit β einer unberechtigten Ablehnung der Alternativhypothese durch die Testkonstruktion keine Grenzen gesetzt, d.h. die Fehlerwahrscheinlichkeit β ist unbekannt Größere Stichproben verkleinern β Auch wenn man die Größe von β nicht kennt, so ist es doch möglich, durch Erhöhung der Anzahl von Messungen bzw. Beobachtungen die Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art zu verringern. Da die Vergrößerung des Stichprobenumfangs mit vermehrtem Aufwand verbunden ist, bewirkt die Verkleinerung von β stets zusätzliche Kosten. Wir wollen uns die Zusammenhänge, die bei Erhöhung des Stichprobenumfangs zur Verringerung von β führen, an einem Beispiel klar machen. Beispiel: Die Wirkung eines Medikaments auf den Blutdruck soll geprüft werden. Dazu hat man den Blutdruck an einer Stichprobe von n = 160 Personen vor und nach der Behandlung mit dem Medikament gemessen. Man erhielt insgesamt 320 Blutdruck-Werte, davon u 1,...,u 160 vor und b 1,...,b 160 nach der Behandlung. Daraus bildet man die 160 Differenzen d i = b i u i und den Mittelwert d. Das Medikament hat eine Wirkung, wenn d signifikant (deutlich) von null abweicht; ist dagegen d nur zufällig von null verschieden, so hat das Medikament keine Wirkung. Mit Hilfe des Stichprobenschätzwertes d soll also geklärt werden, ob der wahre Wert δ gleich oder ungleich null ist. In Hypothesen ausgedrückt, ist zu testen, ob H 0 (δ =0)oderH 1 (δ 0)zutrifft. Wir setzen voraus, die Verteilung der Differenzen d i der Blutdruckmesswerte habe die Standardabweichung σ. Dann sind die Mittelwerte σ d normalverteilt mit Standardabweichung,vgl. 10. In Abb. 8.2 (a) ist n nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung für d dargestellt. Die linke Glockenkurve zeigt die Verteilung unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese gilt, dass also δ = 0. Die zweite Glockenkurve geht von der Annahme aus, dass der wahre Wert nicht null, sondern 20 ist. Um den β-fehler (schraffierte Fläche) darstellen zu können, haben wir die allgemeine Aussage H 1 (δ 0) genauer konkretisieren müssen, hier beispielsweise auf δ = 20. Der kritische Wert K wird so gewählt, dass der Fehler 1. Art sich auf α =5%beläuft, dass also die schwarze Fläche gerade 5% der Gesamtfläche unter der zugehörigen linken Glockenkurve ausmacht. Während also α von uns mit 5% fest gewählt wurde, ergibt sich die Größe des β-fehlers aus der Lage der zweiten Glockenkurve, also in Abhängigkeit

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