Übungsblatt 03 (Hausaufgaben)

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1 Übungsblatt 03 Hausaufgaben Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik Aufgaben. Gegeben sind Ladungen + am Orte a; 0; 0 und a; 0; 0: a Berechnen Sie das Potential entlang der -Achse. b Berechnen Sie das Potential entlang der z-achse. c Ab welchem Abstand r 0 ist der relative Unterschied zum Potential einer Punktladung am Ort 0; 0; 0 kleiner als ε <<?. Die Ladungsdichte einer Kugel mit dem Durchmesser R hängt nur vom Radius ab Berechnen Sie U entlang eines Radius. R r ρ el = ρ 0 R 3. n ist der Normalenvektor auf die Oberfläche eines von einer Ebene begrenzten Halbraumes aus einem idealen Metall. Der Dipol p liegt parallel zur Oberflächennormalen. Die Ladungen in p seien im Abstand l. p ist im Abstand D von der Metalloberfläche. a Berechnen Sie das Drehmoment und die Kraft auf p. b Wie ändern sich Kraft und Drehmoment, wenn der Dipol parallel zur Oberfläche liegt? c Zeichnen Sie das Ergebnis aus b für l = 0 4 m und = nc für 0 0 m D 0m doppeltlogarithmisch auf. d Was fällt Ihnen bei der Zeichnung c auf? 4. Gegeben ist eine Ladung Q = 3nC am Koordinatenursprung. Punkt A ist bei 0; 7mm; 8mm Punkt B liegt bei 30mm; 0mm; 5mm. Wie gross ist der Potentialunterschied zwischen A und B? Welches Potential ist positiver? 5. In der Vorlesung wurden auf zwei 0 cm entfernte Kugeln die Ladungen + und aufgebracht. Die beiden Kugeln waren an einem Draht befestigt der beidseitig je 30 cm lang war. Die Ladungen waren in einem homogenen elektrischen Feld von 50 kv m. Der Draht bestand aus einem Material mit E Y = 0 0 P a und der Poisson-Zahl µ = 0, 5. Sein Durchmesser war 70µm. Der Lichtzeiger wurde auf die 0 m entfernte Wand geworfen. Dort konnten noch Bewegungen von cm beobachtet werden. Wie gross muss mindestens sein? Denken Sie daran, wenn ein Spiegel um einen Winkel α verdreht wird, dann werden alle reflektierten Lichtstrahlen um α abgelenkt. 6. Gegeben ist der Potentialverlauf wie in der Zeichnung angegeben. a Wo sind für positive und negative Ladungen stabile oder labile Gleichgewichtspunkte? b Schätzen Sie für die Bereiche zwischen den Gleichgewichtspunkten die maimale Kraft ab.

2 0 uv 5 mv/m 5 uv U 0 V 5 uv 0 uv 0 V/m 5 mv/m du/d 5 uv U du/d 0 uv 50 mv/m 0 m mm mm 3 mm 4 mm 5 mm 6 mm

3 Lösungen. a U = + a + + a = + a + a a = πε 0 a b c Potential einer Ladung in -Richtung Uz = z + a = πε 0 U = πε 0 r z + a U U U = a = a = a a ε a ε a a ε + a ε ε + in z-richtung U z U z U z = = z z z + a ε z +a z z z + a ε z ε z + a z ε ε a ε z ε ε + ε = + ε ε z a ε a mit ε a ε a 3

4 . Wir berechnen zuerst die Ladung: 3. r = 4π = 4π 0 0 R r ρ 0 r dr R ρ 0 r R + r R r dr [ ] r 3 r = 4πρ 0 3 r4 4R + r5 5R 0 = 4π 3 ρ 0r 3 6 r 4 R + 3 r 5 R = 4π 3 ρ 0r 3 3 r R + 3 r 5 R R = 4π 0 3 ρ 0R 3 Zur Berechnung des Potentials verwenden wir die Definition des Potentials oder der potentiellen Energie Ur = U F r d r = U r r d r Wir müssen also von unendlich nach R integrieren. In diesem Bereich ist die Ladung ausserhalb des Integrationsbereiches. Wir können mit einer Punktladung R rechnen. Weiter setzen wir U = 0. Innerhalb der Kugel r R haben wir a Kraft: Ur = UR Drehmoment: = 0 aus Symmetriegründen R U r = R 3 ρ 0 30ε 0 r U R = 30ε 0 ρ 0 R r r d r = UR r ρ 0 r4 ρ 0 6ε 0 0ε 0 R + r3 ρ 0 6ε 0 R + R ρ 0 0ε 0 U r = r ρ 0 6ε 0 r4 ρ 0 0ε 0 R + r3 ρ 0 6ε 0 R + R ρ 0 ε 0 [ ] F = + 4D D l D+l 4D [ ] = D+l +D l D 4D l [ ] = 8D l D 4D l [ ] = 4D 4D l = l 4D 4D l 4

