Aufgabensammlung Arbeit, Energie, Reibung Teil 2 Lösungen

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1 Aufgabensammlung Arbeit, Energie, Reibung Teil 2 Lösungen. a) Die Federkonstante D wird nach folgender Formel berechnet: D = F s D = m g s D = 60kg 9,8 m s 2 0,25m D = 2354,4 N m Für die Kraft F wird hier die Gewichtskraft des Jungen eingesetzt. b) Die größte und die kleinste Geschwindigkeit ist dadurch gekennzeichnet, dass sie kurz vorher und kurz hinterher entweder größer oder kleiner ist. Ein Veränderung der Geschwindigkeit bedeutet, dass eine Beschleunigung vorliegen muss. Dabei gilt: v wird größer Beschleunigung a ist positiv ; v wird kleiner Beschleunigung a ist negativ. Wegen F = m a gilt das gleiche auch für die Kraft F. Sie muss positiv sein, wenn sich die Geschwindigkeit noch erhöht und negativ, wenn v geringer wird. Am Ort der größten Geschwindigkeit muss daher die Summe aller wirkenden Kräfte Null sein. Welche Kräfte wirken nun auf den Jungen? Zum einen ist natürlich seine Gewichtskraft F G = m g zu nennen, die versucht, ihn nach unten zu beschleunigen. Zum anderen ist die Kraft zu nennen, die in dem gespannten Trampolin steckt und versucht, den Jungen nach oben zu beschleunigen, F T = D s. Weitere Kräfte kommen hier nicht vor. Durch gleichsetzen der Kräfte kommt man auf den Ort der maximalen Geschwindigkeit: F G = m g F T = D s m g = D s s = m g D s = Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit? 60kg 9,8 m s 2 s = 0,25m 2354,4 N m Für die Berechnung der Geschwindigkeit müssen wir die Energieen betrachten. In dem Zustand des maximal gespannten Trampolins, in dem weder kinetische noch potentielle Energie vorliegen, beträgt die Spannenergie E Spann = ½ D s 2, mit s als der maximalen Auslenkung.

2 E Spann = 2 D s2 E Spann = ,4 N m 0,65m2 E Spann = 497,367 N m Die Spannenergie ist gleich der maximalen Energie im System Trampolin Junge. Während des Sprungs teilt sich diese maximale Energie auf in die einzelnen Energien, E pot und E Spann, je nachdem, an welcher Stelle des Sprungs die Energieen berechnet werden sollen. Hier ist die kinetische Energie an der Stelle der größten Geschwindigkeit gesucht. Wir können also aufschreiben: Folgende Skizze kann eventuell helfen: Bewegungsrichtung des Jungen 2 D s2 m g h 2 m v2 = 497,367 N m Z3 Z2 Z s = 0; h = 0,65 m s = 0,65 m; h = 0 s = 0,25 m; h = 0,40 m Z: die Position des maximal gespannten Trampolins, keine kinetische oder potentielle Energie Z2: die Position der maximalen Geschwindigkeit, Spann- und potentielle Energieen sind vorhanden Z3: die Position, an der der Junge das Trampolin gerade nicht mehr spannt, Spannenergie ist Null 2 D s2 m g h 2 m v2 = 497,367Nm ,4 N m 0,25m2 60kg 9,8 m s 2 0,40m 2 60kg v2 = 497,367Nm 73,575Nm 235,44Nm 30kg v 2 = 497,367 Nm 497,367Nm 73,575Nm 235,44Nm 30kg 2,5 m s

