5. Das Frequenzkennlinienverfahren

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1 5. Da Frequenzkennlinienverfahren Beim o genannten Frequenzkennlinienverfahren handelt e ich um ein Reglerentwurfverfahren im Frequenzbereich. Der Reglerentwurf erfolgt dabei auf Bai von Anforderungen an da Einchwingverhalten der Antworten de gechloenen Regelkreie auf gewie augewählte Tetfunktionen, die dann in Anforderungen an da Bode-Diagramm de offenen Kreie übertragen werden. Dem Frequenzkennlinienverfahren liegt der Regelkrei mit einem Freiheitgrad von Abbildung 5. mit der Führunggröße r t), der Stellgröße u t), dem Regelfehler e t) und der Auganggröße y t) zu Grunde. Augangpunkt für da Frequenzkennlinienverfahren it die Vorgabe von Kenngrößen zur Charakteriierung de Einchwingverhalten de gechloenen Kreie mit der Übertragungfunktion T r,y ) = ŷ ˆr = R ) G ) + R ) G ) = L ) + L ) 5.) al Antwort auf gewie Tetignale. Dazu betrachte man den in Abbildung 5.2 dargetellten typichen Verlauf der Sprungantwort h t) de gechloenen Kreie für r t) = σ t). Da Einchwingverhalten de gechloenen Kreie wird nun anhand der drei nachfolgenden Kenngrößen beurteilt: ) Die Antiegzeit t r al Maß für die Schnelligkeit Dynamik), 2) die Überchwingweite M oder da prozentuelle Überchwingen ü = M ) al Maß für den Dämpfunggrad Dynamik) owie 3) die bleibende Regelabweichung e al Maß für die tationäre Genauigkeit. Diee Kenngrößen de zeitlichen Verhalten der Sprungantwort de gechloenen Kreie können nun über empiriche Näherungbeziehungen mit dem Frequenzgang de offenen Kreie L Iω) in Zuammenhang gebracht werden. Dazu wird voraugeetzt, da die Übertragungfunktion de offenen Kreie L ) in der Form 4.54) angegeben werden kann und die Bedingungen von Satz 4.6 erfüllt. ) Die Antiegzeit t r hängt mit der Durchtrittfrequenz ω C über die Näherungbeziehung ω C t r.5 5.2) zuammen. Da voraugeetzt wurde, da der Amplitudengang von L ) nur einen Schnittpunkt mit der -db-linie aufweit, trennt die Durchtrittfrequenz ω C jene Frequenzen, die vom offenen Regelkrei vertärkt werden, von jenen, die vom offenen Regelkrei abgechwächt werden zur Erläuterung iehe auch Abbildung 4.). Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

2 5. Da Frequenzkennlinienverfahren Seite 23 Offener Regelkrei L ) = R ) G ) r e u y R ) G ) Regler Strecke Abbildung 5..: Regelkrei mit einem Freiheitgrad al Bai für da Frequenzkennlinienverfahren. M e h t) Wendepunkt t r t Abbildung 5.2.: Kenngrößen der Sprungantwort de gechloenen Kreie. Damit it, wie bereit im vorigen Kapitel beprochen, die Durchtrittfrequenz ω C ein Maß für die Bandbreite de offenen Kreie und bei teigendem ω C wird dementprechend auch die Dynamik de gechloenen Kreie chneller. 2) Da prozentuelle Überchwingen ü kann über die empiriche Näherungbeziehung Φ[ ] + ü[%] 7 5.3) mit der Phaenreerve Φ von 4.55) in Verbindung gebracht werden iehe auch Abbildung 4.9). Nach Satz 4.6 it die Phaenreerve Φ ein Maß für den Abtand zur Stabilitätgrenze. Die hat zur Konequenz, da eine Verminderung der Phaenreerve Φ eine Zunahme der Schwingneigung bzw. de Überchwingen mit ich bringt. Um diee Argumentation zu untertreichen, berechne man den Betrag der Führungübertragungfunktion T r,y ) von 5. an der Stelle = Iω C T r,y Iω C ) = L Iω C) co Φ) I in Φ) = + L Iω C ) co Φ) I in Φ) = 2 in Φ 2 ). 5.4) Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

