Zum Begriff der Paare: ab ordinalem Messniveau

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1 Zum Begriff er Paare: ab orinalem Messniveau Begriffsefinition von Paaren: gleihe bzw. untershielihe Rangornung zwishen Untersuhungsobjekten (z. B. Personen) Paare können konkorant oer iskorant sein 1) Konkorantes Paar gleihsinnig bezüglih er Rangornung (positive Beziehung) Konkorantes Paar Shüler Mathematiknote Physiknote A 1 1 B 4 Es hanelt sih hierbei um ein konkorantes Paar, weil Shüler A in beien Fähern besser ist als Shüler B. Es hanelt sih hierbei um eine positive Beziehung. ) Diskorantes Paar gegensinnig bezüglih er Rangornung (negative Beziehung) Diskorantes Paar Shüler Mathematiknote Physiknote A 1 5 B 4 Es hanelt sih hierbei um ein iskorantes Paar, weil Shüler A zwar in Mathematik besser, aber in Physik shlehter ist als Shüler B. Es hanelt sih hierbei um eine negative Beziehung. 37

2 3) Binung bzw. Verknüpfung (Tie, T) keine Rangornung, a ientishe Zahlenwerte vorliegen Tie Shüler Mathematiknote Physiknote A 1 4 B 4 Hinsihtlih er Physiknote von Shüler A un B liegt ein Tie vor, weil beie ie gleihe Note haben. Es liegt aher keine Rangornung vor. Allgemein: N N ( N 1) Anzahl er möglihen Paare = = = N + N + T + T + T x y xy N = Anzahl er konkoranten Paare N = Anzahl er iskoranten Paare T x = Anzahl er Ties in Bezug auf ie Variable X. Die Untersuhungseinheiten sin in Hinblik auf X verknüpft, jeoh im Hinblik auf Y vershieen. T y = Anzahl er Ties in Bezug auf ie Variable Y. Die Untersuhungseinheiten sin in Hinblik auf Y verknüpft, jeoh im Hinblik auf X vershieen (siehe Beispiel). T xy = Anzahl er Ties in Bezug auf ie Variablen X un Y. Die Untersuhungseinheiten sin in Hinblik auf X un Y verknüpft. Shüler Mathematiknote X Physiknote Y A 5 5 B 4 4 C 1 3 D E (5 1) Anzahl er möglihen Paare = = = 10 38

3 Ientifizierung er Paartypen Paar Paartyp 1 A - B konkorant A - C konkorant 3 A - D konkorant 4 A - E konkorant 5 B - C konkorant 6 B - D konkorant 7 B - E konkorant 8 C - D iskorant 9 C - E iskorant 10 D - E iskorant N = 7 N = 3 Konkorante un iskorante Paare in er bivariaten Tabelle (Ausshnitt) Physiknote Y Mathematiknote X (E) 1 (D) 3 1 (C) 4 1 (B) 5 1 (A) Ermittlung er konkoranten un iskoranten Paare un er Ties in einer x -Tabelle: x 1 x y 1 a b y N = a() N = b() T x = a( ) ) T y = a( b) + ( ) T xy = a ( a 1) b ( b 1) ( 1) ( 1) Anzahl er möglihen Paare = N( N 1) 39

4 Ermittlung er konkoranten un iskoranten Paare un er Ties in einer 3 x -Tabelle: Erforerlihe Lernzeit in Jahren (X) 1 = bis 1 = bis 4 3 = über 4 Zufrieenheit (Y) 1 = gering 1 (a) 1 (b) 5 () = hoh 6 () 14 (e) 11 (f) N N T x T y = a( e + f ) f ) = 1( ) + 1(11) = 43 = ( + e) ) = 5(6 + 14) + 1(6) = 17 = a( ) e) + ( f ) = 1(6) + 1(14) + 5(11) = 95 = a( b + ) ) + ( e + f ) + e( f ) = 1(1 + 5) + 1(5) + 6( ) + 14(11) = 568 Txy a ( a 1) b ( b 1) ( 1) ( 1) e ( e 1) f ( f 1) = (1 1) 1 (1 1) 5 (5 1) 6 (6 1) 14 (14 1) 11 (11 1) = = 303 N( N 1) Anzahl er möglihen Paare = = = Ermittlung er konkoranten un iskoranten Paare un er Ties in einer 3 x 3-Tabelle: x 1 x x 3 y 1 a b y e f y 3 g h i N = a( e + f + h + i) f + i) + ( h + i) + e( i) N = ( + e + g + h) + g) + f ( g + h) + e( g) 40

