Multivariate Kettenregel

Transkript

1 Multivariate Kettenregel Für die Hintereinanderschaltung h = g f : x y = f (x) z = g(y), stetig differenzierbarer Funktionen f : R m R l und g : R l R n gilt h (x) = g (y)f (x), d.h. die Jacobi-Matrix von h ist das Produkt der Jacobi-Matrizen von f und g. Multivariate Kettenregel 1-1

2 Multivariate Kettenregel Für die Hintereinanderschaltung h = g f : x y = f (x) z = g(y), stetig differenzierbarer Funktionen f : R m R l und g : R l R n gilt h (x) = g (y)f (x), d.h. die Jacobi-Matrix von h ist das Produkt der Jacobi-Matrizen von f und g. Die einzelnen Einträge von h ergeben sich durch Matrixmultiplikation: h i x k = j g i y j f j x k. Multivariate Kettenregel 1-2

3 Insbesondere hat die Kettenregel für den Spezialfall m = n = 1 (d.h. f ist eine parametrisierte Kurve und g eine skalare Funktion von l Veränderlichen) die Form d h d x = (grad g)t f (x). Multivariate Kettenregel 1-3

4 Beweis: Definition der totalen Ableitung: ϕ(x + h) = ϕ(x) + ϕ (x)h + o( h ) Multivariate Kettenregel 2-1

5 Beweis: Definition der totalen Ableitung: ϕ(x + h) = ϕ(x) + ϕ (x)h + o( h ) Existenz der Ableitungen f (x) und g (y) = g(f (x + h)) = g(f (x) + f (x)h + o( h ) ) = g(y) + [g (y) h] + o( h ) }{{} h Multivariate Kettenregel 2-2

6 Beweis: Definition der totalen Ableitung: ϕ(x + h) = ϕ(x) + ϕ (x)h + o( h ) Existenz der Ableitungen f (x) und g (y) = g(f (x + h)) = g(f (x) + f (x)h + o( h ) ) = g(y) + [g (y) h] + o( h ) }{{} h Formel für die Jacobi-Matrix von g f, da [g (y) h] = g (y)f (x)h + o( h ) und h = O( h ) Multivariate Kettenregel 2-3

7 Beispiel: Funktionen ( x3 sin(x y = f (x) = 1 ) e x 2 /x 3 ), g(y) = y 1 y 1 + ln(y 2 ) 0 y 2 cos(y 1 ) Multivariate Kettenregel 3-1

8 Beispiel: Funktionen ( x3 sin(x y = f (x) = 1 ) e x 2 /x 3 ), g(y) = y 1 y 1 + ln(y 2 ) 0 y 2 cos(y 1 ) Jacobi-Matrix von h = g f in p = (π, 0, 1) t : ( ) f x3 cos(x (x) x=p = 1 ) 0 sin(x 1 ) 0 e x 2 /x 3 e x 2 /x3 2 x=p = ( ) Multivariate Kettenregel 3-2

9 und g (y) y=f (p) = /y y 2 sin(y 1 ) cos(y 1 ) y=(0, 1) = Multivariate Kettenregel 3-3

10 und g (y) y=f (p) = h (π, 0, 1) = /y y 2 sin(y 1 ) cos(y 1 ) ( y=(0, 1) ) = = Multivariate Kettenregel 3-4

11 Beispiel: Kettenregel für eine skalare Funktion f (x, y) entlang einer Kurve t (x(t), y(t)) t : d dt f = f xx + f y y Multivariate Kettenregel 4-1

12 Beispiel: Kettenregel für eine skalare Funktion f (x, y) entlang einer Kurve t (x(t), y(t)) t : d dt f = f xx + f y y z.b. f (x, y) = x 2 + y 2, x = sin t, y = cos t Multivariate Kettenregel 4-2

13 Beispiel: Kettenregel für eine skalare Funktion f (x, y) entlang einer Kurve t (x(t), y(t)) t : d dt f = f xx + f y y z.b. f (x, y) = x 2 + y 2, x = sin t, y = cos t f x = (1/2)(x 2 + y 2 ) 1/2 (2x), f y = y(x 2 + y 2 ) 1/2 und x = cos t, y = sin t d dt f (x(t), y(t)) = x x 2 + y cos t + y ( sin t) 2 x 2 + y 2 sin t cos t cos t sin t = 1 = 0 Multivariate Kettenregel 4-3

