Grundlagen der Regelungstechnik

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1 Grundlagen der Regelungstechnik Dr.-Ing. Georg von Wichert Siemens AG, Corporate Technology, München Termine Dies ist der letzte Termin in diesem Jahr fällt aus Nächste Termine: 14.1., 28.1., 4.2.

2 Wiederholung vom letzten Mal Regelkreis Geschlossener Regelkreis d v w u y G F (s) K(s) G(s) - G M (s) G F (s): Führungsfilter K(s): Regler G(s): Prozess G M (s): Messglied d: Störung w: Führungsgröße u: Stellgröße y: Ausgangsgröße

3 Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises d v w u y G F (s) K(s) G(s) - G M (s) Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises G g (s): Übertragungsfunktion des offenen Kreises d v w u y G F (s) K(s) G(s) G M (s) Offener Kreis Geschlossener Kreis

4 Führungs- und Störübertragungsfunktionen v d 1 d 2 w u + + y G F (s) K(s) G(s) - G M (s) Störung wird aufgeteilt auf d1: Störung am Streckeneingang d2: Störung am Streckenausgang Führungsübertragungsfunktion Störübertragungsfunktionen Anforderungen an den Regelkreis Durch geeignete Wahl (Synthese) eines Reglers soll bei gegebenem Prozess - dem geschlossenen Kreis ein gewünschtes Verhalten aufgeprägt werden Der geschlossene Regelkreis soll stabil sein der Führungsgröße folgen Störungen unterdrücken Beispiel: d 1 d 2 K(s) + + G(s) w u y - P-Regler

5 Beispiel (Schumacher-Skript) Sprung der Führungsgröße w Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik Beispiel (Schumacher-Skript) Sprung der Störgröße d1 Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

6 Beispiel (Schumacher-Skript) Sprung der Störgröße d2 Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik Regelgüte Ausregelzeit t ε Überschwingweite e max Regelfläche linear quadratisch Betrag Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik

7 Verhalten des Regelkreises: Ein Beispiel w u + + y - K(s) d 1 d 2 G(s) P-Regler Prozess Offener Kreis Geschlossener Kreis Stabilitätsbegriff Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied (LZI-Glied) ist dann stabil, wenn es auf ein beschränkte Eingangsgröße stets mit einer beschränkten Ausgangsgröße antwortet. 1.4 Step Response 10 Step Response Amplitude K = 4-4 K = Time (sec) Time (sec) Amplitude

8 Grundlegendes Stabilitätskriterium Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied ist dann stabil, wenn die Pole seiner Übertragungsfunktion sämtlich links der imaginären Achse der komplexen Ebene liegen. Im{s}=jω s s arg(s) Re{s}=σ Grundlegendes Stabilitätskriterium nur einfache Pole Partialbruchzerlegung Sprungantwort (einfache Pole): Anmerkung: Partialbruchsumme für q-fachen Pol bei s=β: Zu jedem Pol gehört ein exponentieller Ausgangssignalanteil positive Realteile der Pole führen zu aufklingendem Verhalten

9 Stabilitätskriterien Numerische Kriterien Ausgehend von der Charakteristischen Gleichung Algebraische Bedingungen für deren Koeffizienten z.b. Hurwitz-Kriterium Grafische Kriterien Aussagen basierend auf dem Verlauf des Frequenzgangs, insbesondere des Phasenverlaufs Dargestellt als Ortskurven Nyquist-Kriterium Nyquist-Kriterium Frage an den offenen Kreis: Wenn ich Dich schließe, bist Du dann stabil? Was weiß man über den offenen Kreis? Rechnerisch: Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion Messtechnisch: Frequenzgang Bodediagramm Ortskurve der Übertragungsfunktion Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis

10 Analyse der Ortskurve Besonders gut sichtbar Betrag 0.6 Nyquist Diagram 0.4 Phasenwinkel Imaginary Axis Phasenintegral Real Axis Phasenverlauf Beliebige, gebrochen rationale Funktion F(s) Betrag Phase Im{s}=jω s α i β i Polstelle Nullstelle Re{s}=σ

