Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik"

Transkript

1 Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik Das zweite Kapitel beschäftigte sich mit den Methoden der beschreibenden Statistik. Im Mittelpunkt der kommenden Kapitel stehen Verfahren der schließenden Statistik. Dabei soll das folgende Kapitel mit dem Konzept der Test-Theorie vertraut machen, eine Auswahl wichtiger Tests vorstellen und in die Methodik der Intervallschätzung einführen. 8 Grundgedanken zur Test-Theorie 8.1 Zielsetzung statistischer Tests Aus der beschreibenden Statistik kennen wir statistische Maßzahlen zur Charakterisierung von vorgelegten Verteilungen, so zum Beispiel das arithmetische Mittel x und die Standardabweichung s, oder den Korrelationskoeffizienten r für bivariable Verteilungen. Aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennen wir weitere Größen, um Verteilungen festzulegen, etwa die Parameter p und k einer Binomialverteilung B(k; p). Diese Zahlenwerte dienen dazu, gewisse Verteilungen möglichst knapp darzustellen. Die Verteilungen sollen wiederum gewisse existierende Sachverhalte und Zusammenhänge beschreiben. Die Grundgesamtheiten, deren Verteilungen dargestellt werden sollen, sind oft so umfangreich, dass es sinnvoll ist, die Eigenschaften der Grundgesamtheiten nur an kleineren Stichproben zu untersuchen. Aus den Messwerten bzw. Beobachtungsdaten der Stichproben berechnet man Schätzwerte, die die wahren Werte der Grundgesamtheit schätzen. Ein Ziel der Test-Theorie ist es, aufgrund dieser Schätzwerte Aussagen über die wahren Werte zu machen und Entscheidungen zu treffen. Beispiel: Als langjähriger Erfahrungswert gilt, dass etwa 48% aller Neugeborenen weiblich sind, man nimmt daher als Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt den Wert p = 0.48 an. Eine Erhebung an drei Krankenhäusern ergab bei 680 Geburten einen Stichprobenanteil von 51% für Mädchengeburten, d.h. 3% mehr als zu erwarten war. Ist die Erhöhung nun als zufällig anzusehen, etwa wegen einer zu kleinen Stichprobe, oder muss angenommen werden, dass die Erhöhung nicht zufällig, sondern aufgrund unbekannter Ursachen signifikant, d.h. bedeutsam ist?

2 78 Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik Um zwischen den Maßzahlen der Stichprobenverteilung und den Werten der Grundgesamtheit zu unterscheiden, ist es üblich, Maßzahlen der Stichprobe (Schätzwerte) mit lateinischen Buchstaben wie x, s, r und d oder mit einem Dach wie ˆp, ˆλ zu bezeichnen und die zugehörigen Maßzahlen der Grundgesamtheit (wahre Werte) mit griechischen Buchstaben wie μ, σ, ρ und δ oder ohne Dach wie p, λ zu benennen. Die Test-Theorie hat nun die Aufgabe, eine Verbindung zwischen Stichproben und Grundgesamtheit, zwischen Experiment und Wirklichkeit herzustellen. In der Test-Theorie wird aufgrund von Stichprobenwerten geprüft, ob gewisse Hypothesen über die zugehörigen Grundgesamtheiten zutreffen oder nicht. Es gilt, sich zu entscheiden, ob eine Hypothese beizubehalten oder zu verwerfen ist. Beispiel: Man hat die Hypothese, dass eine normalverteilte Grundgesamtheit den wahren Mittelwert μ = 18 hat. In einem Experiment ermittelte man an einer Stichprobe den Mittelwert x = Mit Hilfe des Tests kann man entscheiden, ob man die Abweichung des experimentellen Mittelwertes x von 18 als geringfügig, zufällig und somit für vernachlässigbar hält, oder ob der Unterschied zwischen x unddemwert18sogroßist,dassdiehypothese vom Mittelwert μ = 18 fallengelassen werden sollte. Wir wollen die im Beispiel beschriebene Entscheidungs-Situation jetzt etwas umformulieren. Statt von einer einzigen Hypothese gehen wir von zwei Hypothesen aus: Die erste Hypothese, dass der wahre Mittelwert μ gleich dem theoretischen Wert μ T = 18 ist, wollen wir Nullhypothese nennen und kurz mit H 0 (μ = μ T )bzw.h 0 (μ = 18) bezeichnen. Die zweite Hypothese, dass der wahre Mittelwert μ nicht gleich dem Wert μ T = 18 ist, wollen wir Alternativhypothese nennen und mit H 1 (μ μ T )bzw.h 1 (μ 18) bezeichnen. Der Test hat dann die Aufgabe, bei der Entscheidung zwischen H 0 und H 1 zu helfen. 8.2 Fehler1.Artund2.Art Die Test-Theorie kann nur statistische Aussagen über den Wahrheitsgehalt von Hypothesen machen, d.h. die Tests bergen immer die Gefahr von Fehlern. Man unterscheidet dabei zwei Arten von Fehlern, die in den nächsten Abschnitten beschrieben werden Der α-fehler Bei unserer Test-Entscheidung zwischen H 0 und H 1 kann es durchaus passieren, dass eine unglückliche Stichprobenzusammenstellung uns veranlasst,