3 5. Da Frequenzkennlinienverfahren Seite 24 Man erkennt, da wegen lim T r,y Iω C ) = 5.5) Φ der gechloene Krei T r,y ) für Φ = ein konjugiert komplexe Polpaar bei ±Iω C aufweit und damit die Sprungantwort ungedämpft chwingt. Aufgabe 5.. Zeigen Sie, da die Beziehung L Iω C ) = co Φ) I in Φ) mit der Durchtrittfrequenz ω C und der Phaenreerve Φ gilt. 3) Die bleibende Regelabweichung e = lim t e t) = lim t r t) y t)) 5.6) teht nun direkt mit dem Vertärkungfaktor V der Übertragungfunktion de offenen Kreie L ) in Verbindung. Unter der Vorauetzung, da der gechloene Regelkrei tabil it, kann für 5.6) unmittelbar der Endwertatz der Laplace- Tranformation angewandt werden, und man erhält für e die Beziehung e = lim t e t) = lim ê ) = lim Setzt man für L ) in 5.7) die Beziehung 4.54) ˆr ). 5.7) + L ) L ) = V ρ z L ) n L ) exp T t), z L ) = n L ) =, T t > und ρ {,, 2} ein, dann folgt e zu e = lim 5.8) ρ n L ) ρ ˆr ). 5.9) n L ) + V z L ) exp T t ) Die bleibende Regelabweichung e für die beiden Tetignale r t) = σ t) und r t) = t jeweil für ρ {, } ind nachfolgender Tabelle r t) = σ t) bzw. ˆr ) = : ρ = e = + V ρ = e = ρ = r t) = t bzw. ˆr ) = 2 : ρ = e = e = V 5.) zu entnehmen. Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

4 5. Da Frequenzkennlinienverfahren Seite 25 Aufgabe 5.2. Berechnen Sie die bleibende Regelabweichung e für die beiden Tetignale r t) = σ t) und r t) = t für ρ = 2. Löung von Aufgabe 5.2. ρ = 2 : { r t) = σ t) e = r t) = t e = Man erkennt alo au 5.9) und 5.), da die Übertragungfunktion de offenen Kreie L ) mindeten eine einfache Poltelle bei = ρ ) haben mu, damit die bleibende Regelabweichung zufolge eine Eingangprunge r t) = σ t) Null it. Analog dazu mu L ) mindeten eine doppelte Poltelle bei = ρ 2) haben, damit die bleibende Regelabweichung bei einer rampenförmigen Einganggröße r t) = t Null wird. Man beachte, da die empirichen Näherungbeziehungen5.2) und 5.3) für eine Übertragungfunktion de gechloenen Kreie vom Typ T r,y ) = 2, T > und < ξ < 5.) + 2ξ T) + T) mit der zugehörigen Übertragungfunktion de offenen Kreie L ) = T 2ξ + T) 5.2) auch exakt hergeleitet werden können. Löen Sie dazu nachfolgende Aufgaben: Aufgabe 5.3. Berechnen Sie die Steigung t W der Sprungantwort de gechloenen Kreie 5.) am Wendepunkt iehe Abbildung 5.2). Ergebni: ) ξ 2 t W = T exp arctan ξ ξ ξ 2 Zeigen Sie, da in dieem Fall für die Antiegzeit t r gilt t r = / t W. Berechnen Sie weiter allgemein die Durchtrittfrequenz ω C für L ) von 5.2). Ergebni: ω C = T 4ξ 4 + 2ξ 2 Zeichnen Sie da Produkt ω C t r al Funktion de Dämpfunggrade ξ im Bereich.5 ξ.8. Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

