Moderationspfad. Haus 3 - FM Modul 3.1 Rechenschwierigkeiten vorbeugen von Anfang an

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1 Moderationspfad Haus 3 - FM Modul 3.1 Rechenschwierigkeiten vorbeugen von Anfang an Die vorliegende Präsentation kann als Einstieg in das Thema Rechenschwierigkeiten genutzt werden. Die Durchführung des Moduls beläuft sich (abhängig vom Einsatz der vorgeschlagenen Aktivitäten und Videos und der Intensivität des Austausches) auf ca. 2-3 Zeitstunden. Nachstehend ein Überblick über sämtliche Fortbildungsmaterialien dieses Moduls: Material Moderator (M) Material Teilnehmer (TN) Präsentation (ppt) Für Hamstern / pro 2 TN: Moderationspfad 1 Würfel Sachinfo: Titel? ca. 30 Plättchen Ggf. 1+1 Tafel 1 Becher Für die Fortbildung eines Kollegiums ggf. das aktuelle Mathematikbuch 1 Spielplan/Vergleichsraster Ggf. Blitzrechenkartei Sonstiges: Ggf. Blitzrechen-Plakat (s. PIK UM, Haus 3) Papier und Stifte Videos (möglicher Einsatz und genauere Beschreibung siehe Datei Videos zum Einsatz in die Präsentation ): Kleingruppe spielt Bingo Ausschnitt der 1+1 Tafel füllen Nachbaraufgaben der Verdoppelungen finden AB zu den Nachbaraufgaben KIRA Video zur Interpretation bildlicher Darstellungen 1+1 richtig üben Seite 1

2 Zeit Kommentar Material 5 Begrüßung / Transparenz über Inhalte des Fortbildungsmoduls. Laptop / Beamer Folie 2: M gibt Überblick über Schwerpunkte der Fortbildung Worum es (nicht) geht. M verweist auch auf Inhalte um die es nicht gehen wird, die aber insbesondere für das Konstrukt Rechenschwäche interessant sein könnten. Hier kann evtl. ein Hinweis auf die Sachanalyse und weiterführende Literatur in Haus 3 gegeben werden. Folie 2 Im Folgenden wird der Begriff Rechenschwierigkeiten genutzt (siehe auch Sachanalyse) Folie 3 M stellt negatives Beispiel zu den möglichen Symptomen vor: Online Test Rechenschwäche, der von Eltern oder Lehrern auszufüllen ist. Folie 4-5 Die Ursachen von Rechenschwierigkeiten sollen nicht in medizinischen oder psychologischen Dispositionen des Kindes gesucht werden. Diese organischen Ursachen oder psychologische Anfälligkeiten erschweren oft nicht nur ein Lernen in Mathematik sondern generell Lernen. M kann hier Schipper (2005, S. 27) zitieren: ( ) Es mag banal klingen, ist aber trotzdem richtig: Die beste Prävention von Rechenstörungen ist ein guter Mathematikunterricht. Folie 6: Es geht NICHT um spezielle Übungen für die Behebung von Rechenschwierigkeiten M leitet zum Ziel der Fortbildung über: Viele der Ideen sind den TN sicherlich bekannt. Diese Fortbildung soll den TN die Bedeutung eines guten Anfangsunterrichts in Hinblick auf den Erwerb von Seite 2

3 mathematischen Grundkompetenzen bewusst machen und sie bestärken diese Anregungen noch nachdrücklicher, ausführlicher und bewusster zu tun, im Interesse ALLER Kinder. 3-5 Folie 7: Einstieg Verlauf der Fortbildungsmodule und Inhalte, Zieltransparenz, Sinnstiftung Ein Transkriptausschnitt von Hanna wird gezeigt. Die TN bekommen die Möglichkeit diesen zu analysieren und zu kommentieren. Kompetenzorientierten Sichtweise: Hanna zählt bereits vom 2. Summanden um 8 weiter, die Zuordnung Zahlwörter Zahlen klappt. M weist die TN darauf hin, das Schuljahr zu bedenken: wenn das Interview im Verlauf des 1. Schuljahres stattgefunden hätte, würde man dieses Vorgehen natürlich mehr anerkennen, denn zählend zu rechnen ist die intuitive Herangehensweise von Kindern. ABER: wenn Kinder so noch im 2. Schuljahr rechnen (M blendet Schuljahr ein), spricht man vom verfestigten zählenden Rechnen und von diesem sollten sich die Kinder lösen! M geht auf das Ziel des MU ein, dass Kinder nicht-zählende Strategien entwickeln und nutzen, um Aufgaben zu lösen. Folie 7 Folie 9 Folie 8 M erläutert am Beispiel 7+8 die Fähigkeiten, die ein Kind haben muss, um diese Aufgabe nicht mehr zählend zu lösen. Diesen langfristigen Kompetenzaufbau nutzt M für die Gliederung dieses Moduls. Folie 9: M gibt Transparenz über den geplanten auch im Unterricht chronologischen Verlauf der Fortbildung. Eine Ausnahme: Exkurs das tragfähige Operationsverständnis, welches im Lernprozess weiter vorne, nach der Entwicklung einer Zahlvorstellung kommt, da es hier aber um Ablösung vom zählenden Rechnen geht, wird diese Vorstellung bereits vorausgesetzt) Seite 3

