ka (s + c 0 )(s + c 1 )s 1 c 0 (c 0 c 1 ) e c 0t + lim = k R k max = π 4T t b2) und aus der Hauptlösung der Phasenbedingung die Reglerverstärkung

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1 Aufgabe 1: Systemanalyse a) Sprungantwort des Übertragungssystems: X(s) = ka (s + c 0 )(s + c 1 )s a1) Zeitlicher Verlauf der Sprungantwort: [ 1 x(t) = ka + c 0 c 1 a2) Man erhält dazu den Endwert: 1 c 0 (c 0 c 1 ) e c 0t + ] 1 c 1 (c 1 c 0 ) e c 1t lim t x(t) = ka c 0 c 1 b) Man bestimmt aus dem zugehörigen Frequenzgang F 0 (jω) = k R jω e jωtt = k R π ω e j(ωtt+ 2 ) durch Überprüfungder zugehörigenphasenbedingung (mehrdeutigmit (2k +1)) undder entsprechenden Amplitudenbedingung b1) die maximale Verstärkung k max = π 4T t b2) und aus der Hauptlösung der Phasenbedingung die Reglerverstärkung k 0 = k max 2 für eine Phasenreserve von π. 4 b3) Experimentell findet man k max durch Anregung des Systems mit einer Dauerschwingung, dabei schrittweise Erhöhung der Streckenverstärkung bis zum Erreichen der Stabilitätsgrenze (Ziegler-Nichols-Verfahren) am Ausgang.

2 Aufgabe 2: Erweiterter Regelkreis Als Übertragungsfunktionen im gewählten Arbeitspunkt erhält man (nach Umformungen) F dy (s) = F nu (s) = F wy (s) = K P K P + s st f (T f s +1)(K P + s) s [s(1 + K P T f )+K P ] T f s 2 + s(1 + K P T f )+K P Daraus lassen sich die Sprungantworten für Lage-Sollwert und Störgröße ermitteln: y w (t) = 1 e K P t y d (t) = 1 K P 1 T f [e t T f ] e K P t Als Endwert der Stellgröße bei einem Einheitssprung des Rauschsignals bestimmt sich (ebenfalls nach Umformungen): A u = lim s 0 F nu (s) 1 s = K P K P = 1

3 Aufgabe 3: Nichtlineare Systeme a) Linearisierte Systembeschreibung: ẋ 1 (t) = 3 x 1 (t) + u(t) + 2 ẋ 1 (t) = a x 1 (t) + 2a ẋ 3 (t) = 2 (cos1 1) x 1 (t) + (1+sin2) x 2 (t) x 3 (t) + 2 sin2 3 y(t) = x 1 (t)+ x 3 (t) b) Nach einer Strukturbild-Zusammenfassung erhält man: u(t) 1 1+s a s 1 1+s y(t) c) Gesamtübertragungsfunktion: d) Geschlossener Kreis: G(s) = 1 1+s ( ) a 1+ s(s +1) = s2 + s + a s(s +1) 2 F W (s) = K RG(s) 1+K R G(s) Das zu analysierende Nennerpolynom N W (S) des geschlossenen Kreises: N W (s) = s 3 +(2+K R )s 2 + (1+K R )s + K R a Nach HURWITZ zu erfüllende Bedingungen: (notwendige Bedingung) K R > 0 (aus Kriterium H 1 ) 2+K R > 0 (aus Kriterium H 2 ) 2+3K R + KR 2 K R a > 0

4 Die Analyse des Kriterium H 2 gibt Aufschluss über die Gestalt des Stabilitätsbereiches. Dazu wird die quadratische Funktion in K R,a für ausgewählte Werte untersucht, um Randpunkte der die Stabilität begrenzende Funktionskurve in der K R a-ebene zu finden. Es ergibt sich der 1.Quadrant als Stabilitätsbereich, der von oben durch eine Parabel gedeckelt ist.

5 Aufgabe 4: Frequenzgangsanalyse a) Die dem vorliegenden BODE-Frequenzgang zu Grunde liegende Übertragungsfunktion lautet (näherungsweise): G(s) = s s +0.01s 2 b) Aus dem abgebildeten Kurvenverlauf erkennt man, dass das vorgegebene Übertragungssystem im geschlossenen Kreis stets stabil arbeitet, weil im gesamten dargestellten Frequenzbereich eine positive Phasenreserve gegeben ist.