3 8 Grundgedanken zur Test-Theorie 79 unsere Nullhypothese zu verwerfen, obwohl sie in Wirklichkeit richtig ist. Einen solchen Irrtum bezeichnet man als Fehler 1. Art oder α-fehler. Allerdings stellt uns die Test-Theorie Mittel zur Verfügung, um die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art selbst festzulegen, diese Wahrscheinlichkeit nennt man α-risiko oder Irrtumswahrscheinlichkeit α, oder man spricht vom Signifikanzniveau α. Beispiel: Es soll eine Lieferung Äpfel der Qualität Extra darauf geprüft werden, ob sie höchstens 15% an Äpfeln schlechterer Qualität enthält. Von jeder Palette entnimmt man eine Stichprobe vom Umfang k = 10 und schließt von den 10 Äpfeln auf die Zusammensetzung der gesamten Palette (Grundgesamtheit). Unsere beiden Hypothesen sind: H 0 : Die untersuchte Palette ist gut, d.h. sie enthält höchstens 15% schlechtere Äpfel. H 1 : Die untersuchte Palette ist nicht gut, d.h. sie enthält mehr als 15% schlechtere Äpfel. Gehen wir davon aus, dass H 0 richtig ist, so können wir mit Hilfe der Binomialverteilung B(k ; p) =B(10 ; 15%) die Wahrscheinlichkeiten P(i) und P(i) berechnen (vgl. Tabelle 8.1 und 24.1): P(i): P(i): Wahrscheinlichkeit, genau i schlechtere Äpfel in der Stichprobe vorzufinden. Wahrscheinlichkeit, höchstens i schlechtere Äpfel in der Stichprobe vorzufinden. Die Tabelle 8.1 gibt uns darüber Auskunft, dass wir bei Richtigkeit unserer Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.95 höchstens 3 Äpfel schlechterer Qualität in der Stichprobe finden werden. Anders ausgedrückt, bei 1000 guten Paletten würde man nur in 50 Stichproben mehr als 3 schlechtere Äpfel finden. Stellen wir die Vorschrift auf Lehne jede Palette ab, in deren Stichprobe mehr als 3 Äpfel schlechterer Qualität enthalten sind!, so werden wir nur in 5% der Entscheidungen eine gute Palette irrtümlich ablehnen. Wenn wir also bereit sind, in 5% der Fälle die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie stimmt, würden wir ein α-risiko von α = 5% akzeptieren und die Vorschrift befolgen. Wir entscheiden also folgendermaßen : In unserem Stichprobenumfang von k = 10 werden i schlechtere Äpfel vorgefunden. Ist i K, so wird H 0 angenommen. Ist i>k, so wird H 0 abgelehnt. Dabei gilt für unseren Fall K = 3; man nennt dieses K den kritischen Wert. Unser Vorgehen wird in Abb. 8.1 (a) dargestellt. Die schwarzen Stäbe stellen die Wahrscheinlichkeit dar, einen Fehler 1. Art zu begehen. Gäbe es

4 80 Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik Tabelle 8.1. Die Wahrscheinlichkeiten P (i) sind berechnet nach einer Binomialverteilung B(k; p) mitk = 10 und p =0.15 Anzahl schlechterer Äpfel in der Stichprobe. i Wahrscheinlichkeit, genau i schlechtere Äpfel in der Stichprobe zu finden. P(i) Wahrscheinlichkeit, höchstens i schlechtere P(i) Äpfel in der Stichprobe zu finden. Abb. 8.1a,b. Sobald mehr als 3 schlechtere Äpfel in der Stichprobe sind, so lehnen wir die Palette als nicht gut ab, d.h. 3 ist unser kritischer Wert K. Ertrennt Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese H 0.In(a) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung unter Gültigkeit von p = 0.15 dargestellt. Alle schwarzen Stäbe (rechts von K) stellen den α-fehler dar und haben zusammen eine Gesamthöhe von In (b) ist die Verteilung unter Gültigkeit von p =0.5 dargestellt. Alle schraffierten Stäbe (links von K) stellen den β-fehler dar und haben zusammen eine Gesamthöhe von 0.172

5 8 Grundgedanken zur Test-Theorie 81 außer dem Fehler 1. Art keine weitere Irrtumsmöglichkeit, so könnte man α und damit das Risiko 1. Art beliebig verringern: Je weiter man den kritischen Wert K nach rechts verschieben würde, desto geringer wäre die Gesamthöhe aller schwarzen Stäbe zusammen, desto kleiner wäre somit auch α. Das geht aber nicht, weil noch eine weitere Fehlermöglichkeit berücksichtigt werden muss Der β-fehler Neben einer unberechtigten Ablehnung der Nullhypothese (Fehler 1. Art) ist es ebenso möglich, dass man die Nullhypothese beibehält, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist; dies nennt man einen Fehler 2. Art oder β-fehler. Beispiel: Wir wollen unsere Vorschrift beim Testen der Apfelqualität beibehalten, also Paletten als gut akzeptieren, solange höchstens 3 Äpfel schlechterer Qualität in der Stichprobe sind. Angenommen, alle untersuchten Paletten wären schlecht, d.h. sie hätten statt unserer vermuteten 15% in Wahrheit 50% Äpfel minderer Qualität. Das Akzeptieren solcher schlechter Paletten als gut wäre ein Fehler 2. Art. Wie sehen die Wahrscheinlichkeiten für diesen Fehler aus, wenn wir unseren kritischen Wert K =3beibehalten? Die Tabelle 8.2 sagt aus, dass wir von 1000 schlechten Paletten 172 fälschlicherweise als gut akzeptieren würden, denn für i =3ist P (i) = Unser β-fehler wäre also 17.2%. In Abb. 8.1 (b) stellen die schraffierten Stäbe den β-fehler graphisch dar, unter der Voraussetzung, dass p = 0.5, d.h. 50% der Äpfel mindere Qualität haben. Tabelle 8.2. Die Wahrscheinlichkeiten P (i) sind berechnet nach einer Binomialverteilung B(k ; p) mitk = 10 und p =0.5 i P (i) P (i) Wir konnten in unserem Beispiel die Größe des β-fehlers nur berechnen, indem wir unterstellten, der wahre Anteil schlechterer Äpfel in der Palette betrage 50%. Meist kennt man den wahren Wert von p nicht, daher ist dann auch β unbekannt und das bedeutet, dass man im Falle der Beibehaltung von H 0 nicht weiß, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die beibehaltene Nullhypothese falsch ist. Man kann also nur bei Ablehnung der Nullhypothese eine Irrtumswahrscheinlichkeit α angeben. Beispiel: Falls unser Test zur Ablehnung einer Palette führt, also H 0 verwirft, so ist mit Irrtumswahrscheinlichkeit α =5% nachgewiesen, dass die Palette den Qualitätsanforderungen nicht genügt. Falls der Test zur Annahme