4 Anmerkung: Die Inhalte können auch auf Flipchartbögen übertragen werden, so dass sie den TN während der Fortbildung präsent bleiben Folie 11-12: Zahlvorstellungen M geht auf die unterschiedlichen Zahlaspekte ein, zeigt dazu einen repräsentativen Schulbuchausschnitt und versucht die Zahlaspekte dann in Folie 13 zu hierarchisieren. Zu den tragfähigen Zahlvorstellungen gehören die Bedeutungen von Zahlen und die Beziehungen zwischen Zahlen. Folie 13: Bedeutungen von Zahlen: Ordinal: Zahlen als Bezeichnung einer Ordnung von Elementen (Position) zählen als Voraussetzung, Zahlen in einer Reihenfolge auch als Voraussetzung für den mentalen Zahlenstrahl. Kardinal: Zahlen als Bezeichnungen für Mengen. Dies ist der grundlegende Zahlaspekt, denn alle Operationen werden als Veränderungen von Mengen bzw. Anzahlen gedeutet. Die Kardinale Zahlvorstellung ist nötig, um operieren zu können, also Anzahlen vermindern, erhöhen, vergleichen, vervielfachen oder teilen zu können. Folie 14: Zahldarstellung Zahldarstellung von Mengen spielt eine wichtige Rolle, um Beziehungen zwischen Zahlen erkennen zu können: bei unstrukturierten Mengen können Beziehungen nur schwer erkannt werden. Folie 15: Info: In der fachdidaktischen Literatur wird die Beziehung zwischen Zahlen zum einen als Teile-Ganzes Beziehung bezeichnet, zum anderen liest man auch vom Relationalzahlbegriff. Beide Bezeichnungen meinen dasselbe: nämlich Beziehungen zwischen Zahlen zu verstehen. Bei der T-G Beziehung wird von einer Gesamtmenge etwas in verschiedene Teile abgespalten, die Relationale Beziehung vergleicht zwei (disjunkte) verschiedene Mengen Seite 4

5 Folie 16-32: Beziehungen zwischen Zahlen: Folie 16: Teile-Ganzes Beziehung wird definiert: Bedeutung auch der sprachlichen Begleitung hervorheben, die Teile-Ganzes- Beziehung wird selten explizit im Unterricht verwendet und muss konkret erarbeitet werden. M stellt Schüttelboxen und Plättchen werfen als oft einzige Modelle in Schulbüchern für die Teile-Ganzes Beziehung vor. M geht in den folgenden Folien auf weitere wichtige Unterrichtsaktivitäten zur Entwicklung der Teile-Ganzes Beziehung ein (Folien 18-22). Folie 18: Minou ist dabei einen 7er Streifen zu zerlegen bzw. zu zerschneiden. Zerlegen ist nicht Teil des täglichen Sprachgebrauchs, daher kann eine sprachliche Begleitung hilfreich sein: Vom Ganzen 7 ausgehend, dieses zerlegen, Teile benennen und wieder zusammenführen: beide Teile 3 und 4 zusammen ergeben das Ganze 7. Zu beachten ist dabei auch, die Reversibilität, also das Zerlegen und wieder Zusammenfügen wirklich durchführen, denn die Kinder sehen beim Zerlegen oft nur noch die (zerlegten) Teilmengen und nicht mehr das Ganze. Folie 21 Folie 19 zeigt ein Beispiel für die Zerlegung mit Alltagsbezug (Teilen bzw. Zerlegen einer Tafel Schokolade). Folie 20: Links ist das Ganze abgebildet, rechts verschiedene passende bzw. nicht passende Zerlegungen des Ganzen in unterschiedliche Teile. Der Arbeitsauftrag an die Kinder ist Was passt, kreuze an. Folie 21: In einer Schachtel liegen acht Würfeln (der Boden ist mit Sand gefüllt). Diese acht Würfel werden von der großen Schachtel in zwei kleinere Schachteln gefüllt, also die 8 wird in 3 und 5 zerlegt. Die Gesamtmenge ist hier noch sichtbar durch die Abdrücke der Würfel im Seite 5

