Einleitung Grundbegriffe Stichprobe oder Totalerhebung Grundgesamtheit Auswahlgesamtheit und Stichprobe Zufallsstichproben. Stichprobenziehung

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1 Universität Bielefeld 7. April 2005

2 Einleitung Einfache Komplexe

3 Einleitung Die Berücksichtigung aller Untersuchungseinheiten ist in der Regel zu kosten- und zeitaufwändig. Daher beschränkt man sich auf eine gewisse Anzahl von Untersuchungseinheiten, den Stichproben, um Aussagen über Sachverhalte in der interessierenden Gesamtheit treffen zu können. Die hängt unmittelbar mit der Wahrscheinlichkeitstheorie zusammen: 1. Die Wahrscheinlichkeitstheorie läßt Angaben über die Wahrscheinlichkeit der Zusammensetzung einer Stichprobe zu. 2. Bei der Generalisierung von Stichprobendaten können Angaben über die Wahrscheinlichkeit getroffen werden, mit der Kennwerte in der Population abgebildet werden können.

4 (Population): Elemente bzw. Personen, auf die sich Aussagen einer statistischen Analyse beziehen. Die ist sowohl sachlich als auch räumlich und zeitlich exakt zu definieren. In den meisten Fällen ist es aus zeitlichen und finanziellen Gründen nicht möglich, alle Einheiten der zu erheben (Totalerhebung). Man wird sich daher auf eine Auswahl (Stichprobe) beschränken, die auch häufig sehr viel intensiver und präziser als eine Totalerhebung durchgeführt werden kann. Beispiel: Wählerbefragung - sämtliche Wahlberechtigte der Stadt Köln / des Landes NRW / der BRD.

5 Parameter der : µ: Mittelwert σ 2 : Varianz σ: Standardabweichung, π (manchmal auch θ): Anteilswert N: Fallzahl in der

6 Stichprobe (Sample): Auswahl von Elementen bzw. Personen der Gesamtheit. Eine Stichprobe soll ein möglichst repräsentatives Bild der liefern. Handelt es sich um eine Zufallsstichprobe, bei der die Erhebungseinheiten nach dem Zufallsprinzip ausgewählt wurden, dann können die Schätzverfahren und Hypothesentests der schließenden Statistik angewendet werden. Beispiel: Stichprobe von Wählern.

7 Parameter der Stichprobe: x: Mittelwert s: Standardabweichung s 2 Varianz p: Anteilswert n: Stichprobenumfang

8 Erhebungseinheiten: Elemente der Population, auf die sich die Auswahl bezieht und die überhaupt eine Chance haben, in die Stichprobe aufgenommen zu werden. Stichprobenverfahren: Vorschrift, die festlegt, in welcher Weise Elemente der ausgewählt werden. 1. Zufallsauswahl: Resultat einer Zufallsauswahl sind. 2. Bewußte Auswahl: Quotenstichproben 3. Willkürliche Auswahl: Psychologische Experimente Stichprobenumfang: Anzahl der ausgewählten Elemente, die in der Regel mit N bezeichnet werden.

9 Uns interessiert ein Kennwert einer Gesamtheit, z.b. das durchschnittliche Nettoeinkommen der Haushalte in Bielefeld. 1. Totalerhebung: Man kann alle Bielefelder Haushalte nach ihrem Nettoeinkommen fragen und dann den Mittelwert berechnen. 2. Stichprobe: Man kann einige Bielefelder Haushalte auswählen und diese über ihr Nettoeinkommen befragen. Wenn die Haushalte nach bestimmten Regeln ausgewählt werden, können wir anschließend mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auf das mittlere Nettoeinkommen aller Bielefelder Haushalte schließen.