6 82 Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik der Palette führt, so ist damit keineswegs die Güte der Palette nachgewiesen, da wir die β-wahrscheinlichkeit nicht kennen. Unser Modell zum Testen von Hypothesen behandelt also H 0 und H 1 nicht gleich. Während durch Eingrenzung des Fehlers 1. Art die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese nicht größer als α werden kann, ist der Wahrscheinlichkeit β einer unberechtigten Ablehnung der Alternativhypothese durch die Testkonstruktion keine Grenzen gesetzt, d.h. die Fehlerwahrscheinlichkeit β ist unbekannt Größere Stichproben verkleinern β Auch wenn man die Größe von β nicht kennt, so ist es doch möglich, durch Erhöhung der Anzahl von Messungen bzw. Beobachtungen die Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art zu verringern. Da die Vergrößerung des Stichprobenumfangs mit vermehrtem Aufwand verbunden ist, bewirkt die Verkleinerung von β stets zusätzliche Kosten. Wir wollen uns die Zusammenhänge, die bei Erhöhung des Stichprobenumfangs zur Verringerung von β führen, an einem Beispiel klar machen. Beispiel: Die Wirkung eines Medikaments auf den Blutdruck soll geprüft werden. Dazu hat man den Blutdruck an einer Stichprobe von n = 160 Personen vor und nach der Behandlung mit dem Medikament gemessen. Man erhielt insgesamt 320 Blutdruck-Werte, davon u 1,...,u 160 vor und b 1,...,b 160 nach der Behandlung. Daraus bildet man die 160 Differenzen d i = b i u i und den Mittelwert d. Das Medikament hat eine Wirkung, wenn d signifikant (deutlich) von null abweicht; ist dagegen d nur zufällig von null verschieden, so hat das Medikament keine Wirkung. Mit Hilfe des Stichprobenschätzwertes d soll also geklärt werden, ob der wahre Wert δ gleich oder ungleich null ist. In Hypothesen ausgedrückt, ist zu testen, ob H 0 (δ =0)oderH 1 (δ 0)zutrifft. Wir setzen voraus, die Verteilung der Differenzen d i der Blutdruckmesswerte habe die Standardabweichung σ. Dann sind die Mittelwerte σ d normalverteilt mit Standardabweichung,vgl. 10. In Abb. 8.2 (a) ist n nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung für d dargestellt. Die linke Glockenkurve zeigt die Verteilung unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese gilt, dass also δ = 0. Die zweite Glockenkurve geht von der Annahme aus, dass der wahre Wert nicht null, sondern 20 ist. Um den β-fehler (schraffierte Fläche) darstellen zu können, haben wir die allgemeine Aussage H 1 (δ 0) genauer konkretisieren müssen, hier beispielsweise auf δ = 20. Der kritische Wert K wird so gewählt, dass der Fehler 1. Art sich auf α =5%beläuft, dass also die schwarze Fläche gerade 5% der Gesamtfläche unter der zugehörigen linken Glockenkurve ausmacht. Während also α von uns mit 5% fest gewählt wurde, ergibt sich die Größe des β-fehlers aus der Lage der zweiten Glockenkurve, also in Abhängigkeit

7

Beurteilende Statistik

Beurteilende Statistik Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Allgemeines zu Tests. Statistische Hypothesentests

Allgemeines zu Tests. Statistische Hypothesentests Statistische Hypothesentests Allgemeines zu Tests Allgemeines Tests in normalverteilten Grundgesamtheiten Asymptotische Tests Statistischer Test: Verfahren Entscheidungsregel), mit dem auf Basis einer

Mehr

Bereiche der Statistik

Bereiche der Statistik Bereiche der Statistik Deskriptive / Exploratorische Statistik Schließende Statistik Schließende Statistik Inferenz-Statistik (analytische, schließende oder konfirmatorische Statistik) baut auf der beschreibenden

Mehr

5. Seminar Statistik

5. Seminar Statistik Sandra Schlick Seite 1 5. Seminar 5. Seminar Statistik 30 Kurztest 4 45 Testen von Hypothesen inkl. Übungen 45 Test- und Prüfverfahren inkl. Übungen 45 Repetitorium und Prüfungsvorbereitung 15 Kursevaluation

Mehr

Schließende Statistik

Schließende Statistik Schließende Statistik Die schließende Statistik befasst sich mit dem Rückschluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit (Population). Die Stichprobe muss repräsentativ für die Grundgesamtheit sein.

Mehr

9 Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung

9 Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung 9 Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung Bei der Schätzung eines Populationsparamters soll dessen Wert aus Stichprobendaten erschlossen werden. Wenn

Mehr

Statistische Tests. Kapitel Grundbegriffe. Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe

Statistische Tests. Kapitel Grundbegriffe. Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe Kapitel 4 Statistische Tests 4.1 Grundbegriffe Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe X 1,..., X n. Wir wollen nun die Beobachtung der X 1,...,

Mehr

Statistische Tests (Signifikanztests)

Statistische Tests (Signifikanztests) Statistische Tests (Signifikanztests) [testing statistical hypothesis] Prüfen und Bewerten von Hypothesen (Annahmen, Vermutungen) über die Verteilungen von Merkmalen in einer Grundgesamtheit (Population)

Mehr

4.1. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung

4.1. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung rof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 8 4. Testtheorie 4.. Nullhypothese, Gegenhypothese und Entscheidung ypothesen Annahmen über die Verteilung oder über einzelne arameter der Verteilung eines Merkmals

