4 Tiefensuche in gerichteten Graphen

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1 43 4 Tiefensche in gerichteten Graphen Wir betrachten znächst das folgende Beispiel. Beispiel 4.1: 1/ / / 1/ 2/ / 1/ 2/ / 1/ 2/ / / / x / / / / y z x y z x y z x y (a) (b) (c) (d) / 3/ / 4/ 3/ / z 1/ 2/ / 1/ 2/ / 1/ 2/7 / 1/8 2/7 / 4/5 x 3/ / 4/5 3/6 / 4/5 3/6 y z x y z x y z x y (e) (f) (g) (h) / 4/5 3/6 / z 1/8 2/7 9/ 1/8 2/7 9/ 1/8 2/7 9/ 1/8 2/7 9/12 4/5 3/6 x / 4/5 3/6 10/ 4/5 3/6 10/11 4/5 3/6 y z x y z x y z x y (i) (j) (k) (l) 10/11 z (a) Wir fangen bei Knoten zm Zeitpnkt 1 an, (b) gehen eine Kante. Dabei entdecken ir den Knoten zm Zeitpnkt 2. Der Knoten ist der erste Knoten af der Adjazenzliste on. (c) Dann ird y entdeckt. Die Knoten,,y sind offen = gra. (d) Danach entdecken ir das x. Kante (x, ) ird zar gegangen, aber nicht darüber entdeckt. (e) -(h)dieknoteny, nderden geschlossen.eserdenkeineneenknoten mehr darüber entdeckt. (i) Dann bei eiter. Adjazenzliste on ist:

2 44 4 TIEFENSUCHE IN GERICHTETEN GRAPHEN y z (j) - (l) Wir finden noch den Knoten z. Der Tiefenschald besteht as den Kanten, über die die Knoten entdeckt rden. z x y V = 6 E = 4 = V 2 Ein Wald ist eine Menge on Bämen. Die Darstellng erfolgt ie bei der Breitensche über ein Vaterarray. π[x] = y,π[y] =,π[] =,π[] = (alternati nil), π[z] =,π[] = (alternati nil).

3 4.1 Algorithms Tiefensche Algorithms Tiefensche Eingabe G = (V, E) in Adjazenzlistendarstellng, gerichteter Graph, V = n. d[1 n] Entdeckzeit (discoery) Nicht Entfernng ie orher. Knoten ird gra. f[1 n] Beendezeit (finishing), Knoten ird scharz. π[1n] Tiefenschald, obei π[] = im Bam. π[] = Knoten, über den entdeckt rde col[1n] aktelle Farbe Algorithms 5: DFS(G) /* 1. Initialisierng */ 1 foreach V do 2 col[] = eiß; 3 π[] = nil; 4 end 5 time = 0; /* 2. Haptschleife. */ 6 foreach V do /* Afrf on DFS-isit nr, enn col[] = eiß */ 7 if col[] == eiß then 8 DFS-isit(); 9 end 10 end Prozedr DFS-isit() 1 col[] = gra; /* Damit ist entdeckt */ 2 d[] = time; 3 time = time+1; 4 foreach Adj[] do /* ird bearbeitet */ 5 if col[] == eiß then /* (,) nterscht */ 6 π[] = ; /* entdeckt */ 7 DFS-isit(); 8 end 9 end /* Die Bearbeitng on ist hier z Ende. Sind alle Knoten as Adj[] gra oder scharz, so ird direkt scharz. */ 10 col[] = scharz; 11 f[] = time; /* Zeitzähler geht hoch bei Entdecken nd Beenden */ 12 time = time+1; Es ist {d[1],,d[m],f[1],,f[m]} = {1,,2n}. Man kann über die Reihenfolge nicht iel sagen. Möglich ist:

4 46 4 TIEFENSUCHE IN GERICHTETEN GRAPHEN Einmal: d[] = 1,d[] = 2,d[] = 3 nd f[] = 4,f[] = 5,f[] = 6. Aber ach: d[] = 1,f[] = 2,d[] = 3,f[] = 4,d[] = 5,f[] = 6. DFS-isit() ird nr dann afgerfen, enn col[] = eiß ist. Die Rekrsion geht nr in eiße Knoten. Nachdem alle on as über eiße(!) Knoten erreichbare Knoten bescht sind, ird col[] = scharz. Im Nachhinein ar ährend eines Lafes col[] = eiß, solange time < d[] col[] = gra, solange d[] < time < f[] col[] = scharz, solange f[] < time Unser Eingangsbeispiel führt z folgendem Prozedrafrfbam: DFS(G) Seqentielle Abarbeitng DFS isit() DFS isit() DFS isit() DFS isit(z) DFS isit(y) Beachte den Tiefenschald DFS isit(x) y z kein DFS isit() x Erzegng: Präorder(Vater or Sohn) Beendigng: Postorder(Sohn or Vater)

5 4.1 Algorithms Tiefensche 47 Wir betrachten ir nn noch einmal folgendes Beispiel: Beispiel 4.2: a 1 20 b g c h i d j e Wird über c entdeckt, nicht über g, obohl on g as erreichbar. f 6 11 Wie erfolgt die Asführng der Prozedrafrfe af nserem Maschinenmodell der RAM? Organisation des Haptspeichers als Keller on Frames: Programm globale Daten eines Programmes, arrays s. (heap, nicht die Datenstrktr gleichen Namens) DFS(G) DFS isit() DFS isit() RA konstante Größe (nr programm abhängig) Rücksprngadresse

6 48 4 TIEFENSUCHE IN GERICHTETEN GRAPHEN Veraltngsafand zm Einrichten nd Löschen eines Frames: O(1), programmabhängig. Hier erden im esentlichen Adressen mgesetzt. Merkregel zr Zeitermittlng: Drchlaf jeder Programmzeile inklsie Prozedrafrf ist O(1). Bei Prozedrafrf zählen ir so: Zeit für den Afrf selbst (Veraltngsafand) O(1) + Zeit bei der eigentlichen Asführng. Satz 4.1: Für G = (V,E) mit n = V nd m = E bracht DFS(G) eine Zeit O(n+m). Beeis. Für die Haptprozedr erhalten ir: DFS(G) 1. O(n), 2. O(n) ohne Zeit in DFS-isit(). DFS-isit() O(n) für Veraktngsafand insgesamt. DFS-isit() ird nr dann afgerfen, enn col[] = eiß ist. Am Ende des Afrfs ird col[] = scharz. Für DFS-isit erhalten ir über alle Afrfe hineg gesehen: Zeilen Lafzeit 1-3 Jeeils O(1), insgesamt O(n). 4-9 Ohne Zeit in DFS-isit() insgesamt O(m). 5 Für jede Kante einmal O(1) also insgesamt O(m). 6, 7 Für jedes Entdecken O(1), also O(n) insgesamt O(n) insgesamt. Also tatsächlich O(n + m) Definition 4.1(Tiefenschald): Sei G = (V, E) nd sei DFS(G) gelafen. Sei G π = (V,E π ) mit (,) E π π[] = der Tiefenschald der Sche. Definition 4.2(Klassifizieren der Kanten on G): Sei (,) E eine Kante im Graphen. Beim Drchlafen des Graphen mittels Tiefensche kann diese Kante eine sogenannte Bamkante, Rückärtskante, Vorärtskante oder Krezkante sein. (a) (,) Bamkante (,) E π (d.h. π[] = ) (b) (,) Rückärtskante (,) E π nd Vorgänger on in G π π[π[π[]]] = ) G π Knoten ist gra, enn (,) gegangen ird. (d.h. (,) d[] < d[] < f[] < f[] տ Hier ird (,) gegangen.

