ANALYTISCHE BERECHNUNGEN AM

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "ANALYTISCHE BERECHNUNGEN AM"

Transkript

1 Schule Bundesgymnasiu um für Berufsäige Salzburg Modul Thema Mahemai 8 Arbeisbla A 8-6 Kreis ANALYTISCHE BERECHNUNGEN AM KREIS Bisher onnen wir lediglich die Fläche, den Umfang oder den Radius eines Kreises berechnen. Es is uns bisher aber noch nich möglich, zum Beispiel den Schnipun eines Kreises mi einer Geraden rechnerisch zu ermieln. Genau darum geh es uns nun. Wir möchen den Kreis in Abhängigei von seiner Posiion in einem Koordinaensysem durch eine Gleichung beschreiben und die verschiedensen Aufgaüberlegen, die den Kreis bensellungen rechnerisch, also nich zeichnerisch lösen. Als Erses müssen wir uns dazu einmal eine Gleichung beschreib. DIE KREISGLEICHUNG Als Erses müssen wir uns überlegen, was ein Kreis überhaup is: Definiion: Ein Kreis is die Menge aller Pune, die zu einem gegebenen Pun ( Mielpun M) gleichen Absand haben ( Radius r). Ferigen wir uns dazu eine Sizze an. Um den Beginn leicher zu halen, ver- wenden wir dazu einen Kreis, der seinen Mielpun im Koordinaenursprung ha. M Nun zeichnen wir einen beliebigen Pun P des Kreises ein, welcher ja allgemein die Koordinaen P(/y) ha.

2 P(/y) M r y Sie erennen hoffenlich, dass die Größen, y und r ses ein rechwineliges Dreiec bilden (Was für jeden beliebigen Pun des Kreises gil). Das heiß, dass wir den pyhagoräischen Lehrsaz auf dieses Dreiec anwenden dürfen. Es folg daraus: y r Und schon haben wir eine Gleichung gefunden, die allgemein einen Kreis mi dem Mielpun im Ursprung beschreib. Definiion: Jeder Kreis mi dem Mielpun M im Ursprung wird durch die Gleichung : y r beschrieben. Durch diese Gleichung läss sich nun ein Kreis ganz leich beschreiben. Sehen wir uns dazu Beispiele an: Beispiel: Sellen sie die Gleichung eines Kreises auf, der seinen Mielpun im Ursprung ha und den Radius ha. Der Kreis muss der Gleichung y r ensprechen. Wir müssen nur r einsezen und schon haben wir die Kreisgleichung: : y 6 Beispiel: Sellen sie die Gleichung eines Kreises auf, der seinen Mielpun im Ursprung ha und durch den Pun P(5/) geh.

3 Da der Mielpun im Ursprung lieg, muss der Kreis der Gleichung : y r ensprechen. Wir müssen uns aber noch den Radius r errechnen, dami wir den Kreis eplizi angeben önnen. Dazu önnen wir aber den Pun P verwenden. Da der Pun P auf dem Kreis liegen soll, muss er folglich die Kreisgleichung erfüllen, das heiß wir dürfen seine Koordinaen für und y in die Kreisgleichung einsezen: : 5 r Nun läss sich r errechnen: 5 r r 6 Nun önnen wir die Gleichung des Kreises angeben: : y 6 Übung: Übungsbla ; Aufgaben Nun müssen wir uns aber mi der Frage beschäfigen, wie die Kreisgleichung aussieh, wenn der Mielpun nich mehr im Koordinaenursprung lieg. Geben wir dazu dem Mielpun allgemein die Koordinaen M(u/v). Wir wählen auch hier wieder einen beliebigen Pun P(/y) auf dem Kreis. Sehen wir uns dies an einer Sizze an: P(/y) M(u/v) Auch hier is es wieder unser Ziel, dass wir die Kreisgleichung durch den pyhagoräischen Lehrsaz erhalen. Wir önnen auch hier ein rechwineliges Dreiec einzeichnen, welches sich für jeden Pun des Kreises ergib.

4 P(/y) M(u/v) Die Längen dieses Dreiecs lassen sich nun aber durch die Koordinaen der Pune M und P ausdrücen: P(/y) M(u/v) r y y-v v u -u Wenn wir nun den Saz des Pyhagoras anwenden, so erhalen wir die ensprechende Kreisgleichung: ( u) ( y v) r Dami haben wir die Gleichung eines Kreises allgemein definier: Definiion: Die allgemeine Gleichung eines Kreises mi dem Mielpun M(u/v) und dem Radius r laue: : u y v r ( ) ( ) Sehen wir uns nun die Umsezung an Beispielen an:

5 Beispiel: Ermile die Gleichung eines Kreises mi dem Mielpun M(-6/6) und dem Radius r 0. Wir müssen lediglich in die Kreisgleichung den Mielpun M und den Radius r einsezen, wobei für die Koordinaen des Mielpunes gil: M(-6/6) u v Wir sezen ein: ( 6 ) y 6 0 Wir erhalen: : 6 y 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 00 Beispiel: Ermile die Gleichung eines Kreises mi dem Mielpun M(/-), der durch den Pun P(7/-8) geh. In diesem Fall müssen wir uns nur zusäzlich den Radius ermieln. Dies geh aber ganz einfach, da ja der absand der Pune M und P der Radius sein muss. Wir sellen also einfach einen Veor von M nach P auf und der Berag dieses Veors muss der Radius sein. Wir berechnen den Veor: 7 MP 8 6 Der Berag dieses Veors muss nun der Radius sein: r MP ( 6) 5 Nun önnen wir die Kreisgleichung angeben, da wir den Mielpun und den Radius ennen: : ( ) ( y ) 5 Übung: Übungsbla ; Aufgaben

6 Ermieln des Mielpunes und des Radius aus der gegebenen Kreisgleichung. Wir haben oben fesgeleg, wie man bei gegebenen Mielpun und Radius die Kreisgleichung fiier. Nun haben wir die umgeehre Aufgabensellung. Wie ermile ich bei gegebener Kreisgleichung den Mielpun und den Radius? Is der Kreis in seiner ursprünglichen Form gegeben, so sell dies ein Problem dar: Beispiel: Ermile Mielpun und Radius des Kreises :( ) ( y ). Wir müssen dazu nur die Kreisgleichung mi der Definiion vergleichen: : ( ) ( y ) ( u) ( y v) : r Folglich laue die Anwor: M ( / ) r Anmerung: Beachen Sie bie, dass sie für die Koordinaen des Mielpunes die Rechenzeichnung aus der Gleichung genau verändern müssen (Aus Plus wird Minus und umgeehr). Übung: Übungsbla ; Aufgabe 70 So wei wäre diese Aufgabensellung ja ganz einfach. Das Problem lieg aber darin, dass die ursprüngliche Kreisgleichung aber of ausquadrier und zusammengefass angegeben is. Aus dieser Gleichung sind nun der Mielpun und der Radius nich mehr so leich ablesbar. Dami Sie sich dies vorsellen önnen forme ich die obige Kreisgleichung um. :( ) ( y ) Wir lösen die Binome auf: y y Ich fasse die line Seie zusammen: y y 5 / 5 : y y 7 Wenn wir nun aber den Kreis in dieser Form gegeben haben, so sell sich die Frage wie wir den Mielpun und den Radius nun berechnen? Sehen wir uns dies an eben diesem Beispiel an: 6

7 Beispiel: Berechne Mielpun und Radius des Kreises : y y 7..Schri. Als Erses dividieren wir die Gleichung so, dass vor und der Faor seh. Dies is bei unserem Beispiel bereis der Fall.. Schri: Ordne die line Seie der Gleichung so, dass zuers die Elemene mi und dann die Elemene mi y folgen. : y y 7.Schri: Nun müssen wir die Gleichung wieder in ihre ursprüngliche Form : ( u) ( y v) r zurücführen. Dies geschieh mi dem sogenannen Ergänzen auf ein vollsändiges Quadra. Gemein is dami Folgendes. Wenn wir uns die ersen beiden Elemene der Kreisgleichung (Jene mi ) anschauen, so müssen dies die ersen beiden Elemene des ausquadrieren Binoms u sein. ( ) Denn ( u) ergib ja u u. In unserer Kreisgleichung liegen dabei für folgende Ensprechungen vor: u u : y Dami haben wir nun wieder die ursprüngliche Kreisgleichung und önnen Mielpun und Radius ablesen: 7 y 7 y Sie erennen hoffenlich, dass uns das u fehl, dami hier wirlich eine binomische Formel vorlieg. Wir müssen uns also fragen, wie groß das Elemen u sein muss. Dies läss sich aber leich ermieln. Beim mileren Elemen ensprich dem Zahlenwer vor dem genau u. Folglich muss also u genau die Hälfe des Zahlenweres vor sein. Bei uns beräg u hier also genau, folglich is u also. Wir müssen also dazugeben um ein vollsändiges Quadra vorliegen zu haben. Mere: Um auf das vollsändige Quadra zu ergänzen, muss man einfach die Hälfe des mileren Elemenes quadrieren (Vorausgesez, dass vor dem quadraischen Elemen der Faor seh). Dieselbe Operaion führen wir nun für y durch. Hier is der Zahlenwer vor dem y, Folglich is die Hälfe davon also gleich dem v. v is dami ebenfalls gleich..schri: Ergänze nun zu diesen Vollsändigen Quadraen. Dami die Gleichung richig bleib muss auch die reche Gleichungsseie mi diesen Weren erweier werden. : y y 7 Nun önnen wir die reche Seie zusammenfassen: y y 5.Schri: Nun schreiben wir die beiden Ausdrüce als Binome an: : y ( ) ( )

8 M ( / ) r Ein weieres Beispiel dazu: Beispiel: Ermile Mielpun und Radius des Kreises : y 8y Dami vor den quadraischen Elemenen der Faor seh dividieren wir die Gleichung zunächs durch und ordnen sie gleich nach und y Elemenen: : y 8y / : y y Wir erweiern beide Ausdrüce auf vollsändige Quadrae und fügen die hinzugefügen Were auch auf der rechen Gleichungsseie hinzu: y y Wir fassen die reche Gleichungsseie zusammen und schreiben die Ausdrüce lins als Binome. Dami haben wir die Kreisgleichung: : Dami erhalen wir: ( ) ( y ) M ( / ) r Übung: Übungsbla ; Aufgabe 7 8