6 Aufgabe 5: Wurzelortskurve a) Die Regelstrecke besitzt vier Polstellen (s 1 =0, s 2 = 10, s 3 = 10, s 4 = 10) und keine Nullstelle, deshalb gilt: n =4und m =0. Die Konstruktion der WOK ist in folgenden Schritten beschrieben. I. WOK auf der reellen Achse Auf der reelen Achse liegen alle Polstellen und ein Teil der WOK zwischen s 1 und s 2. Weil n m =4, streben mit wachsendem K vier Wurzelortsäste ins Unendliche. II. Wurzelschwerpunkt III. Asymptotenwinkel δ W = 30 4 = 7.5 ϕ i =(2i +1) π, i =0, 1, ϕ 0 = 1π 4 ϕ 1 = 3 π 4 ϕ 2 = 5π 4 ϕ 3 = 7π 4 IV. Verzweigungspunkte Um den Verzweigungspunkt zu bestimmen, muss folgende Gleichung gelöst werden: 4 δ δ λ (δ δ λ ) 2 + ωλ 2 λ=1 =0 Nach der Substitution ergibt sich 1 δ δ (δ + 10) =0 2 und daraus 2δ 2 +25δ +50=0 Als Lösung dieser quadratischen Gleichung ergeben sich zwei Verzweigungspunkte, wobei beide zu den WOK-Abschnitten auf der reelen Achse gehören.

7 δ 1 = 10 (1) δ 2 = 2.5 (2) Es streben aus den Verzweigungspunkten jeweils zwei Äste der WOK ins Unendliche. V. Verzweigungswinkel In beiden Verzweigungspunkten schneiden sich jeweils 2 WOK-Äste, deshalb betragen die Verweigungswinkel ψ = π 2 VI. Schnitt der WOK mit der j-achse Dazu ist es nötig, die Bestimmungsgleichung KP O (jω)+q O (jω)=0 zu lösen. Für den gegebenen Regelkreis lautet sie: 100K + jω(jω + 10) 3 =0 Diese Bestimmungsgleichung wird getrennt in zwei Gleichungen, eine für den reellen und eine für den imaginären Teil: ω 4 300ω K = 0 30ω ω = 0 Aus den drei Lösungen der zweiten Gleichung ist (für ω>0) nur eine Lösung sinnvoll: 1000 ω = =5.77 rads 1 30 Die kritische Verstärkung wird dann aus der ersten Gleichung berechnet: K =88.89 Die WOK schneidet die imaginäre Achse in den Punkten ±5.77j. VII. Anstieg der WOK-äste in kritischen Punkten Der Anstieg wird berechnet für die dreifache Polstelle s 2,3,4 auf der reellen Achse. Von dieser Polstelle gehen drei Wurzelortsäste aus und enden im Unendlichen. Da der Winkel zwischen der Polstelle s 1 und der mehrfachen Polstelle s 2,3,4 gleich π

8 ist, werden die Anstiegswinkel folgendermaßen berechnet: Somitergibtsich: ϕ i = π 3 +(2i +1) π, i =0, 1, 2 3 ϕ 0 =0rad ϕ 1 = 2 3 πrad ϕ 2 = 4 3 πrad Die resultierende WOK ist in der folgenden Abbildung dargestellt. 15 Root Locus 10 5 Imaginary Axis 0 s 2, s 3, s 4 s 1 δ W Real Axis b) Die kritische Verstärkung des geschlossenen Regelkreises wurde bereits für die Schnittpunkte der WOK mit der j-achse berechnet. Der Regelkreis ist unstabil für K> c) Mit dem Hurwitz-Kriterium wird der Nenner des geschlossenen Regelkreises untersucht. Für gegebene Regelstrecke lautet dieser: N(s) =s(s + 10) K = s 4 +30s s s + 100K = c 0 s 4 + c 1 s 3 + c 2 s 2 + c 3 s + c 4 Nun bildet man die n-reihige Determinante

9 H = c 1 c 3 c 5 c 7 c 0 c 2 c 4 c 6 0 c 1 c 3 c 5 0 c 0 c 2 c 4 = K K Damit der geschlossenen Regelkreis stabil ist, müssen alle Unterdeterminanten größer Null sein. Für H 1 und H 2 ist diese Bedingung erfüllt unabhängig von der Verstärkung K. Für H 3 gilt: H 3 = K Damit der Regelkreis stabil ist, muss also gelten: = K K 10 6 > 0 Daraus ergibt sich die Bedingung für die Verstärkung K: K< = Damit hat sich das in a) berechnete Ergebnis bestätigt.

(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s)

(s + 3) 1.5. w(t) = σ(t) W (s) = 1 s. G 1 (s)g 2 (s) 1 + G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)g 4 (s) = Y (s) Y (s) W (s)g 1 (s) Y (s)g 1 (s)g 3 (s)g 4 (s) Aufgabe : LAPLACE-Transformation Die Laplace-Transformierte der Sprungantwort ist: Y (s) = 0.5 s + (s + 3).5 (s + 4) Die Sprungantwort ist die Reaktion auf den Einheitssprung: w(t) = σ(t) W (s) = s Die

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