Einführung in die Theoretische Physik

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1 Einfühung in die Theoetische hysik 7 Teil: Elektostatik I Siegfied ety Fassung vom 18 Janua 1

2 I n h a l t : 1 Elektische Ladungen Das COULOMB-Gesetz Die elektische Feldstäke 4 Fluss und Flussdichte des elektischen Feldvektos E 5 5 Das elektische Feld mehee Kugelladungen 7 51 Diskete Ladungen 7 5 Kontinuieliche Ladungsveteilung 8 6 Das elektostatische otential 1 61 Das otential des Feldes eine Kugelladung 14 6 Das otential des Feldes mehee Kugelladungen 15 6 Das otential im Feld eine kugelfömigen Raumladung Das otential des Feldes eines unendlich langen geaden Dahtes Allgemeine Feldgleichungen 17 1

3 1 Elektische Ladungen In den Atomen alle chemischen Elemente gibt es»elementateilchen«, nämlich otonen und Elektonen, die anziehende ode abstoßende Käfte aufeinande ausüben Diese Käfte weden als»elektostatische Käfte«; bezeichnet Ihe Usache ist eine besondee Eigenschaft de otonen und Elektonen, die man»elektische Ladung«nennt Es gibt genau zwei Aten von elektische Ladung, die man positiv und negativ genannt hat, weil sie einande teilweise ode ganz kompensieen können Ganz willkülich und wie sich späte heausgestellt hat nicht besondes glücklich wude die otonenladung als positiv, die Elektonenladung als negativ bezeichnet Beide Ladungen sind vom Vozeichen abgesehen gleich goß und können einande zu null kompensieen Da es die kleinsten Ladungen sind, die in de Natu vokommen, heißen sie Elementaladungen Wie man schon mit seh einfachen Expeimenten zeigen kann, stoßen Ladungen mit gleichen Vozeichen einande ab, wähend Ladungen mit entgegengesetzten Vozeichen einande anziehen Die so genannte»ezeugung«gößee elektische Ladungsmengen beuht nicht etwa auf de Neuschöpfung elektische Ladungen, sonden auf de Tennung de positiven und de negativen Ladungen, die in de Mateie ja imme in gleiche Menge vohanden sind Diese Tennung kann z B duch intensive Beühung zweie veschiedenatige Köpe geschehen (so genannte Reibungselektizität) die älteste und einfachste Fom de Ladungstennung Die SI-Einheit de elektischen Ladung (ode Elektizitätsmenge) ist das Coulomb (C) 1 Coulomb = 1 Ampeesekunde (As) Reibt man einen Stab aus Glas ode Kunststoff mit einem Stück Stoff, so fließen Elektonen entwede vom Stab auf den Stoff ode umgekeht (Die positiv geladenen otonen befinden sich in den Atomkenen und können diese nicht velassen) Dementspechend hat de Stab dann ein Defizit ode einen Übeschuss an negativen elektischen Ladungen und ist positiv ode negativ»geladen«duch Beühung des Stabes mit eine isoliet aufgehängten Metallkugel kann diese ebenfalls positiv ode negativ aufgeladen weden Wegen de gegenseitigen Abstoßung befindet sich das Defizit bzw de Übeschuss an Elektonen unmittelba an de Obefläche de Kugel, und zwa wegen de Symmetie de Kugel gleichmäßig veteilt (Bei einem andeen, wenige egelmäßig gefomten Köpe ist die Veteilung ungleichmäßig, abe auch dann befinden sich die Ladungen nu an de Obefläche Man kann dahe fü diese Vesuche anstelle von Massivköpen auch metallische ode dünn metallisiete ohlköpe benutzen) Nähet man zwei deat geladene Kugeln einande an, so wid die Gleichmäßigkeit de Ladungsveteilung duch die Käfte zwischen den Ladungen sofot zestöt Es ist dann schwe, den Abstand de beiden»kugelladungen«ichtig zu bestimmen Zu diesem Zweck müsste man die Kugeln möglichst klein machen, abe das wiedeum schänkt die Göße de Ladungen ein, weil bei gößee Ladungsdichte eine»spühentladung«einsetzt (»Sankt-Elms-Feue«) Dahe hatte COULOMB bei seinen Bemühungen, das Gesetz fü die Kaft zwischen zwei Ladungen zu bestimmen, goße Schwieigkeiten Das COULOMB-Gesetz So wude denn das Gundgesetz de Elektostatik 1785 von COULOMB ehe eaten und behauptet als expeimentell bestätigt Es besagt, dass die Kaft zwischen zwei elektischen»unktladungen«(eigentlich: Ladungen auf hineichend kleinen kugelfömigen Köpen) Q 1 und Q popotional dem odukt de beiden Ladungen und umgekeht popotional dem Quadat ihes Abstandes ist (Als Abstand gilt angenähet de Abstand de Kugelmittelpunkte)

