Vektoralgebra. André Röthlisberger, Nuria Rothfuchs, Andrej Metlar, Patrick Reinhard D-MATL SS

Transkript

1 Vktol ndé Röthls, Nu Rothfuhs, ndj Mtl, Ptk Rnhd D-MTL SS D ffn Vktoum und d Eukldsh Vktoum, Bss, Sklpodukt. Ws st n Vkto? Zln zw. Spltnmtzn wdn unt ndm ls Zln zw. Spltnvkton zhnt. Ds Vkton snd nht dsl t Vkton, w d llmn knntn Vkton. Es hndlt sh h um ffn Vkton. En nd Kto von Vkton snd d Eukldshn Vkton. Won stht d Untshd? Um ds F zu ntwotn, thtn w nohmls kuz d Enshftn ns Vktoums (VR). Zu Ennun: D Elmnt ns Vktoums hssn Vkton. Gn sn zw Vkton und, dnn wd d Vkto Vkton mäss ldun dfnt: ls Summ d ds dn. : Summ d Vkton B B O. : Sklpodukt Ds Wtn st n nm Vktoum d skl Multplkton dfnt. Ds Podukt ds Vktos -fh Län von stzt. Shlsslh knn noh n wt Opton uf nm Vktoum dfnt wdn, ds Sklpodukt. W sn Nm st, hndlt s sh nht um nn Vkto, sondn st s n Skl. Sn Göss st w n ldun dstllt: Län ds Vktos ml Län d Pojkton ds Vkto uf o- d: os( ) (.)

2 Somt ltn folnd Rhnln fü nn VR: () Summ ) (Kommuttvstz) ) ( ) ( ) (ssoztvstz) ) Es t nn Nullvkto 0, so dss: 0 d) Zu jdm Vkto t s n Vkto, so dss: ( ) 0 () Podukt ns Vktos mt nm Skl ) ) α ( β) ( α) β αβ (ssoztvstz) ) ( α β ) α β (Dstutvstz fü d skl ddton) d) ( ) α α α (Dstutvstz fü d Vktoddton) () Sklpodukt: ) (Kommuttvstz) ) ( α ) ( α) α( ) (ssoztvstz fü d Multplkton mt nm Skl) ) ( ) (Dstutvstz) d) Wnn 0 fü l 0 und 0 dnn lt fü dn Wnkl zwshn und : mäss d Dfnton ds Sklpodukts (.). Efülln d Elmnt n Mn V ll Rhnln () (), dnn hssn d Elmnt Eukldsh Vkton od nfh Vkton. Ds snd d llmn knntn Vkton. D Mn V st dnn n Eukldsh Vktoum (z.b.: R ). Snd d Rhnln fü ds Sklpodukt nht klät, so hssn d Elmnt ffn Vkton und d Mn V st dnn n ffn Vktoum. Dmnh snd d Vkton d lmntn Vktohnun Eukldsh Vkton. D Zln zw. Spltnmtzn snd jdoh ffn Vkton, d ds Kommuttvstz fü ds Sklpodukt nht usdüklh dfnt st.. D Bss und Dmnson En Vktoum st n-dmnsonl, wnn s n ln unhän Vkton v, v,..., vn t und jd (n)t Vkto ln hän st. D n ln unhänn Vkton hssn Bss, d duh Lnkomnton ll ndn Vkton v ds Vktoums konstut wdn könnn. Es ln lln Vkton ds Vktoums dsln Bssvkton zu Gund und wdn h mt,,..., n zhnt. Sthn ds Bssvkton ll snkht ufnnd, sph st ds Sklpodukt zwshn j zw Bssvkton lh 0, so hssn d Bssvkton othoonl. D Bss hsst dnn: othoonl Bss. Hn ll Bssvkton zudm noh d Län, so hssn s othonoml. D Bss m Eukldshn Rum R st othonoml. länst nht ll Bssvkton snd othoonl od othonoml. Ds Umstnd wd n Kptl nu klät.

