Bildentstehung bei Julia-, Mandelbrotmenge und Newtonfraktal

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1 Bildentstehung bei Julia-, Mandelbrotmenge und Newtonfraktal Christoph Reinisch Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Juliamenge 5 3 Mandelbrotmenge 10 4 Newtonfraktal 11 1

2 1 Einleitung Wahrscheinlich hat jeder schon Bilder von Julia- und Mandelbrotmengen gesehen. Hier werden wir uns mit der dahinterliegenden Mathematik beschäftigen. Abbildung 1: Juliamenge mit c = i Wir wiederholen zu Beginn kurz die komplexen Zahlen und die Iteration, außerdem führen wir Funktionen mit komplexem Argument ein. 1.1 Komplexe Zahlen Eine kurze Zusammenfassung der Rechenregeln mit komplexen Zahlen: Benötigte Rechenregeln Wir verwenden 2 komplexe Zahlen z 1 = a+bi und z 2 = c+di, dann gelten folgende Rechenregeln: Addition: z 1 + z 2 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (1) Multiplikation: (a+bi) (c+di)=(ac bd)+(ad+ bc)i (2) Betrag: z 1 = a 2 + b 2 (3) Abstand: z 1 z 2 = (a c) 2 +(b d) 2 (4) Um davon ein Bild zu bekommen, kann man komplexe Zahlen mit Punkten im 2-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem identifizieren: Komplexe Zahlenebene Ist z=a+bi eine komplexe Zahl, dann bezeichnen wir a als Realteil Re(z) von z und b als Imaginärteil Im(z) von z und identifizieren die x-achse mit Re(z) und die y-achse mit Im(z). Die Zahlenebene bezeichnen wir dann als komplexe oder gaußsche Zahlenebene. 2

3 Dadurch kann man die Rechenoperationen in C auch geometrisch interpretieren: Die Addition entspricht der gewöhnlichen Vektoraddition. Die Multiplikation entspricht einer Drehstreckung. Die Betragsbildung entspricht dem Abstand vom Nullpunkt Im 2 z 3 = z 1 + z 2 z 2 z 1 z 1 z z z z 1 z Re 1 Abbildung 2: Geometrische Interpretation der Addition z 3 = z 1 z 2 z 3 = z Im z 1 = z 2 =1.6 z Re Abbildung 3: Geometrische Interpretation der Multiplikation Aufgabe 1.1. Multipliziere (1 i)(1+i) und (1+i)(2+2i), und zeichne die Zahlen in die komplexe Zahlenebene. 1.2 Funktionen mit komplexem Argument Im Komplexen lässt sich mit Funktionen, zumindest für Polynome, für die wir uns hier interessieren, genauso rechnen wie in R. 3

4 Beispiel 1.2. f(z)=z 2 : f(1)=1; f(1 i)=(1 i)(1 i)= 2i Aufgabe 1.3. Berechne für die Funktion f(z) = z 2 + z die Funktionswerte für z = 1, z = 1+i, z = 2i und z=1 i! Auch die Ableitungsregeln bleiben, zumindest für Polynome, dieselben. 1.3 Iteration Unter einer Iteration versteht man die mehrmalige Anwendung einer Funktion auf das Ergebnis der letzten Anwendung. Beispiel 1.4. Newtonverfahren: x n+1 = x n f(x n ) mit f(x) = p(x) p (x) wobei p(x) eine Polynomfunktion ist. Dieses Verfahren wird zur Bestimmung von Nullstellen von Funktionen angewendet. Aufgabe 1.5. Führe die ersten 4 Iterationen des Newtonverfahrens für p(x)= x 3 +1 mit dem Startwert x 0 = 0.5 aus. 4