4 Q Q F = k 1 Das COULOMB-Gesetz entspicht somit fomal genau dem Gavitationsgesetz Die Kaft hat die Richtung de Vebindungsgeaden de beiden Ladungen, ist also eine so genannte»zentalkaft«legt man die Ladung Q 1 in den Uspung O eines Koodinatensystems und bezeichnet den Otsvekto von Q mit, so kann man das COULOMB-Gesetz als Vektogleichung wie folgt scheiben (Dabei ist F die Kaft auf Q ) Fü die Kaft F 1 gilt wegen»actio = eactio«: F Q Q 1 = k F = F 1 Ist das odukt Q 1 Q negativ (d h ist genau eine de beiden Ladungen negativ), ist F auf Q 1 hin geichtet Die elektische Feldstäke De elektischen Feldtheoie liegt die Vostellung zugunde, dass jede elektische Ladung den Raum in ihe Umgebung veändet, indem sie ein»elektisches Feld«um sich heum aufbaut Woin die Veändeung des Raumes dabei besteht, ist noch imme ein Geheimnis Wi können lediglich sagen: Ein elektisches Feld ist ein Raum, in dem eine elektische Ladung eine Kaft efäht Das Feld wid beschieben duch den Vekto E de elektischen Feldstäke Definition: Die elektische Feldstäke E in einem unkt des Raumes ist de Quotient aus de Kaft F, die eine»obeladung«q in diesem unkt efäht und diese Ladung: E = F q Fü q > haben E und F dieselbe Richtung, fü q < die entgegengesetzte Aus dem COULOMB-Gesetz egibt sich mit Q 1 = Q und Q = q fü die Feldstäke im Feld eine»unktladung«q: Q E = k Aus histoischen Günden wid de opotionalitätsfakto k in de Fom geschieben 1 k = 4π Die Konstante = 8, As/Vm heißt elektische Feldkonstante Die Einheit de elektischen Feldstäke ist das Newton/Coulomb = Volt/Mete (N/C = V/m) Im COULOMB-Gesetz und in de Gleichung fü die Feldstäke eine Kugelladung taucht de Radius R de Kugel, auf de die Ladung gleichmäßig veteilt ist, nicht auf E hat also keinen Einfluss auf das Feld, auße dass dieses an de Obefläche de Kugel, also im Abstand R vom Mittelpunkt, beginnt ode