10 Die Totalerhebung hat den Vorteil, dass die gesuchten Kennwerte genau angegeben werden können. Beispiel: Das mittlere Haushaltsnettoeinkommen in Bielefeld beträgt X Euro. Bei einer Stichprobe würde das Ergebnis komplizierter ausfallen. Beispiel: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt das Haushaltsnettoeinkommen in Bielefeld in einem Intervall von X Euro ± Y Euro. Aufgrund der Stichprobenerhebung weist das Ergebnis ein Unsicherheitsintervall aus.

11 Warum wird dann nicht in jedem Fall eine Totalerhebung durchgeführt? Vorteile von Stichprobenerhebungen: Sie sind billiger als Totalerhebungen. Die Ergebnisse stehen bei Stichprobenerhebungen schneller zur Verfügung als bei Totalerhebungen. Bei Stichprobenerhebungen ist eine geringere Größe des Mitarbeiterstabes notwendig als bei Totalerhebungen. Die Mitarbeiter können dafür spezieller geschult werden. Es ist bei Stichprobenerhebungen ein besserer Umgang mit Ausfällen, z.b. aufgrund von Nichterreichbarkeit der zu Befragenden, möglich als bei Totalerhebungen.

12 Nachteile von Stichprobenerhebungen: Bei verhältnismäßig kleinen Gesamtheiten, zum Beispiel vom Umfang N = 300, ist es in der Regel wenig sinnvoll, eine Stichprobe zu ziehen. Eine Totalerhebung ist vorteilhafter, wenn Aussagen zu kleinen Subpopulationen innerhalb der Gesamtheit getroffen werden sollen. Diese sind bei einer Stichprobenerhebung wesentlich unpräziser als bei einer Totalerhebung. In gewissen Fällen verbietet sich eine Stichprobenerhebung und die Totalerhebung ist die einzige Möglichkeit. Dies gilt z.b. für so genannte Rückrufaktionen bei Autos.

13 Die Menge aller Elemente, für die die aus der Stichprobe gewonnenen Aussagen gültig sein sollen, bezeichnet man als oder Untersuchungsgesamtheit. Die muss zu Beginn der Untersuchung sachlich, räumlich und zeitlich abgegrenzt werden. Beispiel: In einer Erhebung sollte festgestellt werden, wie sich die Änderung des Gesetzes über den Erziehungsurlaub aus dem Jahr 1986 auf die Berufsverläufe von Frauen in Deutschland ausgewirkt hat.

14 sachliche Abgrenzung: alle deutschsprachigen Frauen außer Auszubildende, Schülerinnen und Studentinnen. räumliche Abgrenzung: alle deutschsprachigen Frauen, die in der Bundesrepublik Deutschland in Privathaushalten leben. zeitliche Abgrenzung: alle deutschsprachigen Frauen, die seit dem ein Kind bekommen bzw. adoptiert haben.

15 Existiert eine Liste, auf der die Elemente der akzeptabel verzeichnet sind: Hinreichende Aktualität der Liste Beispiel: Einwohnermelderegister der Gemeinden haben in der Regel ein timelag, d.h. enthalten Fehler in Bezug auf mobile Personen, Geburten und Sterbefälle. Trotzdem sind die Register eine häufig verwendete Auswahlgrundlage, da eine bessere Liste nicht verfügbar ist. Jedes Mitglied der ist einmal und nur einmal aufgeführt, d.h. die Liste weist weder overcoverage noch undercoverage auf: overcoverage: Es sind Elemente enthalten, die nicht zur gehören. undercoverage: Es sind Elemente nicht enthalten, die zur gehören.

16 Die Liste ist für die Erhebung zugänglich und ihre Nutzung ist nicht zu teuer. Beispiel Einwohnermelderegister: Die Untersuchung muss im öffentlichen Interesse liegen. Das Untersuchungsinstitut hat eine gültige Unbedenklichkeitsbescheinigung. Die Preise für Stichproben aus Einwohnermelderegistern sind jeweils von den Bundesländern festgelegt und unterscheiden sich stark.

