Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

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1 Kapitel 8 Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Der in Definition 7. eingeführte Begriff einer Folge ist nicht auf die Betrachtung reeller Zahlen eingeschränkt und das Beispiel {a n } = {x n } einer Funktionenfolge ist bereits erwähnt. Als Spezialfall von Funktionenfolgen können wiederum Funktionenreihen betrachtet werden, deren wichtigste Vertreter so genannte Potenzreihen sind. Eine solche Potenzreihe ist in Form der geometrischen Reihe schon mehrfach aufgetaucht: Für fixiertes x 0 R werde die Funktionenfolge {(x x 0 ) n } betrachtet. Dann kann die Reihe (x x 0 ) n dort, wo sie konvergiert, als Funktion von x angesehen werden, f(x) := (x x 0 ) n. Analog werden in diesem Kapitel die Exponentialfunktion und verwandte Funktionen definiert. Später werden Potenzreihen auch als so genannte Taylor-Reihen von großer Bedeutung sein, wobei Funktionen in Termen ihrer Ableitungen 6

2 62 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion entwickelt werden. Eine weitere Reihenentwicklung von Funktionen ist die als Fourier-Reihe. Hier werden beispielsweise Signale in Grund- und Oberschwingungen zerlegt (harmonische Analyse). 8. Funktionenfolgen und Funktionenreihen (punktweise und gleichmäßige Konvergenz) Im Folgenden seien f n : R U R, n N, reelle Funktionen, die nach Definition 7. eine Funktionenfolge {f n } bilden. Für jedes feste x U erhält man eine reelle Zahlenfolge {f n (x)} und definiert: Definition 8.. Punktweise Konvergenz Es sei {f n } wie oben eine Funktionenfolge. Die Folge heißt punktweise konvergent, wenn für jedes x U die reelle Zahlenfolge {f n (x)} konvergiert. Die Grenzfunktion f: U R ist im Fall einer punktweise konvergenten Funktionenfolge für jedes x U definiert durch die Vorschrift f(x) := lim n f n (x). Beispiele. i) Es sei U = (0, ). Für alle n N und für alle x U sei f n (x) = x n. Für fixiertes x U ist im Beispiel die Folge {f n (x)} = {x/n} zu untersuchen:

3 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 63 Für jedes x U konvergiert diese reelle Zahlenfolge im Grenzwert n gegen Null. Demnach konvergiert die Funktionenfolge {f n } punktweise gegen die Grenzfunktion f: U R, f(x) = 0 für alle x U. ii) Wieder sei U = (0, ). Für alle n N und für alle x U sei nun wie in Abbildung 8. angedeutet { n x für 0 < x < /n, f n (x) := 0 für /n x <. Abbildung 8.: Eine Funktionenfolge. Für fixiertes x U gilt in diesem Beispiel für die Zahlenfolge {f n (x)}: Ist n x, so ist f n(x) = 0, d.h. insbesondere für jedes fixierte x U lim f n(x) = 0, n und die Zahlenfolge {f n (x)} konvergiert für alle x U gegen Null. Damit ist wie im ersten Beispiel die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge {f n } gegen die Grenzfunktion f: U R, f(x) = 0 für alle x U, gezeigt.

