2. Umkehrfunktionen und ihre Ableitung, Hyperbelfunktionen 2.1. Höhere Ableitungen. Die Ableitung der Ableitung von f bezeichnet man, x 2, fur x < 0,

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1 . Umkehrfunktionen un ihre Ableitung, Hyperbelfunktionen.. Höhere Ableitungen. Die Ableitung er Ableitung von f bezeichnet man, falls sie existiert, mit f x) oer f ) x) oer fx)) oer fx) bzw. allgemein x x x fur ie n-te Ableitung f n) x) oer x f n ) x) ) oer n fx). x n Man sagt, ass f n-mal ierenzierbar bzw. stetig ierenzierbar ist, wenn ie n-te Ableitung existiert bzw. existiert un stetig ist. Man beachte, ass eine ierenzierbare Funktion nicht notwenig zweimal ierenzierbar sein muss. Beispiel 4.7. Die Funktion fx) = x x = { x, fur x 0, x, fur x < 0, ist fur alle x R ierenzierbar mit er Ableitung f x) = x. Die Funktion f x) = x ist aber fur x = 0 nicht ierenzierbar... Umkehrfunktionen. Satz 4.5. Hauptsatz uber Umkehrfunktionen ) Existenz Jee strikt monotone Funktion f : D R ist umkehrbar. Jee uber einem Intervall I stetig ierenzierbare Funktion f mit f x) 0 fur alle x I ist uber I) umkehrbar. ) Ableitung Die Umkehrfunktion g : fi) R einer uber em Intervall I R umkehrbaren Funktion f ist in allen x fi) mit f gx)) 0 ierenzierbar un es gilt g x) = f gx)). Beweis: es Satzes) zu a): Ist f auf D strikt monoton, ann folgt aus x < x sofort fx ) < fx ) oer fx ) > fx ). Deshalb gibt es zu jeem y fd) genau ein mit y = fx). zu b): Die Ableitung f x) ist auf I stets positiv oer stets negativ, a sie sonst nach em Zwischenwertsatz Satz 3.) eine Nullstelle besitzen m usste. Wegen Lemma?? ist f strikt monoton un somit umkehrbar. zu ): Aus y = fx) un x = gy) folgt y = fx) = fgy)) un mit Hilfe er Kettenregel ergibt sich y) = = f gy)) g y) g y) = 39 f gy)).#

2 40 Beispiel 4.8. Die Funktion fx) = x 5 + x, x R, hat uberall eine positive Ableitung: f x) = 5x 4 + > 0 un ist eshalb umkehrbar. Auch wenn wir ie Funktion gy) nicht explizit angeben konnen, so wissen wir och, ass gilt g y) = f gy)) = 5gy) 4 +. In er Regel schreibt man g aber wieer als Funktion von x,.h.... Wurzelfunktionen. Mit fx) = x n un gx) = n x = x n x x m n = x g x) = 5gx) 4 +. erhalt man fur ie Ableitung x x n = f gx)) = ) n = n x n x n n un mit Hilfe er Kettenregel ergibt sich nun ) m ) m x n = m x n x x n = m x n... Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens. Fur ie Ableitung gilt: x arcsin x =, < x <. x ) m n x n = m n x m n. Beweis er Ableitung: Nach er Formel fur ie Ableitung er Umkehrfunktion gilt Wir berechnen cosarcsin x)). Es ist x arcsin x = cosarcsin x)). cos arcsin x)) + sin arcsin x)) = cos arcsin x)) + sin arcsin x) = cos arcsin x)) + x = Fur ie Ableitung es Arcuskosinus gilt: x arccos x = Fur ie Ableitung es Arcustangens gilt: Fur ie Ableitung es Kotangens gilt: cos arcsin x) = x cos arcsin x = x.#, < x <. x x arctan x = + x, x R. x arccot x = + x, x R.