5 5. Da Frequenzkennlinienverfahren Seite 26 Aufgabe 5.4. Berechnen Sie da Maximum M der Sprungantwort de gechloenen Kreie 5.) iehe Abbildung 5.2). Ergebni: M = + exp ξπ ) ξ 2 Betimmen Sie weiter allgemein die Phaenreerve Φ für L ) von 5.2). Ergebni: 2ξ Φ = arctan 4ξ 4 + 2ξ 2 Zeichnen Sie den Audruck M ) +Φ[ ] }{{} ü[%] al Funktion de Dämpfunggrade ξ im Bereich.5 ξ.8. E hat ich nun gezeigt, da die empirichen Näherungbeziehungen 5.2) und 5.3) auch für Syteme höherer Ordnung innvoll ind, inbeondere dann, wenn die Sprungantwort de gechloenen Kreie in erter Näherung durch ein konjugiert komplexe Polpaar betimmt it. Damit lät ich die Vorgangweie beim Reglerentwurf nach dem Frequenzkennlinienverfahren wie folgt angeben: A) Zu einer gegebenen Streckenübertragungfunktion G ) müen die Kenngrößen de Einchwingverhalten de gechloenen Kreie t r, M oder ü und e ) pezifiziert werden. B) Die Kenngrößen t r, M oder ü und e werden mit Hilfe der Beziehungen 5.2), 5.3) und 5.9) in Vorgaben an den Frequenzgang de offenen Kreie L Iω) überetzt. C) Ein Regler R ) mu o gewählt werden, da der gechloene Krei BIBO-tabil it und die Forderungen von B) erfüllt werden. Erfüllt die Übertragungfunktion de offenen Kreie L ) = R ) G ) die Bedingungen von Satz 4.6, dann kann die Stabilität de gechloenen Kreie anhand der Phaenreerve Φ beurteilt werden, anderenfall mu man da Nyquitkriterium von Satz 4.5 anwenden. D) Um ein kriechende Einlaufen der Sprungantwort in den tationären Endwert zu vermeiden, oll in C) der Regler R ) o entworfen werden, da ca. Dekade um die Durchtrittfrequenz ω C die Betragkennlinie von L ) mit mindeten 2 db/dekade abfällt. E) Die Qualität de Entwurfe it immer durch Simulation zu überprüfen, inbeondere auch dehalb, weil da Verfahren ich auf empiriche Formeln tützt. Sind die Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

6 5.. PI-Reglerentwurf Seite 27 Ergebnie nicht zufriedentellend, dann mu man ich die Frage tellen, ob die Anforderungen von A) überhaupt prinzipiell erfüllbar ind, oder ob ein anderer Regler R ) von C) die Situation verbeern würde. F) Die Begrenzung der Stellgröße u t), die bei jedem technich relevanten Proze vorhanden it, kann im Rahmen diee einfachen Entwurfverfahren nicht ytematich berückichtigt werden. Sollte ich bei der Simulation herautellen, da man zu viel Stellgröße benötigt, dann mu man die Anforderungen in A) entprechend den Überlegungen von Abchnitt 4.3. verändern, alo die Antiegzeit t r vergrößern. Im Rahmen einer Führungregelung ollte auf keinen Fall ein Sprung ondern immer ein hinreichend glatte Signal al Führunggröße verwendet werden man wiederhole dazu auch die Überlegungen von Abchnitt 4.3.2). Für die im Punkt C) angeprochene geeignete Wahl de Regler R ) oll in den drei folgenden Abchnitten exemplarich gezeigt werden, wie und unter welchen Vorauetzungen man ytematich einen PI-Regler, einen Lead-Lag-Regler und einen Kompenationregler entwerfen kann. 5.. PI-Reglerentwurf A) Streckenübertragungfunktion: G) = Entwurfvorgaben: t r = 3, ü = % und e rt)=σt) = ) B) Vorgaben an den Frequenzgang de offenen Kreie L Iω): ω C =.5 rad/, Φ = 6 und der offene Krei mu mindeten eine einfache Poltelle bei = haben. C) Al Regler wird ein PI-Regler der Form R ) = V I + T I ) 5.4) gewählt. Im erten Schritt wird da Bode-Diagramm aller bekannten Terme de offenen Kreie L ) = R ) G ), alo L ) = ) 5.5) gezeichnet, iehe Abbildung 5.3. An der Durchtrittfrequenz ω C =.5 errechnet ich da Argument von L Iω C ) zu arg L Iω C )) = Damit mu wegen Φ = 6 mit Hilfe de Linearterm im Zähler de PI-Regler + T I ) die Phae um 3.3 angehoben werden. Au dieer Bedingung arg + Iω C T I ) = arctan ω C T I ) = 3.3 π 8 5.6) Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