5 endet Man kann theoetisch (!) den Radius de Kugel beliebig klein machen und so zu dem Egebnis kommen: Außehalb eine Kugel, auf de eine Ladung Q gleichmäßig veteilt ist, vehält sich das Feld so, als ob die gesamte Ladung im Mittelpunkt de Kugel veeinigt wäe Ehebliche Abweichungen teten auf, wenn in de Nachbaschaft eine andee Ladung vohanden ist Dahe können»unktladungen«, die es ja nicht gibt, annähend duch»kugelladungen«esetzt weden Das oben beschiebene Gesetz fü die Feldstäke gilt nu fü den Raum außehalb de Kugel, welche die Ladung tägt Im Innen de Kugel ist de Raum feldfei Begündung: Betachten wi zunächst eine massive geladene Metallkugel Wäe im Inneen ein elektisches Feld vohanden, dann wüde dot auf die feien Elektonen des Metalls Käfte ausgeübt und die Elektonen bewegt Dies wüde Wäme ezeugen, fü deen Enegie es keine Quelle gäbe (Widespuch zum Enegiesatz) Also odnen sich die Elektonen so an, dass im Inneen kein Feld vohanden ist Dann kann man abe auch das Innee de Kugel aushöhlen, ohne dass sich an de Ladungsveteilung etwas änden wüde Folglich existiet im Inneen auch dann kein Feld, wenn die Kugel hohl ist Es gibt abe auch noch einen andeen Beweis, de dann auch dazu dienen kann, das COULOMB- Gesetz zu veifizieen Betachten wi einen beliebigen unkt im Inneen de ohlkugel Dei eng beisammen liegende Geade duch diesen unkt bilden zusammen mit zwei Teilen de Kugelfläche zwei schlanke Tetaede Man denke sich nun die Gundflächen de beiden Tetaede auf (fast) einen unkt hin schumpfend Dann wiken in paktisch zwei elektische Käfte und zwei elektische Felde in entgegengesetzte Richtung Die Ladungen auf den beiden Flächen vehalten sich dabei stets wie a / b, die Quadate de Abstände de Ladungen zu (= öhen de Tetaede) ebenfalls Folglich sind die Käfte und die Feldstäken in entgegengesetzt gleich Denkt man sich die ganze Kugel deat in ähnliche Tetaede zelegt, so ekennt man, dass die gesamte Feldstäke in gleich null sein muss Elektische Felde können duch Feldlinien anschaulich gemacht weden Das sind Linien, deen Tangenten in jedem unkt die Richtung de Kaft haben, die eine positive Ladung dot efahen wüde So sind die Feldlinien eine positiven unktladung adial nach außen geichtet, die Feldlinien 4

6 eine negativen Ladung adial nach innen Die elektischen Feldlinien gehen also von positiven Ladungen (»Quellen«) aus und enden in negativen Ladungen (»Senken«) Wie man am Feld eine unktladung ekennen kann, ist die Flächendichte de Feldlinien popotional de Feldstäke Die Dastellung des elektischen Feldes duch Feldlinien ist zwa echt anschaulich und einpägsam, hat abe einen gavieenden Mangel: Eineseits muss man annehmen, dass duch jeden unkt eines Feldes eine Feldlinie geht Die Flächendichte de Feldlinien wäe dann unendlich Andeeseits abe laufen die Feldlinien eine Kugelladung nach außen imme weite auseinande, und ihe Flächendichte nimmt ab Diese Widespuch bleibt unauflösba Daum wid fü stenge Untesuchungen das Feldlinienkonzept duch eine andee Betachtungsweise egänzt, die im Folgenden vogestellt wid 4 Fluss und Flussdichte des elektischen Feldvektos E Betachten wi zunächst ein homogenes Feld ie ist de Feldvekto E unabhängig vom Ot In einem solchen Feld liege ein ebenes Flächenstück vom Gößenwet A, das auf dem Feldvekto senkecht steht Sein Flächenvekto A sei also paallel zum Feldvekto E und außedem von gleiche Oientieung Dann bezeichnet man das odukt aus dem Betag E de Feldstäke und dem Gößenwet A de Fläche als den elektischen Fluss Ψ ode genaue als den Fluss des elektischen Feldvektos duch die Fläche: Ψ = E A Eine nützliche Analogie dazu ist de Fluss v A eine Flüssigkeits- ode Gas-Stömung mit dem Geschwindigkeitsvekto v duch das Flächenstück A Die Dimension dieses Flusses ist Geschwindig digkeit mal Fläche = Volumen/Zeit Die Dimension des elektischen Flusses ist Feldstäke mal Fläche De auf die (senkecht zum Feld stehende) Fläche bezogene Fluss, also de Quotient Ψ / A heißt»flussdichte«des Feldvektos Die Flussdichte ist gleich dem Betag de Feldstäke Ψ Flussdichte = E A In einem inhomogenen Feld gilt ψ Flussdichte = lim = E A E A A Bildet de Feldvekto E mit dem Flächenvekto A den Winkel α, so ist de Fluss duch die Fläche Ψ = E Acos α De Tem auf de echten Seite ist das Skalapodukt de Vektoen E und A, also ist Ψ = E A 5