Mehr

Jost Reinecke. 7. Juni 2005

Jost Reinecke. 7. Juni 2005 Universität Bielefeld 7. Juni 2005 Testtheorie Test für unabhängige Stichproben Test für abhängige Stichproben Testtheorie Die Testtheorie beinhaltet eine Reihe von Testverfahren, die sich mit der Überprüfung

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 16. Oktober 2017 Dr. Andreas Wünsche Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version:

Mehr

R. Brinkmann Seite

R. Brinkmann  Seite R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.3.21 Grundlagen zum Hypothesentest Einführung: Wer Entscheidungen zu treffen hat, weiß oft erst im nachhinein ob seine Entscheidung richtig war. Die Unsicherheit

Mehr

Mögliche Fehler beim Testen

Mögliche Fehler beim Testen Mögliche Fehler beim Testen Fehler. Art (Irrtumswahrscheinlichkeit α), Zusammenfassung: Die Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie zutrifft. Wir haben uns blamiert, weil wir etwas Wahres abgelehnt haben.

Mehr

Statistische Tests für unbekannte Parameter

Statistische Tests für unbekannte Parameter Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung

Mehr

Statistische Tests für unbekannte Parameter

Statistische Tests für unbekannte Parameter Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung

Mehr

Konkretes Durchführen einer Inferenzstatistik

Konkretes Durchführen einer Inferenzstatistik Konkretes Durchführen einer Inferenzstatistik Die Frage ist, welche inferenzstatistischen Schlüsse bei einer kontinuierlichen Variablen - Beispiel: Reaktionszeit gemessen in ms - von der Stichprobe auf

Mehr

R. Brinkmann Seite

R. Brinkmann  Seite R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 24.2.214 Grundlagen zum Hypothesentest Einführung: Wer Entscheidungen zu treffen hat, weiß oft erst im nachhinein ob seine Entscheidung richtig war. Die Unsicherheit

Mehr

Auswertung und Lösung

Auswertung und Lösung Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 4.7 und 4.8 besser zu verstehen. Auswertung und Lösung Abgaben: 71 / 265 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: 0 Durchschnitt: 5.65 Frage 1

Mehr

Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1

Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2013 Aufgabe 1 In einer Urne

Mehr

Statistische Überlegungen: Eine kleine Einführung in das 1 x 1

Statistische Überlegungen: Eine kleine Einführung in das 1 x 1 Statistische Überlegungen: Eine kleine Einführung in das 1 x 1 PD Dr. Thomas Friedl Klinik für Frauenheilkunde und Geburtshilfe, Universitätsklinikum Ulm München, 23.11.2012 Inhaltsübersicht Allgemeine

Mehr

2. Formulieren von Hypothesen. Nullhypothese: H 0 : µ = 0 Gerät exakt geeicht

2. Formulieren von Hypothesen. Nullhypothese: H 0 : µ = 0 Gerät exakt geeicht 43 Signifikanztests Beispiel zum Gauß-Test Bei einer Serienfertigung eines bestimmten Typs von Messgeräten werden vor der Auslieferung eines jeden Gerätes 10 Kontrollmessungen durchgeführt um festzustellen,

Mehr

2 Wiederholung statistischer Grundlagen Schließende Statistik empirischen Information aus Stichprobenrealisation x von X

2 Wiederholung statistischer Grundlagen Schließende Statistik empirischen Information aus Stichprobenrealisation x von X Hypothesentests Bisher betrachtet: Punkt- bzw. Intervallschätzung des unbekannten Mittelwerts Hierzu: Verwendung der 1 theoretischen Information über Verteilung von X empirischen Information aus Stichprobenrealisation

Mehr

2.4 Hypothesentests Grundprinzipien statistischer Hypothesentests. Hypothese:

2.4 Hypothesentests Grundprinzipien statistischer Hypothesentests. Hypothese: 2.4.1 Grundprinzipien statistischer Hypothesentests Hypothese: Behauptung einer Tatsache, deren Überprüfung noch aussteht (Leutner in: Endruweit, Trommsdorff: Wörterbuch der Soziologie, 1989). Statistischer

Mehr

9 Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung

9 Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung 9 Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung Prinzipien der statistischen Hypothesenprüfung Bei der Schätzung eines Populationsparamters soll dessen Wert aus Stichprobendaten erschlossen werden. Wenn

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 10. Vorlesung - 017 Quantil der Ordnung α für die Verteilung des beobachteten Merkmals X ist der Wert z α R für welchen gilt z 1 heißt Median. P(X < z α ) α P(X z α ). Falls X stetige zufällige Variable

Mehr

Testen von Hypothesen:

Testen von Hypothesen: Testen von Hypothesen: Ein Beispiel: Eine Firma produziert Reifen. In der Entwicklungsabteilung wurde ein neues Modell entwickelt, das wesentlich ruhiger läuft. Vor der Markteinführung muss aber auch noch

Mehr

3. Das Prüfen von Hypothesen. Hypothese?! Stichprobe Signifikanztests in der Wirtschaft

3. Das Prüfen von Hypothesen. Hypothese?! Stichprobe Signifikanztests in der Wirtschaft 3. Das Prüfen von Hypothesen Hypothese?! Stichprobe 3.1. Signifikanztests in der Wirtschaft Prüfung, ob eine (theoretische) Hypothese über die Verteilung eines Merkmals X und ihre Parameter mit einer (empirischen)

Mehr

Modul 141 Statistik. 1. Studienjahr 11. Sitzung Signifikanztests

Modul 141 Statistik. 1. Studienjahr 11. Sitzung Signifikanztests Modul 141 Statistik 1. Studienjahr 11. Sitzung Signifikanztests Inhalt der 11. Sitzung 1. Parametrische Signifikanztests 2. Formulierung der Hypothesen 3. Einseitige oder zweiseitige Fragestellung 4. Signifikanzniveau

Mehr

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS)