7 4.1 Algorithms Tiefensche 49 (c) (,) Vorärtskante (,) E π nd Nachfolger on in G π Knoten ist scharz, enn (,) gegangen ird. G π (,) d[] < d[] < f[] < f[] տ տ Hier (,). Hier nicht (,). (d) (,) Krezkante (,) E π nd eder Nachfolger noch Vorgänger on in G π G π oder Knoten ist scharz, enn (,) gegangen ird. d[] < f[] < d[] < f[] Noch eine Beobachtng für Knoten,. Für die Interalle, in denen die Knoten akti (offen, gra) sind. gilt: Enteder d[] < d[] < f[] < f[], d.h im Prozedrafrfbam ist DFS-isit() DFS-isit(). Oder es gilt d[] < f[] < d[] < f[] oder mgekehrt. Das folgt as Kellerstrktr des Lafzeitkellers. Satz 4.2(Weißer-Weg-Satz): Der Knoten ird über entdeckt. (d.h. innerhalb on DFS-isit() ird DFS-ist() afgerfen) Zm Zeitpnkt d[] gibt es einen Weg eißer Weg in G. Beeis. Afrfstrktr, enn DFS-isit() afgerfen ird: DFS-isit() DFS-isit( 1 ) DFS-isit( 2 ) DFS-isit()

8 50 4 TIEFENSUCHE IN GERICHTETEN GRAPHEN eißer Weg Liege also z d[] der eiße Weg k or. Das Problem ist, dass dieser Weg keinesegs on der Sche genommen erden mss. Trotzdem, angenommen ird nicht über entdeckt, dann gilt nicht d[] < d[] < f[] < f[], sondern d[] < f[] < d[] < f[]. Dann aber ach nach Programm d[] < f[] < d[ k ] < f[ k ] dann d[] < f[] < d[ 1 ] < f[ 1 ] as dem Programm iderspricht. Noch ein Beispiel: Beispiel 4.3: d[] 1 10 f[] y x 4 7 Zm Zeitpnkt 1 ist (,y) ein eißer Weg. Dieser ird nicht gegangen, sondern ein anderer. Aber y ird in jedem Fall über entdeckt! Mit der Tiefensche kann man feststellen, ob ein (gerichteter) Graph einen Kreis enthält. Satz 4.3: Ist G = (V,E) gerichtet, G hat Kreis DFS(G) ergibt eine Rückärtskante.

9 4.1 Algorithms Tiefensche 51 Beeis. Sei (,) eine Rückärtskante. Dann herrscht in G π, dem Tiefenschald folgende Sitation: oder ach Rückärtskante (, ) Rückärtskante (, ) Also Kreis in G. Hat G einen Kreis, dann also Sei der erste Knoten af dem Kreis, den DFS(G) entdeckt. Dann existiert zm Zeitpnkt d[] der folgende eiße Weg.... Der Kreis herm.

10 52 4 TIEFENSUCHE IN GERICHTETEN GRAPHEN Satz 4.4(Weißer-Weg-Satz): d[] < d[] < f[] < f[] Also enn (, ) gegangen nd ist col[] = gra also Rückärtskante. Alternati, mit Weißer-Weg-Satz: (,) Der Knoten ist irgendann nter nd dann ist (,) Rückärtskante. Man ergleiche hier den Satz nd den Beeis z Kreisen in ngerichteten Graphen in Kapitel 2. Dort betrachte man den zletzt af dem Kreis entdeckten Knoten. Wir können ach topologisch sortieren, enn der Graph kreisfrei ist. a 1 12 b 2 11 c 3 10 d f e 5 6 Nach absteigender Beendezeit sorteieren. größte Beendezeit ր a,b,c,f,d,e տ kleinste Beendezeit

