Kernradien 39. = ρ(r)dv. r 2. 0 r2 dr = 3 5 R2. (66)
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- Nadine Kerstin Förstner
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1 Kernradien 39 3 Kernradien 3.1 Vorbemerkung Viele experimentelle Befunde, die wir in den nächsten Kapiteln kennenlernen werden, sprechen dafür, dass der Kern eine definierte Oberfläche hat und damit auch die Definition eines Kernradius Sinn macht. Im nächsten Abschnitt werden wir dann sehen, dass diese Oberfläche in Wirklichkeit nicht scharf sondern diffus ist, der Rand des Kerns also eine Dicke hat. Als Vergleichsradius betrachten wir zunächst den Radius einer Kugel mit konstanter Dichte (oder auch Ladungsdichte): ρ = A V = A 4/3πR 3 = konst. R = R 0A 1/3. (64) Eine systemathische Analyse von gemessenen Kernradien zeigt in der Tat, dass für die meisten Kerne der Radius mit A 1/3 skaliert. Die Konstante R 0 beträgt 1.2 fm. In dieser groben Abschätzung erhalten wir damit ρ 0.14 Nukleonen/fm 3 bzw. 130 MeV/c 2 /fm 3. Realistischer ist eher 0.16 fm 3, also etwa ein Nukleon pro 6 fm 3. Anmerkung: Es gibt allerdings einige Kerne, insbesondere leichte Kerne mit grossem Neutronenüberschuss, deren Radius deutlich grösser ist als die Erwartung aus der Systematik. Diese Kerne heissen Halokerne. Der Kern 11 Li ist z.b. etwa so gross wie ein 208 Pb-Kern. Die Struktur von 11 Li ist ein normaler 9 Li-Kern umgeben von einer Wolke, dem sogenannten Halo, aus zwei Neutronen. Für eine beliebige Dichteverteilung ρ(r) lässt sich ein mittlerer quadratischer Radius ( root mean square ) berechnen: R 2 rms = r 2 ρ(r)dv 0 r 2 ρ(r)4πr 2 dr = ρ(r)dv 0 ρ(r)4πr 2 dr (65) Für die Kugel mit homogener Dichte erhalten wir Beispiel: R 2 rms = R 0 r4 dr R 0 r2 dr = 3 5 R2. (66) 12 C: R = /3 = 2.75 fm und R rms = 3/ fm = 2.13 fm. 208 Pb: R = /3 = 7.11 fm und R rms = 3/ fm = 5.51 fm. Eine detailliertere Information erhält man aus den Ladungs- bzw. Materieverteilungen. Abhängig von der Messmethode bzw. -probe ist man sensitiv auf den Ladungsradius (die Verteilung der Protonen), den Materieradius (Verteilung aller Nukleonen) oder den Radius der Neutronenverteilung. Letzterer wird bisher indirekt aus der Differenz der Ladungsund Materieverteilungen bestimmt. In Zukunft ist bei FAIR geplant, die Protonen- und Neutronenverteilungen separat durch die Annihilation in Stössen mit Antiprotonen zu
2 40 Kernradien bestimmen (Antiproton Ion Collider - AIC). Bereits hier sei darauf hingewiesen, dass die Verteilungen von Protonen und Neutronen durchaus verschieden sein können. 3.2 Messmethoden Abweichungen vom Rutherfordschen Wirkungsquerschnitt In der Diskussion des Rutherfordschen Streuexperiments hatten wir angenommen, dass die Energie der α-teilchen so niedrig ist, dass die beiden Kerne sich nur als Ladungen aber nicht als Kerne sehen. Benutzt man einen Strahl von α-teilchen mit höherer Energie beobachtet man Abweichungen von der Rutherfordschen Streuformel sobald die Kernkraft zu wirken beginnt. Daher bestimmt eine solche Messung eine Grösse, die man Wechselwirkungsradius nennt. Genommen wir der Punkt, bei dem der Wirkungsquerschnitt auf 25% des Wertes für Rutherfordstreuung abgefallen ist (es gibt auch andere Definitionen). Beispiel: Ein α-strahl wird bei verschiedenen Energien auf ein 208 Pb-Target geschossen. Bei einer Energie von E = 27 MeV beobachtet man unter einem Winkel von θ = 60 eine Abweichung von der Rutherfordschen Streuformel. Bei etwa 34 MeV ist der Wirkungsquerschnitt auf 25% gefallen. Mit der Formel für den Abstand nächster Annäherung D (Herleitung sei hier weggelassen) erhält man (... strenggenommen wieder im Schwerpunktsystem): D = ZZ e 2 2E ( ) ( ) 