7 5.. PI-Reglerentwurf Seite 28 Betrag in db L L ω C Phae in 8 Φ L 27 2 ω in rad/ L Abbildung 5.3.: Bode-Diagramme de offenen Kreie L ) und L ). folgt T I zu T I =.47. In einem zweiten Schritt wird V o berechnet, da der Amplitudengang bei ω C die -db-linie chneidet, alo die Bedingung Iω C ) V I ) Iω C w 2 C + I2.77ω C = 5.7) erfüllt it. Au 5.7) erhält man ofort V I =.. Der PI-Regler lautet daher R ) =. +.47). 5.8) D) Au dem Bode-Diagramm de offenen Kreie L ) von Abbildung 5.3 erkennt man, da einereit die Bedingungen von B) erfüllt ind und anderereit die Betragkennlinie von L ) um die Durchtrittfrequenz ω C mit mindeten 2 db/dekade abfällt. E) Die zugehörige Sprungantwort de gechloenen Kreie von Abbildung 5.4 zeigt, da die Entwurfanforderungen recht gut erfüllt werden. F) In dieem Beipiel wurden an die Stellgröße keine Anforderungen getellt. E ei noch anzumerken, da die Vorgangweie, zuert die Phae an der Durchtrittfrequenz ω C mit dem Linearterm de PI-Regler + T I ) einzutellen und anchließend mit V I den Betrag zu korrigieren, inofern Sinn macht, al der Vertärkungfaktor V I de PI-Regler zwar den Betrag aber nicht die Phae ändert. Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

8 5.2. Lead-Lag-Reglerentwurf Seite 29 h t) t Abbildung 5.4.: Sprungantwort de gechloenen Kreie Lead-Lag-Reglerentwurf A) Streckenübertragungfunktion: G ) = ) ) 2 ) 5.9) Entwurfvorgaben: t r =., ü = 2 % und e rt)=t =. B) Vorgaben an den Frequenzgang de offenen Kreie L Iω): ω C = 5 rad/, Φ = 5 und der Vertärkungfaktor V L de offenen Kreie mu nach 5.) den Wert V L = e = 5.2) annehmen. Damit errechnet ich unmittelbar der Vertärkungfaktor de Regler zu V R = V L /.8 = ) C) Berechnet man nun Betrag und Phae von L Iω) = V R G Iω) an der Stelle ω = ω C, dann erhält man L Iω C ) =.93, 5.22a) arg L Iω C )) = b) Man erkennt alo, da der Betrag geenkt und die Phae angehoben werden mu. Da der Vertärkungfaktor V L durch die Forderung an die bleibende Regelabweichung fixiert it, kann nicht die gleiche Vorgangweie wie im vorigen Abchnitt beim PI-Reglerentwurf gewählt werden, ondern man mu in dieem Fall einen Lead-Lag-Regler entwerfen. Dazu wird in einem erten Schritt ein Lead-Regler o betimmt, da die Phae an der Durchtrittfrequenz um ϕ = angehoben wird. Die Phae wird dehalb um zuätzliche angehoben, da bei der Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