14 identisch zur direkten Ableitung der zusammengesetzten Funktion f (x(t), y(t)) = sin 2 t + cos 2 t = 1 Multivariate Kettenregel 4-4

15 Beispiel: Kettenregel für eine vektorwertige Funktion (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)) t auf einer durch (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) t parametrisierten Fläche: (u, v, w) (s, t) = u x u y u z v x v y v z w x w y w z x s y s z s x t y t z t Multivariate Kettenregel 5-1

16 z.b. radiale Funktion (u, v, w) = (x, y, z)/r, r = x 2 + y 2 + z 2 auf dem durch (x, y, z) = (cos ϕ, sin ϕ, z), ϕ ( π, π], z R parametrisierten Zylindermantel: Multivariate Kettenregel 5-2

17 z.b. radiale Funktion (u, v, w) = (x, y, z)/r, r = x 2 + y 2 + z 2 auf dem durch (x, y, z) = (cos ϕ, sin ϕ, z), ϕ ( π, π], z R parametrisierten Zylindermantel: (u, v, w) (x, y, z) (x, y, z) (ϕ, z) = r 3 = r 2 x 2 xy xz xy r 2 y 2 yz xz yz r 2 z 2 sin ϕ 0 cos ϕ Multivariate Kettenregel 5-3

18 s = sin ϕ, c = cos ϕ und r = 1 + z 2 (u, v, w) (ϕ, z) = r 3 = r 3 r 2 c 2 cs cz cs r 2 s 2 sz cz sz r 2 z 2 sr 2 cz cr 2 sz 0 1 s 0 c Multivariate Kettenregel 5-4

19 Beispiel: Berechnung des Gradienten von h = g f für f (u, v) = u + v u v u 2 + v 2 1, g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 Multivariate Kettenregel 6-1

20 Beispiel: Berechnung des Gradienten von h = g f für f (u, v) = u + v u v u 2 + v 2 1, g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 Jacobi-Matrix von f f = (f u, f v ) = u 2v Gradient von g grad g = 2x 2y 2z = 2 u + v u v u 2 + v 2 1 Multivariate Kettenregel 6-2

21 Kettenregel unter Berücksichtigung von grad ϕ = ϕ t für eine skalare Funktion ϕ = (grad h) t = (grad g) t f = ( u + v + u v + 2u(u 2 + v 2 1) u + v u + v + 2v(u 2 + v 2 1) ) t und nach Vereinfachung operatornamegradh = 4(u 2 + v 2 ) ( u v ) Multivariate Kettenregel 6-3

22 Beispiel: affine Abbildung eines Referenzdreiecks D : x 1 + x 2 1, x i 0, auf ein Dreieck D mit den Eckpunkten P, Q und R: y = ϕ(x) = p + (q p)x 1 + (r p)x 2 (0, 1) ϕ R x D P y D Q (0, 0) (1, 0) Multivariate Kettenregel 7-1

23 Jacobi-Matrix (y 1, y 2 ) = (q p, r p) (x 1, x 2 ) Multivariate Kettenregel 7-2

24 Jacobi-Matrix (y 1, y 2 ) = (q p, r p) (x 1, x 2 ) Kettenregel = (grad h(x)) t = (grad g(y)) t ( q1 p 1 r 1 p 1 q 2 p 2 r 2 p 2 für eine sklalare Funktion ϕ ), h(x) = g(ϕ(x)) Multivariate Kettenregel 7-3

25 Jacobi-Matrix (y 1, y 2 ) = (q p, r p) (x 1, x 2 ) Kettenregel = (grad h(x)) t = (grad g(y)) t ( q1 p 1 r 1 p 1 q 2 p 2 r 2 p 2 für eine sklalare Funktion ϕ ), h(x) = g(ϕ(x)) Anwendung: Aufstellen von Steifigkeitsmatrizen bei Finite-Elemente-Verfahren Multivariate Kettenregel 7-4