Grenzwerte von Folgen. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

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1 Grezwerte vo Folge -E Ma Lubov Vassilevskaya

2 Berechug vo Grezwerte: Aufgabe Die Berechug vo Grezwerte ka oft ziemlich umstädlich sei. Die etwickelte Regel vereifache oft solche Berechuge. Diese Regel beruhe darauf, dass ma Folge addiere, subtrahiere, multipliziere ud dividiere ka. Aufgabe : Gegebe seie die Folge a = 5 3, b = 2 3 Die Grezwerte laute a = 5, b = 2 Bestimme Sie aus de beide Folge die Summe-, Differez-, die Produkt- ud die Quotietefolge ud bestimme jeweils de Grezwert - Ma Lubov Vassilevskaya

3 Berechug vo Grezwerte: Lösug a = 5 + 3, b = 2 3 a + b = , (a + b ) = 7 a b = , (a b ) = 3 a b = , (a b ) = 0 a b = , a b = Ma Lubov Vassilevskaya

4 Regel für das Reche mit Grezwerte Es seie zwei kovergete Folge mit folgede Grezwerte a = a, b = b Da sid die Summe-, Differez-, Produkt- ud Quotietefolge ebefalls koverget ud es gibt: a b = a b = a b a b = a b = a b c a = c a = c a a b = a b = b a = b a b a = a b a = b a, b = a b b a = b a -3 Ma Lubov Vassilevskaya

5 Regel für das Reche mit Grezwerte Es seie zwei kovergete Folge mit dem gleiche Grezwert a: a = a, b = a Gilt für die Glieder der dritte Folge für alle Idizes, die größer als ei fester Idex sid, die Eischließug a c b so ist auch diese Folge koverget mit gleichem Grezwert a. -4 Ma Lubov Vassilevskaya

6 Das Reche mit Grezwerte: Aufgabe 2 Bestimme Sie folgede Grezwerte: a ) , , , b ) , , , c ) , , , 2- Ma Lubov Vassilevskaya

7 Das Reche mit Grezwerte: Lösuge 2 a,b a ) = = 2 2 = 2, 5 = 5 = 0 4 = 4, 7 = 7 = = 7, = 3 7, b ) = 2, = 3, = Ma Lubov Vassilevskaya

8 Das Reche mit Grezwerte: Lösug 2c c ) = = = = 0, = = 2-3 Ma Lubov Vassilevskaya

9 Das Reche mit Grezwerte: Aufgabe 3 Bestimme Sie folgede Grezwerte: a ) ( 6 7 ) b ) ( 3 ) c ) d ) cos e ) si Ma Lubov Vassilevskaya

10 Das Reche mit Grezwerte: Lösuge 3 a,b a ) ( 6 7 ) = 4 0 = 0 ( 6 7 ) 2 = 2 2 = 4, = 0 b ) ( 3 ) = ( 3 ) 3 0 = = = = = = Ma Lubov Vassilevskaya

11 Das Reche mit Grezwerte: Lösuge 3 c,d c ) = 2 2 = = 2, = 2. d ) cos = = 0 cos < 8 + 5, = Ma Lubov Vassilevskaya

12 Das Reche mit Grezwerte: Lösug 3 e si = 2 2 si 2 = 2 si 2 = si 2 = = 0 si = 0 si 2 = si 2 = si 2 = 3-4 Ma Lubov Vassilevskaya

13 Das Reche mit Grezwerte: Aufgabe 4 Bestimme Sie folgede Grezwert: Ma Lubov Vassilevskaya

14 Das Reche mit Grezwerte: Lösug Variate: 2 = = = 2 = = = ( ) < 2 2 = 2 = Ma Lubov Vassilevskaya

15 Das Reche mit Grezwerte: Lösug 4 2 = 2 2. Variate: Biomische Reihe mit positive Expoete ± x m = ± m x m 0, x m m 2! x 2 ±... = 2, m =, x = = 2 = Ma Lubov Vassilevskaya

16 Wichtige Grezwerte Es seie eie reelle Kostate c ud eie reelle Zahl q <, da gilt ) 2 ) 3 ) 4 ) q = 0 c = =! = 5- Ma Lubov Vassilevskaya

17 Wichtige Grezwerte ) q = 0, q q q, q = a, a 0 Die Beroullische Ugleichug liefert da: q = a a a q a q = 0 2 ) c =, c R, c x = c c = x c = x c = x x x c c = x = Ma Lubov Vassilevskaya

18 Wichtige Grezwerte 3 ) =, 2 =, = 0 = = = = 0 = = 5-3 Ma Lubov Vassilevskaya

19 Die Beroullische Ugleichug I der Mathematik versteht ma uter der Beroullische Ugleichug eie wichtige Ugleichug, mit der sich eie Potezfuktio ach ute abschätze lässt Für jede reelle Zahl x - ud jede icht egative Zahl 0 gilt Jakob Beroulli ( ) ( + x) + x Beat ist die Ugleichug ach dem schweizerische Mathematiker Jakob Beroulli. Im Folgede werde wir zeige, wie wir diese Ugleichug bei Abschätzuge vo Grezwerte der Folge beutze köe. 6- Ma Lubov Vassilevskaya

20 Die Beroullische Ugleichug: Beweis Die Beroullische Ugleichug c c c R N Die Beroullische Ugleichug beweist ma mittels vollstädiger Iduktio: Iduktiosschritt : = 2 c 2 = 2 c c 2 2 c Iduktiosschritt 2: = 3 c 3 = 3 c 3 c 2 c 3 3 c Iduktiosschritt : we c c, das gilt auch für + c c c c c c c c c c 2 c 6-2 Ma Lubov Vassilevskaya