9 5.2. Lead-Lag-Reglerentwurf Seite 3 nachfolgenden Betragabenkung durch ein Lag-Glied auch die Phae wieder abgeenkt wird. Da Lead-Glied mit der Übertragungfunktion iehe auch 3.5)) hat nach 3.55) und 3.56) an der Stelle R Lead ) = + T + ηt, < η < 5.23) ω max = ηt 5.24) die maximale Phaenanhebung ϕ max von ) ϕ max = arg R Lead Iω max )) = arctan η arctan η) = π 2 2 arctan η). 5.25) Legt man nun die Durchtrittfrequenz genau an die Stelle der maximalen Phaenanhebung, alo ω max = ω C, dann folgt au 5.25) bzw. mit 5.24) gilt η = Da Lead-Glied hat demnach die Übertragungfunktion π tan 4 ϕ )) 2 = ) 2 T = ηωc = ) R Lead ) = ) Eine erneute Berechnung de offenen Kreie führt zu der Übertragungfunktion L 2 ) = V R G ) R Lead ) = ) ) 2 ) ) Der Betrag und die Phae von L 2 Iω) an der Stelle ω = ω C ergibt ich zu L 2 Iω C ) = 5.252, 5.3a) arg L 2 Iω C )) = b) Im nächten Schritt mu nun an der Durchtrittfrequenz ω C der Betrag um a = /5.252 =.9 und die Phae um ϕ = geenkt werden. Dazu wähle man ein Lag-Glied mit der Übertragungfunktion R Lag ) = + T + ηt, η >. 5.3) Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

10 5.2. Lead-Lag-Reglerentwurf Seite 3 Au den Bedingungen arg R Lag Iω C )) = arctan ω C T) arctan ω C ηt) = ) ωc T ηω C T = arctan + ηωc 2 T 2 = ϕ 5.32) und R Lag Iω C ) = + ω 2 C T 2 + η 2 ω 2 C T 2 = a 5.33) folgen für T und η die allgemeinen Beziehungen bzw. für obige Beipiel T =.35 und η = T = a + tan ϕ) 2, 5.34a) ω C tan ϕ) ω C T tan ϕ) η = 5.34b) ω C T + ω C T tan ϕ)) Damit lautet die Übertragungfunktion de Lag-Regler R Lag ) = ) Fat man 5.2), 5.28) und 5.35) zuammen, dann ergibt ich die Reglerübertragungfunktion zu ) ) R ) = V R R Lead ) R Lag ) = ) D) Au dem Bode-Diagramm de offenen Kreie L ) von Abbildung 5.5 erkennt man, da einereit die Bedingungen von B) erfüllt ind und anderereit die Betragkennlinie von L ) um die Durchtrittfrequenz ω C mit mindeten 2 db/dekade abfällt. E) Die Sprung- owie die Rampenantwort de gechloenen Kreie ind Abbildung 5.6 zu entnehmen. F) In dieem Beipiel wurden an die Stellgröße keine Anforderungen getellt. Aufgabe 5.5. Berechnen Sie die Beziehungen für T und η von 5.34). Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

11 5.3. Kompenationreglerentwurf Seite 32 Betrag in db L ω C L L 2 9 Phae in 35 L L L 2 Φ ω in rad/ Abbildung 5.5.: Bode-Diagramme de offenen Kreie L ) und L ) Kompenationreglerentwurf A) Al Streckenübertragungfunktion betrachte man die Antriebregeltrecke von Abbildung 4.2 mit der Übertragungfunktion iehe auch 4.6a)) G ut,n,ω 2 ) = ) ) ) + ) ) ) Entwurfvorgaben: t r =.5, ü = 5 %, e rt)=σt) = und u T,n für r t) = σ t) B) Vorgaben an den Frequenzgang de offenen Kreie L Iω): ω C = 3 rad/, Φ = 65 und der offene Krei mu mindeten eine einfache Poltelle bei = haben C) Al Regler wird in dieem Fall ein o genannter Kompenationregler der Form R ) = V R ) + ) ) 2 + T R ) ) gewählt. Im erten Schritt wird da Bode-Diagramm aller bekannten Terme de offenen Kreie L ) = R ) G ut,n,ω 2 ), alo L ) = ) ) 5.39) Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