11 4.1 Algorithms Tiefensche 53 Aber ach a b 9 10 c 1 8 d f e 3 4 Absteigende Beendezeit: a, b, c, d, f, e. Satz 4.5: Sei G = (V,E) kreisfrei. Lassen ir nn DFS(G) lafen, dann gilt für alle, V,, dass f[] < f[] (,) E. Keine Kante geht on kleinerer nach größerer Beendezeit. Beeis. Wir zeigen: (,) E f[] > f[]. 1.Fall: d[] < d[] Dann Weißer Weg (,) z d[], also d[] < d[] < f[] < f[] egen Weißer- Weg-Satz. 2.Fall: d[] > d[] Zm Zeitpnkt d[] ist col[] = eiß. Aber da kreisfrei, ird nicht on as entdeckt, da sonst (, ) Rückärtskante ist nd damit ein Kreis orliegt. Also kann nr folgendes sein: d[] < f[] < d[] < f[] nd es ist f[] < f[] Bemerkng zm Beeis: Wir ollen eine Assage der Art A B zeigen. Wir zeigen aber statt dessen B A. Diese Beiden Assagen sind äqialent, denn A B A B B A B A.

12 54 4 TIEFENSUCHE IN GERICHTETEN GRAPHEN Beachte aber Wenn (,) E nd f[] < f[], gilt der Satz nicht. Aber ir haben ja ach einen Kreis! Im kreisfreien Fall eta so: Im kreisfreien(!) Fall immer: dann f[] < f[] Wird or gra, dann ist klar f[] < f[]. Wird aber or gra, dann ird nicht nachfolger on, also ach dann f[] < f[], Weg kreisfrei.

13 55 5 Anendng Tiefensche: Starke Zsammenhangskomponenten Starke Zsammenhangskomponenten beziehen sich immer nr af gerichtete Graphen. Der Begriff der Zsammenhangskomponente im ngerichteten Graph besagt, dass zei Knoten z einer solchen Komponente gena dann gehören, enn man zischen ihnen hin nd her gehen kann. Die analoge Sche führt bei gerichteten Graphen af starke Zsammenhangskomponenten. Einige Beispiele: y z x Starke Zsammenhangskomponente x Der Knoten y kann nicht dabei sein. (y, z) ist keine starke Zsammenhangskomponente, also sind y nd z alleine. Interessante Beobachtng: Scheinbar gehört nicht jede Kante z einer starken Zsammenhangskomponente. x Der ganze Graph ist eine starke Zsammenhangskomponente. Z, haben ir z.b. die Wege (,,) nd (,,). Die Kanten der Wege sind alle erschieden, die Knoten nicht! Damit sind die Vorbereitngen für folgende offizielle Definition getroffen: Definition 5.1(stark zsammenhängend): Ist G = (V, E) gerichtet, so ist G stark zsammenhängend für alle, V gibt es Wege (,) nd (,) Also noch einmal: Ist (, ) stark zsammenhängend?

14 56 5 STARKE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN Es bietet sich an, einen Graphen, der nicht stark zsammenhängend ist, in seine stark zsammenhängenden Teile afzteilen. Definition 5.2(Starke Zsammenhangskomponente, starke Komponente): Ist G = (V,E) gerichteter Graph. Ein Teilgrpah H = (W,F) on G, d.h. W V nd F E ist eine starke Zsammenhangskomponente H ist ein maximaler indzierter Teilgraph on G, der stark zsammenhängend ist. Man sagt ach: starke Komponente. Was soll das das maximal? Wir haben folgende Anordnng af dem indizierten Teilgraphen on G: Sei H = (W,F), H = (W,F ), dann H H, gena dann, enn H Teilgraph on H ist, d.h. W W. Ein maximaler stark zsammenhängender Teilgraph ist einer, der keinen eiteren stark zsammenhängenden über sich hat. Also x y z a dann sind die starken Komponenten x y z a Nicht y z a, obohl stark zsammenhängend, egen der Maximalität. Man sieht noch einmal: Jeder Knoten gehört z gena einer starken Komponente. Warm kann ein Knoten nicht z zei erschiedenen starken Komponenten gehören? Eta in: x Wir gehen das Problem an z testen, ob ein Graph stark zsammenhängend ist, bz, die starken Komponenten z finden. Ein einfacher Algorithms äre eta: Prüfe für je zei Knoten (,), ob es einen Weg on nach nd on nach gibt. Etas genaer:

15 57 Algorithms 6: Test af starken Zsammenhang (naie Variante) Inpt : G = (V,E), V = {1,,n} 1 foreach (,) V V mit < do 2 BFS(G,); 3 Speichere die Farbe on ; /* Wenn erreichbar, dann scharz. */ 4 BFS(G,); 5 Speichere die Farbe on ; /* Wenn erreichbar, dann scharz. */ 6 if erreichbar nd erreichbar then /* Die Wege (,) nd (,) existieren. Hier ist nichts mehr z tn, eiter mit dem nächsten Paar */ 7 else /* Mindestens einer der Wege (,) nd (,) existert nicht. Der Graph kann nicht mehr stark zsammenhängend sein. Wir können hier direkt abbrechen. */ 8 retrn Nicht stark zsammenhängend. 9 end 10 end /* Wenn der Algorithms bis hierher gekommen ist, existieren alle Wege. */ 11 retrn Stark zsammenhängend. Zeitabschätzng: Zeile Lafzeit (global gezählt) 1 Es gibt O( V 2 ) Paare Eine Breitensche daert O( V + E ). Die Tests sind O(1). Also insgesamt O( V 2 ( V + E ) = O( V 2 E ), sofern E 1 2 V. (O( V 2 E ) kann O( V 4 ) sein.) 11 O(1) Es geht etas besser: Daz zerst die folgende Überlegng. Sei ein beliebiger Knoten des stark zsammenhängenden Graphen nd 1, 2 zei on as erreichbare Knoten. Wenn jetzt aßerdem noch ein Weg on 1 nach nd ach on 2 nach existiert, dann existieren ach die Wege ( 1, 2 ) nd ( 2, 1 ). Nämlich mindestens ( 1,,,, 2 ) nd ( 2,,,, 1 ). dann ach

16 58 5 STARKE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN Algorithms 7: Test af starken Zsammenhang (mit modifizierter Breitensche) Inpt : G = (V,E), V = {1,,n} /* Die Breitensche ist derart modifiziert, dass sie eine Liste der om Startknoten as erreichbaren Knoten liefert. */ 1 L = MBFS(G,); /* ist ein beliebiger Knoten z.b. Knoten 1. */ /* Im Prinzip müssen jetzt alle Knoten aßer in L sein. Sonst kann der Graph nicht stark zsammenhängend sein. Man kann dann bestenfalls noch die Zsammenhangskomponente, in der enthalten ist, bestimmen. */ 2 foreach L do 3 BFS(G,); /* normale Breitensche */ 4 if on as erreichbar then /* Weg i(,) existiert. Nächten Knoten testen. */ 5 else 6 retrn Nicht stark zsammenhängend. ; /* bz. enn man an der Komponente on interessiert ist, dann */ // L = L\{}; 7 end 8 end Zeitabschätzng: Zeile Lafzeit 1 O( V + E ) 2-8 O( V ( V + E ) also O( V E ) sofern E 1 2 V. V E kann bis V 3 gehen. ( V = 10, dann V 3 = 1000) Satz 5.1(Zsammenhangslemma): Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph nd sei V. G ist stark zsammenhängend gena dann, enn für alle V gilt nd. Beeis. Klar nach Definition. Sind x,y V, dann x Vorassetzng. y nd y x nach Die mit Hilfe der Breitensche erreichte Lafzeit on O( V E ) bz. O( V 3 ) ist nter praktischen Gesichtspnkten noch nicht besonders gt. Wenn man zm Finden der starken Zsammenhangskomponenten jedoch die Tiefensche einsetzt, kann man esentlich besser erden.