5 2 Juliamenge Bevor wir definieren, was eine Juliamenge ist, sehen wir uns an, was bei einer einfachen Funktion mit der Iteration passiert! Öffne dazu GeoGebra! Aufgabe 2.1. Gegeben ist die Funktion f(z)= z 2 und die Iteration z n+1 = f(z n ), also z n+1 = z 2 n. 1. Gib in die Eingabezeile z 0 = i (Tipp: Gib z_0= i ein!) ein. GeoGebra weiß automatisch, dass du einen Punkt in der komplexen Zahlenebene meinst, wie du der Algebra- Ansicht entnehmen kannst. 2. Führe die erste Iteration aus. Gib dazu z 1 = z 2 0 in die Eingabezeile ein. (Tipp: Gib z_1=z_0^2 ein!) 3. Verwende die Werkzeug Verschiebe Zeichenblatt und Vergrößere um ungefähr den Zahlenbereich [-2,2] auf der reelen Achse (x-achse) einzustellen. 4. Führe noch 5 weitere Iterationen auf die selbe Weise wie in 2) durch. (Tipp: z 2 = z 2 1,... ) 5. Sieh dir nun die Punkte z 0 bis z 6 an, was stellst du fest? (Notiere hier!) 6. Verschiebe den Punkt z 0. Wie verändert sich die Iteration? Was stellst du fest? 7. Gib in die Eingabezeile x 2 + y 2 = 1 ein. Es erscheint ein Kreis mit Radius 1 - kannst du deine Vermutung dadurch präzisieren? (Tipp: Stelle dazu z 0 auf z.b.: i ein.) 8. Speichere die GeoGebra-Datei unter Julia-0-0.ggb In der letzten Aufgabe haben wir festgestellt, dass die Iteration für Startwerte (z 0 ) innerhalb des Kreises gegen 0+0i strebt, für Startwerte am Kreis bleiben die Iterierten am Kreis und außerhalb streben sie gegen Unendlich. Das kann man für diese einfache Funktion auch sehr leicht begründen. Überlege ein Argument (Tipp: Beträge ansehen!): Definition 2.2. Der Rand der Menge der Startpunkte, die bei der Iteration einer rationalen Funktion f(z)= p(z) q(z) z C, p(z) und q(z) Polynomfunktionen ohne gemeinsamen Teiler, nicht gegen Unendlich streben, ist die Julia-Menge. Die Menge innerhalb (falls vorhanden) und außerhalb der Juliamenge gehören zur sogenannten Fatou-Menge. Bemerkung 2.3. In Aufgabe 2.1 gehören somit alle Punkte am Kreis zur Julia-Menge. Die Punkte innerhalb und außerhalb zur Fatou-Menge. 5

6 Bemerkung 2.4. Man sagt auch, dass bei Punkten, die in der Fatou-Menge liegen, eine kleine Änderung des Startwertes zu einem ähnlichen Verhalten der Iteration führt. Bei Punkten in der Julia-Menge führt hingegen eine kleine Änderung des Startwertes zu einem komplett anderen Verhalten. Aufgabe 2.5. Prüfe Bemerkung 2.4 in Julia-0-0.ggb für die einfachste dir bekannte Julia-Menge (Kreis) nach! Um nur Punkte am Kreis zuzulassen, kannst du Punkt[c] als Wert bei z 0 eintragen (Rechtsklick auf z 0 - Eigenschaften), falls der Kreis nicht c heißt, musst du hier den Namen des Kreises verwenden). Um später wieder einen frei beweglichen Punkt zu haben, trägst du beim Wert wieder eine komplexe Zahl ein. Bemerkung 2.6. Die meisten uns bekannten Bilder entstehen aus der Iteration der Funktion f(z)=z 2 +c, z C, c C konstant. In Aufgabe 2.1 war c=0. Nur beim Newtonfraktal werden wir hier eine rationale Funktion vorfinden, bei der q(z) ungleich 1 ist. Wir werden uns jetzt ansehen, wie die Julia-Menge für andere c C aussieht. Zuerst werden wir uns aber mit der Färbung beschäftigen. Achtung: Wenn du in GeoGebra die Spur eines Objektes anzeigen lässt, verschwindet diese jedes mal wenn du die Ansicht aktualisierst (z.b.: Zoomen, Verschieben des Zeichenblattes). Um die Spur zu sichern, verwendest du am Besten Bearbeiten - Grafik-Ansicht in Zwischenablage. Die Spur wird auch beim Export in ein Bildformat gespeichert (Datei - Export), allerdings verschwindet die Spur im Anschluss an den Export. Aufgabe 2.7. Öffne GeoGebra und blende die Tabellen-Ansicht ein (Ansicht - Tabellenansicht). 1. Gib in die Eingabezeile x 2 + y 2 = 1 ein. 2. Gib in die Eingabezeile z 0 = i ein 3. Gib in der Tabellen-Ansicht = z 2 0 (=z_0^2) in die Zelle A1 ein, es erscheint ein neuer Punkt mit dem Namen A1. Dieser entspricht z 1 aus Aufgabe Gib=A1 2 in die Zelle A2 ein. 5. Markiere die Zelle A2 und ziehe mit der Maus an dem kleinen Quadrat bis Zeile 20. Es werden alle Zellen bis A20 automatisch ausgefüllt. 6. Blende die Beschriftung der Punkte A11-A20 aus: Markiere die Zellen A11-A20 in der Tabellenansicht, blende mit Rechtsklick - Eigenschaften die Eigenschaften ein und entferne das Häkchen bei Beschriftung anzeigen. 7. Wenn z 0 außerhalb des Kreises liegt, stehen in den Zellen ab A10 oder A11 Fragezeichen, das heißt, dass der Wert nicht definiert ist, weil die Zahlen schon zu groß sind. Wir werden diesen Umstand nützen um für unseren Startwert z 0 abhängig vom Verhalten der Iteration eine Farbe einzustellen. 8. Gib in die Eingabezeile IstDefiniert[A20] ein. Es erscheint ein Objekt a, das angibt, ob wir nach unserem letzten Iterationsschritt noch einen definierten Wert haben. 9. Klicke mit der rechten Maustaste auf z 0 und auf Eigenschaften. Wähle die Registerkarte Erweitert und gib bei Rot Wenn[a,0,255] und bei Blau Wenn[a,255,0] ein. 10. Schalte die Spur von z 0 ein (Rechtsklick - Spur ein) 11. Ziehe den Punkt über den Rand des Kreises. Versuche mit der Spur des Punktes einen kleinen Bereich am Rand des Kreises auszumalen. 6