6 Sand: Die Zerlegung einer Menge in zwei Teilmengen ändert nichts an der Gesamtmenge. Noch etwas anderes kann gezeigt werden Ich nehme einen Würfel und lege ihn zu Dir. Haben wir beide zusammen jetzt noch genauso viele Würfel, wie in der großen Schachtel waren? Wird ein Würfel verschoben, ändert sich die Zerlegung, aber das Ganze bleibt gleich (kompensierende Mengenveränderung). Eine Veranschaulichung des Gesetzes der Konstanz der Summe, auf die die Rechenstrategie gegensinniges verändern beruht (siehe Folie 38). Folie 22: Anregungen aus Grundschulzeitschrift, Heft , Förderkartei von SCHIPPER. Die Partner legen eine Anzahl von Plättchen (z. B. 9) in eine Reihe. Beide zählen noch einmal nach und legen dann die passende Zahlenkarte mit der 9 dazu. Ein Kind hält sich die Augen zu, das andere verdeckt einige Plättchen. Dann schaut das erste Kind wieder hin. Wie viele Plättchen sind verdeckt? Das Ganze liegt als mathematisch symbolische Darstellung vor, ein Teil als konkrete Plättchenmenge. Evtl. können passende Aufgaben dazu notiert werden. Auch auf der Zahlebene kann diese Übung durchgeführt werden: Die Partner einigen sich zunächst, um welche Gesamtzahl von Plättchen es gehen soll (z. B. 9). Statt der 9 Plättchen wird aber nur noch eine Zahlenkarte mit der Ziffer 9 gelegt. Ein Kind hält sich die Augen zu, das andere legt unter die Karte mit der 9 eine weitere Karte (z. B. mit der 4). Welche Zahl fehlt bis 9? Kannst du dazu Rechenaufgaben sagen bzw. aufschreiben? Evtl. passende Aufgaben dazu notieren. (Um passende Aufgaben zu finden oder auf der reinen Zahlebene zu handeln, ist natürlich ein weiterer großer Entwicklungsschritt nötig.) Folien 23-32: Relationale Beziehung M gibt Definition: Anzahlen unterschiedlicher Mengen vergleichen (Folie 23) Beispiel: Im oberen Muster sind drei Punkte weniger bzw. im unteren Muster Seite 6

7 sind drei mehr. Folie 24: Differenzmenge: Vergleichen von zwei Anzahlen in zwei Gläsern, hier Walnüsse. Der Interviewausschnitt macht die sprachlichen Schwierigkeiten beim Verstehen und Ausdrücken der Relationalzahl deutlich: Die Kinder benennen konkrete Gesamtzahl bzw. eine einzelne Teilmenge, überlesen oder überhören weniger oder mehr. M erklärt, dass in diesem Fall konkrete Unterstützung wichtig ist. Folie 24 Folie 25: Das Spiel hamstern wird als Spiel vorgestellt, das die Entwicklung der relationalen Beziehung unterstützt (siehe auch UM Haus 6). M erklärt die Spielregeln. Folie 26: Aktivität: M erteilt den Arbeitsauftrag TN spielen hamstern (Material: 1 Würfel pro Spielpaar, Wendeplättchen, Vergleichsraster/Spielplan. M moderiert Erfahrungsaustausch über Ziel und möglichen Kompetenzaufbau bei diesem Spiel, verschiedene Schwierigkeitsstufen und Differenzierungen können diskutiert werden (siehe UM Haus 6, AB). Eine Diskussion über die Vorbereitung von Rechenstrategien kann angeregt werden. Die Bedeutung des handlungsbegleitenden Sprechens wird deutlich gemacht (dazu Folie 27). Mit Folie 28 können AB zur Weiterarbeit nach der Einführung des Spiels vorgestellt werden. Folie 29: Das Spiel Bingo wird zum Kennenlernen gespielt. Schreiben Sie die Zahlen zwischen 1 und 9 in ein Neunerfeld. Wer zuerst alle Zahlen in einer Reihe oder Spalte hat, ruft Bingo und hat gewonnen. TN fertigen Neunerfeld an (Käsekästchen) und notieren die entsprechenden Zahlen (von 1-9). Seite 7