1 sin θ/ MeV fm 1 = 2 34 MeV = 10.4 fm (67) Abzüglich des Radius des α-teilchens von 1.4 fm erhält man also 9 fm, deutlich grösser als R = /3 = 7.1 fm. Die Wechselwirkung zwischen den Kernen aufgrund der Kernkraft setzt also deutlich früher ein als der mittlere Kernradius vermuten liese, ein deutlicher Hinweis auf die diffuse Oberfläche des Kerns. Streuexperimente mit höherenergetischen Teilchen oder Neutronen benötigen den Formalismus der Streutheorie auf den wir später zu sprechen kommen Totale Wirkungsquerschnitte Bei sehr grossen, relativistischen, Strahlenergien bewegen sich die Strahlteilchen (Projektile) auch nach einer Reaktion bei der sich die Kerne berührt haben, fast ohne Ablenkung weiter. Eine Berührung bei solchen Energien führt praktisch immer dazu, dass der Projektilkern zerstört wird (der Targetkern wahrscheinlich auch, aber der wird nicht gemessen und interessiert daher nicht für diese Betrachtung). Zählt man nun wieviele der eingeschossenen Kerne, die auf ein Target bekannter Dicke treffen, danach noch intakt vorhanden sind, erhält man den totalen Wirkungsquerschnitt. Dieser ist gegeben durch den geometrischen Wirkungsquerschnitt ( Fläche der Zielscheibe ) und definiert einen Wechselwirkungsradius R I :
3 3.2 Messmethoden 41 σ total = πri 2 = π(r Projektil + R Target ) 2. (68) Diese Methode ist von Bedeutung insbesondere für sehr kurzlebige Kerne, die man kurz nach der Produktion in einer Reaktion auf ein leichtes Target mit bekanntem Radius, z.b. 9 Be, schiesst. Da die Reaktion vor allem über die starke Wechselwirkung zwischen den Kernen geht, ist man hierbei auf die Verteilung der Materie sensitiv Isotopieverschiebung In die Berechnung der Übergangsenergien atomarer Übergänge geht das elektrische Potenzial zwischen Elektronen und Kern ein. Da ein ausgedehnter ein leicht anderes Potenzial erzeugt als ein punktförmiger Kern lassen sich Rückschlüsse auf die Kerngröße, genauer auf die Größe der Ladungsverteilung, aus der Messung atomarer Übergänge gewinnen. Betrachtet man die Energien E eines atomaren Übergangs in verschiedenen Isotopen, A und A, eines Elements, stellt man eine Änderung fest, die sogenannte Isotopieverschiebung. E A E A = δe AA = δe A δe A = δe AA MS + δe AA FS (69) Die Größe δe A beschreibt den Unterschied des realen Kerns der Masse A mit endlicher Größe (gemessen) zu einem angenommenen punktförmigen Kern (gerechnet). Unterschiedliche Isotope eines Element haben unterschiedliche Masse, daher ändert sich zunächst die reduzierte Masse aus Elektron und Kern. Dieser Beitrag δems AA ( mass shift ) ist von der Ausdehnung des Kerns unabhängig. Er ist wichtig für leichte Kerne, z.b. 1 H, also das Proton, und 2,3 H, das Deuteron bzw. Triton, unterscheiden um einen Faktor 2 bzw. 3 in der Masse! Er wird aber vernachlässigbar für schwere Kerne. Die Energie eines Übergangs wird üblicherweise berechnet, indem man die Ladungsverteilung des Kerns als punktförmig annimmt. Die Tatsache, dass der Kern eine Ausdehnung hat, führt zu einer Verschiebung der Energieniveaus E i,f und damit auch der Übergangsenergie E i E f ( field shift oder finite size ). In 1. Ordnung quantenmechanischer Störungsrechnung berechnet man explizit die potenzielle Energie der Hüllenelektronen im elektrostatischen Feld φ(r), das vom ausgedehnten Kern erzeugt wird: δe A F S = Kernvolumen e Φ(r) 2 φ(r)dv. (70) Ausserhalb des Kernvolumens hat das Potenzial unverändert die Form 1/r, hier gibt es also keinen Beitrag zur Störung. Die Grösse Φ(r) 2 = Φ i (r)φ i (r) Φ f (r)φ f(r) (71) ist die Änderung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Ort r für ein Elektron, das vom Zustand Φ i in den Zustand Φ f übergeht.