9 Lage eines Punes zu einem Kreis Ein Pun ann bezüglich eines Kreises drei Lagen einnehmen: Pun lieg innerhalb des Kreises Pun lieg auf dem Kreis Pun lieg außerhalb des Kreises P P P M M M Welche Lage nun vorlieg is ganz leich feszusellen: a)absand des Mielpunes zu P is leiner als der Radius Pun lieg innerhalb des Kreises. b)absand des Mielpunes zu P is gleich dem Radius Pun lieg auf dem Kreis. a)absand des Mielpunes zu P is größer als der Radius Pun lieg außerhalb des Kreises. Sehen wir uns dazu ein Beispiel an: Beispiel: Unersuche die Lage des Punes A(/-) bezüglich des Kreises : y 6 8y 0. Um die Lage fessellen zu önnen, müssen wir Mielpun und Radius des Kreises wissen. Wir formen den Kreis also zunächs einmal so um, dass wir diese Angaben ablesen önnen: : y 6 8y 0 / 6 y 8y Wir ergänzen auf ein vollsändiges Quadra und fügen diese Were auch auf der rechen Gleichungsseie hinzu: 6 9 y 8y Wir fassen die reche Seie zusammen und schreiben die line Seie als Binome. Dami haben wir die Kreisgleichung: ( ) ( y ) : Wir erhalen: M(/-) und r Nun müssen wir noch den Absand der Pune A und M ermieln. Wir berechnen den Veor MA: 0 MA 9

10 Der Berag dieses Veors is der Absand der beiden Pune: MA 0 Da der Absand gleich dem Radius is, muss der Pun auf dem Kreis liegen. Übung: Übungsbla ; Aufgabe 7 Auch die Koordinaen eines Punes lassen sich ganz einfach berechnen. Sehen wir uns ein Beispiel an: Beispiel: Der Pun ( / y < 0) A soll auf dem Kreis [(/);5] liegen. Berechne A die y-koordinae des Punes. Zunächs einmal haben wir hier wieder eine neue Schreibweise: [(/);5] Mielpun Radius Wir haben also einen Kreis mi dem Mielpun M(/) und dem Radius r 5. Sellen wir die Gleichung dieses Kreises auf: : ( ) ( y ) 5 Da der Pun A auf dem Kreis liegen soll, muss er die Kreisgleichung erfüllen. Folglich sezen wir seine Koordinaen in die Gleichung ein: ( ) ( y ) 5 A Dami haben wir eine Gleichung mi einer Unbeannen, aus der sich der y-wer berechnen läss. Wir lösen die Quadrae auf: 6 y y 5 A A Wir erhalen eine quadraische Gleichung. Wir ordnen die Gleichung also so an, dass wir sie miels unserer Lösungsformel lösen önnen: y y A A y y A A ± y ± 6 y 6 y 6 y / 5 0

11 Da lau Angabe der y-wer des Punes A leiner Null sein soll, ha der Pun also die Koordinaen: A(-/-) Übung: Übungsbla ; Aufgabe 7 Umwandlung der veoriellen Kreisgleichung in die allgemeine Kreisgleichung Neben der Ar wie wir einen Kreis darsellen, ann man die Kreisgleichung auch miels Veoren angeben. Wir werden dies zwar nich durchführen, sie müssen aber fähig sein, die veorielle Kreisgleichung in die allgemeine Kreisgleichung überzuführen. Sehen wir uns dies an einem Beispiel an: Beispiel: Ermile Mielpun und Radius des Kreises : X X 0 Wir müssen die Kreisgleichung zuers aus der veoriellen Form in die allgemeine Kreisgleichung überführen. Dazu müssen wir uns lediglich bewuss sein, was die einzelnen Ausdrüce bedeuen: Sehen wir den ersen Ausdruc an: X X X y y y Ebenso erhalen wir für den zweien Ausdruc: X y y Wir sezen in die Kreisgleichung ensprechend ein: y y 0 Wir führen wieder das Ergänzen auf ein vollsändiges Quadra durch: y y : 6 y y 6 ( 6) ( y ) 7 Daraus folg: M ( 6 / ) r 7 Übung: Übungsbla ; Aufgabe 7

12 ERMITTELN DER KREISGLEICHUNG Wir wollen uns nun bemühen, die Gleichung spezieller Kreise zu ermieln. Beispiel: Ermile die Gleichung jenes Kreises mi dem Mielpun M(-/), der () die -Achse berühr () die y-achse berühr, () durch den Ursprung geh. ()Ermieln wir also jenen Kreis, der bei gegebenem Mielpun die - Achse berühr. Dazu müssen wir uns zunächs einmal lar werden, was es bedeue, dass ein Kreis eine Gerade berühr: T M Sie sehen an der Zeichnung, dass das Wor berühren also bedeue, dass sich Kreis und Gerade nur in einem Pun schneiden. Die wichige Sache dabei is, dass die berührende Gerade und die Srece vom Berührpun T zum Kreismielpun M immer im rechen Winel aufeinander sehen. Die berührende Gerade nenn man eine Tangene. Saz: Eine Tangene is ses im rechen Winel auf die Srece vom Berührpun zum Mielpun des Kreises. Nun önnen wir uns in unserem Beispiel überlegen, was dies bedeue, wenn wir den Mielpun ennen und der Kreis die -Achse berühren soll. Ferigen wir dazu eine Sizze an: M ( / y) Sie erennen hoffenlich an der Sizze, dass die y-koordinae (Ohne Vorzeichen) in diesem Fall genau der Radius r sein muss. Nachdem bei uns der Mielpun die Koordinaen M(-/) ha, muss also r sein. Dami önnen wir aber die Kreisgleichung des gesuchen Kreises angeben.

13 : ( ) ( y ) ()Nachdem der Kreis jez die y-achse berühren soll, muss der Berag der -Koordinae des Mielpunes genau der Radius sein, bei uns is r also gleich. Dami laue dieser Kreis: : y ( ) ( ) 6 () Da der Kreis durch den Pun O(0/0) gehen soll, muss r der Berag des Veors OM sein: OM OM 6 0 r Dami laue die Kreisgleichung: : y ( ) ( ) 0 Übung: Übungsbla 5; Aufgabe 75 Beispiel: Ermile die Gleichung des durch P(/6) gehenden Kreises, der beide Koordinaenachsen berühr. Um den Kreis angeben zu önnen, müssen wir Mielpun und Radius des Kreises wissen. Denen wir zunächs einmal an den Mielpun. Da der Pun P im ersen Quadranen lieg, muss auch der Kreis selbs und dami sein Mielpun im ersen Quadranen liegen. Wenn nun dieser Kreis beide Koordinaenachsen berühr, müssen beide Koordinaen des Mielpunes r sein. M ha also die Koordinaen M(r/r). (Überlegen sie sich dies an einer Sizze!!!) Dami önnen wir aber einmal in die allgemeine Kreisgleichung diese Koordinaen von M einsezen. Die allgemeine Kreisgleichung laue: :( u) ( y v) r Wir sezen M ein: : r y r r ( ) ( ) Da nun aber auch P auf diesem Kreis liegen soll, önnen wir die Koordinaen des Punes P für und y einsezen: ( r ) ( 6 r) r Dami haben wir aber eine Gleichung mi einer Unbeannen, aus der wir uns r errechnen önnen.

14 Wir poenzieren zunächs die Binome: 9 6r r 6 r r r Wir fassen die line Seie zusammen: r 8r 5 r / r r 8r 5 0 Mi unserer Lösungsformel für quadraische Gleichungen berechnen wir nun r: 8 ± 8 5 r 8 ± r 8 r 5 8 r Es gib also zwei Kreise, die die Bedingungen erfüllen. Der Mielpun des ersen Kreises laue demzufolge: M ( 5 /5), der Mielpun des M /. Die beiden Kreise lauen also: zweien Kreises: ( ) : ( 5) ( y 5) 5 ( ) ( y ) 9 : Übung: Übungsbla 5; Aufgabe 76 Beispiel: Ermile die Gleichung eines Kreises, der die -Achse berühr, den Pun P(0/) enhäl und den Radius r ha. Da wir den Radius bereis ennen, müssen wir noch den Mielpun ermieln, um den Kreis angeben zu önnen. Als Erses önnen wir wieder ausnüzen, dass der Kreis die -Achse berühren soll. Dies bedeue aber wie wir oben erann haben, dass die y- Koordinae des Mielpuns genau der Radius r sein muss. M ha also die Koordinaen M(u/). Sezen wir M in die allgemeine Kreisgleichung ein: : u y ( ) ( ) 69 Da der Kreis außerdem durch den Pun P gehen soll, önnen wir diesen in die Kreisgleichung einsezen: ( 0 u) ( ) 69 : Nun önnen wir uns u berechnen. Wir quadrieren zunächs: 00 0u u 69 Wir fassen die line Seie zusammen:

15 u u 0u 69 / 69 0u ± u 0 ± 0 u 0 0 u u 5 Auch hier gib es also wieder zwei Lösungen. Die Koordinaen der jeweiligen Mielpune lauen: M ( 5 /) M ( 5 /) Dami laue der gesuche Kreis: : 5 y ( ) ( ) 69 ( 5) ( y ) 69 : Übung: Übungsbla 5; Aufgabe 77 Beispiel: Ermile die Gleichung eines Kreises, der durch die Pune P(-8/-7) und Q(9/-0) geh und den Radius r ha. Wir machen uns zunächs einmal eine Sizze, die uns lar mach, was es bedeue, dass der Kreis durch zwei gegebene Pune gehen soll: Q P Da ja ein Kreis die Menge aller Pune darsell, die gleichen Absand zum Mielpun haben, bedeue dies, dass der Mielpun von P und Q gleich wei enfern sein muss. Alle Pune, die von P und Q gleich wei enfern sind, liegen aber auf der so genannen Srecensymmerale der Srece PQ (Dies is eine Gerade, die durch den Halbierungspun H der Srece PQ geh und normal auf die Srece PQ is). Ich zeichne die Srecensymmerale ein: 5

16 6

17 H Q P Srecensymerale Wenn wir uns nun aber hier den Mielpun einzeichnen, beommen wir ein rechwineliges Dreiec, von dem wir zwei Längen ennen bzw. berechnen önnen (Radius r is die Srece MP, und die Srece PH ). PH H Q P r M Srecensymmerale Nun läss sich aber miels des Sazes des Pyhagoras die Länge der Srece MH ermieln. Wenn wir aber diese Länge wissen, önnen wir miels der Veorrechnung die Koordinaen von M angeben und dami haben wir die Kreisgleichung. Führen wir nun das Ganze praisch durch: Als Erses berechnen wir uns die Koordinaen des Halbierungspunes H: H / 7 H / Nun önnen wir die Länge der Srece PH ermieln. Dazu sellen wir zunächs den Veor PH auf: 7 8 PH Der Berag dieses Veors muss nun die gesuche Länge sein: 7