7 Fü α = 9 ist Ψ =, fü 9 < α < 7 ist Ψ < Im inhomogenen Feld gilt fü den Fluss duch ein hineichend kleines Flächenstück Ψ Em A, wobei E m die Feldstäke in de Mitte des Flächenstücks ist Fü eine beliebig goße Fläche A egibt sich daaus nach Zelegung de Fläche in hineichend kleine Teile: Fü alle A gegen wid daaus Ψ = Ψ A A A E A Ψ = lim E A = E d A A A A A Wi untesuchen nun den Fluss des Feldes eine Kugelladung Q Als Fläche A benutzen wi eine mit de Ladung konzentische Kugelfläche vom Radius De Feldvekto E steht übeall auf diese Fläche senkecht Außedem ist sein Betag dot konstant: Q E = 4π Weil die Vektoen E und da paallel sind, ist ih Skalapodukt gleich dem odukt ihe Betäge Somit wid: Q Q Q Ψ = = = = = A E d A E d A d A 4 π 4π 4π A A A Dieses Egebnis ist von de Gestalt de»üllfläche«unabhängig und gilt fü jede die Ladung einhüllende geschlossene Fläche Dies wid spätestens dann ekennba, wenn man sich um die Ladung zwei (in de Abbildung blaue) Kugeln gelegt denkt, von denen eine ganz innehalb de (schwazen) üllfläche liegt und die andee diese ganz umschließt De Fluss duch die beiden blauen Kugeln ist gleich goß Also muss e in gleiche Göße auch duch alle Flächen gehen, die dazwischen liegen Dies gilt selbst dann, wenn die unegelmäßige Fläche in einzelnen Beeichen nach innen gekümmt ist (Man bedenke, dass die Flächennomale in einem Teil de Fläche mit dem Feldstäkevekto einen stumpfen Winkel bildet und das Skalapodukt negativ ist) 6

8 5 Das elektische Feld mehee Kugelladungen 51 Diskete Ladungen Wie Messungen zeigen, efäht eine Ladung q im Feld zweie Kugelladungen Q 1 und Q eine Kaft F, die gleich de Vektosumme de beiden Käfte F 1 und F ist, welche die beiden Ladungen Q 1 und Q einzeln auf die Ladung q ausüben Duch Division mit q ehält man daaus: F = F + F 1 F F + F F F q q q q 1 1 = = + E = E 1 + E Bei de Übelageung de beiden Felde addieen sich die Feldstäken wie Vektoen 7

9 Fü den Fluss Ψ A des Gesamtfeldes duch eine Fläche A egibt sich daaus: ( ) Ψ = E d A = E + E d A = E d A + E d A = Ψ + Ψ A 1 1 1, A, A A A A A Die Flüsse de beiden Feldvektoen summieen sich also skala Schließt man die beiden feldezeugenden Ladungen Q 1 und Q duch eine gemeinsame üllfläche ein, so gilt fü den Fluss duch diese Fläche: Q1 Q Q1 + Q Ψ = Ψ 1, + Ψ, = + = Also gilt: De Fluss des Feldvektos E duch eine üllfläche um die beiden Ladungen ist gleich de Summe diese Ladungen dividiet duch Die gefundenen Gesetze fü die Feldstäke und fü den Fluss des elektischen Feldvektos duch eine Fläche bzw eine üllfläche lassen sich fü beliebig viele Ladungen veallgemeinen: 5 Kontinuieliche Ladungsveteilung 1 E = E, Ψ = Ψ, Ψ = Q i A i, A i In einem Raumstück sei eine elektische Ladung kontinuielich wenn auch nicht unbedingt gleichmäßig veteilt Man spicht dann von eine»raumladung«(da elektische Ladungen aus einzelnen otonen und Elektonen bestehen, ist eine kontinuieliche Ladungsveteilung steng genommen nicht möglich: die Ladung ist»könig«da abe die»köne«und ihe Abstände seh klein sind, kann man fast imme eine kontinuieliche Ladungsveteilung annehmen) Befindet sich in einem Teil des Raumes mit dem Volumen V die Ladung Q, so ist die mittlee Raumladungsdichte in diesem Teil Q ρm = V Fü V gegen null egibt sich daaus die Raumladungsdichte im unkt, auf den hin V geschumpft ist: Q dq ρ = lim = V V dv Umgekeht gilt fü die in einem Raumstück vom Volumen V befindliche Ladung Q = dq = ρ d V V V Betachten wi nun eine das Raumstück umfassende üllfläche De duch diese üllfläche tetende Fluss des Feldvektos E ist Andeeseits ist Ψ V = QV 1 = V ρ d V 8

