9 Vorlesung: Auswertung von Messungen Fehlerrechnung

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1 9 Voresung: Auswertung von Messungen Feherrechnung Ein wissenschaftiches Ergebnis git erst ann as gesichert, wenn es von einer zweiten Arbeitsgruppe experimente bestätigt wure. Um ie Reprouzierbarkeit zu gewähreisten, muss as Experiment nachvoziehbar beschrieben weren un ein reaistischer Messfeher angegeben weren. Ursache für Messfeher sin: systematische Messabweichungen statistische Messabweichungen 9. systematische Messabweichungen Systematische Messfeher iegen ann vor, wenn: - as Messgerät fasch kaibriert oer geeicht ist, - ie Probenquaität ungenügen ist. Man unterscheiet zwischen: - Eichen: Prüfung es Messgerätes urch ie Eichbehöre + Prüfstempe. - Kaibrieren: seber, z.b. mittes einer Referenzprobe (siehe DN39). Ferner kann ie Messung an sich as gesamte System beeinfussen un somit en ursprüngichen Wert verfäschen. - Veränerung er Temperatur von Wasser im Fingerhut, fas ein zu großes Thermometer ursprüngich eine anere Temperatur besitzt. - Verformung eines Gummischauchs bei er Messung mit einer Schiebehre. - Erwärmung eines Drahts bei er Wierstansmessung führt zu einer Erhöhung es Wierstans. Beurteiung es systematischen Messfehers: Bei einem systematischen Messfeher ist as Messergebnis systematisch einseitig verfäscht. 9. statistische Messabweichungen Jee Einzemessung (Stichprobe) iefert einen eicht unterschieichen Wert. Daher sote man eine Messung öfters wieerhoen, um einen genauen Mittewert zu erhaten. Aerings kann eine Messung nicht unenich oft wieerhot weren. Daher ist eine genaue Abschätzung es Messfehers (mittere Abweichung einer Einzemessung vom Mittewert) nötig. 9.. arithmetischer Mittewert st µ er wahre Wert er physikaischen Messgröße, so ist: x n er arithmetische Mittewert aus n Einzemessungen. m eafa ist x µ. Hierbei git: x i (x i x) x i 0

2 9.. Streuung er Messwerte um en Mittewert Die mittere quaratische Abweichung er Einzemessungen vom Mittewert ist ie Streuung, bzw. Stanarabweichung: Die Varianz ist v s. s (x i x) n 9..3 Stanarabweichung es Mittewertes Um zu bestimmen, wie sicher er Mittewert x ist, betrachtet man ie Stanartabweichung es Mittewertes: m s n Diese Stanarabweichung gibt en Bereich an, in em er wahre Wert er physikaischen Größe iegen muss. Dieser Vertrauensbereich hängt von n ab un verbessert sich mit er Zah er Messungen ( n). Eine hohe Zah vom Messungen verbessert ie Quaität es Messergebnisses Gaußsche Normaverteiung Die Gaußsche Normaverteiung gibt ie Wahrscheinichkeit an, mit er ie Ergebnisse er Einzemessungen um en Mittewert verteit sin (Wahrscheinichkeitsichtefunktion). f(x) { σ π exp (x x) σ x ist er Mittewert, σ ist ie Stanarabweichung (ie Wenepunkte er Funktion iegen bei x x ± σ). f(x)x ist ie Wahrscheinichkeit, mit er as Ergebnis einer Einzemessung im nterva x iegt. Da as Gesamtereignis nur einma eintreten kann, muss geten: Ferner git: f(x) x. σ σ σ σ 3σ 3σ f(x) x % f(x) x % f(x) x %

3 Die nternationa Stanarization Organisation empfieht (SO 3534), ass er Messfeher so angegeben weren sote, ass 95 % er Messwerte in em Bereich es Messfehers iegen. Dies entspricht ungefähr einem Feherbereich von ±σ um en Mittewert s s s x - m Abbiung 9.: Gaußsche-Normaverteiung für verschieene Stanarabweichungen Habwertsbreite Die Habwertsbreite ist ie voe Breite er Wahrscheinichkeitsichtefunktion auf haber Höhe (FWHM Fu With at Haf Maximum). Zur Vereinfachung er Berechnung wähen wir: x 0. f(0) σ π (x) σ π f { σ π exp x σ exp { x σ σ π x σ n x n σ x n σ FWHM n σ.355 σ 3

4 9..6 Zur Stanartabweichung: Bei einer großen Zah von Messungen kann man näherungsweise n urch n ersetzen. n iesem Fa git: σ n (x i x ( n n x i n x x i + ) x ( n ) x i n n x x + n x x x Diese Form ist bei er praktischen Berechnung er Stanarabweichung sehr hifreich, a man nur en Mittewert von x i un en Mittewert von x i benötigt. 9.3 Feherfortpfanzung Bei en meisten physikaischen Größen müssen mehrere Einzewerte getrennt gemessen weren. Jee ieser Einzemessungen hat eine eigene Stanarabweichung. Aus a iesen einzenen Stanarabweichungen äßt sich ie gesamte Stanarabweichung ermitten. Dieses Verfahren nennt man Gaußsches Feherfortpfanzungsgesetz. As Beispie kann man en Wierstan betrachten: R A Hierbei ist er spezifische Wierstan un, A sin ie Länge un er Durchmesser es Leiters. U π 4 Um en spezifischen Wierstan eines Leiters zu bestimmen, muss man U,, un getrennt messen. Für ie verschieenen Varianzen git: s s U U + s + s + s ( s U s U ( π ( U 4 + s ( Uπ 4 + s ( ( + s.h. für ie reativen Varianzen git: + s ( Uπ 4 + s ( + s ( Uπ 4 (s )re. s s U U + s + s + s s,re. s U U + s + s + s 4

5 9.4 Lineare Regression Bei vieen physikaischen Größen besteht ein inearer Zusammenhang zwischen zwei Messgrößen. Ein Beispie ist er eektrische Wierstan R U/. Zur Bestimmung es Wierstanes kann man eine Messreihe urchführen, bei er z.b. ie Stromstärke variiert wir un ie jeweiige Spannung gemessen wir (U R ). Der Wierstan äßt sich aus em inearen Zusammenhang errechnen. 5 4 U R Spannung (U) Stromstärke () Abbiung 9..: Lineare Regression. Für einen einzenen Messpunkt git: y i a + b x i Zie ist es, ie mittere quaratische Abweichung S er Messpunkte von ieser Geraen zu minimieren: Achsen-Abschnitt a : S S a (y i a b x i Minima (y i a b x i ) 0 Steigung b : ȳ a + b x S b x i (y i a b x i ) 0 xi y i a x i + b x i urch einsetzen von ȳ a + b x erhät man: b xi y i x y i x i x x i Durch geeignetes Umformen kann man auch bei kompizierteren physikaischen Formen einen inearen Zusammenhang hersteen. So kann man z.b. ie raioaktive Zerfaszeit τ (raioaktiver Zerfa: (t) 0 e τt ) urch ogarithmisches Auftragen bestimmen. 5