4 42 Kernradien Für eine homogen geladene Kugel (ρ = Ze/V mit V = 4 3 πr3 ) gilt innerhalb des Volumens für die potenzielle Energie eines Elektrons (o.b.d.a φ(0) = 0 gesetzt): Damit bekommen wir eφ(r) = Ze2 2R 3 r2. (72) δe = Ze2 2R 3 Φ 2 R 0 r 2 4πr 2 dr = Ze2 2R 3 Φ 2 4π R5 5 = Ze2 Φ 2 2π 5 R2 = Ze 2 Φ 2 2π 5 R2 0A 2/3 = Ze 2 Φ 2 2π 3 R2 rms (73) Diese Formel beschreibt die Änderung der Energie eines atomaren Übergangs in einem Atom mit ausgedehntem Kern im Vergleich zu einem mit einem punktförmigen Kern. Sensitiv sind Übergänge an denen atomare s-orbitale beteiligt sind, da sie die grösste Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Kern haben. Die Auswirkung auf p- und höhere Orbitale ist vernachlässigbar. Diese Betrachtung ist natürlich sehr vereinfachend und die Formel wird direkt so nicht angewandt. Wir haben angenommen, dass die Elektronendichte konstant über das Kernvolumen sei. Die tatsächliche Berechnung der atomaren Wellenfunktionen in schweren Atomen (auch für punkförmige Kerne) ist sehr aufwendig bis technisch unmöglich. Allerdings ändern sich diese für unterschiedliche Isotope nicht (bis auf den kleinen Effekt aufgrund der unterschiedlichen Massen). Daher kann man aus dem Vergleich der Verschiebung atomarer Übergänge in unterschiedlichen Isotopen die Änderung des mittleren quadratischen Radius der Ladungsverteilung bestimmen: δe AA FS = δe A FS δe A FS = Ze 2 Φ 2 2π 3 δr2 rms. (74) In schweren Kernen sind die beobachteten Verschiebungen typischerweise in der Grössenordnung E/E von Solche Messungen lassen sich mit Atomstrahlresonanz- Experimenten oder unter der Verwendung von Lasern mit grosser Präzision durchführen. Wie sie aus der Atomphysik wissen, sind die atomaren Niveaus aufgespalten aufgrund der magnetischen Momente von Elektron und Kern Fein- und Hyperfeinstruktur (darauf kommen wir später zurck). Dies ist in der Abbildung mit den Na-Spektren zu sehen. Um den absoluten Wert des Kernradius abzuschätzen, betrachten wir nun einen Übergang zwischen Zuständen mit relativ einfach zu berechnender Wellenfunktion. Die K-Röntgenlinie in Quecksilber liegt bei 70 kev (2p 1s). Zwischen den Isotopen 200 Hg und 202 Hg wird eine Isotopieverschiebung von etwa 0.15 ev beobachtet ( ). Unter der Annahme, dass sich das s-orbital durch die 1s-Wellenfunktion für ein wasserstoffähnliches Atom bei r = 0 beschreiben lässt und das p-orbital keinen Überlapp mit dem Kern hat, ergibt sich folgende Auswertung: 3 Laser gibt es hier allerdings noch nicht!
