4. Fraktale und chaotische Prozesse (korrigiert am )
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- Gerrit Dressler
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1 Geophysk 4. Fraktale un chaotsche Prozesse (korrgert am 8.5.) Wr beobachten Prozesse, e sch, auch wenn wr hre Vergangenhet vollstäng kennen würen, ncht vorhersagen lassen. De räumlchen oer zetlchen Strukturen, e ese Prozesse erzeugen, sn selbstähnlch. 4. De raktale Geometre er Natur Selbstähnlchket oer Skalennvaranz beeutet as Fehlen enes natürlchen Maßstabes. Manelbrot zegte es am Bespel er Küstenlne von Englan. Skalennvaranz trtt n en Lösungen nchtlnearer Derentalglechungen au un kann mt Potenzgesetzen beschreben weren; e von en lnearen Derentalglechungen bekannte Überlagerung von Tellösungen st ncht möglch Das Fehlen enes natürlchen Maßstabes Wr weren n en Kapteln 4. un 4. Bespele ür chaotsche Prozesse kennenlernen: De zetlche Abolge von Erbeben un e Umpolungsolge es ermagnetschen Feles. Für bee lässt sch ken Zetmaßstab angeben (sonst wäre as nächste Erbeben bzw. e nächste Umpolung vorhersagbar). Des sn Bespele ür zetlche Fraktale; etwas anschaulcher sn räumlche Fraktale, etwa e Küstenlne von Englan. Dese st selbstähnlch oer skalennvarant,.h. en großer Tel seht (statstsch gesehen) we en klener aus. Wenn Se e Küste überlegen un Ihre Flughöhe ncht kennen, können Se, eben wegen es Fehlens enes natürlchen Maßstabs, kene Größenangaben machen. Etwas genauer nennen wr en Geble genau ann raktal, wenn e oppeltlogarthmsche Autragung sener Grösse gegen en verweneten Maßstab ene Gerae mt negatver Stegung ergbt. Be zetlchen Fraktalen wr so e Häugket bestmmter Intervalllängen (z.b. e Dauer enes chrons mt erselben Polartät es Ermagneteles) gegen e Intervalllänge selbst augetragen.
2 4... Überlagerungsprnzp versus Skalenprnzp En physkalscher Prozess were urch ene Derentalglechung (DGL) t b n (F.) bt beschreben. Wenn n, ann st e DGL lnear, e Lösung st e, e Superposton von Tellösungen st möglch, un Skalennvaranz st ncht möglch. Wenn n, ann st e DGL nchtlnear, e Lösung z.b. von t b (F.) st un ür grosse t, b t t b hängt bt ncht mehr von ab un st skalennvarant ( seht ür alle t glech aus ),.h. ene Transormaton t t mt enem Streckaktor oer Ähnlchketsverhältns würe e t -Abhänggket ncht änern: x( t) x( t) (F.) Dese Glechung beschrebt e Skalennvaranz ür en Spezalall, ass er Ähnlchketsexponent en Wert hat (wel e Lösung er o.g. DGL ür grosse t mt t geht. Allgemen lautet as Prnzp er Selbstähnlchket x( t) x( t) (F.4) Alternatv kann as zetlche Verhalten es Prozesses urch as Potenzgesetz x ( t) const t (F.5) beschreben weren.
3 4... De raktale Dmenson Es gbt sehr vele verscheene Methoen, e raktale Dmenson enzuühren. Dese stammt aus: S. Großmann: Selbstähnlchket: Das Strukturgesetz m un vor em Chaos. In W. Gerok (Hrsg): Ornung un Chaos n er unbelebten un belebten Natur. Stuttgart: Hrzel, 99 Am Bespel er Kochkurve (as st auch glechzetg e Umranung er Koch-Insel, s.u.) wollen wr aus em Prnzp er Selbstähnlchket e raktale Dmenson ableten. Dese Kurve entsteht, wenn ene gerae Lne er Länge l urch enen Höcker ersetzt wr, essen 4 Tele e Länge l / haben; un ür jees Telstück eses Höckers wr es weerholt 4 usw. De Länge er Kochkurve nach er. Iteraton st also l un nach er. Iteraton 4 l. Oenschtlch wächst e Länge er Kochkurve gegen, nach er n ten Iteraton st n 4 l se l. Dabe st n n e Maßstabslänge un 4 e Gesamtzahl von Enzelstücken. Wenn wr ür alle n e Maßstabslänge un e Gesamtzahl N( ) nennen, wr e Selbstähnlchket er Kochkurve urch 4N( ) N (F.6) beschreben. Verglech mt er allgemenen Glechung er Selbstähnlchket N( ) N( ) (F.7) leert (her st ) 4, also