8 Video: An dieser Stelle kann ein Demonstrationsvideo eingebaut werden. Hierin wird deutlich, dass die Kinder das Fragemuster der Lehrerin Welche Zahl ist um 1 größer/kleiner als übernommen haben. Die Kinder haben Zahlenplättchen von 1-9 als Neunerfeld gelegt. Betül geht allerdings über diesen Zahlenraum hinaus. Die richtigen Fragen zu stellen, erfordert flexibles Denken und Konzentration. Dieses Spiel kann natürlich im Zahlenraum (z.b. 9 vorgegebene Zahlen im ZR bis 20, ), aber auch über die Relationalzahl erweitert werden, indem z.b. gefragt wird: Welche Zahl ist um 10 größer als 2? Folie 30: M stellt AB vor: Im Anschluss an das Spiel kann diese Übung mit mathematisch-symbolischen Darstellungen (ohne konkrete Mengen) das Verständnis für die relationale Beziehung vertiefen. Dazu legen die Kinder passende Zahlenkarten auf das AB in das vorgegebene Satzmuster ein (AB aus Verboom, Grundschule Mathematik 25, 2010) Folie 31: VERA Aufgabe 2011 des 3. Schuljahres wird vorgestellt, TN sollen schnell und spontan diese Aufgabe mündlich lösen. M geht auf die sprachliche und mathematische Schwierigkeit dieser Aufgabe, die nach dem Teile-Ganzes und der Relationen Beziehung fragt, ein. Folie 32 M betont die Wichtigkeit der Beziehungen zwischen Zahlen für den weiteren mathematischen Lernprozess (). 5 Überleitung M bittet TN um das Berechnen der Buchstaben G-D (A=1, B=2, ) und die Schilderung des Vorgehens der TN. Falls folgendes Vorgehen nicht von TN gezeigt wird, stellt M dieses vor: vom Daumen der linken Hand beginnend zählen: A, B, C, D, E, rechter Daumen und Zeigefinger: F,G (das sind also Seite 8

9 insgesamt G) und dann nochmal von vorne linke Hand Daumen bis Ringfinger erneut zählen bis D diese dann runter klappen. Es bleiben dann kleiner Finger der linken Hand und Daumen, Zeigefinger der rechten Hand übrig, also A, B, C. C ist die Lösung. (weitere Lösungsmöglichkeiten: z.b.: Weiterzählen von D bis G, analog zur Strategie des Ergänzens ) Das Anwenden dieser Strategie setzt bereits eine relationale Sichtweise voraus.) M bittet nun um die Berechnung von N-M. Wieder sollen die TN die Ergebnisse rein rufen und ihre Schnelligkeit begründen M geht auf die Intention der kleinen Aktivität ein: Beim ersten Beispiel gehen viele TN wahrscheinlich zählend vor. Beim zweiten Beispiel dagegen wissen viele, dass die Buchstaben N und M direkt aufeinanderfolgen (die Beziehung der Buchstaben ist bekannt), d.h. die Differenz beträgt 1 und somit A M fasst dies auf Folie 35 noch einmal zusammen Folie 37-46: Ableitungen Folie 37: M gibt Definition von Ableitungen vor, mit Bezug auf die gemachte Aktivität, des Berechnens von Buchstaben. Folie 38: M geht auf die verschiedenen möglichen Ableitungen ein und zeigt die Bedeutung der Teile-Ganzes-Beziehung und der relationalen Beziehung bei dem Nutzen von Ableitungen auf. Beim Fast-Verdoppeln wird die Teile-Ganzes-Beziehung genutzt: 7 als 6+1, oder die relationale Beziehung 7 um 1 größer als 6, deshalb noch eins dazu ; Nutzen der Zehnernähe: = relat. Zahl: 10 ist 1 mehr als 9) Beim gegensinnigen Verändern kommt das Gesetz der Konstanz der Summe zum Tragen: = Beim Zerlegen und Zusammensetzen (Teilschrittverfahren) wird vor allem die Seite 9