12 5.3. Kompenationreglerentwurf Seite Sprungantwort. h t).8.6 r t) = t e.4 Rampenantwort t Abbildung 5.6.: Sprung- und Rampenantwort de gechloenen Kreie. gezeichnet, iehe Abbildung 5.7. An der Durchtrittfrequenz ω C = 3 errechnet ich da Argument von L Iω C ) zu arg L Iω C )) = 4.5. Daher mu wegen Φ = 65 mit Hilfe der verbleibenden Terme im Nenner de Regler + T R ) 2 die Phae um.5 abgeenkt werden. Au dieer Bedingung errechnet ich T R zu ) T R = tan.5 π 2 8 = ) ω C Die Betragkorrektur an der Durchtrittfrequenz ω C = 3 erfolgt mit Hilfe de Vertärkungfaktor V R V R = L 2 Iω C ) =.4, L 2 ) = ) +.36) 2 ) ) und omit lautet die geamte Reglerübertragungfunktion R ) = ) + ) ) ) ) D) Au dem Bode-Diagramm de offenen Kreie L ) von Abbildung 5.7 erkennt man, da einereit die Bedingungen von B) erfüllt ind und anderereit die Betragkennlinie von L ) um die Durchtrittfrequenz ω C mit mindeten 2 db/dekade abfällt. Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

13 5.3. Kompenationreglerentwurf Seite 34 Betrag in db Phae in L Φ ω C ω in rad/ L L 2 L L L 2 Abbildung 5.7.: Bode-Diagramme de offenen Kreie L ), L 2 ) und L ). E) Die Sprungantwort de gechloenen Kreie it dem linken Bild von Abbildung 5.8 zu entnehmen. F) Zur Überprüfung der Betragbechränkung der Stellgröße u T,n für r t) = σ t) wird die Übertragungfunktion G r,ut,n ) = R ) + R ) G ut,n,ω 2 ) 5.43) berechnet und die Sprungantwort für r t) = σ t) aufgezeichnet. Im rechten Bild von Abbildung 5.8 erkennt man, da diee Forderung nicht eingehalten wird. Den Auführungen von Abchnitt folgend wird dehalb dem Regelkrei ein Vorfilter der Form vorgechaltet. F ) = ˆr ˆω 2,oll = ) + 5 ) ) Wie man ich anhand von Abbildung 5.8 elbt überzeugen kann, bedingt diee Maßnahme eine dratiche Verringerung der Stellgröße ohne dabei weentlich die Dynamik der Führungregelung zu verringern. E ei an dieer Stelle erwähnt, da chwach gedämpfte quadratiche Terme der Form + 2ξT + T) 2) mit T >, < ξ <.7 wie der Term ) + ) ) 2 Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

14 5.3. Kompenationreglerentwurf Seite 35 h t) ohne Vorfilter mit Vorfilter ohne Vorfilter mit Vorfilter t t Abbildung 5.8.: Sprungantworten der Führungübertragungfunktion für r t) = σ t) link) und Stellgrößenübertragungfunktion für r t) = σ t) recht) mit und ohne Vorfilter. von 5.37) typicher Weie bei der Regelung mechanicher Syteme auftreten. Man beachte, da obige Vorgangweie eine Kompenationreglerentwurfe dann bei praktichen Implementationen nicht zum Ziel führt, wenn die tatächlichen Streckenparameter vom Modell zu weit abweichen. In dieem Fall empfiehlt e ich, den quadratichen Term nicht exakt zu kompenieren, ondern ein o genannte Notchfilter zu entwerfen. Abbildung 5.9 zeigt da Bode-Diagramm eine möglichen Notchfilter für den Term ) + ) ) 2 der Form R N ) = /a a ) + ) 2 ) + ) ) für verchiedene Werte von a >. Man erkennt, da größere Werte von a ein breitbandigere Kompenieren der törenden Reonanzfrequenz bedingen und omit der Regelkrei robuter gegenüber Schwankungen de Werte der Reonanzfrequenz wird, ich gleichzeitig aber die Phae vor der Reonanzfrequenz entprechend verchlechtert. Aufgabe 5.6. Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G ) = ŷ û = 5 ) + + einen PI-Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgende Spezifikationen t r =., ü = %, e rt)=σt) = und u 5 für r t) = 5σ t) erfüllt. Überprüfen Sie da Entwurfergebni durch Simulation in Matlab/Simulink ) Löung von Aufgabe 5.6. Ein möglicher PI-Regler, der diee Anforderung erfüllt, Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