18 PH Miels des Sazes von Pyhagoras önnen wir nun die Länge der Srece MH berechnen: MH MH MH r PH Nun wissen wir also, dass wir vom Pun H aus genau PH gehen müssen, um zum Miel- Richung des Normalveors von pun zu gelangen. Wir ermieln uns den Normalveor auf 7 PH 7 8 Einheien in PH : Da uns nur die Richung ineressier, mulipliziere ich den Veor noch mi : 7 PH 7 Nun bilde ich den Normalveor: 7 PH n 7 n Da wir eine besimme Länge dieses Veors benöigen, berechnen wir uns noch den Einheisveor dieses Veors: 7 n n Nun önnen wir die Koordinaen von M berechnen. Wir gelangen zu M, indem wir an den Pun H genau 8 M H n 0 Wir sezen ensprechend ein: 8 mal den Veor n 0 anhängen: 8

19 M Wir vereinfachen: Wir erhalen: M Wir önnen die Wurzel ürzen: M Wir führen die Mulipliaion durch: M M M ha also die Koordinaen M(/-). Da wir r ennen, önnen wir die Kreisgleichung nun angeben: ( ) ( ) 69 : y Übung: Übungsbla 5; Aufgabe Beispiel: Ermile die Gleichung des Umreises des Dreiecs A(-9/-), B(6/-6) und C(/5). Zur Erinnerung aus früheren Semesern. Uner dem Umreis verseh man einen Kreis, der durch alle drei Ecpune geh. Man erhäl den Umreismielpun als Schnipun der Seiensymmeralen. Wir sellen uns also zunächs einmal grafisch vor, wie man diesen Umreismielpun onsruier: C

20 A B Um die Srecensymmerale auf die Srece AB zu onsruieren, halbieren wir die Srece und errichen in diesem Halbierungspun H eine Normale auf die Seie AB (als Gerade g bezeichne). Dasselbe unernehmen wir mi der Seie AC. Wir halbieren die Srece und erhalen den Halbierungspun H und errichen in diesem Pun eine Normale auf die Seie AC (als Gerade h bezeichne). Der Schnipun dieser beiden Geraden is dann der Umreismielpun U. h g C H U A H B Genau so, wie man zeichnerisch den Umreismielpun ermiel, so errechnen wir auch analyisch die Koordinaen. Wir berechnen zunächs die Gleichungen der beiden Geraden g und h. Der Schnipun dieser beiden Geraden muss dann der Umreismielpun sein. Sellen wir zunächs die Gleichung der Geraden g auf. Zur Erinnerung: Man benöig immer einen Pun und einen Richungsveor, um die Gleichung der Geraden angeben zu önnen. Als Pun önnen wir uns die Koordinaen von H ermieln, da dies ja der Halbierungspun der Srece AB sein muss: H / 7 H / Um die Richung der Gerade feszulegen, nüzen wir aus, dass g normale auf AB sein muss. Wir besimmen also zunächs AB : AB (Da Länge unineressan) 6 5 Nun besimmen wir den Normalveor: AB n g 0

21 Dies muss also der Richungsveor der Geraden g sein. Die Gerade g laue also: 7 : X g Dasselbe führen wir nun zur Besimmung der Geraden h durch. H is der Halbierungspun der Srece AC. 5 / 9 H ( ) / H Die Richung der Geraden h muss normal auf die Srece AC sein. Wir besimmen also den Veor AC : AC Der Normalveor darauf laue: h AC n Dami önnen wir h angeben: : s X h Der Schnipun dieser beiden Geraden muss der Umreismielpun sein: 7 : s h g Wir spalen auf: s I : s II 7 : Ich eliminiere s: / : s I s II 7 : s I 6 : s II 7 :

22 / 5 :5 / 5 5 Wir sezen in g ein: 7 : X g Wir muliplizieren: 7 X Der Umreismielpun U ha also die Koordinaen U(-/-). Nun müssen wir nur noch den Radius des Kreises besimmen. Dies is aber einfach, da der Kreis ja durch alle drei Ecpune geh. Folglich muss zum Beispiel der Absand von U zu A der Radius sein. Wir besimmen den Veor UA: 8 9 UA Der Radius muss der Berag dieses Veors sein: 65 6 UA r Nun önnen wir die Gleichung des Umreises angeben: ( ) ( ) 65 : y

23 LAGE KREIS GERADE Bezüglich der Lage einer Geraden zu einem Kreis gib es drei Möglicheien: Gerade schneide den Kreis Gerade berühr den Kreis Gerade geh am Kreis vorbei S g T g g S Als Schnimenge erhäl man zwei Pune (S und S) Man nenn die Gerade eine Seane. Als Schnimenge erhäl man einen Pun (Berührpun T) Man nenn die Gerade eine Tangene. Als Schnimenge erhäl man eine leere Menge Man nenn die Gerade eine Passane. Man sieh also, dass man aus der Anzahl der erhalenen Schnipune sofor auch auf die Lage der Gerade bezüglich des Kreises schließen ann. Sehen wir uns dies nun an Beispielen an: Beispiel: Gegeben is der Kreis : y 5 und die Gerade g : y. Ermile die Lage der Geraden bezüglich des Kreises und gegebenenfalls die Koordinaen gemeinsamer Schnipune. Wir schneiden Kreis und Gerade. Als Verfahren wähle ich das Einsezverfahren, das heiß ich wandle die Geradengleichung nach oder y um (Enfäll hier, da die Gerade bereis in dieser Form gegeben is): g : y Nun sezen wir in der Kreisgleichung sa jedem y den Ausdruc ein: : y 5 ( ) 5 Nun önnen wir die -Koordinae der Schnipune aus dieser Gleichung lösen. Dazu lösen wir als Erses die binomische Formel auf: 5 Wir fassen zusammen:

24 5 / / : ± 8 ± Da wir zwei verschiedene -Were beommen, wissen wir bereis, dass die Gerade eine Seane is. Wir müssen nur noch die y-koordinae der Schnipune berechnen. Dazu sezen wir die beiden Lösungen jeweils in die Geradengleichung ein: Mere: Bie unbeding die Lösungen in die Geradengleichung einsezen, da man beim Einsezen in die Kreisgleichung zwei Lösungen erhalen würde, wovon aber nur eine richig is. Beim Einsezen in die Geradengleichung erspar man sich dieses Dilemma. Wir sezen in die Geradengleichung y ein: y S /. Dami laue der erse Schnipun: ( ) Wir sezen in die Geradengleichung y ein: y S /. Dami laue der erse Schnipun: ( ) Noch ein weiers Beispiel: Beispiel: Gegeben is der Kreis : y 5 und die Gerade g : y 6, 5. Ermile die Lage der Geraden bezüglich des Kreises und gegebenenfalls die Koordinaen gemeinsamer Schnipune. Wir schneiden Kreis und Gerade. Als Verfahren wähle ich das Einsezverfahren, das heiß ich wandle die Geradengleichung nach oder y um (Enfäll hier, da die Gerade bereis in dieser Form gegeben is): g : y 6,5

25 Nun sezen wir in der Kreisgleichung sa jedem y den Ausdruc 6,5 ein: : y 5 6,5 5 Wir lösen die binomische Formel auf: 9 8,75 9,065 5 / Wir fassen zusammen: / ± 6 6 / : 5 6 Da wir nur eine Lösung erhalen, muss die Gerade eine Tangene an den Kreis sein: Um die y-koordinae des Berührpunes zu berechnen, sezen wir den - Wer wieder in die Geradengleichung ein: y ( ) 6,5 Der Berührpun laue also: T ( / ) Ein lezes Beispiel: Beispiel: Gegeben is der Kreis : y 5 und die Gerade g : y 8. Ermile die Lage der Geraden bezüglich des Kreises und gegebenenfalls die Koordinaen gemeinsamer Schnipune. Wir schneiden Kreis und Gerade. Als Verfahren wähle ich das Einsezverfahren, das heiß ich wandle die Geradengleichung nach oder y um (Enfäll hier, da die Gerade bereis in dieser Form gegeben is): g : y 8 Nun sezen wir in der Kreisgleichung sa jedem y den Ausdruc 8 ein: : y 5 5

26 8 5 Wir lösen die binomische Formel auf: / Wir fassen zusammen: / ± ± 096 n. d. 0 Es gib also eine gemeinsamen Schnipune. Folglich is die Gerade also eine Passane. Übung: Übungsbla 6; Aufgaben 8 8 SCHNITT ZWEIER KREISE Auch beim Schneiden zweier Kreise ann man als Lösung zwei, einen oder einen Schnipun erhalen (Überlegen Sie sich dies miels einer Zeichnung). Das Problem is also ziemlich iden dem Schni einer Gerade mi einem Kreis, allerdings auch ein rechenechnisches Problem auf, welches sie gleich sehen werden. Sehen wir uns dazu ein Beispiel an: Beispiel: Berechne die Schnipune der Kreise M ( / ) M ( ); 0. [ ] / 6 [ ; 0] und Wir sellen als Erses die beiden Kreisgleichungen auf und quadrieren diese aus: Der erse Kreis laue: : ( ) ( y ) 0 Wir quadrieren diesen aus: 8 6 y y 0 Wir fassen zusammen: 8 y y 0 0 / 0 : 8 y y 0 Der zweie Kreis laue:

27 ( ) ( y ) 0 : Wir quadrieren diesen aus: y 6y 9 0 Wir fassen zusammen: y 6y 0 0 / 0 : y 6y 0 Ich schreibe nun die beiden Gleichungen unereinander: : 8 y y 0 : y 6y y eliminieren. Dazu mulipliziere ich die zwei- Wir wollen nun die und e Gleichung mi : : 8 y y 0 0 : y 6y 0 / : 8 y y 0 : y 6y 0 0 0y 0 y / :0 ( ) Das Problem, welches wir haben is, dass sich beim Schni der beiden Kreise eine Gleichung mi zwei Unbeannen ergeben ha (Weder noch y sind weggefallen). Diese Gleichung läss sich aber nich eindeuig lösen. Um das Problem zu lösen, müssen wir uns nur bewuss werden, was wir erhalen haben. Die erhalene Gleichung is eine lineare Gleichung in und y. Wir haben aber bereis gelern, dass solche Gleichungen grafisch dargesell immer Geraden sein müssen. Außerdem muss diese Gerade beide Kreisgleichungen erfüllen. Folglich muss diese Gerade also durch die beiden Schnipune der Kreise gehen. Ich sizziere dies und zeichne die Gerade g ein: K K g Um die Koordinaen der Schnipune zu erhalen, müssen wir also nun nur die erhalene Gerade g mi einem der beiden Kreise schneiden. Ich wähle den ersen Kreis. Dazu formen wir die Gerade nach einer Variablen um: g : y / y 7