4 64 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Variable Konvergenzgeschwindigkeit. Im zweiten Beispiel betrachte man die Punkte x x 2 = 0.9 U. = 0. U und Die Folge {f n (x 2 )} ist bereits ab dem zweiten Folgenglied identisch Null, für die Folge {f n (x )} gilt dies erst ab dem zehnten Folgenglied, was bedeutet: Die relle Zahlenfolge {f n (x)} konvergiert für verschiedene x U mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Im Beispiel ist die Situation sogar so, dass die Konvergenzgeschwindigkeit beliebig klein wird, wenn x nahe genug bei der Null liegt. Es gibt keine Mindestgeschwindigkeit für die Konvergenz. Wenn umgekehrt wie im ersten Beispiel für alle x U die Konvergenzgeschwindigkeit der Zahlenfolgen {f n (x)} oberhalb einer gemeinsamen Minimalgeschwindigkeit liegt, dann wird der Abstand zur Grenzfunktion gleichmäßig klein. Das Messinstrument für gleichmäßige Abstände ist die so genannte Supremumsnorm f := sup f(x). x U Bzgl. dieser Norm berechnet sich der Abstand zweier (beschränkter) Funktionen auf U zu f g := sup f(x) g(x). x U Die geometrische Vorstellung. Man betrachte die in Abbildung 8.2 grün dargestellte Funktion g sowie einen Schlauch mit Durchmesser 2ε um diese Funktion (rot skizziert).

5 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 65 Abbildung 8.2: Zum Abstand von Funktionen. Die goldfarbene Funktion h verläuft nicht innerhalb dieses Schlauches, h g > ε. Die blau gekennzeichnete Funktion f verläuft hingegen durchgehend innerhalb des Schlauches mit f g < ε. Gleichmäßige Konvergenz. Definition 8.2. Gleichmäßige Konvergenz Es sei U R und für alle n N sei f n : U R eine beschränkte Funktion. Die Funktionenfolge {f n } heißt gleichmäßig konvergent gegen eine (beschränkte) Grenzfunktion f: U R, wenn Notation: lim f n f = 0. n f n f für n.

6 66 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Zurück zu den Beispielen. i) In ersten Beispiel ist sup f n (x) f(x) = sup x U x (0,) x n 0 n n 0 und die Folge konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion. Abbildung 8.3: Gleichmäßige Konvergenz im ersten Beispiel: Zu jedem ε > 0 liegt für hinreichend großes n die Funktion f n im ε-schlauch um die Grenzfunktion. ii) Im zweiten Beispiel fixiere man ein beliebiges 0 < a <. Für alle n N ist f n (x) f(x) = sup f n (x) 0 x U > f n (( a)/n) 0 = a. Die Funktionenfolge konvergiert nicht gleichmäßig. Weitere Beispiele werden im Übungskapitel 8.4 illustriert.

7 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 67 Abbildung 8.4: Keine gleichmäßige Konvergenz im zweiten Beispiel: Die Funktionen f n liegen nicht im ε-schlauch um die Grenzfunktion. Bemerkung. Aus der Definition folgt unmittelbar, dass gleichmäßige Konvergenz punktweise Konvergenz impliziert. Nach dem letzten Beispiel ist die Umkehrung aber falsch. Analoges für Funktionenreihen. Mit einer Funktionenfolge {f n }, f n : R U R für alle n N, sind für festes x U analog zu Paragraph 7.2 die Partialsummen punktweise definiert. s k (x) := k f n (x), k N, Die Partialsummen dienen für alle k N auch als Abbildungsvorschrift für Funktionen s k : U R.

8 68 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Wie oben betrachtet man nun einerseits für jedes fixierte x U die reelle Zahlenfolge {s k (x)}. Andererseits kann {s k }, s k : U R für alle k N, als Funktionenfolge interpretiert werden. Definition 8.3. Konvergenzen von Funktionenreihen Es sei U R und für alle n N sei f n : U R eine beschränkte Funktion. Die Reihe f n ist die Funktionenfolge {s k }, s k : U R, der Partialsummen und heißt dementsprechend i) punktweise konvergent, wenn die Folge {s k } punktweise gegen eine (beschränkte) Grenzfunktion s: U R konvergiert: s(x) = lim k s k (x) = f n (x) für alle x U ; ii) gleichmäßig konvergent, wenn die Folge {s k } gleichmäßig konvergiert: s k = k f n s für k ; iii) absolut gleichmäßig konvergent, wenn die reelle Zahlenreihe f n konvergiert. 8.2 Potenzreihen (Konvergenzradius; Konvergenzintervall) Als besonders wichtige Vertreter von Funktionenreihen werden nun Potenzreihen vorgestellt. Potenzreihen sind Funktionenreihen mit einer speziellen Struktur. Viele elementare Funktionen sind als Potenzreihe definiert.