3 . Komponntn ns Vktos und ds Sklpodukt Bthtn w nun nohmls ds Sklpodukt tws nu. Gn s n othoonls Koodntnsystm, d.h. n Koodntnsystm, wo d Bssvkton othoonl snd und uf dn Koodntnhsn ln. Zu Enfhht nhmn w wd dn Eukldshn Rum R. Dnn knn jd Vkto n folnd Fom shn wdn: (.) Wl,, othonoml snd, lt: 0 0 ) ( (.) nlo hält mn othonomln Bssvkton: (.4) In Wotn usdükt hssn,, Pojkton ds Vktos uf d Bssvkton zw. uf d Koodntnhsn. Somt snd n nm othoonln Koodntnsystm d Pojktonn von uf d Koodntnhsn, d Komponntn ds Vktos. uf ds Ws lässt sh uh n nd Foml fü ds Sklpodukt nfh hltn. Sn und zw Vkton ds Vktoums V, so st: ( ) ) ( K (.5) Ds Sklpodukt st lso d Summ d Podukt d jwln Pojktonn uf dsl Koodntnhs. llmn fü nn n-dmnsonln Vktoum shn ls: n (.6)

4 . Ds Vktopodukt und ds Sptpodukt. Ds Vktopodukt Ds Vktopodukt wd uh Kuzpodukt od äusss Podukt nnnt. Dfnton: Ds Vktopodukt zw Vkton st n Vkto, d snkht uf d duh d von dn dn Vkton und ufspnntn En stht. D Län dss Vktos ntspht dm Flähnnhlt ds Plllomms mt Stn und. D Foml dzu lutt: sn ( θ ) (.) D lnk St ds Foml ntspht lso p Dfnton dm Flähnnhlt ds Plllomms. W knn nun klät wdn, dss d ht St nflls dnsln Flähnnhlt sht? Dzu thtn w d ldun 4.. : Vktopodukt D Fläh ns Plllomms knn knntws mt d Foml h hnt wdn, wo d Gundst und h d Höh m htn Wnkl zu st. In unsm Fll ntspht d Gundst dm Vkto und d Höh h. h knn nun duh d θ dn Vkton und und dn Wnkl θ usdükt wdn.. 4: : Bhnun ds Flähnnhlts ds Plllomms sn h ( θ ) h sn( θ ) D Flähnnhlt st lso: h sn( θ ) Ds stmmt mt d on Foml (.) ün. h Im ukldshn Rum lt folnd Foml fü ds Kuzpodukt:

5 Rhnln: ) 0 Ds Vktopodukt ns Vktos mt sh slst t dn Nullvkto. Dss Gstz st lht zu vsthn, d ds Plllomm zu n Ln wd und dh dn Flähnnhlt Null stzt. ), und ldn n ds Rhnfol n Rhtssystm (Rht-Hnd-Rl). Vtusht mn nun und, so zt d Vkto n d ntnstzt Rhtun. ufund ds Enshft wd ds Vktopodukt uh ntsymmtsh nnnt. ) λ ( ) ( λ ) ( λ ) En Skl knn us dm Vktopodukt huszon wdn. 4) ( ) ( ) Ds Dstutvstz lt uh fü ds Vktopodukt. 5) 0 0 0, flls plll zu lt.. Ds Sptpodukt Ds Sptpodukt vknüpft d Vkton mtnnd. Es hndlt sh um n Komnton von Kuz- und Sklpodukt und wd uh mshts Podukt nnnt. Dfnton: Ds Sptpodukt d Vkton,, st n Skl, dssn Bt mt dm Rumnhlt V ds Spts, wlh von dn d Vkton,, ufspnnt wd, ünstmmt. Ds Sptpodukt ( ) st dntsh zu Dtmnnt d Mtx, d d Vkton,, ls Zlnvkton stzt. v ( ) dt. 5: Sptpodukt

6 Rhnln: ) ( ) ( ) ( ) v D Vkton könnn zyklsh vtusht wdn. Wdn d Vkton zyklsh vtusht, ändt sh ds Vozhn. ( ) ( ) ) ( ) 0, flls d Vkton,, n ds Rhnfol n Rhtssystm ldn. Gomtsh thtt ldn d d Vkton nn sptzn Wnkl. ( ) 0, flls d Vkton,, n ds Rhnfol n Lnkssystm ldn. Gomtsh thtt ldn d d Vkton nn stumpfn Wnkl. ( ) 0, flls d Vkton,, ln hän snd. ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ En Skl knn us dm Sptpodukt huszon wdn. 4) ( ) ( ) ( ) ( ) d d Es lt n t ds Dstutvstzs.