28 Nun sezen wir ensprechend für y in die erse Kreisgleichung ein: : 8 ( ) ( ) 0 Wir lösen die Klammern auf: Wir fassen zusammen: 8 0 / / : 0 ± 6 ± Um die ensprechenden y-were zu erhalen, sezen wir in die Geradengleichung ein (Vorsich: Nich in den Kreis einsezen): g : y y y S / S / Die Schnipune lauen also: ( ) ( ) Übung: Übungsbla 6; Aufgabe 85 KREISTANGENTEN Für das Berechnen von Tangenen an einen Kreis gib es sehr viele Möglicheien. Wir werden uns dabei auf die rechnerische Umsezung der zeichnerischen Möglichei beschränen, d.h. wir nüzen nur aus, dass die Tangene an einen Kreis ses normal auf die Srece vom Mielpun zum Berührpun seh. T M Legende:...Tangene T...Berührpun 8

29 M..Kreismielpun Mere: Eine Tangene seh immer normal auf die Srece vom Berührpun zum Kreismielpun. Sehen wir uns gleich einmal an, wie wir diesen Zusammenhang praisch ausnüzen önnen. Beispiel: Ermile die Tangene an den Kreis : X 00 9 im Pun ( 8 / y > 0) T. Als Erses schreiben wir die Kreisgleichung in die allgemeine Form um: : y 00 Als Nächses berechnen wir uns die fehlende y-koordinae des Berührpunes T. Da dieser auf dem Kreis lieg, dürfen wir ihn in die Kreisgleichung einsezen. Wir sezen also dessen beannen -Wer ein und berechnen uns anschließend daraus die y-koordinae. : y 00 6 y 00 / 6 y 6 / y ±6 Da lau Angabe die y-koordinae >0 sein soll, is also 6 die richige Lösung. Der Pun T ha also die Koordinaen: T(-8/6) Nun müssen wir uns überlegen, wie wir die Tangene erhalen. Jede Tangene is eine Gerade. Um eine Gerade darsellen zu önnen, benöig man einen Pun auf der Geraden und einen Richungsveor der Geraden. Den Pun haben wir bereis. T muss ja auf der gesuchen Tangene liegen. Wir benöigen also noch den Richungsveor der Geraden. Hier önnen wir nun aber ausnüzen, dass die Gerade normal auf die Srece MT seh. Wir sellen uns also einfach den Veor MT auf und der Normalveor darauf, muss der Richungsveor der Tangene sein. Beginnen wir mi dem Veor MT. Die Koordinaen des Mielpunes lassen sich aus der Kreisgleichung ablesen. In diesem Fall ha M die Koordinaen M(0/0). Folglich laue MT : 8 MT 6 Nun bilden wir den Normalveor auf diesen Veor: 6 MT n 8 Dies muss wie gesag der Richungsveor der Tangene sein. Dami önnen wir die Tangene angeben. Allgemein laue diese hier: T

30 : Wir erhalen: X T s 8 : X s 6 Übung: Übungsbla 6; Aufgaben Dieses Problem ann nun in den verschiedensen Variaionen aufauchen: 6 7 Beispiel: Die Gerade : X is Tangene an den Kreis 9 : M / ; r 65. Berechne die Koordinaen des Berührpunes. [ ( ) ] Der logische Lösungsweg is hier denbar einfach. Wenn wir den Kreis mi der Tangene schneiden, müssen wir den Berührpun T als Schnipun erhalen. Ich selle also zunächs einmal die Kreisgleichung auf: : ( ) ( y ) 65 Nun schneiden wir Kreis und Tangene. Da wir die Tangene in Parameerdarsellung haben, spale ich dies zunächs auf und seze dann die ensprechenden Ausdrüce für und y in die Kreisgleichung ein: Ich spale also die Tangenengleichung auf: 6 7 y 9 Die rechen Ausdrüce seze ich nun für und y in die Kreisgleichung ein: : y ( ) ( ) 65 ( 6 7 ) ( 9 ) 65 Wir sehen, dass wir eine Gleichung mi einer Unbeannen erhalen. Diese önnen wir beannermaßen lösen: Wir vereinfachen zunächs die Klammern: 7 ( ) ( ) 65 Wir quadrieren die Klammern aus: Wir fassen die line Gleichungsseie zusammen: / / : 65 ± Beachen Sie, dass wir logischerweise nur einen Wer für erhalen dürfen, da ja die Gerade eine Tangene an den Kreis is. Den Wer für sezen wir in die Geradengleichung ein: 6 7 : X 9

31 X 5 Dami haben wir die Koordinaen des Berührpunes T: T ( / 5) Übung: Übungsbla 6; Aufgabe 89

32 Beispiel: Besimme den Radius r des Kreises mi dem Mielpun M(-/) so, dass die Gerade : y 5 Tangene wird. Überlegen wir uns an einer Sizze, was gegeben is. Wir haben den Mielpun eines Kreises und eine Tangene an den Kreis gegeben. M Wenn wir nun von unserem Mielpun aus einen Kreis so ziehen wollen, dass die Gerade Tangene is, müssen wir beachen, dass die Verbindung des Mielpuns zum Berührpun T genau im rechen Winel auf die Tangene sehen muss. Wenn wir also umgeehr eine Gerade im rechen Winel auf die Gerade durch den Mielpun M ziehen, so muss der Schnipun dieser Geraden g mi der Tangene T genau der Berührpun T sein: T M Sellen wir also als Erses die Gerade g auf. Dazu benöigen wir wieder einen Pun und einen Richungsveor. Als Pun haben wir bereis M, da ja die Gerade hier durchgehen soll. Für den Richungsveor nüzen wir wieder aus, dass die Gerade g im rechen Winel auf die Gerade sehen muss. Den Normalveor auf önnen wir ja aus der parameerfreien Darsellungsform dire ablesen. Es müssen dies die Koeffizienen vor und y sein (Siehe.Semeser): Da die Tangene : y 5 laue, muss also der Normalveor auf lauen und dies is der Richungsveor der Geraden g: g Nun önnen wir die Gerade g angeben. Allgemein laue diese: g : Wir sezen ein: X M s g g : X s g

33 Nun schneiden wir die Geraden g und h und erhalen als Schnipun den Berührpun T: Da hier die Gerade parameerfrei vorlieg, spalen wir die Gerade g auf und sezen dann in ein: Wir spalen g auf: s y s Nun sezen wir für und y ensprechend in ein: : y 5 ( s ) ( s) 5 Nun haben wir wieder ein Gleichung mi einer Unbeannen, die wir lösen. Wir lösen die Klammern auf: 8 6s 9s 5 Wir fassen die line Gleichungsseie zusammen: 5 s 0 5 / 0 5 s 5 / : 5 s Wir sezen in die Gerade s ein und erhalen den Berührpun T: g : X X T ( /) Um nun den Kreisradius zu ermieln, müssen wir lediglich den Veor MT aufsellen. Dessen Berag muss der Radius sein: MT r MT Übung: Übungsbla 6; Aufgabe 90 9

34 Beispiel: Ermile die Gleichungen, der zur Geraden g : y 0 parallelen 0 Tangenen an den Kreis : X X. Machen wir uns zunächs wieder eine Sizze. Es is ein Kreis und eine Gerade gegeben: g M Überlegen wir uns, wie wir zeichnerisch Tangenen an den Kreis onsruieren würden, die parallel zur Geraden g sind: Wir würden eine Normale auf die Gerade g durch den Mielpun des Kreises onsruieren (Als Gerade h bezeichne. Wenn ich diese Gerade h mi dem Kreis schneide, müssen dies die Berührpune der parallelen Tangenen und sein. h T g M T Genau dies führen wir nun rechnerisch durch: Als Erses sellen wir die Gerade h auf, die normal auf g und durch den Pun M gehen soll. Für die Gerade benöigen wir wieder Pun und Richung. Als Pun önnen wir uns M aus der Kreisgleichung ermieln: 0 : X X Wir formen den Kreis in die allgemeine Kreisgleichung um:

35 Beache X y 0 y y Wir muliplizieren die Veoren salar: : y 0 y Nun müssen wir auf ein vollsändiges Quadra ergänzen, um den Mielpun zu berechnen: 0 y y : 0 5 y ( 5) ( y ) 5 y 5 Der Mielpun ha also die Koordinaen: M(5/) Nun benöigen wir noch den Richungsveor. Da h normal auf g sein soll, muss der Normalveor auf g der Richungsveor von h sein. Den Normalveor auf g önnen wir aber aus der allgemeinen Geradengleichung dire ablesen. Es müssen dies die Koeffizienen vor und y sein. Da die Gerade g g : y 0 laue, is der Normalveor darauf h. Dies muss der Richungsveor von h sein. Die Gerade h laue also allgemein: h : X M s h Eplizi laue also h: 5 h : X s Diese Gerade h schneiden wir nun mi unserem Kreis : Dazu spalen wir h auf: 5 s y s Nun sezen wir in die Kreisgleichung ensprechend ein: : 5 y ( ) ( ) 5 ( 5 s 5) ( s ) 5 Wir fassen die Klammern zusammen: ( s ) ( s) 5 Wir quadrieren aus: 9s s 5 s 5 / : s s ± Nun sezen wir beide s in die Gerade h ein und beommen die beiden Berührpune: 5

36 6 5 : s X h 5 X ( ) 6 / T X Wir sezen den zweien Wer ein: 5 X ( ) / 6 5 T X Dami haben wir je einen Pun für die beiden Tangenen. Jez benöigen wir nur noch die Richung. Da die beiden Tangenen aber parallel zur Gerade g sein sollen, muss der Richungsveor der Geraden g auch der Richungsveor der Tangenen sein. Den Richungsveor von g önnen wir aber leich besimmen. Wir haben bereis fesgesell, dass der Veor der Normalveor auf g is. Der Normalveor auf diesen Normalveor muss aber wiederum der Richungsveor von g sein. Dieser laue also. Dami önnen wir nun die beiden Tangenen angeben. Allgemein lauen diese: r T X,, : Eingesez erhalen wir: 6 : r X : u X Übung: Übungsbla 6; Aufgaben 9-9

37 SCHNITTWINKEL KREIS GERADE Zuers müssen wir einmal feslegen, was wir uner dem Schniwinel zwischen einem Kreis und einer Gerade versehen: Definiion: Uner dem Schniwinel zwischen einem Kreis und einer Gerade verseh man den Winel zwischen der Gerade und der Tangene an den Kreis im Schnipun. Machen Sie sich diese Definiion an der folgenden Sizze deulich: α α S S g Beachen Sie bie, dass man eigenlich zwei Schniwinel (α und α) erhäl. Da diese aber ses supplemenär sind, is es egal, welchen der beiden Winel man als Lösung angib. Des Weieren beachen sie bie, dass es genauso egal is, bei welchem der beiden Schnipune sie den Winel berechnen. Auf Grund der Symmerie des Kreises muss sich bei beiden Schnipunen derselbe Winel bilden. Nachdem wir nun wissen, was wir uner diesem Winel zu versehen haben, müssen wir uns noch überlegen, wie wir diesen berechnen. Dazu is ihnen aber bereis alles beann. Da die Gerade g eine Gerade is und die Tangene ebenfalls eine Gerade is, müssen wir folglich den Winel zwischen zwei Geraden berechnen. Dies haben wir aber bereis in der Veorrechnung gelern. Wir verwenden dazu die Formel: g h cos W g, h g h Dami solle uns also lar sein, dass wir die Richungsveoren der Gerade und der Tangene benöigen. Dann önnen wir in obige Formel einsezen und erhalen den gesuchen Winel. Beispiel: Berechne den Schniwinel zwischen der Gerade g : 5y 6 und dem Kreis : ( ) ( y ). 7