5 b F + = F = [ 0 4D [ 4D l 4D + l D 4D + l l D ] 4D + l ] 4D + l F + und F sind symmetrisch um = 0 kein Drehmoment. Kraft: [ F = F + + F = 0 D + 4D + l 3 z-komponente F z = = D + 4D 4D + l 3 4D + l 3 + 8D 3 8D 3 = 4D = D 4D + l l 4D D 4D + l l 4D 4D + l 3 0 4D ] c 00 N N 0 mn attrakiver Teil repulsiver Teil mal Fernfeld Kraft mal Dipol mal 00 un F z un 0 nn 00 pn pn Dipol gegen Metallebene 0 fn 00 pm 0 nm um 00 um 0 mm m D d Für D > 00µm fällt die Kraft wie r 4 ab. Man sieht das mit D l Wenn D l ist wird die Lösung 4D F z = F z = 4D 4D 3 3 l 4D = 3l 6D l 4D 4D + l 3 = 4Dl 3 l 3 8D 3 = D 5

6 4. U r = Q r r A = 7mm + 8mm = 3mm r B = 30 mm + 0 mm + 5 mm = 05mm U r A = C U r B = 365, V U r b U r a = 7345V 4π 8, 85 0 C N m m =, V B liegt auf höherem Potential. 5. Gegeben sind die Drahtlänge l D = 0.3m, der Drahtdurchmesser R = m, der Abstand der Ladungen l = 0.m, der E-Modul des Drahtes E Y = 0 0 P a, die Poisson-Zahl µ = 0.5, das elektrische Feld E = V/m, die Länge des Lichtzeigers L = 0m und die minimal detektierbare Auslenkung 0 = 0.0m. Wir teilen die Aufgabe in Teilaufgaben: Schubmodul aus E-Modul E Y G = E Y + µ Das Richtmoment D r aus den Materialkonstanten D r = π GR4 l D = π E Y Drehmoment durch die Drähte bei Auslenkung um ϕ + µl D M = D r ϕ = πe Y + µl D ϕ Drehmoment wegen den Ladungen wir verwenden den Cosinus, da bei ϕ = 0 Dipol und Feld senkrecht stehen. M = F l cosϕ = E l cosϕ Wir betrachten den statischen Fall, die Summe aller Momente muss null sein. E l cosϕ πe Y + µl D ϕ = 0 Wir suchen die minimal detektierbare Auslenkung. Deshalb ist ϕ und cosϕ. Wir erhalten dann E l = πe Y + µl D ϕ Wir lösen die Momentengleichung nach ϕ auf ϕ = E l + µl D πe Y Wenn der Dipol um ϕ ausgelenkt wurde, wird der Lichtzeiger um β = ϕ ausgelenkt. Der Lichtfleck verschiebt sich dann um = βl = ϕl 0 Wir setzen ϕ ein 0 ϕl = 4 E l + µl D L πe Y 6

7 wir lösen nach auf 6. Aus Der Zeichnung liest man ab a πe Y 4E l + µl D L 0 = C = 5.38fC = 3694 Elektronen Name Ort -Koordinate positive Ladungen negative Ladungen 0.35mm stabil labil.50mm labil stabil 3.65mm stabil labil 4 4.0mm labil stabil mm stabil labil b Da die Ladungen nicht benannt sind, wird das elektrische Feld angegeben. Name Ort -Koordinate Elektrisches Feld mm V m 7.mm V m mm V m mm V m 7

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