7 . Kovnt und Kontvnt Bss Es sn, und n Bss m Eukldshn Rum. Nun wd n zwt Bss, und konstut. D Gundvkton d Bsn snd duh folnd Bzhun mtnnd vknüpft: j δ (.) fü j -Dlt st: δj 0 fü j D Vknüpfun usfühlh shn t: j Glt zwshn zw Bsn ds Bzhun wd d kovnt Bss und d kontvnt Bss nnnt. D kovntn Mtxkoffzntn snd n duh: j j (.) D kontvntn Mtxkoffzntn snd n duh: j j (.) Zl st s nun d kontvnt Bss duh d kovnt uszudükn. Ds shht duh folndn nstz: j j (.4) j D nun Zhln snd unknnt und wdn mt Hlf von (.) hnt. Es wd uf dn k Stn skl mt multplzt. us (.) und (.) t sh dnn: j k j k (.5) jk j δ (.6) j D ufund ds Konk-Dlts nu dnn dn Fkto vofndt wnn k st, lässt sh d Glhun w folt vnfhn: j jk δ (.7) Stzt mn ds wdum n (.6) n so hält mn: jk jk (.8) Wd (.7) n (.4) nstzt so wd d kontvnt Bss duh d kovnt Bss usdükt: j j (.9) nlo lt fü d kovnt Bss: j j (.0) Nun lt s noh j Somt lässt sh d Mtx ( ) j j zu stmmn. Wo lt, dss d Mtx ( ) j st. d Invs d Mtx ( ) und dduh lässt sh d kontvnt Bss nh (.9) fndn. Im ddmnsonln Fll lässt sh d kontvnt Bss shnll fndn. Nh (.) stht d Vkto snkht uf und. lso ht d Rhtun vom Vktopodukt von. Dshl wd folnd nstz mht:

8 Wt lt nh (.): α (.) ( ) α ( ) α (.) D ( ) us (.) und (.) t sh: α (.). Kovnt und kontvnt Komponntn ns Vktos Zl st s nn Vkto n d kovntn ls uh n d kontvntn Bss dzustlln. In d kovntn Bss sht mn: Und n d kontvntn Bss Um nun d hänkt von j und hält: sht mn: und Entsphnd t d skl Multplkton mt (.4) (.5) vonnnd huszufndn, multplzt mn skl mt j j (.6) j : j j (.7) Wd nun d Bzhun (.6) und (.7) fü d Komponntn mt dn Bzhunn (.9) und (.0) fü d Gundvkton, so stllt mn fst, dss j dn kovntn und d dn kontvntn Gundvkton ntsphn. D Komponntn wdn w folt nnnt: j d kovntn Komponntn ds Vktos d kontvntn Komponntn ds Vktos

9 4. D omtsh Bdutun d ko und kontvntn Bss 4. Kovnt und Kontvnt Bss Gn s n d En d kovnt Bss os(,. 6: Ko und kontvnt Bss Nh d Dfnton stht snkht uf und snkht uf. Mn wss uh, dss os(, ) os 45 ) os 45 lso j Es t uh n zwt Ws, d kontvnt Bss zu fndn, mt d Mtx. Ds Mtx st d Invs d Mtx j j j W fndn j. D Invs Mtx st dnn. us d Glhun j j hält mn: Od mt und usdükt,

10 ws ünstmmt, mt ws w füh hltn httn. 4. Kovnt und kontvnt Komponntn ns Vktos. H st n Bspl fü d kovntn und kontvntn Komponntn ns Vktos n d En mt d Bss,.. 7: Kontvnt Komponntn ns Vktos und snd d kontvntn Komponntn ds Vktos n d Bss, (. 7).. 8: Ko und kontvnt Komponntn ns Vktos D kontvnt Bss st h n Gün dstllt (. 8). Enshft ds Sklpodukt). D Wnkl zwshn und os(, ) > stht snkht zu (d 0, st kln ls 90 Gd, dh 0. Wl d Nomn d Vkton postv snd, muss d Wt ds Kosnus postv sn, ws nu lt, wnn d Wnkl zwshn dn Vkton kln lh 90 Gd st. Dsln Bmkunn ltn fü.

11 Es t zw vshdn Mthodn, d Komponntn ns Vktos zu fndn. D kovntn Komponntn könnn us dn Komponntn und ntn dn Rhtunn d kontvntn Bss fundn wdn, od us dn Pojkton und von dn Vkto uf d kov- nt Bss. Ds zwt Bzhun knn w folt fundn wdn. D, lt uh: os(, ) Umfomt t s: os(, ). In d ldun sht mn dnn, dss os(, ) d Pojkton von uf d kovnt Bss st. Dsl Ülun lt fü d kontvntn Komponntn. Bloph Bosnko, Tpov Vto nd Tnso nlyss Klnnl Tnsohnun fü Innu