38 Wie gesag benöigen wir die Richungsveoren der Gerade und der Tangene. Beginnen wir mi der Gerade g. Da wir diese in der allgemeinen Geradengleichung sehen haben, müssen die Koeffizienen vor und y den Normalveor auf die Gerade bilden. Der Normalveor laue also: g 5 Der Normalveor auf diesen Normalveor muss aber dann der Richungsveor der Geraden sein. Wir erhalen: 5 g Nun berechnen wir uns den Richungsveor der Tangenen. Dazu schneiden wir zunächs einmal die Gerade g mi dem Kreis, um die Schnipune zu wissen. Ich wähle das Einsezverfahren und forme deshalb die Gerade g nach um: g : 5y 6 / 5y 6 5y Dies seze ich nun ensprechend in die Kreisgleichung ein: : y ( ) ( ) ( 6 5y ) ( y ) Ich vereinfache die erse Klammer: ( 5y ) ( y ) Wir quadrieren die Klammern aus: 59 0y 5y y y Wir fassen die line Gleichungsseie zusammen: 6y y 5 / 6y y 50 0 y 9 y / : 6 9 ± 8 80 y 9 ± y y 5 y Zur Berechnung der -Koordinae der Schnipune seze ich jeden der beiden Were in die Geradengleichung ein (Nich die Kreisgleichung verwenden!!): 6 5y 6 5 S( / 5) S ( 6 / ) Nun berechnen wir an einen der beiden Schnipune die Richung der Tangene. Welchen Pun man wähl is wie gesag für den Winel egal. Ich wähle S. Erinnern Sie sich, dass eine Tangene immer normal auf die

39 9 Verbindung vom Berührpun zum Mielpun des Kreises seh, d.h. dass wir nur den Veor vom Mielpun zu S aufsellen müssen und der Normalveor darauf, muss der Richungsveor der Tangene sein. Die Koordinaen des Mielpunes önnen wir aus der Kreisgleichung ablesen. Dieser laue: M(/) Nun berechnen wir den Veor MS : 5 MS Der Normalveor darauf muss der Richungsveor der Tangene sein: Nun önnen wir miels unserer Cosinusformel den Winel berechnen: g g g W, cos 5 5, cos g W 9 5 5, cos g W 6, cos g W 8, cos g W 8, arccos g W 5 g, W Übung: Übungsbla 6; Aufgabe 9 SCHNITTWINKEL ZWISCHEN ZWEI KREISEN Hier is die Definiion des Schniwinels ensprechend der Definiion des Winels zwischen Gerade und Kreis:

40 Definiion: Uner dem Schniwinel zweier Kreise verseh man den Winel zwischen den Tangenen an die beiden Kreise im Schnipun. α α S S Beachen Sie, dass sie auch hier wieder zwei mögliche Lösungswinel erhalen, die aber zueinander supplemenär sind. Weiers is es wieder egal bei welchem der beiden Schnipune sie den Winel berechnen. Der Weg is fas idenisch zur vorherigen Aufgabe. Wir müssen uns wieder die Richungsveoren der beiden Tangenen ermieln und dann önnen wir mi unserer Cosinusformel den Winel berechnen. [ ; 0] Beispiel: Berechne den Schniwinel zwischen den Kreisen M ( / ) und M ( ); 0. [ ] / Unser Ziel is es also, die beiden Richungsveoren der Tangenen an den Kreis zu erhalen. Dazu müssen wir aber zunächs einmal die Schnipune ennen. Wir schneiden also die beiden Kreise. Dazu selle ich die beiden Kreisgleichungen auf: : y ( ) ( ) 0 ( ) ( y ) 0 : Wir fassen jeden der beiden Kreise zusammen: : y ( ) ( ) y 8 y y 0 y 0 0 : 8 y y 0 / 0 ( ) ( y ) 0 : y 6y 9 0 y 6y 0 0 : y 6y 0 Nun schneiden wir die beiden Kreise: 0 / 0

41 : 8 y y 0 : y 6y 0 / 8 y y 0 ( ) y 6y 0 0 0y 0 / :0 g : y Dies is nun eine Gerade durch die beiden Schnipune. Diese schneiden wir mi dem ersen Kreis. Dazu forme ich die Gerade nach y um und seze in den ersen Kreis ein: g : y ( ) ( ) 0 : 8 Wir lösen die Klammern auf: Wir fassen die line Seie zusammen: 8 0 / / : ± 6 ± Zur Berechnung der y-were sezen wir in die Gerade g ein: g : y y S ( /) ( / ) y S Ich wähle den ersen Schnipun zur Berechnung des Schniwinels. Wir müssen also nun in diesem Pun die Richung der Tangenen an die beiden Kreise ermieln. Ermieln wir zunächs die Richung der Tangene an den ersen Kreis. Da die Tangene wieder normal auf die Verbindung zum Mielpun sehen muss, sellen wir zuers den Veor von M zu S auf. Der Normalveor muss der Richungsveor der Tangene sein. Wir berechnen also den Veor MS : MS Der Normalveor muss nun der gesuche Richungsveor der Tangene sein:

42 Nun ermieln wir im Pun S die Richung der Tangene an den zweien Kreis. Auch hier sellen wir wieder den Veor MS auf: MS Der Normalveor muss nun wieder der gesuche Richungsveor der Tangene sein: Nun berechnen wir uns wieder mi unserer Winelformel den Winel zwischen diesen beiden Veoren:, cos W, cos W 9, cos W 5 0 5, cos W 50 5, cos W 50 5 arccos, W 5, W Übung: Übungsbla 6; Aufgabe 95

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang+LehrerInnenteam ARBEITSBLATT 6-13 ERMITTELN DER KREISGLEICHUNG

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang+LehrerInnenteam ARBEITSBLATT 6-13 ERMITTELN DER KREISGLEICHUNG ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam ARBEITSBLATT - ERITTELN DER KREISGLEICUNG Wir wollen un nun bemühen, die Gleichung pezieller Kreie zu ermieln. Beipiel: Ermile die Gleichung jene Kreie mi dem

Mehr

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion)

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion) R. Brinkmann hp://brinkmann-du.de Seie.. Tangene und Normale Tangenenseigung Die Seigung eines Funkionsgraphen in einem Punk P ( f ( ) ) is gleichbedeuend mi der Seigung der Tangene in diesem Punk. Nachfolgend

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universiä Hannover Mahemaik für Ingenieure Mahemaik hp://www.windelberg.de/agq 14 Kurven in Parameerdarsellung, Tangenenvekor und Bogenlänge Aufgabe 14.1 (Tangenenvekor und

Mehr

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R.

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R. Abiuraufgaben Grundkurs 9 Bayern Analysis I I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P(

Mehr

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen Dr. G. Lechner Mahemaische Mehoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differenialgleichungen In der Vorlesung wurden drei unerschiedliche Typen von Differenialgleichungen (DGL) besprochen, die jeweils

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. (8 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Funkion h mi der Definiionsmenge [-7 ; 4]. Die Funkion H is eine Sammfunkion

Mehr

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen 7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus

Mehr

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat Fachag Mahemaik: Kurvenscharen Ablauf: 1. Sunde Gemeinsame Einsiegsaufgabe. Sunde Sammgruppenaufgaben Sammgruppen (a bis 6 Schüler) Jedes Gruppenmiglied erhäl eine unerschiedliche Aufgabe A, B, C, D in

Mehr

A.24 Funktionsscharen 1

A.24 Funktionsscharen 1 A.4 Funkionsscharen A.4 Funkionsscharen ( ) Bemerkung: Im Buch Kurvenprobleme gib es viel Aufgaben zu Funkionen, die einen Parameer enhalen. Falls Sie hier also nich genug kriegen... A.4.0 Orskurven (

Mehr

Ganzrationale Funktionenscharen. 3. Grades. Umfangreiche Aufgaben. Lösungen ohne CAS und GTR. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr.

Ganzrationale Funktionenscharen. 3. Grades. Umfangreiche Aufgaben. Lösungen ohne CAS und GTR. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr. Ganzraionale Funionenscharen. Grades Umfangreiche Aufgaben Lösungen ohne CAS und GTR Alle Mehoden ganz ausführlich Daei Nr. 47 Sand 7. Sepember 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Grundgebiete der Elektrotechnik II Feedbackaufgabe: Transiente Vorgänge

Grundgebiete der Elektrotechnik II Feedbackaufgabe: Transiente Vorgänge heinisch-wesfälische Technische Hochschule Aachen Insiu für Sromricherechni und Elerische Anriebe Universiäsprofessor Dr. ir. i W. De Doncer Grundgebiee der Eleroechni II Feedbacaufgabe: Transiene Vorgänge

Mehr

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl Typ A: Separierbare Differenialgleichungen I Gegeben sei die Differenialgleichung y () = f () g(y) in einem Bereich D der (, y) Ebene. Gil g(y) 0, so lassen sich die Variablen und y rennen: y () g(y) =

Mehr

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis www.mahe-aufgaben.com Analysis: Eponenialfunkionen Analysis Übungsaufgaben u Eponenialfunkionen Pflich- und Wahleil gesames Soffgebie (insbesondere Funkionsscharen) ohne Wachsum Gymnasium ab J Aleander

Mehr

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff Die Bioverfügbarkei is eine Messgröße dafür, wie schnell und in welchem Umfang ein Arzneimiel resorbier wird und am Wirkor zur Verfügung seh. Zur Messung der Bioverfügbarkei wird die Wirksoffkonzenraion

Mehr

Name: Punkte: Note: Ø:

Name: Punkte: Note: Ø: Name: Punke: Noe: Ø: Kernfach Physik Abzüge für Darsellung: Rundung: 4. Klausur in K am 5. 5. 0 Ache auf die Darsellung und vergiss nich Geg., Ges., Formeln, Einheien, Rundung...! Angaben: e =,60 0-9 C

Mehr

Signal- und Systemtheorie for Dummies

Signal- und Systemtheorie for Dummies FB Eleroechni Ewas Signal- und Sysemheorie or Dummies Version - Juli Oh No!!!! Pro. Dr.-Ing. ajana Lange Fachhochschule Merseburg FB Eleroechni Pro. Dr.-Ing. ajana Lange Signal- und Sysemheorie or Dummies