17 Die Auswahlgesamtheit besteht aus allen Einheiten, aus denen die Stichprobe tatsächlich ausgewählt wird. Die Auswahlgesamtheit ist die Grundlage für die. Auswahlgesamtheit und sind selten identisch. Existieren systematische Abweichungen zwischen Auswahlund? Abschätzung des Umfangs der vor Beginn der Untersuchung, um beurteilen zu können, ob eine Stichprobenerhebung überhaupt sinnvoll ist. Sichtung von Materialien über die (z. B. Mikrozensusdaten)

18 Umfrageergebnis und tatsächliches Ergebnis der Bundestagswahl 1994 Partei FG Wahlen Amtl. Ergebnis CDU/CSU 42.5% 41.5% SPD 35.5% 36.4% FDP 7.0% 6.9% B90/Grüne 8.0% 7.3% PDS 3.5% 4.4% REP 2.0% 1.9% N=1.250 N=

19 Einleitung Einfache Komplexe Eine wird als zufällig bezeichnet, wenn jede Einheit der Auswahlgesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, in die Stichprobe zu gelangen. Ein wesentlicher Vorteil von Zufallsauswahlen besteht darin, daß sich angeben läßt, wie Stichprobenergebnisse vom wahren Wert der Auswahlgesamtheit abweichen. Es werden folgende Verfahren unterschieden: 1. Einfache 1.1 Reine Zufallsstichprobe 1.2 Systematische Zufallsstichprobe 2. Komplexe 2.1 Geschichtete Stichprobe 2.2 Klumpenstichprobe 2.3 Mehrstufige Stichproben

20 Einfache Komplexe Wahl des Designs/Wahl des Erhebungsmodus Wahl des Designs systematisch geschichtet - proportional - disproportional Wahl des Erhebungsmodus schriftlich persönlich-mündlich telefonisch /Internet

21 Einfache Komplexe Wenn eine akzeptable Liste mit den Elementen der Auswahlgesamtheit vorliegt, wird aus dieser uneingeschränkt ausgewählt. Wenn Zusatzinformationen zur Verfügung stehen, kann auch geschichtet ausgewählt werden. Dabei spielt der Erhebungsmodus keine Rolle. Wenn keine Liste vorliegt, die für die Auswahl geeignet ist, muss auf andere Konstruktionen zurückgegriffen werden. Diese kann beispielsweise in einer mehrstufigen Flächenstichprobe mit Random-Route-Elementen bestehen. Random-Route setzt die Vorgabe von Startadressen voraus.

22 Einfache Komplexe Beispiel für Random-Route: Gehen Sie von der Startadresse bis zur nächsten Kreuzung, dann rechts abbiegen und dann wieder links. Notieren Sie auf dem Weg jeden sechsten Haushalt. Adressermittlung und Interviews werden von verschiedenen Personen durchgeführt: Adressandom

23 Einfache Einfache Komplexe Man zieht eine einfache Zufallstichprobe, indem man aus einer vollständigen Liste aller Objekte der Zielpopulation nach dem Zufallsprinzip eine Anzahl von Objekten auswählt, wobei die Auswahlwahrscheinlichkeiten aller Objekte gleich groß sein müssen. Bei der Auswahl von Einheiten aus einer Gesamtheit ist es von Vorteil, wenn diese Einheiten nach einem Wahrscheinlichkeitsgesetz gezogen werden, da sich dann statistisch gesicherte Aussagen über interessierende Parameter der Gesamtheit machen lassen.

24 Reine Zufallsstichprobe Einleitung Einfache Komplexe Ausgangspunkt ist folgenden Situation: Es ist eine Einheit der vom Umfang N auszuwählen und die Auswahl für jede Einheit ist gleich, d. h. 1/N. Die Durchführung der Ziehung kann über ein Zufallsexperiment realisiert werden. Wiederholt man dieses Zufallsexperiment n mal unabhängig und hält die ausgewählten Einheiten in einem Vektor fest, so erhält man Ziehungsergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Dieses Stichprobendesign wird auch als uneingeschränkte Zufallsauswahl mit Zurücklegen bezeichnet.