10 Zehnerergänzung genutzt: 7+ 5 = = 12 Folie 40 Folie 39-41: 1+1 Tafel M geht auf die Bedeutung der Farben und die Struktur der 1+1Tafel ein (die einzelnen Aufgabengruppen auf der ppt oder einer mitgebrachten 1+1 Tafel zeigen bzw. im in der Schule genutzte Lehrwerk). Dabei betont M die Notwendigkeit des Nutzens von Ableitungen. Folie 41: Die 1+1 Tafel hat insgesamt 100 Aufgaben, davon 68 leichtere und 32 schwierigere Aufgaben. Diese 32 schwierigeren Aufgaben können über Ableitungen von den vorher genannten leichter gemacht werden. Folie 42: M stellt mögliche Unterrichtsaktivitäten vor: ganz gezielte Übungen wie die folgenden sind notwendig, um die Beziehungen der Aufgaben untereinander zu verstehen. Nachbaraufgaben oder Verdoppelungsaufgaben M kann den TN dazu Videos zeigen: Video 1: Füllen eines Ausschnitts der 1+1 Tafel (links unten, in der Präsentationsfolie als Link einfügbar). Martha sortiert die Aufgabenkarten an die entsprechenden Stellen und wird aufgefordert ihre Auswahl zu begründen. Ziel dieser Übung ist ein erstes Orientieren auf der Tafel und Einsicht in die Strukturen (Dauer: 0:20). Video 2: Die Kinder haben einen Ausschnitt der 1+1 Tafel (ein Kreuz) vorliegen mit den Verdoppelungsaufgaben in der Mitte und den dazugehörigen vier Nachbaraufgaben. Nun sollen sie begründet die vier Nachbaraufgaben an die richtige Position legen. Mit dem Video wird gezeigt, wie Kinder die Zahl- Aufgabenbeziehungen erkennen und beschreiben (Dauer 1:05) Folie 42 Video 3: Auf einem AB werden nun die Zusammenhänge der Ergebnisse der Verdoppelungsaufgaben und ihren Nachbaraufgaben thematisiert. Dies ist Seite 10

11 insbesondere für das Automatisieren der Ergebnisse des kleinen 1+1 sehr wichtig. Die Kinder können somit immer wieder auf die Kernaufgaben, hier die Verdoppelungsaufgaben, zurückgreifen und das Ergebnis ableiten (Dauer 0:55). Folie 43: M weist auf die analoge Nutzung der 1-1 Tafel hin. TN überlegen die Struktur für die 1-1 Tafel und formulieren analoge Arbeitsaufträge. M unterstützt die einzelnen Gruppen, steht für Fragen bereit. TN stellen im Plenum ausgewählte Aufträge/ AB vor und begründen ihre Auswahl. M sammelt die Ideen. Folie 44: Ggf. werden die Ideen durch Beispiele aus den Matheprofis ergänzt. Folie 45-46: M fasst Bedeutung des Nutzens von Ableitungen zusammen und leitet zum Automatisieren über, indem das Transkript von Hanna erneut aufgegriffen wird und die drei noch nicht bearbeiteten Punkte ins Gedächtnis gerufen werden. Anmerkung: Es gibt Lehrer, die gerade leistungsschwächere Schüler im MU schonen wollen und meinen diesen einen Gefallen tun, wenn sie wenigstens die Grundfertigkeiten in auswendig Gelerntem können. Gerade diese Kinder sind mit Auswendiglernen von Unverstandenem überfordert. Auch wenn das Nutzen von Ableitungen bei einigen Kindern länger dauert, so ist dies auf lange Sicht gesehen eher eine Entlastung als eine Überforderung. Folien 47-57: Automatisieren Folie 48: Bedeutung und Definition von Automatisieren Folie 49-51: Seite 11