3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3.1 Beispiel zum Hypothesentest Beispiel: Betrachtet wird eine Abfüllanlage für Mineralwasser mit dem Sollgewicht µ 0 = 1000g und bekannter Standardabweichung

Mehr

Hypothesen über die Grundgesamtheit. Aufgabenstellung der Testtheorie Hypothesen (Annahmen, Vermutungen oder

Hypothesen über die Grundgesamtheit. Aufgabenstellung der Testtheorie Hypothesen (Annahmen, Vermutungen oder Hypothesen über die Grundgesamtheit Aufgabenstellung der Testtheorie Hypothesen (Annahmen, Vermutungen oder Behauptungen) über die unbekannte Grundgesamtheit anhand einer Stichprobe als richtig oder falsch

Mehr

Statistik Testverfahren. Heinz Holling Günther Gediga. Bachelorstudium Psychologie. hogrefe.de

Statistik Testverfahren. Heinz Holling Günther Gediga. Bachelorstudium Psychologie. hogrefe.de rbu leh ch s plu psych Heinz Holling Günther Gediga hogrefe.de Bachelorstudium Psychologie Statistik Testverfahren 18 Kapitel 2 i.i.d.-annahme dem unabhängig. Es gilt also die i.i.d.-annahme (i.i.d = independent

Mehr

r=0.666 Number of people who drowned by falling into a pool correlates with Films Nicolas Cage appeared in 140 drownings 6 films 4 films 120 drownings

r=0.666 Number of people who drowned by falling into a pool correlates with Films Nicolas Cage appeared in 140 drownings 6 films 4 films 120 drownings r=.666 Number of people who drowned by falling into a pool correlates with Films Nicolas Cage appeared in 5 6 7 8 9 6 films drownings films drownings films 8 drownings Nicholas Cage Swimming pool drownings

Mehr

Testen von Hypothesen, Beurteilende Statistik

Testen von Hypothesen, Beurteilende Statistik Testen von Hypothesen, Beurteilende Statistik Was ist ein Test? Ein Test ist ein Verfahren, mit dem man anhand von Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer

Mehr

Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften

Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften Peter von der Lippe Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften Weitere Übungsfragen UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz Mit UVK/Lucius München UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz und München

Mehr

Hypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln

Hypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 4..4 ypothesentest, ein einfacher Zugang mit Würfeln Von einem Laplace- Würfel ist bekannt, dass bei einmaligem Wurf jede einzelne der Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit

Mehr

Lösungen zum Aufgabenblatt 14

Lösungen zum Aufgabenblatt 14 Lösungen zum Aufgabenblatt 14 61. Das Gewicht von Brötchen (gemessen in g) sei zufallsabhängig und werde durch eine normalverteilte Zufallsgröße X N(µ, 2 ) beschrieben, deren Varianz 2 = 49 g 2 bekannt

Mehr

Prüfgröße: Ist die durch eine Schätzfunktion zugeordnete reelle Zahl (etwa Mittelwert 7 C).

Prüfgröße: Ist die durch eine Schätzfunktion zugeordnete reelle Zahl (etwa Mittelwert 7 C). Statistik Grundlagen Charakterisierung von Verteilungen Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsverteilungen Schätzen und Testen Korrelation Regression Einführung Aus praktischen Gründen

Mehr

1. Einführung in die induktive Statistik

1. Einführung in die induktive Statistik Wichtige Begriffe 1. Einführung in die induktive Statistik Grundgesamtheit: Statistische Masse, die zu untersuchen ist, bzw. über die Aussagen getroffen werden soll Stichprobe: Teil einer statistischen

Mehr

Klassifikation von Signifikanztests

Klassifikation von Signifikanztests Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen

Mehr

GRUNDPRINZIPIEN statistischen Testens

GRUNDPRINZIPIEN statistischen Testens Fragestellungen beim Testen GRUNDPRINZIPIEN statistischen Testens. Vergleiche Unterscheidet sich die Stichprobenbeobachtung von einer vorher spezifizierten Erwartung ( Hypothese ) mit ausreichender Sicherheit?

Mehr

Macht des statistischen Tests (power)

Macht des statistischen Tests (power) Macht des statistischen Tests (power) Realer Treatment ja Ergebnis der Studie H 0 verworfen statistisch signifikant O.K. Macht H 0 beibehalten statistisch nicht signifikant -Fehler Effekt nein -Fehler

Mehr

Hypothesen: Fehler 1. und 2. Art, Power eines statistischen Tests

Hypothesen: Fehler 1. und 2. Art, Power eines statistischen Tests ue biostatistik: hypothesen, fehler 1. und. art, power 1/8 h. lettner / physik Hypothesen: Fehler 1. und. Art, Power eines statistischen Tests Die äußerst wichtige Tabelle über die Zusammenhänge zwischen

Mehr

4.1. Verteilungsannahmen des Fehlers. 4. Statistik im multiplen Regressionsmodell Verteilungsannahmen des Fehlers

4.1. Verteilungsannahmen des Fehlers. 4. Statistik im multiplen Regressionsmodell Verteilungsannahmen des Fehlers 4. Statistik im multiplen Regressionsmodell In diesem Kapitel wird im Abschnitt 4.1 zusätzlich zu den schon bekannten Standardannahmen noch die Annahme von normalverteilten Residuen hinzugefügt. Auf Basis

Mehr

Statistik Einführung // Tests auf einen Parameter 8 p.2/74

Statistik Einführung // Tests auf einen Parameter 8 p.2/74 Statistik Einführung Tests auf einen Parameter Kapitel 8 Statistik WU Wien Gerhard Derflinger Michael Hauser Jörg Lenneis Josef Leydold Günter Tirler Rosmarie Wakolbinger Statistik Einführung // Tests

Mehr

7. Hypothesentests. Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang. X habe die unbekannte VF F X (x)

7. Hypothesentests. Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang. X habe die unbekannte VF F X (x) 7. Hypothesentests Ausgangssituation erneut: ZV X repräsentiere einen Zufallsvorgang X habe die unbekannte VF F X (x) Interessieren uns für einen unbekannten Parameter θ der Verteilung von X 350 Bisher:

Mehr

Die Abfüllmenge ist gleich dem Sollwert 3 [Deziliter].