Mehr

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse 8 1. Mahemaische Grundlagen und Grundkennnisse Aufgabe 7: Gegeben sind: K = 1; = 18; p = 1 (p.a.). Berechnen Sie die Zinsen z. 18 1 Lösung: z = 1 = 5 36 Man beache, dass die kaufmännische Zinsformel als

Mehr

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponential- und Logarithmusfunktionen . ) Personen, Personen bzw. Personen ) Ewas weniger als Minuen. (Nach,... Minuen sind genau Personen informier.) ) Ja. Bereis um : Uhr sind (heoreisch) Personen informier. ) Informiere Miarbeierinnen und

Mehr

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II Fachbereich Mahemaik Prof. J. Bokowski Dennis Frisch, Nicole Nowak Sommersemeser 27 5., 8. und 2. Mai 5. Übungsbla zur Linearen Algebra II Gruppenübung Aufgabe G (Hüllen) In dieser Aufgabe soll es darum

Mehr

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 1. Übung (KW 43) Schwingender Körper ) Notbremse ) Stahlkugel )

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 1. Übung (KW 43) Schwingender Körper ) Notbremse ) Stahlkugel ) 1. Übun KW 43) Aufabe 1 M 1. Schwinender Körper ) Ein schwinender Körper ha die Geschwindiei v x ) = v m cosπ ). Er befinde T sich zur Zei 0 = T am Or x 4 0. Geben Sie den Or x und die Beschleuniun a x

Mehr

3.2 Festlegung der relevanten Brandszenarien

3.2 Festlegung der relevanten Brandszenarien B Anwendungsbeispiel Berechnungen Seie 70.2 Feslegung der relevanen Brandszenarien Eine der wichigsen Aufgaben beim Nachweis miels der Ingenieurmehoden im Brandschuz is die Auswahl und Definiion der relevanen

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwere un Eigenvekoren Vorbemerkung: Is ie n n Marix inverierbar, so ha as lineare Gleichungssysem A x b für jees b genau eine Lösung, nämlich x A b. Grun: i A x A A b b, ii Is y eine weiere Lösung,

Mehr

4. Quadratische Funktionen.

4. Quadratische Funktionen. 4-1 Funkionen 4 Quadraische Funkionen 41 Skalierung, Nullsellen Eine quadraische Funkion is von der Form f() = c 2 + b + a mi reellen Zahlen a, b, c; is c 0, so sprechen wir von einer echen quadraischen

Mehr

Universität Ulm Samstag,

Universität Ulm Samstag, Universiä Ulm Samsag, 5.6. Prof. Dr. W. Arend Robin Nika Sommersemeser Punkzahl: Lösungen Gewöhnliche Differenialgleichungen: Klausur. Besimmen Sie die Lösung (in möglichs einfacher Darsellung) folgender

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. Übungen zur Ingenieur-Mahemaik III WS 9/ Bla 3 7.. Aufgabe 59: Berechnen Sie die Bogenlänge der Schraubenlinie r γ() := r h mi π und inerpreieren Sie das Ergebnis geomerisch. Lösung: Der Tangenialvekor

Mehr

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals

Integralrechnung. Grundidee der Integralrechnung. Einführung des Riemann- Integrals 1/8 Grundidee der Inegralrechnung Inegralrechnung Die Inegralrechnung is neben der Differenialrechnung der wichigse Zweig der Analysis. Sie is aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung ensanden.

Mehr

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen N.BORGHINI Version vom 5. November 14, 13:57 Kernphysik III. Radioakive Zerfallsreihen Das Produk eines radioakiven Zerfalls kann selbs insabil sein und späer zerfallen, und so weier, sodass ganze Zerfallsreihen

Mehr

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986 001 - hp://www.emah.de 1 Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR Ihr Schabild sei K. a Unersche K af Asympoen, Schnipnke

Mehr

und zeigen Sie, dass der Punkt P auf g liegt. (c) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und E

und zeigen Sie, dass der Punkt P auf g liegt. (c) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und E Übungen zum ABI 8 Geomerie (Lineare Algebra) - Lösung eie von 7 Aufgaben incl Lösungen: Aufgabe G Gegeben sind eine Ebenenscar E :( + ) x+ x + ( ) x+ + = mi, eine Ebene E: x+ x + = und der Punk P( ) (a)

Mehr

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis E2 Kondensaor und Spule im Gleichsromkreis Es sollen experimenelle nersuchungen zu Ein- und Ausschalvorgängen bei Kapaziäen und ndukiviäen im Gleichsromkreis durchgeführ werden. Als Messgerä wird dabei

Mehr

Die Lösungen der Übungsaufgaben werden durch folgendes Lemma etwas vereinfacht:

Die Lösungen der Übungsaufgaben werden durch folgendes Lemma etwas vereinfacht: Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbe Fachgebie Theoreische Informaik, TU Ilmenau Muserlösung zum 2. Übungsbla Auomaenheorie Die Lösungen der Übungsaufgaben werden durch folgendes Lemma ewas vereinfach:

Mehr

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2 Hmburg Kernfch Mhemik Zenrlbiur 2013 Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Smrphones Die Mrkeinführung eines neuen Smrphones vom Elekronikherseller PEAR wird ses ufgereg erwre. Zur Modellierung der Enwicklung

Mehr

4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmetrie und Verschiebung

4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmetrie und Verschiebung 4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmerie und Verschiebung Aufgabe : Symmerie (6) Unersuche die folgenden Funkionen auf Punk- oder Achsensymmerie: a) f() = 6 6 + 4 + 8 + 7 b) f() = 8 5 5 + 5 c) f() = (a 5 b +

Mehr

Die Eckpunkte A und E liegen in der y-z-ebene; Es wird ein dritter Schnittpunkt der y-z-ebene mit dem Körper berechnet.

Die Eckpunkte A und E liegen in der y-z-ebene; Es wird ein dritter Schnittpunkt der y-z-ebene mit dem Körper berechnet. Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie von 9 P Analyische Geomeie. Dasellung de Veoen: BE + FG = BH. C F = AF AF + F = C AF + FC = AC AC FC = AF A ( ;;) B ( ; 4; ) C ( ;; ) D ( ;;) E ( ;;) F ( ; 4; ) G

Mehr

Übungsblatt 4 Lösungsvorschläge

Übungsblatt 4 Lösungsvorschläge Insiu für Theoreische Informaik Lehrsuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsbla 4 Lösungsvorschläge Vorlesung Algorihmenechnik im WS 09/10 Problem 1: Flüsse [vgl. Kapiel 4.1 im Skrip] ** Gegeben sei ein Nezwerk

Mehr

um (x + X) 4 auszurechnen verwenden wir den Binomischen Lehrsatz (a+b) n = a n + ( n 1 )a n-1* b 1 + + b n ( n k ) = in Gleichung einsetzen

um (x + X) 4 auszurechnen verwenden wir den Binomischen Lehrsatz (a+b) n = a n + ( n 1 )a n-1* b 1 + + b n ( n k ) = in Gleichung einsetzen Mahemaik I Übungsaufgaben 8 Lösungsorschläge on T. Meyer Era-Mahemaik-Übung: 005--06 Aufgabe Berechnen Sie die Ableiung der Funkion f an einer beliebigen Selle 0 ohne Verwendung irgendwelcher Vorkennnisse

Mehr

Zu jedem Typ gibt es eine Menge von möglichen Denotationen der Ausdrücke dieses Typs. Diese Menge wird Domäne des betreffenden Typs genannt.

Zu jedem Typ gibt es eine Menge von möglichen Denotationen der Ausdrücke dieses Typs. Diese Menge wird Domäne des betreffenden Typs genannt. 2 Theorie der semanischen Typen 2.2.2 Semanik von TL Menge der omänen Zu jedem Typ gib es eine Menge von möglichen enoaionen der Ausdrücke dieses Typs. iese Menge wird omäne des bereffenden Typs genann.

Mehr

Übungsaufgaben zur Vektorrechnung, 6. Klasse (10. Schulstufe) 3 t 2 = 4. durch P an, welche die Gerade g schneidet.

Übungsaufgaben zur Vektorrechnung, 6. Klasse (10. Schulstufe) 3 t 2 = 4. durch P an, welche die Gerade g schneidet. Übungsaufgaben zur Vekorrechnung,. Klasse (0. Schulsufe) Übungsaufgaben zur Vekorrechnung. Klasse ) Zwei Geraden im R Gegeben sind die Gerade sind enweder schneidend, parallel oder. X : g der Punk P(-

Mehr

Aufgabensammlung Teil 2: Funktionen mit Parametern Funktionenscharen. Aufgaben im Abiturstil

Aufgabensammlung Teil 2: Funktionen mit Parametern Funktionenscharen. Aufgaben im Abiturstil ANALYSIS Gebrochen raionale Funkionen Aufgabensammlung Teil : Funkionen mi Parameern Funkionenscharen Aufgaben im Abiursil Die Lösungen aller verwendeen Abiuraufgaben sammen von mir Neu eingerichee Sammlung

Mehr

Die Ellipse gehört so wie der Kreis, die Hyperbel und die Parabel zu den Kegelschnitten.

Die Ellipse gehört so wie der Kreis, die Hyperbel und die Parabel zu den Kegelschnitten. DIE ELLIPSE Die Ellipse gehört so wie der Kreis, die Hyperbel und die Parabel zu den Kegelschnitten. Die Ellipse besteht aus allen Punkten, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten - den

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2007 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

Bericht zur Prüfung im Oktober 2007 über Finanzmathematik und Investmentmanagement Berich zur Prüfung im Okober 7 über Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen (Grundwissen) Peer Albrech (Mannheim) Am 5 Okober 7 wurde zum zweien Mal eine Prüfung im Fach Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen

Mehr

1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung

1 Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung Schülerbuchseie Lösungen vorläufig I Inegralrechnung Lokale Änderungsrae und Gesamänderung S. S. b h = m s ( s) + m s s + m s ( s) = 7 m Fläche = 7 FE a) s =, h km h +, h km h +, h km h +, h km h +,, h

Mehr

QUADRATISCHE GLEICHUNGENN

QUADRATISCHE GLEICHUNGENN Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Mathematik Arbeitsblatt A -.: Quadratische Gleichungen LehrerInnenteam m/ Mag Wolfgang Schmid Unterlagen QUADRATISCHE GLEICHUNGENN Definition: Eine

Mehr

Leistungselektronik Grundlagen und Standardanwendungen. Übung 3: Kommutierung

Leistungselektronik Grundlagen und Standardanwendungen. Übung 3: Kommutierung Lehrsuhl für Elekrische Anriebssyseme und Leisungselekronik Technische Universiä München Arcissraße 1 D 8333 München Email: eal@ei.um.de Inerne: hp://www.eal.ei.um.de Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel Tel.:

Mehr

Thema 6: Kapitalwert bei nicht-flacher Zinsstruktur:

Thema 6: Kapitalwert bei nicht-flacher Zinsstruktur: Thema 6: Kapialwer bei nich-flacher Zinssrukur: Markzinsmehode Bislang unersell: i i kons. (, K, T) (flache Zinskurve) Verallgemeinerung der KW-Formel auf den Fall beliebiger Zinskurven jedoch ohne weieres

Mehr

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse:

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse: Masse, Kraf und Beschleunigung Masse: Sei 1889 is die Einhei der Masse wie folg fesgeleg: Das Kilogramm is die Einhei der Masse; es is gleich der Masse des Inernaionalen Kilogrammprooyps. Einzige Einhei

Mehr

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt Prof Dr M Gerds Dr A Dreves J Michael Winerrimeser 6 Mahemaische Mehoden in den Ingenieurwissenschafen 4 Übungsbla Aufgabe 9 : Mehrmassenschwinger Berache wird ein schwingendes Sysem aus Körpern der Masse

Mehr

Medikamentendosierung A. M.