12 M stellt das Arbeiten mit der 1+1 Kartei vor (PIK Material, Haus 3) und geht auf die verschiedenen Kartensätze ein. Weiteres Material (Haus 3 UM, 1+1, Elternbrief, Basisinfos) kann dazu herangezogen und gezeigt werden. Folie 52: M stellt den Blitzrechenkurs (Müller/Wittmann) vor. Die linke Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus dem Zahlenbuch, in die die Blitzrechenübungen integriert sind. Die Abbildung rechts zeigt die Blitzrechenkartei. Es geht um die blitzschnelle Abrufbarkeit der Aufgaben und damit um die Automatisierung inhaltsbezogenen Kompetenzen (siehe Sachinfo). Der Kurs ist so konstruiert, dass kleine Gruppen von Kindern nach kurzer Einführung eigenverantwortlich üben können. Der Blitzrechenkurs umfasst 4 Teile mit je 10 Übungen. Folie 53-54: M verweist auf PIK Material, das zur Arbeit mit der Blitzrechenkartei hinzugezogen werden kann (Blitzrechen-Plakate UM Haus 3). Über das Blitzrechenplakat erhalten die Kinder Transparenz darüber, wie weit sie in der Kartei bereits üben können bzw. sollten. Begleitend dazu erhält jedes Kind analog zum Blitzrechenplakat, eine Übersicht über die einzelnen Übungen. So können sie für sich Buch führen, wie weit sie bereits im Blitzrechenkurs voran geschritten sind und sich zur Prüfung anmelden, wenn sie glauben, dass sie diese bestehen können. Um einen Leistungsanreiz für die Kinder zu setzen, können die Kinder zu jeder der zehn Übungen pro Schuljahr Prüfungen ablegen, um den sog. Blitzrechen-Pass zu erhalten M hat die Möglichkeit den TN auch hierzu ein Video zu zeigen: 1+1 richtig üben (PIK IM, Haus 3) (Dauer ca. 15 Minuten) Folie 55-58: Flexibel rechnen M macht die Wichtigkeit das Rechnen zu verlangsamen deutlich und Betont dabei, dass nicht das Ausrechnen, sondern zunächst der Rechenweg das Ziel Seite 12

13 sein soll. Das Automatisieren ist dafür eine Voraussetzung, diese Aufgaben geschickt anzuwenden (das passiert nach individuellen, aufgabenspezifischen Präferenzen). Evtl. kann an dieser Stelle ein Hinweis zum Lehrplan gegeben werden. Folie 57: Aufgabenkisten oder Sortiermaschinen lenken die Aufmerksamkeit auf meta-kognitive Betrachtungen der Aufgaben Ist es eine schwere oder leichte Aufgabe? Wie kann ich sie vereinfachen? Kinder sollten selbst die Erfahrung machen, was eine geschickte oder weniger geschickte Ableitung ist. Folie 58: Auch in den weiteren Schuljahren wird darauf immer wieder zurückgegriffen Folie 59: Übergang zum Exkurs Erneut Transkriptausschnitt von Hanna, noch einmal kompetenzorientiert betrachten: Was kann sie schon? Sie zählt vom zweiten Summand weiter und noch grundlegender: Sie deutet das Pluszeichen als Hinzufügen, d.h. beim Ablösen vom zählenden Rechnen bisher vorausgesetzt, dass ein Operationsverständnis vorhanden ist. Folie 61-67: Exkurs Operationsverständnis M stellt die zwei Grundmodelle zu Addition vor: Vorstellung des Hinzufügens (dynamische Austauschaufgaben) und Vorstellung des Zusammenfügens (statische Kombinationsaufgabe/ Vereinigung) anhand von Schulbuchbeispielen (am besten schuleigenes Lehrwerk hinzuziehen) vor. Folie 62: Problematik bei der Subtraktion, möglicher Einsatz des Beispiels von Önal: Formale Aufgabenstellung u.a. 12-5: Önal greift auf eine Wegnehm - Vorstellung zurück: Wegnehmen des Subtrahenden als Zahl, sodass nur der Minuend als Zahl übrig bleibt. Er nimmt nicht eine Teilmenge aus einem Ganzen. Auch wenn das Interview vor Einführung der Subtraktion geführt wurde, kann es Hinweise auf die Lernvoraussetzungen, das Seite 13