10 und somit Ψ = E d A, 1 E d A = ρ d V De Fluss des elektischen Feldvektos duch eine geschlossene ülle ist gleich de Summe de in de ülle vohandenen elektischen Ladungen dividiet duch die elektische Feldkonstante (»Duchflutungsgesetz de Elektostatik«) Nach dem Integalsatz von GAUSS ist E d A = dive d V V E besagt Folgendes: De Fluss eines Feldvektos duch eine üllfläche, die ein Raumstück vom Volumen V umschließt, ist gleich de Summe de Egiebigkeiten alle in de üllfläche liegenden Quellen und Senken Bei kontinuieliche Veteilung de Quellen und Senken im Raum ist die Summe de Egiebigkeiten das Volumenintegal de so genannten Divegenz (= Quelldichte) des Feldvektos (Siehe dazu Vektoanalysis, Teil III) De Vegleich de beiden oben stehenden Gleichungen egibt: ρ div E = Das bedeutet: Die Quelldichte (Divegenz) des elektischen Feldvektos in einem unkt ist gleich de Raumladungsdichte in diesem unkt dividiet duch die elektische Feldkonstante Beispiel: Gegeben sei eine kugelfömige»raumladungswolke«vom Radius R mit de konstanten Raumladungsdichte ρ sowie ein beliebige unkt im Abstand vom Mittelpunkt M V 9

11 Este Betachtungsweise: Auf Gund de bishe ewobenen Kenntnisse können wi sagen: 1 Liegt außehalb de Kugel (dann ist > R), so vehält sich das Feld in so, also ob die gesamte Ladung in M veeinigt wäe Es ist also Q π R ρ ρ R E = = = ρ = Raumladungsdichte 4 1 4π 4π Liegt innehalb de Kugel (dann ist < R), so gilt: a) Die Ladung in de Kugelschale mit den Radien und R, auf deen inneen Fläche liegt, ezeugt in kein Feld b) Die Ladung de Kugel mit dem Radius, auf deen Obefläche de unkt liegt, ezeugt in dasselbe Feld, als wenn die ganze Ladung diese Kugel im M veeinigt wäe Also ist Zweite Betachtungsweise: E 4 Q π ρ ρ = = = 4π 4π 1 Liegt außehalb de Kugel, so ist de Fluss des Feldvektos E duch eine kugelfömige üllfläche duch : Andeeseits ist Ein Vegleich egibt Ψ = E A = = π Ψ 1 d E1 d A E1 4 R 4 Q π ρ = = E ρ R = 1 Liegt innehalb de Kugel, dann ist de Fluss duch eine kugelfömige üllfläche duch eineseits und andeeseits woaus sich duch Vegleich egibt Als Vektogleichungen geschieben: Ψ Ψ = π 4 E 4 Q π ρ = = E ρ = ρ R ρ E =, E = 1 Wi beechnen noch fü beide Feldvektoen die Divegenz Es ist, 1

12 Aus folgt und E E E x y Ez div E = + + x y z x e + y e + z e ρ R 1 1 = c = c mit c = E x ( x + y + z ) = c x ( ) x + y + z usw und analog Daaus folgt 1 ( + + ) ( + + ) ( ) E x y z x x y z x x = c x x + y + z = c Im Inneen de Kugel ist die Feldstäke und 1 ( x + y + z ) x ( x + y + z ) ( x + y + z ) 1 ( x + y + z ) y ( x + y + z ) ( ) Ey = c y x + y + z 1 ( x + y + z ) z ( x + y + z ) ( ) Ez = c z x + y + z E E x y Ez div E 1 = + + = x y z ρ E = = c x e + y e + z e ( ) 1 E E x y Ez + + = c, x y z woaus folgt ρ div E = c = Diese Resultate entspechen genau unseen Ewatungen Das nächste Beispiel zeigt, wie mit dem»duchflutungsgesetz de Elektostatik«das Feld eines unendlich langen geaden elektisch geladenen Dahtes beechnet weden kann: Die Ladungen befinden sich auf de Obefläche des Dahtes, und wegen de Gleichbeechtigung alle Teile des Dahtes muss die längenbezogene Ladung λ = dq/dl übeall gleich sein Aus dem gleichen,, 11