5 3.2 Messmethoden 43 Φ 1s (r) = 1 π ( Z a 0 ) 3/2 e Zr/a 0 Φ 1s (r = 0) 2 = Z3 πa 3 0 a 0 = 2 e 2 m e = δe AA FS = CR MeV 2 fm 2 c MeV fm 0.511MeV/c 2 = fm (200 2/ /3) C = 2πZe2 Z 3 5πa 3 0 = ev/fm 2 (202 2/ /3) = 0.23 R 0 = fm 2 fm Die Schätzung ist also schon recht nahe am tatsächlichen Wert. Neben den gemachten Näherungen spielt auch eine Rolle, dass Hg-Kerne von der angenommenen sphärischen Form abweichen, wie wir später in der Vorlesung sehen werden Myonische Atome Die im letzten Abschnitt hergeleitete Formel (73) hat Bedeutung für sogenannte myonische Atome. Hier ist ein Elektron durch ein negativ geladenes Myon ersetzt. Da dieses auch ein Lepton ist, unterliegt es ebenfalls nur der elektromagnetischen Wechselwirkung, ist also auf die Ladungsverteilung sensitiv. Das Myon hat eine wesentlich grössere Masse (m = MeV/c 2, also etwa zweihundertmal schwerer). Daher verlaufen seine Bahnen im Vergleich zum Elektron viel tiefer, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Kernort auch für p- und höhere Orbitale ist also sehr viel grösser. Für einen 208 Pb-Kern (Z = 82, R = /3 = 7.1 fm) z.b. liegt das 1s-Orbital vollständig innerhalb des Kerns, denn der Bohrsche Radius dieses Systems beträgt nur a 0 = 2 Ze 2 m µ = (197 MeV fm) 2 c 2 = 3.1 fm. (75) MeV fm MeV/c2 Man kann direkt die Myon-Masse einsetzen, da gilt m µ m( 208 Pb) wie in der Originalformel m e m p. Die zugehörigen Übergangsenergien liegen entsprechend höher von 100 kev bis einige MeV. In ähnlicher Weise lassen sich Materieradien aus den Spektren sogenannter pionischer, kaonischer oder antiprotonischer Atome bestimmen. Hier ist, wie der Name suggeriert, ein Elektron durch ein Pion (π = dū, m = MeV/c 2 ), ein Kaon (K = sū, m = MeV/c 2 ) oder ein Antiproton ersetzt, die im Gegensatz zum Myon auch der starken Wechselwirkung unterliegen. Die Behandlung ist aber deutlich komplizierter.
6 44 Kernradien Zusammenfassung Wir können zusammenfassen, dass für viele Kerne der Radius über R 0 A 1/3 gegeben ist. Die Konstante R 0 ist ungefähr 1.2 fm. Dieses Verhalten ist konsistent mit der Annahme, dass die Dichte über das Kernvolumen hinweg konstant ist. Dies werden wir im nächsten Kapitel direkt experimentell belegen. Kernradien lassen sich experimentell bestimmen aus Streuexperimenten (Abweichung von Rutherfordscher Streuformel oder geometrische Wirkungsquerschnitte bei hohen Strahlenergien) oder aus der Untersuchung von atomaren Übergängen in normalen oder exotischen Atomen. Diese können, abhängig von der Probe, sensitiv auf die Ladungs- oder die Materieverteilung sein. Häufig erhält man nur die Änderung von Kernradien entlang einer Isotopenkette eines Elements.
7 208 Pb Abweichung von Rutherfordscher Streuformel R I Totaler Wechselwirkungsquerschnitt bei relativistischen Strahlenergien ist geometrischer Wirkungsquerschnitt
8 Isotopieverschiebung Frequenzdifferenz Isotopieverschiebung in Na (Aufspaltung der Übergänge Fein- und Hyperfeinstruktur) ΔE 0.15 ev (aus Krane) Isotopieverschiebung in Hg (Isotope mit unpaarigem Neutron verhalten sich anders Kernstruktur!)
9 Isotopieverschiebung ΔE 2.5 kev ΔE/E 2.5/1260 = (aus Krane) Spektren von myonischen Fe-Atomen
10 Experimentell bestimmte Radien von 687 Isotopen R rms = 5 3 1/ 2 1/ A [fm] aus: Lecture Notes in Nuclear Structure Physics B. A. Brown MSU, 2005 Systematik von Kernradien Z Lehrbuchwissen: Kernradius = 1.2 * A 1/3 fm A= A= N Radien exotischer Kerne - Halokerne I. Tanihata et al.
r 2 /R 2 eine sehr gute Näherung. Dabei hängen die Parameter wie folgt von Massen- und Ladungszahl ab.
I.. Dichteverteilungen von Atomkernen I.. a Ladungsdichteverteilung Zur Beschreibung eines ausgedehnten elektrisch geladenen Bereichs, insbesondere eines Atomkerns, ist mehr als seine Gesamtladung Q erforderlich.
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