5 T x = a( + g) e + h) + ( f + i) + ( g) + e( h) + f ( i) T y = a( b + ) ) + ( e + f ) + e( f ) + g( h + i) + h( i) T xy = a ( a 1) b ( b 1) ( 1) ( 1) e ( e 1) f ( f 1) g ( g 1) h ( h 1) i ( i 1) Anzahl er möglihen Paare = N( N 1) Korrelationskoeffizienten für orinale Variablen: 1) Kenall s Tau-Werte (Tau-a, Tau-b, Tau-): 1a) Tau-a bzw. τ a : τ a = N N N( N 1) wobei: N = Anzahl er konkoranten Paare N = Anzahl er iskoranten Paare N( N 1) = Anzahl er möglihen Paare Tau-a setzt ie Differenz zwishen er Anzahl er konkoranten Paare un er Anzahl er iskoranten Paare ins Verhältnis zur Gesamtzahl er möglihen Paare. Interpretation: Tau-a = -1 Es liegen ausshließlih iskorante Paare vor. Es herrsht emnah eine perfekt negative Beziehung zwishen en beien Variablen. Tau-a = 0 Die Anzahl er konkoranten un iskoranten Paare ist gleih groß. Demnah sin ie Variablen statistish unabhängig voneinaner. Tau-a = +1 Es liegen ausshließlih konkorante Paare vor. Es herrsht emnah eine perfekt positive Beziehung zwishen en beien Variablen Tau-a berüksihtigt keine Ties (siehe Formel). 41

6 Wenn Ties auftreten, sollte Tau-b ( τ b ) verwenet weren, a ieser Ties berüksihtigt. Bei Vorliegen vieler Ties wäre Tau-a kleiner als Tau-b ( τ a τ b ) Allgemein: Der Koeffizient kann für r x -Tabellen beliebiger Größe berehnet weren. Das Assoziationsmaß Tau-a ist am ehesten für Daten geeignet, in enen keine Ties vorliegen (was in er Praxis selten vorkommt), a er ie Eigenshaft besitzt ie Extremwerte ± 1 niht erreihen zu können, wenn Ties auftreten. Da aber ein nieriger Tau-a-Wert sowohl auf einer shwahen Korrelation als auh auf einem hohen Anteil von Verknüpfungen beruhen kann, ist er Koeffizient ausgesprohen unpopulär. 1b) Tau-b bzw. τ b : τ b = N N ( N + N + Tx )( N + N + Ty ) Tau-b wir vorzugsweise für quaratishe Tabellen verwenet. Bei niht-quaratishen Tabellen wir Tau- ( τ ) verwenet. Allgemein: Tau-b berüksihtigt explizit T x un T y. Tau-b kann ie Extremwerte ± 1 nur erreihen, wenn ie beien Variablen ieselbe Anzahl von Kategorien haben,.h., wenn in einer quaratishen Tabelle ie Untersuhungseinheiten entlang einer er beien Diagonalen angeornet sin, also keine T x un T y auftreten Tau-b kann ie Extremwerte ± 1 niht erreihen, wenn ie Tabelle niht quaratish ist un infolge essen T x un T y auftreten. Diese Eigenshaft ist allerings kein gewihtiger Nahteil von Tau-b. Für x -Tabellen berehnet, ergibt Tau-b enselben Zahlenwert wie Phi un r. 1) Tau- bzw. τ : τ = N N 1 m 1 N m Allgemein: Tau- ist so konzipiert, ass er ie Extremwerte ± 1 auh in einer niht-quaratishen Tabelle erreihen kann. Trotz seiner generellen Anwenbarkeit wir Tau-b bevorzugt. 4

7 ) Pre-Maß Gamma (γ): γ = N N N + N Allgemein: Eine Lösung es Problems, trotz es Auftretens von Ties einen Koeffizienten zu haben, essen Extremwerte ± 1 sin, besteht arin, ie Ties als irrelevant zu betrahten un aus em Nenner zu entfernen. Genau as geshieht beim Koeffizienten Gamma. Gamma ist ein symmetrishes Maß, as für Tabellen beliebiger Größe berehnet weren kann un unabhängig von er Anzahl er Ties zwishen ± 1 variiert. Da Gamma Ties ignoriert, ie in ie Berehnung von Tau-a un Tau-b eingehen, nimmt er regelmäßig höhere Zahlenwerte als iese an. Es besteht folgene Beziehung zwishen en Koeffizienten: Tau-a Tau-b Gamma. Als nahteilig muss gelten, ass er Zahlenwert Gammas häufig ramatish ansteigt, wenn eine bivariate Tabelle verkleinert un aurh ie Anzahl jener Paare vermehrt wir, ie er Koeffizient ignoriert. 3) Somer s Für en seltenen Fall, ass keine Ties vorkommen, sin ie Koeffizienten Tau-a, Tau-b, Tau-, γ un Somer s ein un asselbe Maß, as enselben Zahlenwert prouziert. Beim Auftreten von Ties können ie Koeffizienten erheblih voneinaner variieren. Dann gilt: Tau-a Tau-b Somer s Gamma 4) Spearman s Rangkorrelationskoeffizient (r s ): Der von Spearman vorgeshlagene Rangkorrelationskoeffizient grünet auf einer aneren Konzeption als ie oben behanelten Maßzahlen er orinalen Assoziation. Im Untershie zu iesen Maßzahlen, bei enen Paare von Untersuhungseinheiten arauf hin betrahtet weren, ob sie konkorant oer iskorant sin, weren beim Spearmanshen r s Paare von Rangplätzen im Hinblik auf ihre Differenz betrahtet. In en Sozialwissenshaften besteht häufig ein Interesse, ie Beziehung zwishen solhen Rangreihen zu beshreiben, beispielsweise wenn man ie Frage untersuht, ob bestimmte Berufe in Lan A un B ein gleihes oer untershielihes Ansehen genießen, wie ein Vorgesetzter un ein positionsgleiher Mitarbeiter ie Qualifikation von Stelleninhabern einshätzen, wie Politiker un Wähler ie Popularität oer Dringlihkeit bestimmter politisher Programme bewerten usw. Der Rangkorrelationskoeffizient ient also azu, untershielihe Beurteilungen zu vergleihen. 43