Die Abfüllmenge ist gleich dem Sollwert 3 [Deziliter]. Eine Methode, um anhand von Stichproben Informationen über die Grundgesamtheit u gewinnen, ist der Hypothesentest (Signifikantest). Hier wird erst eine Behauptung oder Vermutung (Hypothese) über die Parameter

Mehr

Aufgabe 1 (8= Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten:

Aufgabe 1 (8= Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten: Aufgabe 1 (8=2+2+2+2 Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten: Die Zufallsvariable X bezeichne die Note. 1443533523253. a) Wie groß ist h(x 5)? Kreuzen

Mehr

Auswertung und Lösung

Auswertung und Lösung Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 4.6 und 4.7 besser zu verstehen. Auswertung und Lösung Abgaben: 59 / 265 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: 0 Durchschnitt: 4.78 1 Frage

Mehr

Statistik Einführung // Stichprobenverteilung 6 p.2/26

Statistik Einführung // Stichprobenverteilung 6 p.2/26 Statistik Einführung Kapitel 6 Statistik WU Wien Gerhard Derflinger Michael Hauser Jörg Lenneis Josef Leydold Günter Tirler Rosmarie Wakolbinger Statistik Einführung // 6 p.0/26 Lernziele 1. Beschreiben

Mehr

WB 11 Aufgabe: Hypothesentest 1

WB 11 Aufgabe: Hypothesentest 1 WB 11 Aufgabe: Hypothesentest 1 Ein Medikament, das das Überleben eines Patienten sichern soll, wird getestet. Stelle Null- und Alternativhypothese auf und beschreibe die Fehler 1. Art und 2. Art. Welcher

Mehr

FF Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters. Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 1 von 6

FF Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters. Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 1 von 6 Vorlesung Quantitative Methoden 1B im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 1 von 6 (Konfidenzintervalle, Gauß scher Mittelwerttest) 1. Bei einem bestimmten Großraumflugzeug sei die Auslastung

Mehr

Mathematik 2 für Naturwissenschaften

Mathematik 2 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 207 Testen von Hypothesen 1 Hans Walser: Modul 207, Testen von Hypothesen 1 ii Inhalt 1 Testen von Hypothesen... 1 1.1 Knabengeburten... 1 1.2 Wirkt

Mehr

Kapitel VIII - Tests zum Niveau α

Kapitel VIII - Tests zum Niveau α Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel VIII - Tests zum Niveau α Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh Testsituationen

Mehr

SozialwissenschaftlerInnen II

SozialwissenschaftlerInnen II Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best best@wiso.uni-koeln.de Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1 Testen von Hypothesen

Mehr

DWT 2.1 Maximum-Likelihood-Prinzip zur Konstruktion von Schätzvariablen 330/467 Ernst W. Mayr

DWT 2.1 Maximum-Likelihood-Prinzip zur Konstruktion von Schätzvariablen 330/467 Ernst W. Mayr 2.1 Maximum-Likelihood-Prinzip zur Konstruktion von Schätzvariablen Wir betrachten nun ein Verfahren zur Konstruktion von Schätzvariablen für Parameter von Verteilungen. Sei X = (X 1,..., X n ). Bei X

Mehr

73 Hypothesentests Motivation Parametertest am Beispiel eines Münzexperiments

73 Hypothesentests Motivation Parametertest am Beispiel eines Münzexperiments 73 Hypothesentests 73.1 Motivation Bei Hypothesentests will man eine gewisse Annahme über eine Zufallsvariable darauf hin überprüfen, ob sie korrekt ist. Beispiele: ( Ist eine Münze fair p = 1 )? 2 Sind

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Statistisches Testen

Statistisches Testen Statistisches Testen Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Differenzen Anteilswert Chi-Quadrat Tests Gleichheit von Varianzen Prinzip des Statistischen Tests Konfidenzintervall

Mehr

Kapitel 3 Schließende Statistik

Kapitel 3 Schließende Statistik Beispiel 3.4: (Fortsetzung Bsp. 3.) bekannt: 65 i=1 X i = 6, also ˆp = X = 6 65 = 0, 4 Überprüfen der Voraussetzungen: (1) n = 65 30 () n ˆp = 6 10 (3) n (1 ˆp) = 39 10 Dr. Karsten Webel 194 Beispiel 3.4:

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 2. Der Standardfehler

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 2. Der Standardfehler Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 2. Der Standardfehler Noémie Becker & Dirk Metzler 15. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Der Standardfehler 1 1.1 Ein Versuch............................................

Mehr

Überblick Hypothesentests bei Binomialverteilungen (Ac)

Überblick Hypothesentests bei Binomialverteilungen (Ac) Überblick Hypothesentests bei Binomialverteilungen (Ac) Beim Testen will man mit einer Stichprobe vom Umfang n eine Hypothese H o (z.b.p o =70%) widerlegen! Man geht dabei aus von einer Binomialverteilung

Mehr

Macht des statistischen Tests (power)

Macht des statistischen Tests (power) Macht des statistischen Tests (power) Realer Treatment ja Ergebnis der Studie H 0 verworfen statistisch signifikant O.K. Macht H 0 beibehalten statistisch nicht signifikant -Fehler Effekt nein -Fehler

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Methodenlehre. Vorlesung 10. Prof. Dr. Björn Rasch, Cognitive Biopsychology and Methods University of Fribourg

Methodenlehre. Vorlesung 10. Prof. Dr. Björn Rasch, Cognitive Biopsychology and Methods University of Fribourg Methodenlehre Vorlesung 10 Prof. Dr., Cognitive Biopsychology and Methods University of Fribourg 1 Methodenlehre I Woche Datum Thema 1 FQ Einführung, Verteilung der Termine 1 25.9.13 Psychologie als Wissenschaft

Mehr

Einführung in die statistische Testtheorie

Einführung in die statistische Testtheorie 1 Seminar Simulation und Bildanalyse mit Java von Benjamin Burr und Philipp Orth 2 Inhalt 1. Ein erstes Beispiel 2. 3. Die Gütefunktion 4. Gleichmäßig beste Tests (UMP-Tests) 1 Einführendes Beispiel 3

Mehr

Um zu entscheiden, welchen Inhalt die Urne hat, werden der Urne nacheinander 5 Kugeln mit Zurücklegen entnommen und ihre Farben notiert.