25 Beispiel: Einleitung Einfache Komplexe Es existiert eine mit vier Elementen: {1, 2, 3, 4} Es sollen zwei Elemente ausgewählt werden. Es existieren insgesamt 6 mögliche Stichproben: 4! 2! (4 2)! (1) Die Wahrscheinlichkeit, daß eine bestimmte Stichprobe realisiert wird, beträgt ein 1/6.

26 Systematische Zufallsstichprobe Einfache Komplexe Bei einer systematischen Zufallsstichprobe wird das erste Element per Zufall ermittelt. Ausgehend von diesem Element werden alle weiteren Elemente systematisch ausgewählt. Damit gelangt jedes k-te Element in die Stichprobe. Mit k wird das Stichprobenintervall gekennzeichnet. k = Auswahlgesamtheit Stichprobe (2)

27 Beispiel: Einleitung Einfache Komplexe Es existiert eine Auswahlgesamtheit von Personen. Es soll eine Stichprobe von 500 Personen gezogen werden. k = = 40 (3) 500 Jede 40. Person gelangt in die Stichprobe.

28 Komplexe Einfache Komplexe Wenn keine Ausflistung der Auswahlgesamtheit vorliegt, dann verwendet man komplexe. Hierzu gehören geschichtete Stichproben, die Klumpenstichprobe und sogenannte mehrstufige Stichprobenverfahren.

29 Geschichtete Stichprobe Einleitung Einfache Komplexe Zur Ziehung einer geschichteten Stichprobe werden die Elemente der Auswahlgesamtheit bezüglich des interessierenden Merkmals in Schichten eingeteilt. Aus diesen Schichten werden dann Zufallstichproben gezogen. Bezeichnet man mit N(h) den Umfang der Auswahlgesamtheit und mit n(h) den Umfang der Stichprobe der h-ten Schicht (h = 1,..., H), so wird das gewogene arithmetische Mittel der Stichprobenmittel ȳ(h) zur Schätzung verwendet: ȳ str = H h=1 N(h) ȳ(h) (4) N

30 Einfache Komplexe Für die Varianz des geschichteten Schätzers kann folgende Funktion angegeben werden: s 2 str = H ( ) N(h) 2 s 2 (h) N n(h) h=1 ( 1 n(h) 1 ) N(h) 1 Ein 95%-Konfidenzintervall kann damit für den Mittelwert Ȳ der angegeben werden: [ ] ȳ str 1.96 sstr 2 ; ȳ str sstr 2 (6) Je größer die Homogenität der Auswahlgesamtheit, desto kleiner der Stichprobenfehler. (5)

31 Einfache Komplexe Proportional geschichtete Stichprobe: Die Größe der Stichprobe einer Schicht wird entsprechend ihres Anteils an der Auswahlgesamtheit ausgewählt. Beispiel: Die Anteil der Arbeiter in der Stichprobe entspricht dem Anteil in der Auswahlgesamtheit. Disproportional geschichtete Stichprobe: Die Größe der Stichprobe einer Schicht wird überproportional zum Anteil an der ausgewählt. Beispiel: Die Anteil der Ostdeutschen in der Stichprobe ist höher als der Anteil der Westdeutschen.

32 Klumpenstichprobe Einleitung Einfache Komplexe Eine Klumpenstichprobe ist möglich, wenn die in mehrere Teile (auch Klumpen genannt) zerlegt werden kann. Im einfachsten Fall besteht sie aus zwei Stufen: 1. Aus allen Klumpen werden in einer uneingeschränkten Zufallsauswahl einzelne ausgewählt. Die Anzahl der ausgewählten Klumpen ist der erste Stichprobenumfang. 2. Sämtliche Einheiten (Personen) der ausgewählten Klumpen werden erfasst. 3. Die Anzahl der ausgewählten Einheiten ist der zweite Stichprobenumfang. Dieser Stichprobenumfang ist der eigentliche Umfang einer Klunpenstichprobe. 4. Die Auswahl bezieht sich nicht auf Untersuchungseinheiten, sondern auf Aggregate von Untersuchungseinheiten (Klumpen).