15 5.3. Kompenationreglerentwurf Seite 36 Betrag in db a =.2 a = 2 a = Phae in a =.2 a = 2 a = 4 9 ω in rad/ Abbildung 5.9.: Bode-Diagramm eine Notchfilter zur Kompenation der Reonanzfrequenz. lautet R ) = Aufgabe 5.7. Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G ) = ) einen Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgenden Spezifikationen t r =, ü = % und e rt)=σt) = genügt. Hinwei: Benutzen Sie einen Regler der Form R ) = V R T R und überprüfen Sie da Entwurfergebni durch Simulation in Matlab/Simulink. Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

16 5.3. Kompenationreglerentwurf Seite 37 Aufgabe 5.8. Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G ) = ) ) + ) ) einen Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgenden Spezifikationen t r = 2, ü = % und e rt)=σt) = genügt. Hinwei: Entwerfen Sie in einem erten Schritt einen PI-Regler. Fall bei der Überprüfung de Entwurfergebnie durch Simulation in Matlab/Simulink kein zufriedentellende Reultat erzielt wird, erweitern Sie den PI-Regler um ein geeignete Notchfilter. Aufgabe 5.9. Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G ) = einen Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgenden Spezifikationen t r =, ü = 2 % und e rt)=σt) = genügt. Hinwei: Benutzen Sie einen PI-Regler und überprüfen Sie da Entwurfergebni durch Simulation in Matlab/Simulink. Aufgabe 5.. Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G ) = ) + ) ) 2 5 einen Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgenden Spezifikationen t r =.25, ü = 2 % und e rt)=σt) = genügt. Hinwei: Überprüfen Sie da Entwurfergebni durch Simulation in Matlab/Simulink. Aufgabe 5.. Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G ) = ) + 2 einen Regler o, da die Antiegzeit der Sprungantwort de gechloenen Kreie folgender Spezifikation t r =.75 genügt. Hinwei: Da außer an die Antiegzeit t r keine weiteren Anforderungen getellt ind, veruchen Sie den Entwurf mit Hilfe eine einfachen P-Regler R ) = V R durchzuführen. ) 2 Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien

17 5.4. Literatur Seite 38 Aufgabe 5.2. Entwerfen Sie für die Streckenübertragungfunktion G) = ) + ) ) 2.8 einen Regler o, da die Sprungantwort de gechloenen Kreie folgenden Spezifikationen t r =.625, ü = % und e rt)=t =.25 genügt. Hinwei: Überprüfen Sie da Entwurfergebni durch Simulation in Matlab/Simulink Literatur [5.] C. Chen, Control Sytem Deign. New York: Pond Wood Pre, 987. [5.2], Linear Sytem Theory and Deign. New York: Harcourt Brace Jovanovich College Publiher, 984. [5.3] J. C. Doyle, B. A. Franci und A. R. Tannenbaum, Feedback Control Theory. New York: MacMillan, 992. [5.4] O. Föllinger, Regelungtechnik, 6. Aufl. Heidelberg: Hüthig Buch Verlag, 99. [5.5] F. Gauch, A. Hofer und K. Schlacher, Digitale Regelkreie. München: Oldenbourg, 99. [5.6] M. Horn und N. Dourdouma, Regelungtechnik. München: Pearon Studium, 24. [5.7] C. Rohr, J. L. Mela und D. G. Schultz, Linear Control Sytem. New York: McGraw-Hill, 993. [5.8] A. Weinmann, Regelungen: Analye und technicher Entwurf, 3. Aufl. Wien New York: Springer, 998, Bd. und 2. Vorleung und Übung Automatiierung Winteremeter 23/24) A. Kugi, Intitut für Automatiierung- und Regelungtechnik, TU Wien