7 12. Blende den Kreis aus, du siehst die Grenze zwischen Rot und Blau kreisförmig vor dir. Genau diese Grenze ist die Julia-Menge. Die Grenze ist mit der Spur gezeichnet und daher etwas unscharf, du kannst die Punktgröße verringern um eine genauere Grenze zu erhalten, dann dauert aber leider auch das Einfärben länger. (Rechtsklick auf z 0 - Eigenschaften - Darstellung) 13. Speichere die Datei unter dem Namen Julia-Iteration.ggb Wir wissen jetzt, wie wir abhängig vom Verhalten der Iteration verschiedene Farben für den Startwert einstellen. Wir werden nun die Funktion f(z)=z 2 um eine Konstante c C zu f(z)=z 2 + c erweitern und beobachten, wie sich die Juliamenge verändert. Aufgabe 2.8. Falls du die Datei Julia-Iteration.ggb nicht mehr offen hast, öffne sie. 1. Lösche den Kreis. 2. Gib in die Eingabezeile c = i ein. 3. Verändere die Zellen A1-A20 so, dass die entstehenden Punkte das Ergebnis der Iteration der Funktion f(z)= z 2 + c sind. 4. Drücke Strg-F um die alte Spur zu löschen. 5. Schalte unter Einstellungen - Punktfang den Punktfang aus. 6. Bewege wieder den Punkt z 0 und versuche die Grenze zwischen rot und blau zu finden. Wenn du diese Grenze gefunden hast, versuche mit der Spur des Punktes ein Stück der Grenze auszumalen. 7. Speichere die Datei. Du wirst feststellen, dass nun die Grenze kein Kreis mehr ist und man sich durchaus ein fraktales Gebilde einbilden könnte. In Abbildung 4 siehst du das Ergebnis meiner Malaktivitäten - dein Ergebnis kann natürlich etwas anders aussehen. Abbildung 4: GeoGebra Julia-Fraktal Bemerkung 2.9. Tatsächlich sind die Julia-Mengen für die Funktion f(z) = z 2 + c, für fast alle c C Fraktale. Die einzigen bekannten Werte für c, für die die Julia-Menge kein Fraktal ist, sind c=0(kreis) c= 2. Aufgabe Versuche nun andere Werte für c zu finden, bei denen du einen fraktalen Rand (die Julia- Menge) finden kannst. Das scheint nicht für alle Werte möglich zu sein. Kannst du eine Bedingung finden, die für c auf jeden Fall erfüllt sein muss, damit die Iteration nicht gegen Unendlich strebt? Tipp: Interessante Julia Mengen entstehen z.b. mit c = i, c = i (ein Hasen-Fraktal) und c=