33 Vorteil der Klumpenstichprobe: Einfache Komplexe Es ist nur eine umfassende Auswahlgrundlage für die Klumpen, nicht aber für die Gesamtheit aller Untersuchungseinheiten erforderlich. Bei organisatorischen und geographischen Abgrenzungen der Klumpen ist eine kostengünstige Erhebung der Einheiten möglich. Der Idealfall liegt vor, wenn alle Klumpen gleich groß sind und die Heterogenität der wiedergeben. Nachteil der Klumpenstichprobe: Je stärker sich die Klumpen in ihrer Größe unterscheiden und je homogener sie in Bezug auf das Untersuchungsmerkmal sind, desto größer ist der Schätzfehler. Dies wird auch als Klumpeneffekt bezeichnet.

34 Mehrstufige Stichproben Einleitung Einfache Komplexe Erstreckt sich eine Zufallsauswahl über mehrere Ebenen, dann wird von einer mehrstufigen Zufallsauswahl gesprochen. Mehrstufige Stichproben sind eine Reihe nacheinander durchgeführte einfache Zufallsauswahlen. 1. Stufe: Stichprobe von Primäreinheiten (regionale Einheiten) 2. Stufe: Stichprobe von Sekundäreinheiten aus den Primäreinheiten 3. Stufe: Stichprobe von Untersuchungseinheiten aus den Sekundäreinheiten Geschichtete Zufallsauswahl und Klumpenauswahl sind zwei Spezialfälle mehrstufiger Stichproben.

35 Beispiel: des ALLBUS 1998 Einfache Komplexe Stufe: zufällig ausgewählte Stimmbezirke Stufe: zufällig ausgewählte Haushalten in den jeweiligen Stimmbezirken (Random-Route) Stufe: zufällig ausgewählte Befragungsperson aus den ausgewählte Haushalten (Schwedenschlüssel)

36 Einfache Komplexe Die Primäreinheiten (Stimmbezirke) haben bei mehrstufigen Auswahlverfahren immer unterschiedlich viele Elemente. Elemente aus größeren Primäreinheiten beitzen damit eine niedrigere Auswahlwahrscheinlichkeit als Elemente aus kleineren Primäreinheiten. Wenn die Primäreinheiten unterschiedlich groß sind, müssen diese mit einer Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden, die proportional zu ihrer Größe ist. Hierzu existiert das sogenannte PPS-Design (probability proportional to size).

37 Beispiel für ein PPS-Design Einfache Komplexe 1. Es werden 200 Blocks mit Auswahlwahrscheinlichkeiten proportional zu ihrer Größe (Anzahl der Haushalte im Block) ausgewählt. Die Ziehungswahrscheinlichkeit ist: p = n Block n HH/Block n HH/Stadt (7) n Block ist die Anzahl der auszuwählenden Blocks, n HH/Block is die Anzahl der Haushalte im Block und n HH/Stadt als Anzahl der Haushalte der Stadt. Bei einem Block mit 100 Haushalten ergibt sich folgende Ziehungswahrscheinlichkeit: p = = 0.2 (8)

38 Einfache Komplexe Bei einem Block mit 400 Haushalten ergibt sich folgende Ziehungswahrscheinlichkeit: p = = 0.8 (9) Aus jedem Block werden 5 Haushalte ausgewählt. Bei 100 Haushalten ist die Ziehungswahrscheinlichkeit: 5/100 = Bei 400 Haushalten ist die Ziehungswahrscheinblichkeit: 5/400 = Werden die Wahrscheinlichkeiten aus der 1. Stufe und der 2. Stufe miteinander multipliziert, dann ergibt sich die tatsächliche Auswahlwahrscheinlichkeit: p = = = 0.01 (10)

39 ADM-Stichproben-System Einleitung Einfache Komplexe Die Arbeitsgemeinschaft Deutscher Markt- und Sozialforschungsinstitute e.v. (ADM) verwendet für persönlich-mündliche Bevölkerungsbefragungen der Markt-, Mediaund Sozialforschung, in der Regel ein speziell entwickeltes Design, das sogenannte ADM-Design. Es handelt sich dabei um eine dreistufige, geschichtete Zufallsauswahl, die zur Repräsentation der Wahlberechtigten, die in Privathaushalten identifiziert werden können, geeignet ist.