17 5.1 Finden on starken Zsammenhangskomponenten in O( V + E ) Finden on starken Zsammenhangskomponenten in O( V + E ) Schlüsselbeobachtng ist: Sind H 1 = (W 1,F 1 ),H 2 = (W 2,F 2 ) zei starke Komponenten on G = (V,E), dann H 1 H 2 in G oder in G H 1 H 2 nd allgemeiner: Satz 5.2: Fassen ir die starken Komponenten als einzelnen Knoten af nd erbinden sie gena dann, enn sie in G erbnden sind, so ist der entstehende gerichtete Graph kreisfrei. Beeis. Ist (H 1,H 2,,H k,h 1 ) ein Kreis af der Ebene der Komponenten, so gehören alle H i z einer Komponente. Wir können die Komponenten topologisch sortieren! Immer ist nach Tiefensche: H 1 H 2 H 3 größte Beendezeiten alles asser Rückärtskante kleinste Beendezeiten Ordnen ir die Knoten einmal nach absteigender Beendezeit, dann immer:

18 60 5 STARKE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN on H 1 H 2 oder H 1 H 3,H 2,H f[ 1 ] am größten, 1 H 1 f[ 2 ] am größten in H 2 f[ 3 ] am größten in H 3 1 = Knoten mit kleinster Anfangszeit in H 1 2 = Knoten mit kleinster Anfangsteit in H 2 3 = Knoten mit kleinster Anfangszeit in H 3 Bemerkng:(Weißer-Weg-Satz) Die maximale Beendezeit in Komponenten lässt die topologische Sortierng erkennen. Wie kann man aber diese 1, 2, 3 erkennen? Fangen ir in H 3 an, dann H 2, dann H 1, dann sind 3, 2, 1 die Wrzeln der Bäme. Aber nicht, enn die Reihenfolge H 1,H 2,H 3 geählt ird. Raslafen tritt af. Deshalb: Eine eitere Tiefensche mit dem Umkehrgraph: H 1 H 2 H 3 Haptschleife on DFS(G) in obiger Reihenfolge: H 1 H 2,H 1 H 3,H 2,H (Komponenten kommen nach topologischer Sortierng.) Dann liefert DFS-isit( 1 ): Gena H 1. 2 steht jetzt orne af der Liste. DFS-isit( 2 ): Gena H 2. 3 orne af der Liste. DFS-isit( 3 ): Gena H 3. Alle Knoten abgearbeitet, enn nr drei Komponenten orhanden sind.

19 5.1 Finden on starken Zsammenhangskomponenten in O( V + E ) 61 Algorithms 8: Starke-Kompnenten(G) Inpt : G = (V,E) gerichteter Graph /* Die Tiefensche liefert eine Liste der Knoten nach absteigender Beendezeit sortiert. */ 1 L = DFS 1 (G); /* L = ( 1, 2,, n ) mit f[ 1 ] > f[ 2 ] > > f[ n ] */ 2 G U = Drehe alle Kanten in G m. /* Die Haptschleife der Tiefensche bearbeitet jetzt die Knoten in Reihenfolge der Liste L. */ /* Jedes DFS-isit() der Haptschleife ergibt eine starke Komponente. */ 3 DFS 2 (G U, L); Die Lafzeit beträgt offensichtlich O( V + E ). Es ird 2 die Tiefensche asgeführt. Das mdrehen der Kanten geht ach in O( V + E ). Beispiel 5.1: V = {a,b,c} 1. Tiefensche a Tiefensche a 1 2 b 2 5 b 3 4 kein Raslafen c 3 4 c 5 6 Eine andere Reihenfolge bei der ersten Tiefensche liefert: 1. Tiefensche 2. Tiefensche ie orher. a 5 6 a 1 2 b 3 4 b 3 4 kein Raslafen c 1 2 c 5 6

20 62 5 STARKE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN Motiation des Algorithms K 4 starke Komponenten K 3 K 2 K 1 erste Tiefensche fängt hier an Eine Tiefensche entdeckt in jedem Fall die Komponete eines Knotens. Die Tiefensche kann aber as der Komponente raslafen! Die Tiefensche lässt die topologische Sortierng af den Komponenten erkennen. Nach maximaler Beendezeit in Komponente: K 4 < K 1 < K 2 < K 3 maximale Beendezeit K 2 oder K egal, ob zerst nach 3 K 4 < K 1 < K 2 < K 3 Kanten Bei Beginn in K 4 bekommen ir: K 1 < K 4 < K 2 < K 3. Wie kann man das Raslafen jetzt erhindern? K 4 K 3 kein Raslafen, da K 4 scharz or K 2 K 2 K 1