8 Wie entstehen aber nun mehr als 2 Farben? Aufgabe Falls du die Datei Julia-Iteration.ggb nicht mehr offen hast, öffne sie. 1. Speichere die Datei unter dem Namen Julia-Faerbung.ggb 2. Gib in die Zelle B1 =abs(a1) ein und fülle die Zellen bis B20 automatisch aus. 3. Markiere die Zellen B1 bis B20 und erzeuge aus den Zahlen eine Liste (Rechtsklick - Liste erzeugen) 4. Gib in die Eingabezeile ZähleWenn[x<=2,L_1] ein. Wir wissen nun, ab welchem Iterationsschritt der Betrag größer ist als 2 (die Iteration strebt jetzt sicher gegen unendlich). Abhängig von der Anzahl dieser Iterationsschritte werden wir nun die Farbe definieren. 5. Öffne wieder in den Eigenschaften von z 0 die Registerkarte Erweitert und gib bei Rot und Blau b/20 ein. Damit erhalten wir schon einen leichten Farbverlauf. Dies ist der Punkt, wo man mit komplizierten Farbzuordnungen spielen könnte um andere Färbungen zu erhalten. In GeoGebra konnten wir gut sehen, wie wir von der Funktion zum Bild kommen, da GeoGebra aber letztlich nicht zum Generieren von Fraktalen geeignet ist, wechseln wir zu ChoasPro, einem Programm, das auf das Generieren von Fraktalen spezialisiert ist. Um in Chaos Pro eine Julia-Menge darzustellen, wählst du File - Fractal - Escapetime anschließend rechts bei den Parametern unter Formula - Icon: Select iteration fomula - Select 24 Bit Julia. Jetzt siehst du bereits die Julia-Menge für c = i, du kannst den Wert verändern und dir verschiedene Julia- Mengen ansehen. In den Registerkarten Inside und Outside kannst du die Färbung umstellen. Je nachdem wie du den Wert c einstellst, siehst du zusammenhängende Mengen und auch solche die eher wie eine Punktwolke aussehen. Siehe Abbildung 5 und 6. Diese Unterscheidung bringt uns auch schon zur Mandelbrotmenge. 8

9 Abbildung 5: Julia-Menge mit c = i Abbildung 6: Julia-Menge mit c = i 9

10 3 Mandelbrotmenge Die Mandelbrotmenge wurde nach Benoît Mandelbrot benannt und ist eine fraktal erscheinende Menge. Abbildung 7: Die Mandelbrotmenge Definition 3.1. Die Mandelbrotmenge ist die Menge aller c C, deren Julia-Menge der Iteration z n+1 = z 2 n + c zusammenhängend ist. Dazu gleichwertig ist folgende Definition: Definition 3.2. Die Mandelbrotmenge ist die Menge aller c C, für welche die Iteration z n+1 = z 2 n + c mit dem Startwert z 0 = 0 nicht gegen Unendlich strebt. Aufgabe 3.3. Mit der zweiten Definition haben wir auch schon eine Idee, wie wir die Färbung der Mandelbrotmenge in GeoGebra simulieren können. 1. Öffne die Datei Julia-Faerbung.ggb. 2. Speichere die Datei unter dem Namen Mandel-Faerbung.ggb 3. Setze z 0 auf 0+0i und schalte die Spur aus. 4. Blende die Punkte A1-A20 aus. 5. Versuche selbst die Farbe des Punktes c in Abhängikeit der Iteration so einzustellen, dass du anschließend mit eingeschalteter Spur den Umriss der Mandelbrotmenge malen kannst. (Tipp: Das funktioniert änlich wie in Aufgabe 2.7 beim Punkt z 0.) 10