Um zu entscheiden, welchen Inhalt die Urne hat, werden der Urne nacheinander 5 Kugeln mit Zurücklegen entnommen und ihre Farben notiert. XV. Testen von Hypothesen ================================================================== 15.1 Alternativtest ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Kapitel 13. Grundbegriffe statistischer Tests

Kapitel 13. Grundbegriffe statistischer Tests Kapitel 13 Grundbegriffe statistischer Tests Oft hat man eine Vermutung über die Verteilung einer Zufallsvariablen X. Diese Vermutung formuliert man als Hypothese H 0.Sokönnte man daran interessiert sein

Mehr

Grundlagen der Biometrie in Agrarwissenschaften / Ernährungswissenschaften

Grundlagen der Biometrie in Agrarwissenschaften / Ernährungswissenschaften Grundlagen der Biometrie in Agrarwissenschaften / Ernährungswissenschaften Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Grundlagen der Biometrie, WS 2011/12 Vorlesung: Dienstag 8.15-9.45,

Mehr

Klausur zur Vorlesung

Klausur zur Vorlesung Institut für Mathematische Stochastik WS 2006/2007 Universität Karlsruhe 12. Februar 2007 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. W. Lao Aufgabe 1 (15 Punkte) Klausur zur Vorlesung Statistik für Biologen

Mehr

2. Lösung weitere Übungsaufgaben Statistik II WiSe 2016/2017

2. Lösung weitere Übungsaufgaben Statistik II WiSe 2016/2017 . Lösung weitere Übungsaufgaben Statistik II WiSe 016/017 1. Aufgabe: Bei der Produktion eines Werkstückes wurde die Bearbeitungszeit untersucht. Für die als normalverteilt angesehene zufällige Bearbeitungszeit

Mehr

Mehrdimensionale Zufallsvariablen

Mehrdimensionale Zufallsvariablen Mehrdimensionale Zufallsvariablen Im Folgenden Beschränkung auf den diskreten Fall und zweidimensionale Zufallsvariablen. Vorstellung: Auswerten eines mehrdimensionalen Merkmals ( ) X Ỹ also z.b. ω Ω,

Mehr

Trim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, :34 P.M. Page 11. Über die Übersetzerin 9. Einleitung 19

Trim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, :34 P.M. Page 11. Über die Übersetzerin 9. Einleitung 19 Trim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, 2016 6:34 P.M. Page 11 Inhaltsverzeichnis Über die Übersetzerin 9 Einleitung 19 Was Sie hier finden werden 19 Wie dieses Arbeitsbuch aufgebaut ist

Mehr

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1 Aufgabe 1 (2 + 2 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y) = P (X = x, Y = y) der Zufallsvariablen X und Y : 0.2 x = 1, y = 1 0.3 x = 2, y = 1 f(x, y) = 0.45 x

Mehr

Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten auf der Basis unsicherer (zufälliger) Daten

Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten auf der Basis unsicherer (zufälliger) Daten Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.1 4. Statistische Entscheidungsverfahren Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten auf der Basis unsicherer (zufälliger) Daten Beispiel:

Mehr

Einführung in Quantitative Methoden

Einführung in Quantitative Methoden Einführung in Quantitative Methoden Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr 4. Juni 2014 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden 1/35 Ein- und Zweiseitige Hypothesen H 0 : p =

Mehr

Güteanalyse. Nochmal zur Erinnerung: Hypothesentest. Binominalverteilung für n=20 und p=0,5. Münzwurf-Beispiel genauer

Güteanalyse. Nochmal zur Erinnerung: Hypothesentest. Binominalverteilung für n=20 und p=0,5. Münzwurf-Beispiel genauer Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 1825 Güteanalyse Prof. Walter F. Tichy Fakultät für Informatik 1 Fakultät für Informatik 2 Nochmal zur Erinnerung: Hypothesentest Am Beispiel

Mehr

Fallzahlplanung bei unabhängigen Stichproben

Fallzahlplanung bei unabhängigen Stichproben Fallzahlplanung bei unabhängigen Stichproben Seminar Aktuelle biometrische Probleme Benjamin Hofner benjamin.hofner@stat.uni-muenchen.de 12. Januar 2005 Übersicht 1. Einführung und Grundlagen der Fallzahlplanung

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Kapitel 15 Statistische Testverfahren 15.1. Arten statistischer Test Klassifikation von Stichproben-Tests Einstichproben-Test Zweistichproben-Test - nach der Anzahl der Stichproben - in Abhängigkeit von

Mehr

Klassifikation von Signifikanztests

Klassifikation von Signifikanztests Klassifikation von Signifikanztests Nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängig: parametrischer [parametric] Test verteilungsunabhängig: nichtparametrischer [non-parametric] Test Bei parametrischen Tests

Mehr

7. Übung. Einfache statistische Schätzverfahren. Aufgabe 1. Mögliche Parameter der Grundgesamtheit sind. a) S. c) N. d) n.