4 ln ln F nennen wr e raktale Dmenson er Kochkurve. Warum?Das Potenzgesetz ür e Gesamtzahl von Enzelstücken st jetzt N 4 ) ( ) F (F.8) (wel.686 Für en Maßstab.6886 ergbt sch e Länge N( ) const const. De Fläche bestmmen wr, nem wr e Kurve mt klenen Quarate er Fläche überecken, zu.78 N( ) const const. Also wr e Länge ür unenlch un e Fläche wr! Länge (=) un Fläche (=) sn Spezalälle enes -mensonalen Volumens V F ( ) const N( ) const, (F.9) welches zwschen = un = von au snkt. Nur ür maßstabsunabhängg. F st eses Volumen Zusammenassung: De raktale Dmenson enes Gebles, as be jeer Iteraton n M Tele augespalten weren kann, e aus hm mt enem Ähnlchketsverhältns geblet weren, st lnm F (F.) ln En aneres Bespel: Wr zerlegen enen Strch er Länge L n Tele er Länge L/ as Ähnlchketsverhältns st also. Das mttlerer Stück enternen wr, so as N= Tele überleben. Mt esen been überlebenen Telstücken weerholen wr es usw. Her st e raktale Dmenson (ln /ln ) =.69 (as st klener als, wel sch ene unterbrochene Lne ergbt). 4
5 Wenn wr e Regeln eser Fragmenterung ahngehen änern, ass be jeem Schrtt ncht as mttlere, sonern rgenenes von re Telstücken enternt wr, erhalten wr en Geble, as er Umpolungsolge es Ermagneteles (schwarz: heutge Polartät, wess : nverse Polartät) schon recht ähnlch seht: Können wr auch auch en Geble mt ener raktalen Dmenson zwschen un, also ene unterbrochene Fläche erzeugen? En enaches Bespel st e Umranunger Koch-Insel, e bem Fragmenterungsschrtt aus enem Dreeck geblet wr. Be jeem olgenen Fragmenterungsschrtt wr jee Kante es Gebles n 4 Unterkanten augespalten, un as Ähnlchketsverhältns st (wel e neuen Kanten remal klener sn). De raktale Dmenson st F ln 4 ln De raktale Dmenson ener Lne wäre, e ener Fläche wäre. Das her kene natürlche Zahl [nteger], soner ene raktonale herauskommt, st er Ursprung es Wortes Fraktal. Der Untersche zwschen er brtschen Insel un er Koch-Insel legt ncht n enem nennenswerten Untersche er raktalen Dmensonen, sonern weer n ener Mozerung er Abblungsvorschrt: Be er Koch- Insel wr mmer as mttlere von re Telstücken urch en klenes Dreeck ersetzt, be ener natürlchen Insel rgenen Telstück (we vele Testläue müssen Se rechnen, amt wrklch e brtsche Insel herauskommt?). De raktale Dmenson wr urch ese Mozerung natürlch ncht geänert, aber jetzt haben wr en Nebenenaner von langen un kurzen Küstenabschntten. De raktale Dmenson verknüpt e Zahl N er Abschntte mt ener bestmmten Länge r mt eser Länge: 5
6 N C r F (F.8, F.) abe st er Interatonszähler ür e Fragmenterungsschrtte. Daran, ass (F.) ür alle Schrtte glt, sehen wr e Selbstähnlchket es Gebles. De Gesamtlänge P er Küste st aber abhängg vom Iteratonszähler: P r N, un mt (F.) C P (F.) un eshalb ln P ln C ( ) ln r r F Deser Zusammenhang st ür e brtsche Küste n er. Abblung augetragen Mehr Bespele ür raktale Geometren Was st, ausser er zetlchen Abolge von Erbeben un Magnetelumpolungen, noch raktal? De Vertelung er Magntuen er Erbeben, e Vertelung er Konvektonszellen unterschelcher Grösse m äusseren Kern (Hnwes schon n Kaptel.4), e Grössenvertelung von geomorphologschen Strukturen (Berge, Seen, Inseln...). 6
7 4..5. Lneare un nchtlneare DGLn n er Geomorphologe Wenn e Form er Lanschat ene raktale Geometre hat, sollten e Mechansmen, welche e Form er Lanschat prägen, skalennvarant sen (as st noch kene Aussage über e Physk n esen Mechansmen!). Lneare Eroson Wr nehmen zunächst an, ass er horzontale Fluss eroertem Materal proportonal zur Stegung st: ṁ x (er hat e Enhet kg ) von m s mx h m x J (F.) t x m abe st e Dchte un J en Transportkoezent. Wel außerem ene Glechung s ür e Massenerhaltung h m x t x (F.4) glt, ergbt sch nsgesamt ene Dusonsglechung ür e Topographe h h t h J x (F.5) e natürlch ene charakterstsche Skalenlänge Strukturen ncht taugt. Jt hat un zur Erzeugung selbstähnlcher Nchtlneare Eroson Wr retten e Skalennvaranz vellecht, nem wr (F.) urch m h x J (F.6) t x ersetzen,.h.er horzontale Fluss hängt ncht mehr lnear von er Stegung ab. Wel e Massenerhaltung (F.4) blebt, wr e DGL (F.5) ersetzt urch h t h J x h x (F.7) 7
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