11 4 Newtonfraktal Definition 4.1. Newtonfraktale sind Juliamengen, bei der für die Funktion f(z) aus Definition 2.2 die Newtoniteration für p(z) verwendet wird. Also: f(z)=z p(z) p (z) Wir wissen, dass wir mit dieser Iteration die Nullstellen von p(z) finden, wenn der Startwert nahe genug bei dieser liegt. Entfernen wir uns von dieser Nullstelle, können wir nicht mit Sicherheit sagen, ob und gegen welche Nullstelle die Iteration strebt. Abhängig davon, gegen welche Nullstelle die Iteration strebt, bekommt der Startwert eine andere Farbe. Zusätzlich könnte man wieder einen Farbton abhängig von der Geschwindigkeit einstellen, mit der der Startwert konvergiert. Um uns die Farbgebung anzusehen, verwenden wir wieder GeoGebra. Als p(z) verwenden wir 1 z 3, somit ist p (z)= 3z 2. InRhätten wir die Nullstelle x 0 = 1, das ist auch gleich die erste komplexe Nullstelle z 1 = 1+0i (Achtung: Hier darfst du z 1 nicht mit dem Wert nach der ersten Iteration verwechseln, das hier ist eine Nullstelle von p(z)). Die weiteren Nullstellen sind dann um 120 und 240 weiter am Einheitskreis also: z 2 = 1/2 3 2 i und z 3 = 1/ i. Aufgabe 4.2. Öffne GeoGebra und blende die Tabellen-Ansicht ein. 1. Gib in A1 z_n, in B1 p(z_n), in C1 p (z_n) und in D1 z_n+1 ein. 2. Gib in A i ein. Es erscheint der Punkt A2 auf der Zeichenfläche. 3. In B2 gibst du =1 - A2^3 ein. Versuche C2 und D2 selbständig auszufüllen. (Tipp: p (z)= 3z 2, GeoGebra weiß, wie man komplexe Zahlen dividiert) 4. D2 wird das neue z n : gib =D2 in A3 ein. 5. Fülle die Zellen B3, C3, D3 durch Markieren der Zellen B2-D2 und Ziehen am kleinen Quadrat automatisch aus. 6. Markiere die Zellen A3-D3 und fülle die Zellen bis Zeile 33 automatisch aus. 7. Markiere die Zellen B3-D33 und blende die Objekte mit Rechtsklick - Eigenschaften - Häkchen bei Objekt anzeigen entfernen aus. 8. Markiere die Zellen A12-A33 und blende die Beschriftung der Objekte mit Rechtsklick - Eigenschaften - Häkchen bei Beschriftung anzeigen entfernen aus. 9. Verändere A2 durch Ziehen mit der Maus und beobachte die Punkte A3-A33. Wie verhält sich die Iteration für verschiedene Startwerte A2? 10. Gib z_1=1+0 i, z_2= i, z_3= i in die Eingabezeile ein. Blende diese Objekte wieder aus, das sind die Nullstellen die wir für die Färbung benötigen. 11. Öffne den Eigenschaftsdialog für A2 und wähle die Registerkarte Erweitert. Gib bei Rot Wenn[A33 == z_1, 255, 0], bei Grün Wenn[Abstand[A33, z_2] < 0.01, 255, 0], bei Blau Wenn[Abstand[A33, z_2] < 0.01, 255, 0] ein. 11

12 12. Schalte unter Einstellungen - Punktfang den Punktfang aus. 13. Schalte die Spur von Punkt A2 ein. Durch Ziehen von A1 kannst du jetzt wieder Bereiche ausfindig machen, in denen die Startwerte gegen die gleiche Nullstelle konvergieren. Der Rand dieser Bereiche sind wiederum Julia-Mengen. 14. Speichere die Datei 15. Welche Bereiche (rot, grün, blau) streben gegen welche Nullstellen? 16. Wenn du z.b. durch Scrollen mit dem Mausrad nahe genug zum Koordinatenursprung heranzoomst (so, dass der Abstand der Achsenmarkierung ungefähr 0,005 beträgt), bekommst du auch schwarze Bereiche. Was bedeutet das? Abbildung 8: Das Newtonfraktal für p(z)= z Verwende GnuXaoS um zum Abschluss noch eine Zoomfahrt in das Newtonfraktal zu unternehmen (leider unterscheidet XaoS farblich nicht zwischen den Nullstellen). 12