21 5.1 Finden on starken Zsammenhangskomponenten in O( V + E ) 63 Haptschleife gemäß topologischer Sortierng, d.h. abfallende Beendezeit: Beispiel 5.2: K 4,K 1,K 2,K 3 a 1 24 Stammater b d 2 23 f K 1 Umkehrng 7 K 2 20 c e Stammater h 8 19 g Umkehrng l i k K 3 Stammater j 1. Tiefensche on Starke-Komponenten(G) Knotenliste: (a,b,c,e,f,g, K 1 K 2 K 3 i,j,k,l, h K 2, d K 1 ) Stammater ist der Knoten, über den eine starke Komponente das erste Mal betreten ird. D.h. der Knoten mit der kleinsten Anfangszeit in dieser Komponente. Einige Überlegngen zr Korrektheit. Welcher Knoten einer Komponente ird zerst betreten? Definition 5.3(Stammater): Nach dem Laf on DFS(G) sei für V. Φ() ist der Knoten, der nter allen on erreichbaren Knoten die maximale Beendezeit hat. Φ() nennt man Stammater on. Satz 5.3: Es gilt: (a) Es ist col[φ()] = gra bei d[]. (b) In G gibt es die Wege Φ[] nd Φ[]. Beeis. (a) Klar bei = Φ(). Sei also Φ(). Wir schließen die anderen Fälle as.

22 64 5 STARKE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN 1. Fall: col[φ()] scharz bei d[]. Dann f[φ()] < d[] < f[] im Widersprch zr Definition, da ja. 2. Fall: col[φ()] eiß bei d[]. Gibt es z d[] Weißen Weg on nach Φ(), dann d[] < d[φ()] < f[φ()] < f[] im Widersprch zr Definition on Φ(). Gibt es z d[] keinen Weißen Weg on nach Φ() dann (da ja Φ[] ) sieht es so as: 1 2 l l Φ[] Weißer Weg col[ l ] = gra bei d[] col[ l ] = scharz geht nicht Es ist l der letzte Knoten af dem Weg mit col[ l ] = gra. Dann aber egen Weißem Weg d[ l ] < d[φ()] < f[φ()] < f[ l ] im Widersprch zr Definition on Φ(), da l (b) Mit (a) ist d[φ()] < d[] < f[] < f[φ()] Folgerng 5.1: a), in einer starken Komponente Φ() = Φ() Stammäter starke Komponenten b) Φ() = der Knoten mit der kleinsten Anfangszeit in der Komponente on. Beeis. a) Mit letztem Satz nd Definition Stammater: Φ[] Φ[] Also Φ() = Φ(). Andererseits

23 5.1 Finden on starken Zsammenhangskomponenten in O( V + E ) 65 Also, in einer Komponente. Φ[] = Φ[] b) Sei mit kleinster Anfangszeit in starker Komponente. Dann d[] < d[] < f[] < f[] für alle in der Komponente. Alle on erreichbaren erden or f[] entdeckt, also or f[] beendet. Also = Φ() Beachte noch einmal: Die erste Tiefensche fängt z.b. bei 2 an. L = ( 1,, 2,, 3 ) egen Beendezeiten. Die Korrektheit des Algorithms ergibt sich jetzt as: Satz 5.4: In der Liste L = ( 1,, n ) gibt die Position der Stammäter eine topologische Sortierng der starken Komponenten an. Beeis. Sei also die Liste L = ( 1,, k,, l ). k, denn sonst äre l kein Stamm- Sei k < l, dann gibt es keinen Weg in G. l ater, da f[ l ] > f[ k ]. Im Umkehrgraph: Gleiche Komponenten ie orher. Aber Kanten zischen Komponenten Komponenten gegen topologische Sortierng. Also gibt die 2. Tiefensche die Komponenten as.