14 Operationsverständnis geben. M geht auf die Wegnehm-Vorstellungen zur Subtraktion ein, macht auf die Problematik der Ein-Bild-Geschichten und die Problematik des Wechsels zwischen Darstellungen aufmerksam. Folie 62 Einsatz eines KIRA Videos (Dauer 05:04) möglich als Beispiel für unterschiedliche Deutungen des Dosen werfen Bildes (Folie 64): Je nach zeitlicher Reserve können auch Ausschnitte gezeigt werden, hier bieten sich die Kinder Ralph und Pia an. Der Minuend 9 das Ganze wird in der bildlichen Darstellung nicht mehr gesehen. Die Kinder verknüpfen die zu sehenden Teilmengen. Teilweise deuten die Kinder die Situation als Addition. Daraus folgt für den Unterricht zum einen, die Kinder deuten zu lassen, mehrere Deutungen zulassen, da Darstellungen nie eindeutig sind. Wichtig ist dann allerding, dass keine vorgegebene Rechenaufgabe unter dem Bild steht. Zum andern folgt daraus, Drei-Bild-Geschichten einzusetzen, Bilder also die nicht nur ein Bild oder zwei Bilder (Anfangs- und Endbild) zeigen. Folien 65/66: M zeigt Eigenproduktionen der Kinder zu Drei-Bild Geschichten. Der Subtrahend kann als herausgelöste Teilmenge aus der Gesamtmenge (Minuenden) betrachtet werden. Die Teile-Ganzes Beziehung wird in den drei Bild Geschichten also explizit gemacht. Folie 65 Folie 67: M weist auf die zwei Vorstellungen zur Subtraktion hin und konkretisiert diese an der Darstellung am Zahlenstrahl: Das Ergebnis kann zum einen als Rest angesehen werden, d.h. die Differenz wird als Ergebnis bzw. Rest einer (dynamischen) Mengenveränderung interpretiert. Seite 14

15 Das Ergebnis kann zum anderen als Unterschied interpretiert werden. Auch dieses ist eine wichtige Vorstellung, allerdings ist sie für einige Kinder schwer nachvollziehbar und muss daher im Unterricht ausgiebig thematisiert werden. M erklärt, dass diese Vorstellung eine additive Sichtweise ermöglicht, nämlich z.b. das Ergänzen: etwas vervollständigen, etwa Fehlendes hinzufügen. In der Zahlenstrahl-Darstellung sind 10 und 3 (statisch) gegeben und werden verglichen. Es stellt sich also die Frage nach dem Unterschied. M betont, dass die Berechnung des Unterschieds bewusst (auch sprachlich) in den Blick der Kinder gerückt werden sollte. Nur wenn das Operationsverständnis der Subtraktion mit beiden Vorstellungen verknüpft ist, können Kinder in verschiedenen Kontexten subtraktive Strukturen erkennen. Erst dann sind sie auch in der Lage, beim halbschriftlichen Subtrahieren bei Aufgaben mit kleinem Unterschied zu ergänzen oder das Ergänzungsverfahren beim schriftlichen Subtrahieren verständig (wie auch vom Lehrplan gefordert) auszuführen. Beziehungen zwischen Zahlen sind hier grundlegend für eine tragfähige Zahlvorstellung. Folien 68/69: Zusammenfassung: M knüpft bewusst an den Anfang der Fortbildung an: tragfähige Zahlvorstellung als Voraussetzung für das geschickte Rechnen, aber auch Grundlage für ein tragfähiges Operationsverständnis Seite 15

16 Folie 70: Fazit: M präsentiert ein Zitat von Gaidoschik: "Rechenschwache Kinder sind schwach im Rechnen, weil sie es (noch) nicht besser gelernt haben M weist darauf hin, dass grundsätzlich auch diese Kinder mathematisches Wissen nicht anders als andere Kinder erwerben. M nennt ein Fazit, dass für alle Kinder gilt: Für den aktuellen Mathematikunterricht an Grundschulen gilt es, tragfähige Vorstellungen von Zahlen, Aufgaben und Beziehungen zwischen diesen aufzubauen bevor automatisiert wird! Da so Rechenschwierigkeiten vorgebeugt werden kann. Folie 70 Folie 71: optional Folie 71 M erläutert die Stellung des Fortbildungsmoduls innerhalb der Struktur von PIK AS auf der PIK AS-Website. Falls den TN noch nicht bekannt, kann kurz darauf hingewiesen werden, dass die Seite kostenlos von Interessierten genutzt werden kann. M verweist auf das von PIK AS bereits veröffentlichte Material (Haus 6, Haus 3), das zur Fortbildung und Unterrichtsentwicklung (auch durch das Kollegium selbst) genutzt werden kann. Folie 72: optional, Literaturliste (Folie nicht abgebildet) Seite 16

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