Elektrizitätslehre und Magnetismus

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1 Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Ohmsches Gesetz ida = I = σeda = σ U d da = σ A d U A A I = G U A U = 1 G I = R I ρ = 1 σ Leitfähigkeit spezifischer Widerstand Leitwert Widerstand σ ρ G R Siemens m Ωm Siemens Ω

3 Seite 3 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stromfluss in einem Leiter Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld.

4 Seite 4 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stromfluss in einem Leiter Die Masse eines Ions sei M, ihre Ladung q und die Gesamtzahl im betrachteten Volumenelement N Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet oder F = qe = dp dt p = qe t wobei t die freie Flugzeit ist. Der mittlere Impuls eines Ions ist M v = 1 N [ ] Mv (k) N j + qe t j j=1 v ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, v (k) j die Geschwindigkeit nach dem letzten Stoss.

5 Seite 5 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stromfluss in einem Leiter Sind die Geschwindigkeiten v (k) j isotrop verteilt, mittelt sich der erste Summand zu null. Unter dieser Annahme ist ( 1 ) M v = qe tj = qe t N wobei t = τ die mittlere Zeit zwischen den Zusammenstössen ist. Mit i = nq v bekommen wir und v = q t M E = qτ M E i = n q2 t M E = n q2 τ M E Dabei ist n die Dichte der Ladungsträger.

6 Seite 6 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stromfluss in einem Leiter Somit ist bei einer Mischung verschiedener Ladungsträger σ = k n k q 2 k τ k M k Wir haben τ = t gesetzt. Das Ohmsche Gesetz gilt, wenn τ und n k unabhängig von E sind,

7 Seite 7 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektrisches Feld im Inneren eines Leiters Bei einem homogenen Ohmschen Leiter mit einer stationären Stromverteilung ist ρ el = 0 im Inneren. Dies folgt aus 1. Ohmsches Gesetz i (x, y, z) = σe (x, y, z) 2. Kontinuitätsgleichung divi = 0, also div (σe) = 0 und damit dive = 0 3. das Gausssche Gesetz sagt dive = ρ el ɛ 0 4. damit folgt die Behauptung, dass ρ el = 0.

8 Seite 8 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Potentiale bei einem Leiter im Inneren eines Leiters E = gradϕ = gradu dive = div gradϕ = ϕ = 0 Dies bedeutet, dass ϕ im Inneren eines homogenen Ohmschen Leiters das Potential eines Potentialfeldes ist. ϕ = 0 Randbedingungen 1. U = ϕ = const an den Elektrodenflächen (bei den Anschlüssen nach aussen) 2. i = 0 sonst (entlang des Leiters, Drahtoberfläche!) gegeben.

9 Seite 9 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Widerstand eines homogenen Leiters divi = div [σ (x, y, z) E (x, y, z)] = 0 Wir ersetzen nun E und erhalten div [σ (x, y, z) gradu (x, y, z)] = 0 Bei einem homogenen Leiter könnte σ (x, y, z) vor die Divergenz gezogen werden.

10 Seite 10 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Berechnung des Widerstandes Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter

11 Seite 11 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Widerstand eines inhomogenen Leiters Wir wenden die Kontinuitätsgleichung auf die Fläche A an. σe da = σe da = I A a wobei a die durch A aus dem Leiter herausgeschnittene Fläche ist. Die Spannungsdifferenz ist U 2 U 1 = E ds Wenn nun ϕ 1 (x, y, z) eine Lösung ist, dann ist aufgrund der Linearität dieser Gleichung auch U 2 (x, y, z) = ku 1 (x, y, z) eine Lösung. Dabei kann k eine beliebige, auch komplexzahlige Zahl sein. s

12 Seite 12 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Widerstand eines inhomogenen Leiters Da E = gradu auch eine lineare Gleichung ist, muss also auch E 2 = gradu 2 = k gradu 1 = ke 1 eine Lösung sein. Nach Gleichung (11) ist dann auch I 2 = σe 2 da = σke 1 da = k σe da = ki 1 a a Damit haben wir, dass bei einem beliebigen inhomogenen Leiter U 2 = U 1 = const = R I 2 I 1 ist. Die Proportionalitätskonstante ist der Widerstand R. Um den Widerstand eines beliebigen Leiters zu berechnen, muss man E(x, y, z) im Inneren kennen. Dies kann man erreichen, indem man die Laplacegleichung löst. a

13 Seite 13 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Widerstand eines inhomogenen Leiters Im statischen Falle ist E(x, y, z) = 0 im Inneren eines Leiters. Bei einem stromdurchflossenen Leiter liefert die Batterie die notwendige Energie, um das elektrische Feld im Inneren des Leiters aufrecht zu erhalten.

14 Seite 14 Physik Klassische und Relativistische Mechanik van de Graaff-Generator Ladungstransport in einem mit einem Widerstand R kurzgeschlossenen van de Graaff-Generator.

15 Seite 15 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotorische Kraft Nehmen wir an, dass im stationären Betrieb eine Spannung U zwischen der Kugel und dem Fuss des van-de-graaff-generators liegen. Das elektrische Feld entlang des Bandes ist dann, in erster Näherung, E = U/l Die Arbeit, eine Ladungseinheit dq gegen dieses elektrische Feld zur Halbkugel zu bringen, ist. dw M = dq U Die Leistung des Motors, der hier als Spannungsquelle wirkt, ist P M = dw M dt = dq dt U = I U

16 Seite 16 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotorische Kraft Das elektrische Feld leistet im Widerstand auf der anderen Seite in der Zeit dt die Arbeit oder, mit Gleichung (15), dw E = E dq l dw E = dq U Damit ist die Leistung des E-Feldes P E = dw E = dq dt dt U = I U = P M Die Energie des elektrischen Stromes wird im Widerstand in Joulsche Wärme umgesetzt, also ist die Leistung der Wärmequelle auch P J = P M = P E = I U

17 Seite 17 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotorische Kraft Bei einem Ohmschen Leiter erhalten wir P = R I 2 = U2 R

18 Seite 18 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotorische Kraft Wenn wir eine Probeladung q 0 langsam um den Stromkreis herumführen, ist die geleistete Arbeit grösser als null. Diese Arbeit nennen wir elektromotorische Kraft der Stromquelle. Wir definieren also U EMK = 1 q 0 F ds Diese elektromotorische Kraft ist die Arbeit, die beim Herumführen einer kleinen Ladung q 0 von der Stromquelle geleistet wird.

19 Seite 19 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Elektromotorische Kraft Beim van-de-graaff-generator besteht diese Arbeit aus zwei Teilen: Auf dem Band wird an jedem Punkt die Kraft des elektrostatischen Feldes durch die Kraft des Motors kompensiert. Auf diesem Zweig ist die Arbeit null. Die Arbeit, die im Widerstand in Joulsche Wärme umgewandelt wird. Die elektromotorische Kraft einer Stromquelle ist die Quelle der Energie (Arbeit), die einen konstanten Stromfluss in einem Stromkreis aufrecht erhält. Neben der elektromotorischen Kraft können auch magnetische Kräfte und andere Quellen einen Stromfluss in einem Leiter aufrecht erhalten.