8 r s 6 i N( N 1) i = Differenz zwishen en Rangplätzen, ie ie i-te Untersuhungseinheit bezüglih er Variablen X un Y aufweist. i = (x i - y i ) i = Summe er quarierten Rangplatzifferenzen i = (x i - y i ) N = Anzahl er rangplatzierten Untersuhungseinheiten Vorgehensweise bei er Berehnung von r s : Umwanlung er Originalaten in Rangplätze (1,, 3, 4 usw.) Dem nierigsten (höhsten) Wert wir Rangplatz 1 zugewiesen. Wenn Ties (gleihe Zahlenwerte) auftreten, ann weren en Werten gleihe Rangplätze zugewiesen. 44

9 r s = +1 Es liegt eine perfekt positive Rangkorrelation vor. Es herrshen keine Differenzen zwishen en Rangplätzen. Physiknote von Lehrer 1 (x i ) Physiknote von Lehrer (y i ) Shüler/in Originalaten Rangplätze Originalaten Rangplätze A B C D Hierbei wure em nierigsten Wert Rangplatz 1 zugewiesen. Berehnung von r s : Shüler/in i = (x i - y i ) i = (x i - y i ) A 0 0 B 0 0 C 0 0 D r s 6 i 6 0 N( N 1) 4(4 1) =

10 r s = -1 Es liegt eine perfekt negative Rangkorrelation vor. Es herrshen maximale Differenzen zwishen en Rangplätzen. Physiknote von Lehrer 1 (x i ) Physiknote von Lehrer (y i ) Shüler/in Originalaten Rangplätze Originalaten Rangplätze A B C D Hierbei wure em nierigsten Wert Rangplatz 1 zugewiesen. Berehnung von r s : Shüler/in i = (x i - y i ) i = (x i - y i ) A -3 9 B -1 1 C 1 1 D r s 6 i 6 0 N( N 1) 4(4 1) 10 =

11 r s = 0 Es liegt keine Rangkorrelation vor. In Bezug auf ie Rangplatzifferenzen ist keine Systematik erkennbar. Physiknote von Lehrer 1 (x i ) Physiknote von Lehrer (y i ) Shüler/in Originalaten Rangplätze Originalaten Rangplätze A B C D Hierbei wure em nierigsten Wert Rangplatz 1 zugewiesen. Berehnung von r s : Shüler/in i = (x i - y i ) i = (x i - y i ) A -1 1 B - 4 C 4 D r s 6 i 6 10 N( N 1) 4(4 1) 60 1 =

12 Umgang mit Ties Physiknote von Lehrer 1 (x i ) Physiknote von Lehrer (y i ) ShülerIn Originalaten Rangplätze Originalaten Rangplätze A B Tie,5 C,5-3 D Hierbei wure em nierigsten Wert Rangplatz 1 zugewiesen. Man errehnet en gemeinsamen Rangplatz, inem man ie Verknüpfung ignoriert un ie betreffenen Fälle so behanelt, als besäßen sie untershielihe Rangplätze: ShülerIn B = Rangplatz un ShülerIn C = Rangplatz 3 oer: ShülerIn B = Rangplatz 3 un ShülerIn C = Rangplatz Darauf hin errehnet man en Mittelwert er beien Rangplätze: ( + 3) =,5 Dieser Rangplatz wir nun beien Shülern zugewiesen Beim Auftreten von Ties weist man en verbunenen Untersuhungseinheiten as arithmetishe Mittel erjenigen Rangplätze zu, ie man zugewiesen hätte, wenn keine Ties aufgetreten wären. Berehnung von r s : Shüler/in i = (x i - y i ) i = (x i - y i ) A 0 0 B 0,5 0,5 C -0,5 0,5 D ,5 r s 6 i 6 0,5 N( N 1) 4(4 1) ,05 = 0,95 48