Medikamentendosierung A. M. Medikamenendosierung A M Inhalsverzeichnis 1 Einleiung 2 2 Ar der Einnahme 3 3 Tropfenweise Einnahme 4 31 Differenialgleichung 4 32 Exake Lösung 5 33 Näherungsweise Lösung 5 4 Periodische Einnahme 7 41

Mehr

Kapitel : Exponentielles Wachstum

Kapitel : Exponentielles Wachstum Wachsumsprozesse Kapiel : Exponenielles Wachsum Die Grundbegriffe aus wachsum 1.xmcd werden auch hier verwende! Wir verwenden im Beispiel 2 auch fas die gleiche Angabe wie in Beispiel 1 - lediglich eine

Mehr

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 9: Radioakiver Zerfall Beim radioakiven Zerfall einer Subsanz S 1 beschreib m 1 () die Masse der noch nich zerfallenen Subsanz zum Zeipunk mi

Mehr

Flugzeugaerodynamik I Lösungsblatt 2

Flugzeugaerodynamik I Lösungsblatt 2 Flugzeugaerodynamik I Lösungsbla 2 Lösung Aufgabe Bei der vorliegenden Aufgabe handel es sich um die Nachrechenaufgabe der Skele Theorie. a) Der Koeffizien A 1 is durch die Wölbung des gegebenen Skeles

Mehr

Abiurprüfung Mahemaik 013 Baden-Würemberg (ohne CAS) Wahleil - Aufgaben Analysis A 1 Aufgabe A 1.1 Der Querschni eines 50 Meer langen Bergsollens wird beschrieben durch die x-achse und den Graphen der

Mehr

9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION

9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION 9.. Eponenialfunkion (a) Definiion Im Abschni Zinseszinsrechnung konne die Berechnung eines Kapials K n nach n Perioden der

Mehr

Warum ist die Frage, wem ein Leasingobjekt zugerechnet wird, wichtig? Welche Vorteile kann ein Leasinggeber (eine Leasinggesellschaft) ggf. erzielen?

Warum ist die Frage, wem ein Leasingobjekt zugerechnet wird, wichtig? Welche Vorteile kann ein Leasinggeber (eine Leasinggesellschaft) ggf. erzielen? 1) Boschafen von Kapiel 7 Welche Eigenschafen ha ein Finanzierungs-Leasing-Verrag? Warum is die Frage, wem ein Leasingobjek zugerechne wird, wichig? FLV, vollkommener Kapialmark und Gewinnseuer Welche

Mehr

t,t Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase l von 6 Mathematik 'f(x) f '(x) zkm (mit CAS) \ ro Aufgabenstellung

t,t Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase l von 6 Mathematik 'f(x) f '(x) zkm (mit CAS) \ ro Aufgabenstellung zkm (mi CAS) Miniserium für Landes Nordrhein-Wesfalen Seie 'les l von 6 Zenrale Klausur am Ende der Einführungsphase 202 Mahemaik Aufgabensellung Aufgabe : Unersuchung ganzraionaler Funkionen Gegeben is

Mehr

Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten. Industriemeister Metall / Neu

Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten. Industriemeister Metall / Neu Fragen / Themen zur Vorbereiung auf die mündliche Prüfung in dem Fach Berücksichigung naurwissenschaflicher und echnischer Gesezmäßigkeien Indusriemeiser Meall / Neu Die hier zusammengesellen Fragen sollen

Mehr

1 a) Ω = {(00), (01), (10), (03), (30), (11), (13), (31), (33)} b) Minimaler Gewinn: {(00), (01), (10), (03), (30)}; Maximaler Gewinn: {(33)}

1 a) Ω = {(00), (01), (10), (03), (30), (11), (13), (31), (33)} b) Minimaler Gewinn: {(00), (01), (10), (03), (30)}; Maximaler Gewinn: {(33)} Schülerbuchseie 0 Lösungen orläufig Zufallsgrößen S. 0 a) Ω = {(00), (0), (0), (0), (0), (), (), (), ()} b) Minimaler Gewinn: {(00), (0), (0), (0), (0)}; Maimaler Gewinn: {()} S. a) ω 7 8 Å0 ÅÅ Å Å Å Å

Mehr

Mathematik III DGL der Technik

Mathematik III DGL der Technik Mahemaik III DGL der Technik Grundbegriffe: Differenialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableiungen der zu suchenden Funkion bis zu einer endlichen Ordnung aufreen. Funkions- und

Mehr

Hauptprüfung 2010 Aufgabe 4

Hauptprüfung 2010 Aufgabe 4 Haupprüfung Aufgabe Gegeben ind die Punke A(5//), B(//), C(//) und S(//5).. Zeigen Sie, da da Dreieck ABC rechwinklig und gleichchenklig i. Berechnen Sie die Koordinaen de Punke D o, da da Viereck ABCD

Mehr

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte

Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte www.mahe-aufgaben.com Analysis: Ganzraionale Funkionen Analysis Ganzraionale Funkionen Differenzialrechnung, Exrem- und Wendepunke Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mahe-aufgaben.com Juni 0 www.mahe-aufgaben.com

Mehr

Untersuchung von Gleitentladungen und deren Modellierung durch Funkengesetze im Vergleich zu Gasentladungen

Untersuchung von Gleitentladungen und deren Modellierung durch Funkengesetze im Vergleich zu Gasentladungen Unersuchung von Gleienladungen und deren Modellierung durch Funkengeseze im Vergleich zu Gasenladungen Dipl.-Ing. Luz Müller, Prof. Dr.-Ing. Kur Feser Insiu für Energieüberragung und Hochspannungsechnik,

Mehr

Diskrete Integratoren und Ihre Eigenschaften

Diskrete Integratoren und Ihre Eigenschaften Diskree Inegraoren und Ihre Eigenschafen Whie Paper von Dipl.-Ing. Ingo Völlmecke Indusrielle eglersrukuren werden im Allgemeinen mi Hilfe von Inegraoren aufgebau. Aufgrund des analogen Schalungsaufbaus

Mehr

Musterlösungen zur Klausur. Grundlagen der Regelungstechnik. vom

Musterlösungen zur Klausur. Grundlagen der Regelungstechnik. vom Muserlösungen zur Klausur Grundlagen der Regelungsecni vom 4.9. Aufgabe : Linearisierung Pune A. Linearisierung des niclinearen Terms der Modellgleicungen, wobei und die üllsände im Gleicgewic sind. B.

Mehr

INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB

INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB INTELLIGENTE DATENANALYSE IN MATLAB Sequenzanalyse Überblick Sh Schrie der Daenanalyse: Daenvorverarbeiung Problemanalyse Problemlösung Anwendung der Lösung Aggregaion und Selekion von Daen. Inegraion

Mehr

Testen von Regressionskoeffizienten bei multipler Regression (ausführlichere Erläuterungen und Zahlenbeispiele) 1

Testen von Regressionskoeffizienten bei multipler Regression (ausführlichere Erläuterungen und Zahlenbeispiele) 1 Prof. Dr. Peer von der Lippe (aisik) Januar 7 Universiä Duisburg-Essen, Campus Essen Tesen von Regressionskoeffizienen bei mulipler Regression (ausführlichere Erläuerungen und Zahlenbeispiele). Übersich

Mehr

Kapitel 6: Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Funktion der Zeit

Kapitel 6: Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Funktion der Zeit Kapiel 6: Or, Geschwindigkei und Beschleunigung als Funkion der Zei 2 Kapiel 6: Or, Geschwindigkei und Beschleunigung als Funkion der Zei Einführung Lerninhal Einführung 3 Das Programm yzet erlaub es,

Mehr

Kommunikationstechnik I

Kommunikationstechnik I Kommunikaionsechnik I Prof. Dr. Sefan Weinzierl Muserlösung 5. Aufgabenbla 1. Moden 1.1 Erläuern Sie, was in der Raumakusik uner Raummoden versanden wird. Der Begriff einer sehenden Welle läss sich am

Mehr

4. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner

4. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner 4. Mathemati-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 100 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundompetenzen (Un-)Gleichungen und Gleichungsssteme: AG.3 Quadratische Gleichungen

Mehr

P. v. d. Lippe Häufige Fehler bei Klausuren in "Einführung in die ökonometrische Datenanalyse" Duisburg

P. v. d. Lippe Häufige Fehler bei Klausuren in Einführung in die ökonometrische Datenanalyse Duisburg P. v. d. Lippe Häufige Fehler bei Klausuren in "Einführung in die ökonomerische Daenanalyse" Duisburg a) Klausur SS 0 Klausuren SS 0 bis SS 03 akualisier 9. Augus 03. Sehr viele Teilnehmer rechnen einfach

Mehr

Raumzeigermodulation. Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik. Arcisstraße 21 D München

Raumzeigermodulation. Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik. Arcisstraße 21 D München Lehrsuhl für Elekrische Anriebssyseme und Leisungselekronik Technische Universiä München Arcissraße 1 D 80333 München Email: ea@ei.um.de Inerne: hp://www.ea.ei.um.de Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel Tel.: +49

Mehr

26 31 7 60 64 10. 16 6 12 32 33 9

26 31 7 60 64 10. 16 6 12 32 33 9 Lineare Algebra / Analyische Geomerie Grundkurs Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 4 Fruchsäfe in Berieb der Geränkeindusrie produzier in zwei Werken an verschiedenen Sandoren

Mehr

Analog-Elektronik Protokoll - Transitorgrundschaltungen. Janko Lötzsch Versuch: 07. Januar 2002 Protokoll: 25. Januar 2002