13 Gund müssen die Feldlinien adial nach außen velaufen und das Feld»zylindesymmetisch«sein Zu Beechnung de Feldstäke in einemunkt im Abstand von de Leiteachse betachten wi einen mit dem Leite koaxialen Zylinde de Länge l, dessen Mantelfläche duch geht Länge l De Fluss des Feldvektos E duch die Mantelfläche ist die von dem Zylinde eingeschlossene Ladung ist Wegen Ψ = Q/ ist Ψ = E π l; Q = λ l λ l λ E π l =, woaus folgt: E = π 6 Das elektostatische otential Im elektostatischen Feld (das ist das Feld unbewegte Ladungen) gelten folgende Gesetze: 1 Es gibt im elektostatischen Feld auch bei beliebige Ladungsveteilung keine geschlossenen Feldlinien Beweis: Gäbe es im Feld eine geschlossene Feldlinie, so könnte eine elektische Ladung unte de Wikung de elektischen Kaft beliebig oft daauf umhegefüht und dabei Abeit gewonnen weden, ohne dass dafü an eine andeen Stelle Abeit aufgewendet weden müsste Dies wäe ein Vestoß gegen den Enegieehaltungssatz Die Abeit W, die aufzuwenden ist, wenn in einem elektostatischen Feld eine Ladung q von einem unkt 1 zu einem andeen unkt bewegt wid, ist vom Weg unabhängig Beweis: Wenn dies nicht so wäe, so könnte man mit eine Ladung q einen geschlossenen Umlauf 1 1 machen und dabei duch geschickte Wahl de Wege Abeit gewinnen Die Abeit, die bei Bewegung eine Ladung q in einem elektischen Feld von 1 nach aufzuwenden ist, betägt W 1 F s (61) = dw = d, 1 1 1

14 wobei F die aufzuwendende Kaft ist, die de vom Feld auf die Ladung q wikende Feldkaft entgegengesetzt gleich ist, und ds das Diffeential des Veschiebungsvektos ist Fü q > ist dahe F = q E und 1 wobei φ de von E und ds eingeschlossene Winkel ist W = q E ds = q E ds cos ϕ, (6) 1 1 Beechnet man das Abeitsintegal übe einen geschlossenen Weg, so ist W = und dahe stets E ds = Da de Wet des Abeitsintegals vom Weg zwischen 1 und unabhängig ist, ist auch die Abeit W, die aufzuwenden ist, um eine Ladung q aus dem Unendlichen (paktisch: aus seh goße Entfenung) zu einem unkt zu bingen, vom Weg unabhängig Diese Abeit hängt also nu von q und von de Lage des unktes ab Sie ist popotional zu q, weil die Kaft auf die Ladung an jede Stelle popotional zu q ist De Quotient W/q hängt dann nu noch von de Lage des unktes ab, ist also allein eine Funktion des Otes und wid das (elektostatische) otential φ des unktes genannt Def W otential ϕ = (6) q Das elektostatische otential eines unktes in einem elektischen Feld ist also die ladungsbezogene Abeit, die aufzuwenden ist, um eine Ladung aus dem Unendlichen zu diesem unkt zu bingen Dabei wid stillschweigend voausgesetzt, dass W eine eelle Zahl und somit endlich goß ist (Dass dies nicht imme de Fall sein muss, wid unten an einem Beispiel gezeigt) Wandet de unkt ins Unendliche, wid die aufzuwendende Abeit imme kleine und geht gegen Daaus folgt, dass das otential im Unendlichen gleich ist Mit Gleichung (6) folgt aus (6) ϕ = E ds = E ds cos ϕ (64) Im Feld eine positiven Ladung ist das otential positiv, im Feld eine negativen Ladung negativ Die SI-Einheit des elektischen otentials ist das Volt (V) 1 V = 1 Nm/As Übung: Beweisen Sie: Um eine Ladung Q von einem unkt mit dem otential φ 1 zu einem unkt mit dem otential φ zu bingen, ist die Abeit aufzuwenden ( ) W = Q ϕ ϕ = Q ϕ 1, 1,1 Die Diffeenz φ φ 1 de otentiale zweie unkte heißt (elektische) Spannung U,1 (zwischen den unkten): U = ϕ = ϕ ϕ,1,1 1 1