9 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 69 Ein typisches Beispiel ist die geometrische Reihe, die oben bereits ausführlich diskutiert ist: Man betrachte für fixiertes x 0 R die Funktionenfolge {(x x 0 ) n }. Die Reihe (x x 0 ) n kann dort, wo sie konvergiert, als Funktion von x angesehen werden, f(x) := (x x 0 ) n. Nach Satz 7.7 konvergiert die Reihe für alle x R mit x x 0 <, sie divergiert für alle x R mit x x 0. Demnach ist U = (x 0, x 0 + ) der Definitionsbereich der Funktion f. Definition 8.4. Potenzreihen Eine Funktionenreihe der Form a n (x x 0 ) n heißt Potenzreihe um den (fixierten) Entwicklungspunkt x 0 R mit den Koeffizienten a n R. Verhalten sich Potenzreihen im Allgemeinen qualitativ ähnlich wie die geometrische Reihe? Das Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe ist in Abbildung 8.5 zusammengefasst: Es gibt ein symmetrisches offenes Intervall um den Entwicklungspunkt, auf dem die Reihe konvergiert. Außerhalb des abgeschlossenen Intervalls divergiert die Reihe. An den Randpunkten muss die Reihe genau

10 70 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Abbildung 8.5: Zum Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe. analysiert werden, um auf Konvergenz bzw. Divergenz schließen zu können. Dieses Verhalten ist charakteristisch für Potenzreihen. Satz 8.. Konvergenzverhalten von Potenzreihen Es seien ein Entwicklungspunkt x 0 R sowie Koeffizienten a n R, n N, fixiert. Zu jeder Potenzreihe a n(x x 0 ) n gibt es eine reelle Zahl ρ 0 mit: i) Im Fall ρ = 0 konvergiert die Reihe nur im Punkt x = x 0, im (formalen) Fall ρ = konvergiert sie für alle x R. ii) Ist 0 < ρ <, so konvergiert die Potenzreihe punktweise für alle x (x 0 ρ, x 0 + ρ) sie konvergiert absolut gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Teilintervall von (x 0 ρ, x 0 + ρ). iii) Ist 0 < ρ <, so divergiert die Potenzreihe außerhalb des abgeschlossenen Intervalls [x 0 ρ, x 0 + ρ]. iv) Die Zahl ρ heißt der Konvergenzradius der Potenzreihe, das Intervall (x 0 ρ, x 0 + ρ) (für ρ > 0) das Konvergenzintervall. v) Mit der formalen Vereinbarung 0 :=, := 0 gilt die Formel von Cauchy-Hadamard n = lim sup an. ρ n

11 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 7 Bemerkungen. i) Die Randpunkte des Konvergenzintervalls sind wie im Beispiel der geometrischen Reihe gesondert zu untersuchen. Hier liefert der Satz keine Aussagen über Konvergenz oder Divergenz der Reihe. ii) Zur Überprüfung der Konvergenz in einem festen Punkt x R können auch die Kriterien aus Kapitel 7.2 auf die reelle Zahlenfolge {b n }, b n := a n (x x 0 ) n, angewandt werden. Beispiele. i) Für die geometrische Reihe ergibt sich nach der Formel von Cauchy- Hadamard wie bereits bekannt ρ =. ii) Man betrachte die Potenzreihe x n n!. Anstelle der Formel von Cauchy-Hadamard kann nach obiger Bemerkung beispielsweise für jedes fixierte x R (o.e. x 0) das Quotientenkriterium aus Satz 7.2 angewandt werden. Es ist mit b n := x n /n! b n+ x n+ n! = b n (n + )! x = x n n + < 2 für alle n > N, falls N > 2 x. Demnach konvergiert die Reihe für jedes fixierte x R (d.h. für alle x R) absolut. Da die Reihe für alle x R konvergiert, gilt in Satz 8. die formale Alternative i) mit ρ =. Weitere Beispiele werden im Übungskapitel 8.4 besprochen. 8.3 Die Exponentialfunktion (Cauchy-Produkt; Logarithmus; allgemeine Potenzfunktion; Umkehrfunktion) Nach dem letzten Beispiel ist wohl definiert:

12 72 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Definition 8.5. Exponentialfunktion Die durch die Potenzreihe exp(x) := x n n! = + x + x2 2! + x3 3! +... definierte Funktion exp: R R heißt Exponentialfunktion. In Kapitel 7. ist die Eulersche Zahl als e := lim n ( + n ) n eingeführt. An dieser Stelle sei an die Identität exp() = n! = e erinnert (vgl. die Diskussion der Eulerschen Zahl in Kapitel 7.). Trotz dieser Gleichheit ist die Beziehung zwischen der oben definierten Funktion exp(x) und der in Kapitel 5.2 kurz vorgestellten (aber nicht definierten!) Funktion e x noch keineswegs geklärt. Der Schlüssel zum Verständnis ist die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Die Frage exp(x) exp(y)? = exp(x + y) kann aber nicht ohne die Frage nach dem Produkt von Reihen beantwortet werden.

13 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 73 Dazu betrachte man zwei absolut konvergente reelle Zahlenreihen a n und b n. Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen ist gegeben durch ( ) ( ) ( n ) a n b n = a k b n k k=0 = a 0 b 0 + (a 0 b + a b 0 ) +(a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 ) +... und insbesondere ist die Reihe auf der rechten Seite absolut konvergent. Satz 8.2. Funktionalgleichung von exp Für alle x, y R gilt exp(x + y) = exp(x) exp(y). Beweis. Die absolute Konvergenz aller vorkommenden Reihen ist bereits gezeigt. Das Cauchy-Produkt der Reihen und der binomische Lehrsatz 2.2 liefern was zu beweisen war. exp(x) exp(y) = = = = ( ( n x n ) ( n! k=0 ( n n! y n ) n! x k y n k k! (n k)! k=0 ( n k (x + y)n n! = exp(x + y), ) ) ) x k y n k

14 74 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Aus der Funktionalgleichung folgt beispielsweise exp(x) exp( x) = exp(x + ( x)) = exp(0) =, d.h. exp( x) = exp(x). Mithilfe der Definition, der Funktionalgleichung und der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe kann weiter gezeigt werden, dass die Exponentialfunktion eine streng monoton wachsende, bijektive Funktion exp: R R + ist. Der natürliche Logarithmus als Umkehrfunktion. Da die Exponentialfunktion bijektiv ist, existiert ihre Umkehrfunktion. Auch wenn die Funktionen exp(x) und e x noch nicht miteinander identifiziert sind, wird für die Umkehrfunktionen bereits dasselbe Symbol verwendet. Definition 8.6. Natürlicher Logarithmus Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp: R (0, ) heißt natürlicher Logarithmus, ln: (0, ) R, x ln(x). Eigenschaften. i) Nach Definition gilt exp(ln(x)) = x für alle x > 0 und ln(exp(x)) = x für alle x R. ii) Es gilt ln() = 0, ln(e) =, ln(x) ist streng monoton wachsend. iii) Aus Satz 8.2 folgt für alle positiven x, y exp(ln(x y)) = x y = exp(ln(x)) exp(ln(y)) = exp(ln(x) + ln(y)),