3 . UMKEHRFUNKTIONEN UND IHRE ABLEITUNG, HYPERBELFUNKTIONEN Exponential- un Logarithmusfunktion. Wie wir bereit gesehen hatten ist e x := expx) := lim + x ) n, x R. n n Satz 4.6. Eigenschaften er e-funktion ) Positivität: e 0 =, e x > 0 fur alle x R. ) Ableitung: Die e-funktion ist uberall ierenzierbar un es gilt x ex = e x, x R. 3) Funktionalgleichung: e x+y = e x e y, e x = e x. Beweisiee: zu ) Es ist e 0 := lim n + 0 n) n =. Aus er Denition folgt auerem unmittelbar, ass e x 0 ist. Die strikte Positivitat folgt aus er Stetigkeit un e x e x =. zu ) Es ist naheliegen folgenermaen zu beweisen: x ex = x lim + x n = lim + x n) x n = lim + n x n) x ) n = e x. n n Das ist zwar richtig, es muss aber begrünet weren, ass im vorliegenen Fall er Grenzübergang lim n un ie Differentation vertauscht weren x ürfen. Wie verzichten auf iesen Nachweis un en Beweis von 3). Satz 4.7. Eigenschaften er Logarithmusfunktion ) Ableitung: Die ln-funktion ist uberall ierenzierbar; fur alle x > 0 gilt x ln x = x. ) Funktionalgleichung: er ln-funktion lnxy) = ln x + ln y, ln x y = ln x ln y, x, y > 0). Beweis: zu ): Aus en Dierentationsregeln ergibt sich x ln x = exp ln x) = expln x) = x.

4 4 ) ist eine Folgerung aus er Funktionalgleichung fur ie e-funktion siehe Satz 4.6): Fur x, y 0, ) sei u := ln x, v := ln y, ann gilt x = e u un y = e v sowie Der Sonerfall x = y zeigt ln y lnxy) = lne u e v ) = lne u+v ) = u + v = ln x + ln y. = ln y..3. Hyperbelfunktionen un ihre Umkehrfunktionen. Die Hyperbelfunktionen sin sinh x := ex e x, cosh x := ex + e x, tanh x := sinh x cosh x, cosh x coth x := sinh x. Zur Aussprache er Funktionennamen, z.b. sinh wir ausgesprochen " Sinus hyperbolicus\, ie ubrigen Namen analog.

5 . UMKEHRFUNKTIONEN UND IHRE ABLEITUNG, HYPERBELFUNKTIONEN 43 Den Namen veranken iese Funktionen em folgenen Zusammenhang mit er Hyperbel x y = : Hyperbel x y = Punkt auf er Hyperbel: x=cosh t, y=sinh t cosh t sinh t Flächenihalt t Insbesonere gilt somit cosh t sinh t = Beispiel 4.9. Anwenung: Ein homogenes, nur urch as Eigengewicht belastetes Seil hat ie Form einer Kettenlinie: ) x b yx) = a cosh + c a mit Konstanten a, b, c R. Aus er Darstellung er hyperbolischen Funktionen gewinnt man leicht ie Formeln fur ie Ableitungen, es ist sinh x = cosh x, cosh x = sinh x, tanh x = cosh x. Die Die Funktion sinh x ist fur alle x R umkehrbar, agegen ist ie Funktion cosh x nur fur einen Zweig umkehrbar, in iesem Fall entscheiet man sich fur x 0 un erhalt fur sinh x : y = sinh x = ex e x = e x ex ) ye x = e x = e x ) Wir losen iese quaratische Gleichung fur e x un erhalten e x = y ± y +

6 44 Wegen e x > 0 fur alle x R entfallt ie Losung mit em Minus un wir haben e x = y + y + Logarithmieren ergibt nun x = lny + y + ). Schreibt in ie Funktion nun in ublicher Form als Funktion von x so erhalt man als Umkehrfunktionen: arsinh x := lnx + x + ), x R. Analog erhalt man fur cosh x als Umkehrfunktion arcosh x := lnx + x ), x. Zur Aussprache: " arsinh\ wir ausgesprochen als " area sinus hyperbolicus\ arcosh analog.) Mit Hilfe er er Kettenregel berechnet man ie Ableitungen er area- Funktionen: x arsinh x = lnx + x ) = x + x + ) Analog erhalt man ie Ableitung von arcosh x. = + ) x + x x + x + ) x + )x + x + ) = x +. Ableitungen: x arsinh x = x + x arcosh x = x x R, x.