15 61 Das otential des Feldes eine Kugelladung Es soll nun das otential eines unktes im Abstand von eine positiven Kugelladung Q beechnet weden Dazu beechnen wi zunächst die Abeit W, die nötig ist, um eine positive Ladung q aus dem Unendlichen nach zu bingen Da diese Abeit vom Weg unabhängig ist, machen wi es uns bequem und bewegen die Ladung aus dem Unendlichen adial auf Q zu Dann hat die aufzuwendende Kaft F stets dieselbe Richtung wie de Weg und es wid dahe: Q q 1 W = F ds = F ds = d s (65) 4π Da und s entgegengesetzt geichtet sind, ist ds = d und dahe Folglich ist W Q q 1 Q q 1 Q q = d 4π = = 4π 4π ϕ = W Q q = 4π (66) Wie man ekennen kann, bleibt die gesamte Rechnung auch fü Q < gültig, lediglich wid dann auch W < und somit auch φ < Das otential des Feldes hat demnach das gleiche Vozeichen wie die feldezeugende Ladung Da im Innen eine geladenen Kugelfläche die Feldstäke null ist, ist das otential konstant: zum Bewegen eine Ladung ist keine Kaft und dahe auch keine Abeit efodelich Feldstäke und otential eine geladenen Kugelfläche Wi beechnen nun noch den Gadienten des otentials in diesem Feld Es ist ϕ ϕ ϕ gad ϕ = e1 + e + e x y z 14

16 Die patiellen Ableitungen von φ nach x, y und z weden nach de Kettenegel beechnet: Die patielle Ableitung So ehält man und daaus ϕ dϕ dϕ Q =, = x d x d 4π findet man am bequemsten so: x x = x + y + z = x = x x ϕ Q x ϕ Q y ϕ Q z =, =, =, x 4π y 4π z 4π Q Q gad ϕ = ( x e y z ) 4π + e + e = 4 = E 1 π Das bedeutet: Die Steigung des otentials ist am gößten in de Richtung, die dem Feldstäkevekto entgegengesetzt ist De Gößenwet de gößten Steigung ist gleich dem Betag de Feldstäke Diese wichtige, unmittelba einleuchtende Beziehung gilt in jedem beliebigen otentialfeld (Siehe unten: otential und Feldstäke in einem beliebigen Feld) 6 Das otential des Feldes mehee Kugelladungen Wie oben schon ausgefüht, addieen sich die Feldstäken diskete Kugelladungen vektoiell: E = Bewegt man in einem solchen Feld eine obeladung aus seh goße (unendliche) Entfenung zu einem unkt, so muss dabei die vom Ot abhängige Kaft F = q E aufgewendet weden Die aufzuwendende Abeit ist dahe E i ( 1 ) 1 W = q E ds = q E + E + + E ds = q E ds q E ds n n = W + W + + W 1,, n, Duch Division mit q ehält man daaus W W W W q q q q ode ϕ ϕ ϕ ϕ 1,, n, = = 1, +, + + n, Das Gesamtpotential ist die Summe de otentiale de einzelnen Felde 6 Das otential im Feld eine kugelfömigen Raumladung Die Feldstäke dieses Feldes wude schon im Beispiel des Kapitels 5 Kontinuieliche Ladungsveteilung beechnet Im Außenaum vehält sich das Feld wie das eine Kugel- ode unktladung Dot ist Fü das otential gilt dann entspechend Q E = = ρ R 1 4π 15

17 Q ρ R ϕ1 = = 4π An de Obefläche de kugelfömigen Raumladung ist dann mit = R ρ R ϕr = Im Innenaum ( < R) kommt zu diesem otential noch die ladungsbezogene Abeit hinzu, die auf dem Weg zwischen R bis aufzubingen ist Es ist also wobei (siehe Kapitel 5) ist Damit egibt sich weite ϕ d, = ϕr + E s E R ρ = ρ ρ ϕ = ϕ + E ds = ϕ E d = ϕ d = ϕ, R R R R 6 R R R R und schließlich ϕ ρ = R Feldstäke und otential eine kugelfömigen Raumladung 16