15 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 75 also die Funktionalgleichung des Logarithmus ln(x y) = ln(x) + ln(y) sowie ln(x/y) = ln(x) ln(y), ln(/x) = ln(x). Die allgemeine Exponentialfunktion. Motiviert durch die Funktionalgleichung, lässt sich über den natürlichen Logarithmus schließlich die allgemeine Exponentialfunktion einführen. Definition 8.7. Allgemeine Exponentialfunktion Es sei a > 0 fixiert. Dann heißt die Funktion f: R (0, ), f(x) := a x := exp(x ln(a)) allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a. Ist a, so ist diese Funktion ist bijektiv und es existiert eine Umkehrfunktion, die Logarithmus zur Basis a heißt, log a : (0, ) R, x log a (x). Eigenschaften. i) Es folgen unmittelbar die Regeln a x+y = a x a y, a x = a x, (ax ) y = a x y, a 0 =, wobei aus der ersten Regel für n N induktiv folgt a n = a } a {{... a}, n-mal

16 76 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion die Definition beinhaltet also die anschauliche Definition einer Potenz mit natürlichem Exponenten. ii) a /n stimmt mit der bekannten n-ten Wurzel n a überein: ( a /n ) n = exp(n ln(a /n )) = exp(n ln(exp[(/n) ln(a)])) = exp(ln(exp n [(/n) ln(a)])) = exp(ln(exp[ln(a)])) = exp(ln(a)) = a. iii) Es gilt exp(x) = e x, da e x = exp(x ln(e)) = exp(x ln(exp())) = exp(x). Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass mit Einführung der Exponentialfunktion als Potenzreihe tatsächlich eine wohl definierte Abbildungsvorschrift gefunden ist, auf deren Basis alle in Kapitel 5.2 heuristisch diskutierten Eigenschaften verifiziert sind. Trigonometrische und Hyperbelfunktionen als Potenzreihen. Eng verwandt mit der Exponentialfunktion sind die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sowie die Hyperbelfunktionen Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus. Diese sind als reelle Funktionen wie folgt definiert: sin(x) := cos(x) := ( ) n (2n + )! x2n+, ( ) n (2n)! x2n,

17 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 77 sinh(x) := cosh(x) := (2n + )! x2n+, (2n)! x2n. Die enge Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion und der Vergleich der trigonometrischen Funktionen mit den elementargeometrisch eingeführten (vgl. Kapitel 5.3) wird aber erst im Komplexen wirklich offensichtlich, sodass an dieser Stelle lediglich auf die Diskussion komplexer Potenzreihen verwiesen wird. 8.4 Übungsaufgaben zu Kapitel 8 Aufgabe.* Für alle n N sei i) f n : [0, /2] R, f n (x) := x n, ii) g n : R R, g n (x) := ( + x 2n ), iii) h n : R R, h n (x) := (nx)2 + (nx) 4. Sind die Folgen punktweise konvergent? Wenn ja, wie lautet der Grenzwert? Sind die Folgen gleichmäßig konvergent? Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass ein Cauchy-Kriterium zur Überprüfung gleichmäßiger Konvergenz gilt ( f n f m < ε für n, m hinreichend groß). Aufgabe 3. Zeigen Sie: i) Eine Funktionenreihe ist absolut gleichmäßig konvergent, wenn es ein n 0 N gibt, so dass für alle n n 0 gilt f n a n, wobei a n konvergiere.

18 78 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion ii) Absolut gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz. Aufgabe 4.* Für welche x R konvergieren jeweils die Potenzreihen i) n 2(x )n, ii) n (x )n, iii) n(x ) n? Aufgabe 5.* Für eine reelle Zahlenfolge {x n } setzt man (anlog der Fall ): lim n x n = : Zu jedem M > 0 existiert ein N N, sodass M < x n für alle n > N. i) Es sei k N 0 fixiert. Zeigen Sie für eine reelle Zahlenfolge {x n } mit lim n x n = : (a) exp(x n ) > xk+ n (k + )! ; (b) lim n x k n exp(x n ) = ; (c) lim n x k n exp( x n ) = 0. ii) Für alle α > 0 gilt lim n ln(n) n α = 0. Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben. Aufgabe. i) Es ist sup f n (x) 0 = 2 n n 0, x [0,/2] die Folge konvergiert punktweise und gleichmäßig gegen die Funktion f 0 (vgl. Abbildung 8.6). f 0 bedeutet f(x) = 0 für alle x aus dem Definitionsbereich.