11 Phasenintegral C Im{s}=jω s Polstelle s 0i α i β i Nullstelle s i Re{s}=σ falls s i bzw. s 0i innerhalb von C falls s i bzw. s 0i außerhalb von C Phasenintegral C Im{s}=jω s Polstelle s 0i α i β i Nullstelle s i Re{s}=σ l n : eingeschlossene Nullstellen l p : eingeschlossene Polstellen Dies gilt allgemein für gebrochen rationale komplexe Funktionen auch falls keine Polstellen vorhanden sind (z.b. einfaches Polynom)

12 Nyquist-Kriterium Kann man dem offenen Kreis ansehen, ob der geschlossene Kreis stabil sein wird? Nyquist-Kriteium Nullstellenbetrachtung für N g (s) N g (s) ist kein Polynom! Die Pole des offenen Kreises sind die Pole von N g (s) Phasenintegral Phasenintegral von 1+G o (s) jω C 1 C 2 R σ wegen weil Stabilität des geschlossenen Kreises für l n = 0

13 Nyquist-Kriterium Wir betrachten die Ortskurve des offenen Kreises G o (s)! Relevant: Phasendrehung von N g (s) = 1 + G o (s) Phasendrehung von G 0 (s) bzgl. des Punktes -1 G o G o G o G o Die Ortskurve des offenen Kreises muss den Punkt 1 für den Durchlauf der Frequenzen ω von bis so oft gegen den Uhrzeigersinn umlaufen, wie der offene Kreis Pole in der rechten Halbebene besitzt. Beispiel: Instabiler offener Kreis Offener Kreis Instabil Geschlossener Kreis 1 Nyquist Diagram Stabilität für K = 1.2 Imaginary Axis Real Axis

14 Beispiel: Instabiler offener Kreis 12 x 108 Step Response 120 Step Response Amplitude 6 4 Amplitude Time (sec) Time (sec) Sprungantworten der offenen Kreise Beide instabil Sprungantworten der geschlossenen Kreise Stabilität für K = 1.2 Polstellenlage des geschlossenen Kreises für verschiedene K 1.5 Pole-Zero Map Imag Axis Real Axis

15 Nyquist-Kriterium für grenzstabile offene Kreise Quelle: Schumacher/Leonhard, Grundlagen der Regelungstechnik Pole auf der reellen Achse werden umgangen mit r 0 Ohne Beweis: Stabilität für l a : Anzahl der Pole auf der imaginären Achse Nyquist-Kriterium für (grenz)stabile offene Kreise Für (grenz)stabile offene Kreise gilt: Der Punkt -1 muss links der Ortskurve des offenen Kreises liegen Exakte Bedingung für die Phasendrehung: l p : Instabile Pole des offenen Kreises l a : Grenzstabile Pole des offenen Kreises Quelle: Föllinger, Regelungstechnik

16 Betrags- und Phasenabstand Maße für die Robustheit der Regelung Gegen Parametervariationen (Modellfehler!) Hinreichende Dämpfung von Störungen Wie weit ist es bis zur Instabilität? r π : Betragsabstand ω π : Phasendurchtrittsfrequenz Quelle: Schumacher/Leonhard, Grdl. der Regelungstechnik ψ d : Phasenabstand ω d : Amplitudendurchtrittsfrequenz Betrags- und Phasenabstand im Bode- Diagramm Bodediagramm und Ortskurve tragen dieselbe Information r π : Betragsabstand ω π : Phasendurchtrittsfrequenz Quelle: Schumacher/Leonhard, Grdl. der Regelungstechnik ψ d : Phasenabstand ω d : Amplitudendurchtrittsfrequenz

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(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s) Aufgabe : LAPLACE-Transformation Die Laplace-Transformierte der Sprungantwort ist: Y (s) = 0.5 s + (s + 3).5 (s + 4) Die Sprungantwort ist die Reaktion auf den Einheitssprung: w(t) = σ(t) W (s) = s Die

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