7. Übung. Einfache statistische Schätzverfahren. Aufgabe 1. Mögliche Parameter der Grundgesamtheit sind. a) S. c) N. d) n. 7. Übung Einfache statistische chätzverfahren Aufgabe 1 Mögliche Parameter der Grundgesamtheit sind a) b) σ c) N d) n e) μ Aufgabe 2 Eigenschaften guter chätzfunktionen sind: a) Konsistenz b) Konfidenz

Mehr

Online-Aufgaben Statistik (BIOL, CHAB) Auswertung und Lösung

Online-Aufgaben Statistik (BIOL, CHAB) Auswertung und Lösung Online-Aufgaben Statistik (BIOL, CHAB) Auswertung und Lösung Abgaben: 92 / 234 Maximal erreichte Punktzahl: 7 Minimal erreichte Punktzahl: 1 Durchschnitt: 4 Frage 1 (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.)

Mehr

Methodenlehre. Vorlesung 13. Prof. Dr. Björn Rasch, Cognitive Biopsychology and Methods University of Fribourg

Methodenlehre. Vorlesung 13. Prof. Dr. Björn Rasch, Cognitive Biopsychology and Methods University of Fribourg Methodenlehre Vorlesung 13 Prof. Dr., Cognitive Biopsychology and Methods University of Fribourg 1 19.05.15 Methodenlehre II Woche Datum Thema 1 FQ Einführung, Verteilung der Termine 1 18.2.15 Psychologie

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 19. Oktober 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz

Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz Grundlage: Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz Die Testvariable T = X µ 0 S/ n genügt der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. Auf der Basis

Mehr

Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006

Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006 Empirische Softwaretechnik Prof. Dr. Walter F. Tichy Dr. Matthias Müller Sommersemester 2006 Hypothesentesten, Fehlerarten und Güte 2 Literatur Kreyszig: Statistische Methoden und ihre Anwendungen, 7.

Mehr

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften

Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften Statistische Methoden in den Umweltwissenschaften t-test Varianzanalyse (ANOVA) Übersicht Vergleich von Mittelwerten 2 Gruppen: t-test einfaktorielle ANOVA > 2 Gruppen: einfaktorielle ANOVA Seeigel und

Mehr

Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert

Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Beispiel für Konfidenzintervall Im Prinzip haben wir

Mehr

Analytische Statistik II

Analytische Statistik II Analytische Statistik II Institut für Geographie 1 Schätz- und Teststatistik 2 Das Testen von Hypothesen Während die deskriptive Statistik die Stichproben nur mit Hilfe quantitativer Angaben charakterisiert,

Mehr

R. Brinkmann Seite

R. Brinkmann  Seite R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 7.9. Lösungen zum Hypothesentest II Ausführliche Lösungen: A A Aufgabe Die Firma Schlemmerland behauptet, dass ihre Konkurrenzfirma Billigfood die Gewichtsangabe,

Mehr

Grundlagen der Statistik

Grundlagen der Statistik Grundlagen der Statistik Übung 13 2010 FernUniversität in Hagen Alle Rechte vorbehalten Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Übersicht über die mit den Übungsaufgaben geprüften Lehrzielgruppen Lehrzielgruppe

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 13. Juli 017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 8. Juli

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 12. Januar 2011 1 Vergleich zweier Erwartungswerte Was heißt verbunden bzw. unverbunden? t-test für verbundene Stichproben

Mehr

Übungen mit dem Applet Vergleich von zwei Mittelwerten

Übungen mit dem Applet Vergleich von zwei Mittelwerten Vergleich von zwei Mittelwerten 1 Übungen mit dem Applet Vergleich von zwei Mittelwerten 1 Statistischer Hintergrund... 2 1.1 Typische Fragestellungen...2 1.2 Fehler 1. und 2. Art...2 1.3 Kurzbeschreibung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

2) Ihr Chef schlägt vor, dass die Firma nicht Lieferant werden soll, wenn

2) Ihr Chef schlägt vor, dass die Firma nicht Lieferant werden soll, wenn Aufgabe Stochastik Mathe Grundkurs Signifikanztests Ein Hersteller von Schrauben behauptet, dass mindestens 90% seiner Schrauben rostfrei sind, wenn sie fünf Jahre lang im Außenbereich eingesetzt werden.

Mehr

: p= 1 6 ; allgemein schreibt man hierfür H : p = p. wird Gegenhypothese genannt und mit H 1 bezeichnet.

: p= 1 6 ; allgemein schreibt man hierfür H : p = p. wird Gegenhypothese genannt und mit H 1 bezeichnet. Einseitiger Signifikanztest Allgemein heißt die Hypothese, dass eine vorgelegte unbekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer angenommenen Verteilung übereinstimmt, Nullhypothese und wird mit H 0

Mehr

Übungsaufgaben zu Statistik II

Übungsaufgaben zu Statistik II Übungsaufgaben zu Statistik II Prof. Dr. Irene Prof. Dr. Albrecht Ungerer Die Kapitel beziehen sich auf das Buch: /Ungerer (2016): Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Springer Gabler 4 Übungsaufgaben

Mehr

Testen von Hypothesen

Testen von Hypothesen Elke Warmuth Humboldt-Universität zu Berlin Sommersemster 2010 1 / 46 2 / 46 1 Testen von Hypothesen 3 / 46 Signifikant, signifikant, signifikant,... 4 / 46 Signifikant, signifikant, signifikant,... 5

Mehr

Kapitel 3 Schließende Statistik

Kapitel 3 Schließende Statistik Bemerkung 3.34: Die hier betrachteten Konfidenzintervalle für unbekannte Erwartungswerte sind umso schmaler, je größer der Stichprobenumfang n ist, je kleiner die (geschätzte) Standardabweichung σ (bzw.

Mehr

Übungsaufgaben zu Kapitel 12 bis 14

Übungsaufgaben zu Kapitel 12 bis 14 Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Wintersemester 0/6 Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. B. Jung Übungsaufgaben zu Kapitel bis Hinweis: Die Berechnung evtl. auftretender Integrale kann

Mehr