19 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 79 Abbildung 8.6: Die Funktionen f n (x). ii) Für < x < gilt und folglich Für x = ± ist g n (x) = x 2n n 0 + x 2n n. g n (x) = 2 und für x > gilt g n (x) n 0. Die Folge ist punktweise konvergent mit Grenzwert (vgl. Abbildung 8.7), falls x <, g(x) = /2, falls x =, 0, falls x >. Aber für jedes n N wähle man z.b. ( ) /(2n) 0 < x = <, 3

20 80 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Abbildung 8.7: Die Funktionen g n (x). sodass d.h. es gilt g n (x) g(x) = + [ ] 2n (/3) /2n = 4, g n (x) g(x) 0 für n, die Funktionenfolge ist nicht gleichmäßig konvergent. iii) Die Folge konvergiert punktweise gegen h 0: Ist nämlich x = 0, so ist h n (x) = h n (0) = 0 für alle n N. Ist x 0 fixiert, so gilt (nx) 2 + (nx) = n x n + x 4 4 n 0. Die Folge ist aber nicht gleichmäßig konvergent (siehe Abbildung 8.8), da für alle n N h n (/n) = 2.

21 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 8 Abbildung 8.8: Die Funktionen h n (x). Aufgabe 4. In allen drei Beispielen ist ρ = lim sup n n an = lim n a n =. n Folglich konvergieren die Reihen für alle x (0, 2), für x < 0 und für x > 2 divergieren die Reihen. Zu untersuchen bleibt das Verhalten in den Punkten x = 0 und x = 2: i) (a) x = 0: Die Reihe n 2(0 )n = n 2( )n konvergiert nach dem Kriterium von Leibniz (Satz 7.0) bzw. wegen der Konvergenz von /n2 nach dem Majorantenkriterium (Satz 7.). (b) x = 2: Die Reihe n 2(2 )n = n 2 konvergiert ebenfalls nach dem Majorantenkriterium.

22 82 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion ii) (a) x = 0: Die Reihe n (0 )n = n ( )n konvergiert nach dem Kriterium von Leibniz (Satz 7.0). (b) x = 2: Die Reihe n (2 )n = ist die bekannte divergente harmonische Reihe. iii) (a) x = 0: Die Folgenglieder der Reihe n n(0 ) n = n( ) n sind keine Nullfolge. Somit kann die Reihe nach dem Kriterium von Cauchy II (siehe Satz 7.9 und direkte Konsequenz) nicht konvergieren. (b) x = 2: Die Folgenglieder der Reihe n(2 ) n = n bilden ebenfalls keine Nullfolge, die Reihe divergiert. Aufgabe 5. i) (a) Für hinreichend großes n sind alle Folgenglieder x n positiv und die Aussage folgt unmittelbar aus der Reihendarstellung exp(x) = j=0 x j j! der Exponentialfunktion durch Weglassen aller Terme mit j k +.

23 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 83 (b) Nach (a) ist für jedes M > 0 und für alle n > N (N hinreichend groß) exp(x n ) x k n > x n (k + )! > M (k + )!. Da k fixiert ist kann man zu jedem M > 0 ein hinreichend großes M wählen (M > M(k + )!), sodass exp(x n ) x k n > M für alle n > N. Das ist aber gerade die Behauptung. (c) Die Aussage folgt aus (b) mittels Kehrwertbildung. ii) Die Behauptung ist eine direkte Folgerung aus i).

24 84 Kapitel 8. Funktionenfolgen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

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