18 64 Das otential des Feldes eines unendlich langen geaden Dahtes ie begegnet uns eine inteessante Besondeheit Fü das otential eines unktes im Abstand von de Achse des Dahtes gilt (fü adial nach innen geichteten Weg) und mit E = k (1/) ϕ( ) = E ds und wegen ds = d : ϕ( ) = E d d λ ϕ( ) = k = k ( ln ln ) = k ln + k ln = k ln + k = π Das bedeutet, dass das otential an jede Stelle des Feldes unendlich goß ist Dies ist das Mekmal eines jeden Feldes, dessen Stäke nu mit 1/ (ode noch langsame) abnimmt (statt mit 1/ n, n >1) und bedeutet, dass de Abeitsaufwand fü das eeinbingen eine positiven Ladung aus dem Unendlichen an einen beliebigen unkt des Raumes stets unendlich goß ist Dahe ist es hie auch nicht möglich, das otential im Unendlichen als ich null zu definieen, wie das sonst im Allgemeinen geschieht Abe immehin ist es möglich, die otentialdiffeenz fü zwei unkte 1 und zu beechnen: d 1,1 1 k k ( ln ln 1 ) k ln k ln 1 1 ϕ = ϕ ϕ = = = = Veabedet man nun, dass z B fü 1 = 1 das otential φ 1 = sei, dann wid mit φ = φ und = 1 ϕ ( ) = k ln = k ln Auf diese Weise lässt sich jedem unkt des Feldes ein definietes otential zuodnen, was ja die wesentliche Eigenschaft eines otentialfeldes ist 65 Allgemeine Feldgleichungen Aus de Gleichung folgt fü das Diffeential dw W = q E d s 1 dw = q E ds und fü das Diffeential dφ des otentials im Fußpunkt des Vektos ds dw dϕ = = E d s (67) q Das vollständige Diffeential dφ de skalaen Otsfunktion φ (x, y, z) ist andeeseits ϕ ϕ ϕ dϕ = dx + d y + d z x y z Die echts stehende Summe kann dagestellt weden als das Skalapodukt zweie Vektoen: 17

19 ϕ ϕ ϕ dϕ = e1 + e + e ( dx e1 + d y e + d z e ) x y z De este Fakto ist de Vekto gad φ, de zweite Fakto ist de Vekto ds Folglich ist De Vegleich mit Gleichung (67) egibt dϕ = gadϕ d s gad ϕ = E Die Feldstäke eines jeden otentialfeldes (das ist ein Feld, in dem jede unkt ein definietes otential hat) ist also de negative Gadient des otentials des Feldes Wegen ist ρ div E = und E = gadϕ ρ div gadϕ = OISSON-Gleichung Die OISSON-Gleichung gilt fü jeden unkt eines beliebigen elektostatischen Feldes mit de Ladungsdichte ρ In jedem unkt eines beliebigen elektostatischen Feldes mit de Ladungsdichte null dagegen gilt div gadϕ = In katesischen Koodinaten lauten die beiden Gleichungen LALACE-Gleichung ϕ ϕ ϕ ρ + + = bzw x y z Befinden sich insbesondee in einem Raumstück mehee Kugelladungen, so summieen sich in jedem unkt deen otentiale wie Skalae, ihe Feldstäken dagegen wie Vektoen ϕ = Qi 4π Bei kontinuieliche Ladungsveteilung (Raumladung mit de Raumladungsdichte ρ ode Flächenladung mit de Flächenladungsdichte σ) ist ρ dv σ d A ϕ = bzw ϕ = 4π 4π V A Aus de mit dem Enegiesatz begündeten Aussage, dass das Linienintegal de elektischen Feldstäke übe eine geschlossene Linie gleich null ist, d = E s folgt mit dem Integalsatz von STOKES (siehe Vektoanalysis: Teil IV), dass im ganzen Feld ot E = i 18

20 ist: Das elektostatische Feld ist wibelfei Die Wibelfeiheit wiedeum eweist sich (siehe a a O) als die Voaussetzung dafü, dass ein Vektofeld ein otentialfeld besitzt, sodass jedem unkt des Feldes eindeutig ein otential zugeodnet weden kann 19

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