3 c) Für die Geschwindigkeit des Jungen in der Höhe des entspannten Trampolintuchs können wir dieselbe Formel verwenden, da ebenfall die maximale Energie im System auf die einzzelnen Energiebestandteile aufgeteilt werden. 2 D s2 m g h 2 m v2 = 497,367Nm ,4 N m 0m2 60kg 9,8 m s 2 0,65m 2 60kg v 2 = 497,367 Nm 0Nm 382,59Nm 30kg v 2 = 497,367Nm,96 m s 497,367Nm 382,59Nm 30kg d) Die erreichbare Höhe lässt sich ebenfalls aus der gleichen Formel berechnen. Wir müssen nur berücksichtigen, dass die Spannenergie und die kinetische Energie am höchsten Punkt des Jungen Null sind. 2 D s2 m g h 2 m v2 = 497,367Nm ,4 N m 0m2 60kg 9,8 m s 2 h 2 60kg 0 m s 0Nm 588,6N h 0Nm = 497,367Nm h = 497,367Nm 588,6 N h = 0,845m 2 = 497,367 Nm Diese Höhe bezieht sich aber auf die h-nulllinie, die sich am Ort des maximal gespannten Trampolins befindet. Für die Höhe über dem Trampolin müssen wir den Spannweg s = 0,65 m von dem Ergebnis abziehen. Wir erhalten dann: h = 0,95 m.

4 2. Für diese Aufgabe müssen wir zunächst überlegen, welche Energieumwandlungen hier statt finden. Die Springerin springt aus einer definierten Höhe auf das Trampolin. Da ihre Masse (+ Zusatzmassen) bekannt ist, kann man die potentielle Energie bezüglich des entspannten Trampolins berechnen. Diese potentielle Energie wird natürlich in kinetische Energie umgewandelt, diese jedoch wird komplett in Spannenergie des Trampolins umgewandelt. Diese Spannenergie wird aber wieder als kinetische Energie an die Springerin abgegeben, die daraufhin wieder eine bestimmte Höhe über dem Trampolin erreichen kann. Da sich im Zustand des gespannten Trampolins aber die Masse der Springerin ändert (von 60 kg auf 50 kg), die Spannenergie aber von der Masse unabhängig ist, erreicht die Springerin eine größere Höhe als die, von der sie losgesprungen ist. Als Formel: g h A = 2 D s2 = m B g g h A = m B g h A = m B = m B h A = 60kg 50kg 2m = 2,4m 3. Hier ist zu beachten, dass sich die kinetische Energie des Waggons auf zwei Pufferfedern aufteilt. D ist folgendermaßen zu bestimmen: = 2 m v2 = kg m 2 s = 5000Nm = 2 E Spann 5000Nm = 2 2 D s2 5000Nm = D 0,m 2 D = N m

5 4. Der Stein hat anfang (Zustand ) eine potentielle Energie, m und h sind bekannt, und eine kinetische Energie, m und v sind bekannt. Am Ende (Zustand 2) hat er weder potentielle noch kinetische Energie. Also muss alle Energie in innere Energie in das System Stein-Berg umgewandelt worden sein. E in = 2 2kg 5 m 2 2 kg 9,8 s m s 2 50m E in = 206Nm 5. Entlang der Straße wirkt zur Abbremsung des Autos zum einen die Hangabtriebskraft (die Fahrerin fährt aufwärts) und die Reibkraft. Diese Kräfte wirken auf einer Strecke von 0 m, sie verrichten also Arbeit. Diese Arbeit wandelt kinetische Energie des Autos um in innere Energie des Systems Reifen-Straße. Wir haben also die kinetische Energie des Autos am Beginn der Bremsung und wir haben die verrichtete Arbeit. Formell bedeutet das: 2 m v2 = F s 2 m v2 = F H F R s 2 m v2 = F G sin F N f s 2 m v2 = F G sin F G cos f s 2 m v2 = m g sin m g cos f s 2 m g sin m g cos f s m 2 g s sin cos f 2 9,8 m s 2 0msin5 cos5 0,5 0,639 m s = 38,3 km h Nein, sie hat die vorgeschriebene Geschwindigkeit nicht eingehalten. 6. Hier ist ein wenig Spielen mit Einheiten gefragt. Die spezifische Wärme zeigt an, wieviel Energie das Material aufnimmt pro kg Masse und pro K Erwärmung. Der Wert lautet c = 0,45 kj / (kg K). Da die Bremsen eine Masse von 0 kg besitzen, ergibt sich eine aufnehmbare Energie von 4,5 kj / K. Das sind 4500 J / K. Die kinetische Energie des LKW beträgt J. Wenn wir jetzt die kinetische Energie des LKW durch die aufnehmbare Energie der Bremsen teilen, erhalten wir: Die Bremsen erwärmen sich um ca. 430 K J / (4500 J / K) = 428,7 K