40 Einfache Komplexe 1. Stufe: Die Wahlbezirke werden nach Kreisen und Gemeindegrößenklassen geschichtet. Dabei entstehen in Westdeutschland 3280 Zellen, in Ostdeutschland Aus dem Schichttableau werden dann mit der Wahrscheinlichkeit proportional zur (geschätzten) Anzahl der Privathaushalte Wahlbezirke ausgewählt. Anschließend werden diese in möglichst überschneidungsfreie und kumulierbare Teilstichproben (sog. Netze) zerlegt und an die einzelnen Institute des ADM ausgegeben. Ein Netz umfasst 210 Sample Points in Westdeutschland und 48 Sample Points in Ostdeutschland.

41 Einfache Komplexe 2. Stufe: Anschließend werden die Haushalte gesucht, in denen schließlich die Zielperson zu ermitteln ist. Die Interviewer erhalten dazu eine vorgegebene Begehungsvorschrift. Ihnen obliegt es nun, beginnend an einer vorgegebenen Startadresse eine bestimmte Zahl von Haushalten entlang dieses Weges aufzulisten. Beim sogenannten Adressvorlaufverfahren erfolgen Begehung und Befragung getrennt. Hier wird die Liste der Haushalte dem Institut übergeben, das eine Zufallsauswahl der Zielhaushalte vornimmt. Der Interviewer bekommt damit die Haushaltsadressen vorgegeben, bei denen eine Befragung durchzuführen ist. 3. Stufe: In der letzten Auswahlstufe werden schließlich die zu befragenden Personen ermittelt. Diese Auswahl erfolgt erst während der Feldarbeit. Dazu wird der sogenannte Schwedenschlüssel verwendet.

42 Einwohnermeldeamtsstichproben Einfache Komplexe Das derzeitig qualitativ hochwertigste Design für bundesweite Bevölkerungsumfragen in Deutschland ist die Einwohnermeldeamtstichprobe, die auf einem geschichteten, zweistufigem Zufallsverfahren basiert. Da in Deutschland kein zentrales Einwohnerregister besteht, sondern die Register auf Gemeindeebene organisiert sind, muss in einem ersten Schritt eine Auswahl von Gemeinden erfolgen.

43 Einfache Komplexe Beispiel: Konstruktion der Einwohnermeldeamtsstichprobe für den European Social Survey 2003 dieser Untersuchung waren alle Personen im Alter von 15 Jahren und älter, die in Deutschland in Privathaushalten leben. Für Ost- und Westdeutschland wurde ein disproportionaler Stichprobenansatz gewählt: 1000 Interviews in Ostdeutschland und in 2000 Interviews in Westdeutschland. Zunächst wurden die Gemeinden nach Kreisen und Gemeindegrößenklassen geschichtet. Dabei ergaben sich Schichtzellen in West- und 435 Schichtzellen in Ostdeutschland.

44 Einfache Komplexe In der ersten Auswahlstufe wurden aus diesen Schichten 100 Gemeinden in West- und 50 Gemeinden in Ostdeutschland proportional zur Bevölkerungszahl 15 Jahre und älter ausgewählt. Die Zahl der Sample Points in Westdeutschland beträgt 108, in Ostdeutschland 55. In der zweiten Auswahlstufe wird in den entsprechenden Einwohnermeldeämtern für jeden Sample Point per systematischer Zufallsauswahl eine feste Zahl von Personen gezogen.