Analog-Elektronik Protokoll - Transitorgrundschaltungen. Janko Lötzsch Versuch: 07. Januar 2002 Protokoll: 25. Januar 2002 Analog-Elekronik Prookoll - Transiorgrundschalungen André Grüneberg Janko Lözsch Versuch: 07. Januar 2002 Prookoll: 25. Januar 2002 1 Vorberachungen Bei Verwendung verschiedene Transisor-Grundschalungen

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2011 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2011 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe 1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe.. Skizzier man sich mi Hilfe des GTR drei Schaubilder der Schar (z.b. für =, = und = 4) ergeben sich folgende Skizzen:

Mehr

REX und REXP. - Kurzinformation -

REX und REXP. - Kurzinformation - und P - Kurzinformaion - July 2004 2 Beschreibung von Konzep Anzahl der Were Auswahlkrierien Grundgesamhei Subindizes Gewichung Berechnung Basis Berechnungszeien Gewicheer Durchschniskurs aus synheischen

Mehr

2.2 Rechnen mit Fourierreihen

2.2 Rechnen mit Fourierreihen 2.2 Rechnen mi Fourierreihen In diesem Abschni sollen alle Funkionen als sückweise seig und -periodisch vorausgesez werden. Ses sei ω 2π/. Wir sezen jez aus Funkionen neue Funkionen zusammen und schauen,

Mehr

Differenzieren von Funktionen zwischen Banachräumen

Differenzieren von Funktionen zwischen Banachräumen Differenzieren von Funkionen zwischen Banachräumen Ingmar Gezner In dieser Seminararbei wollen wir das Differenzieren auf Funkionen zwischen Banachräume verallgemeinern. In unendlichdimensionalen Räumen

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 2. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT BRUCHTERMEN. 1. Kürzen von Bruchtermen

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 2. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT BRUCHTERMEN. 1. Kürzen von Bruchtermen Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT BRUCHTERMEN 1. Kürzen von Bruchtermen Zunächst einmal müssen wir klären, was wir unter einem Bruchterm verstehen. Definition:

Mehr

Versuche mit Oszilloskop und Funktionsgenerator

Versuche mit Oszilloskop und Funktionsgenerator Fachhochschule für Technik und Wirschaf Berlin EMT- Labor Versuche mi Oszilloskop und Funkionsgeneraor Sephan Schreiber Olaf Drzymalski Messung am 4.4.99 Prookoll vom 7.4.99 EMT-Labor Versuche mi Oszilloskop

Mehr

Der Zeitwert des Geldes - Vom Umgang mit Zinsstrukturkurven -

Der Zeitwert des Geldes - Vom Umgang mit Zinsstrukturkurven - - /8 - Der Zeiwer des Geldes - Vom Umgang mi Zinssrukurkurven - Dr. rer. pol. Helmu Sieger PROBLEMSELLUNG Zinsänderungen beeinflussen den Wer der Zahlungssröme, die Krediinsiue, Versicherungen und sonsige

Mehr

Von: Datum: Korrekturvorschlag: Anmerkung der Übersetzer:

Von: Datum: Korrekturvorschlag: Anmerkung der Übersetzer: Marc Haunschild haunschild@mh is.de 05.06.09 09:16 maschinell besimmbar is keine eindeuige Formulierung, da es auch heißen kann, dass maschinell ewas fesgeleg (besimm) werden kann. Besser wäre "fessellbar"

Mehr

Prüfung Finanzmathematik und Investmentmanagement 2011

Prüfung Finanzmathematik und Investmentmanagement 2011 Prüfung Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen 0 Aufgabe : (0 Minuen) a) Auf der Grundlage einer Lagrange-Opimierung ergib sich die folgende funkionale Form für die (, ) -Koordinaen der (rein riskanen) Randporfolios

Mehr

Bonusmaterial Rechentechniken die Werkzeuge der Mathematik

Bonusmaterial Rechentechniken die Werkzeuge der Mathematik Bonusmaerial Rechenechniken die Werkzeuge der Mahemaik 3 Minuend minus Subrahend ergib...? Was haben Poenzen mi Einheien zu un? Was sind Ideniäen? 3.1 Rechenechniken und Indukion Mehr zu den Grundrechnungsaren

Mehr

Kapitel 11 Produktion, Sparen und der Aufbau von Kapital

Kapitel 11 Produktion, Sparen und der Aufbau von Kapital apiel 11 Produkion, Sparen und der Aufbau von apial Vorbereie durch: Florian Barholomae / Sebasian Jauch / Angelika Sachs Die Wechselwirkung zwischen Produkion und apial Gesamwirschafliche Produkionsfunkion:

Mehr

Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik Versuch 5. Matrikelnummer:... ...

Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik Versuch 5. Matrikelnummer:... ... FH D FB 3 Fachhochschule Düsseldorf Universiy of Applied Sciences Fachbereich Elekroechnik Deparmen of Elecrical Engineering Prakikum Grundlagen der Elekroechnik Versuch 5 Name Marikelnummer:... Anesa

Mehr

Esau und Jakob 1 Einführung 2 Situation 2.1 Geschichte 2.2 Geometrische Situation

Esau und Jakob 1 Einführung 2 Situation 2.1 Geschichte 2.2 Geometrische Situation Hans Walser, [546a], [33b] Esau und Jakob Einführung Diese Sudie is ensanden aus meiner eigenen Schwierigkei, mir bei zwei gleichzeiigen Bewegungen den Weg des einen Punkes aus Sich des anderen Punkes

Mehr

4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen

4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen ... Eonenialfunkionen Definiion:.. Eonenial- und Logarihmusfunkionen Die Funkion f() = c a mi D = R, c und a R + \{}heiß Eonenialfunkion zur Basis a. Die Eonenialfunkion zur Basis a = e mi der Eulerschen

Mehr

SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2)

SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2) Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Ausgabe: 9 / 4 In iesem Teil er Reihe wollen wir anhan eines Zahlenbeispiels en Deomaionsgraienen als zenrale Größe zur Beschreibung er Deormaion in er Kinemaik

Mehr

1.1. Grundbegriffe zur Mechanik

1.1. Grundbegriffe zur Mechanik ... Die geradlinig gleichförmige Bewegung.. Grundbegriffe zur Mechanik Ein Körper beweg sich geradlinig und gleichförmig enlang der -Achse, wenn seine Geschwindigkei (eloci) 0 konsan bleib. Srecke Zeiabschni

Mehr

Quadratische Funktionen und Gleichungen Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid. Friedrich Hattendorf

Quadratische Funktionen und Gleichungen Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid. Friedrich Hattendorf Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Lüdenscheid Friedrich Hattendorf 4. September 2014 Vorbemerkung Die Datei entsteht noch; noch nicht alles ist optimal Hinweis zum Ausdruck: (Fast) Alles sollte noch gut

Mehr

SR MVP die Sharpe Ratio des varianzminimalen

SR MVP die Sharpe Ratio des varianzminimalen Prüfung inanzmahemaik und Invesmenmanagemen 4 Aufgabe : (4 Minuen) a) Gegeben seien zwei Akien mi zugehörigen Einperiodenrendien R und R. Es gele < ρ(r,r )

Mehr

3. Partielle Differentialgleichungen

3. Partielle Differentialgleichungen 3.. Grundlagen und Klassifikaion Welche Ordnung haben diese Gleichungen?? 3.4.1 Lineare parielle Differenialgleichungen. Ordnung Analogie: Klassifikaion Kegelschnie 1 3.4.3 Korrek geselle Probleme Anfangs-

Mehr

Aufgabensammlung Teil 2a. Auch mit Verwendung von Methoden aus der Analysis: Wachstumsraten Differentialgleichungen. Auch mit CAS-Einsatz

Aufgabensammlung Teil 2a. Auch mit Verwendung von Methoden aus der Analysis: Wachstumsraten Differentialgleichungen. Auch mit CAS-Einsatz Wachsum Exponenielles Wachsum Aufgabensammlung Teil 2a Auch mi Verwendung von Mehoden aus der Analysis: Wachsumsraen Differenialgleichungen Auch mi CAS-Einsaz Sand: 23. Februar 2012 Daei Nr. 45811 INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

Thema 3: Dynamischer versus statischer Vorteilhaftigkeitsvergleich

Thema 3: Dynamischer versus statischer Vorteilhaftigkeitsvergleich hema 3: Dynamischer versus saischer Voreilhafigkeisvergleich Vor allem in der Wirschafspraxis belieb: Gewinnorieniere sa zahlungsorieniere Ansäze zum reffen von Invesiionsenscheidungen. sogenanne saische

Mehr

Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression

Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression Einfache Regression mi Ecel Prof. Dr. Peer von der Lippe Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression 1.1. Daen 1. Mindeslöhne Beispiel 1 Ennommen aus Rolf Ackermann, pielball des Lobbyisen,

Mehr

Bewegung. Einteilung der Mechanik. Kinematik. Bezugssystem. Modell Massepunkt. Geradlinig gleichförmige Bewegung

Bewegung. Einteilung der Mechanik. Kinematik. Bezugssystem. Modell Massepunkt. Geradlinig gleichförmige Bewegung Eineilung der Mechanik Kinemaik Mechanik Kinemaik Dynamik Lehre von den Bewegungen und ihren Gesezen, ohne Beachung der zu Grunde liegenden Ursachen Lehre von den Kräfen und deren Wirkungen und dami der

Mehr

GRUNDLAGENLABOR CLASSIC RC-GLIED

GRUNDLAGENLABOR CLASSIC RC-GLIED GUNDLAGNLABO LASSI -GLID Inhal: 1. inleing nd Zielsezng...2 2. Theoreische Afgaben - Vorbereing...2 3. Prakische Messafgaben...4 Anhang: in- nd Asschalvorgänge...5 Filename: Version: Ahor: _Glied_2_.doc

Mehr

Freie ungedämpfte Schwingung eines Massenpunktes (Federschwinger) = 2a. Die allgemeine Lösung der DGL ist dann eine Linearkombination beider Lösungen:

Freie ungedämpfte Schwingung eines Massenpunktes (Federschwinger) = 2a. Die allgemeine Lösung der DGL ist dann eine Linearkombination beider Lösungen: Die Schwingungs-Differenilgleichung Freie ungedämpfe Schwingung eines Mssenpunes Federschwinger Bei Auslenung des Mssenpunes: Hooesches Gesez F - Federonsne Die Bewegungsgleichung lue dher: d m oder m

Mehr

8.2 Die Theorie stetiger Halbgruppen im Banachraum

8.2 Die Theorie stetiger Halbgruppen im Banachraum 8.2 Die Theorie seiger Halbgruppen im Banachraum 3 8.2 Die Theorie seiger Halbgruppen im Banachraum Im weieren sellen wir einige allgemeine Aussagen der Theorie seiger Halbgruppen in Banachräumen zusammen.

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 151 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr