SDT in der Psychologie. PWP 1 Signalentdeckungstheorie. Bsp. Detektion von Tönen im Rauschen. Anwendungsbeispiele

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1 in der Psychologie PWP 1 Signalentdeckungstheorie Signal Detection Theory WiSe 2007 Mensch als Detektor/Entscheidungsträger Empfindlichkeit/Entdeckbarkeit des Reizes Antworttendenz Psychophysisches Modell Beschreibung nicht beobachtbarer Prozesse Verhaltensvorhersage Anwendungsbeispiele Bsp. Detektion von Tönen im Rauschen Psychophysik: 1000 Hz-Ton aus weißem Rauschen Diagnostik: bestimmter Befund vorhanden? Seismologie: Steht Erdbeben bevor? Zeugenaussagen: Person vor Ort? 2 VPn sollen reagieren, wenn Töne anwesend sind Je 100 Durchgänge reines Rauschen, 100 Durchgänge Signale mit Rauschen VP1 detektiert 90, VP2 60 Signale Hört VP1 besser? VP1 sagt in 40 Fällen, in denen kein Ton da war (Rauschdurchgänge, Catch-Trials) Ja es war ein Ton da VP2 irrt sich nur bei 10 Rauschdurchgängen Wer ist jetzt besser?

2 Zusammenfassung der VPn im Bsp. von Goldstein Rauschdurchgänge (noise trials): Nur Zufallsrauschen Versuchsdurchgänge (trials) ohne Signal Signaldurchgänge (signal trials) Versuchsdurchgänge mit Signal und Rauschen Antwort ja auf Signaldurchgang = Treffer (hit) Antwort Nein Ja Rauschen korrekte Ablehnung falscher Alarm trial type Signal Auslassung (miss) Treffer (hit) Je 100 Trials nur Rauschen 100 Trials mit Signal VP 1 tendiert zum Ja -Sagen VP 1 VP 2 Nein N S Ja N S Änderung der Antworttendenz Falscher Alarm vs. Treffer VP2 mit Geld/Abzug für richtige/falsche Antworten. Höhere Belohnung/Strafe bei Ja (hits/f.a) liberalere Antworten Höhere Belohnung von korrekter Zurückweisung konservative Antworten (wenig Ja ) Neutrale Antworten, wenn alles gleich belohnt. Payoff-Matrix VP2-Antwort Gewinn N +20e -20e S -200e +200e e N +200e -20e 99 1 S -20e +20e e N +20e -20e S -20e +20e e 1 VP1 neut P H VP2 kons VP1 kons VP2 neut VP1 lib P F

3 2. Beispiel: 1000 Hz-Ton Relative Häufigkeiten Je 100 Trials nur Rauschen 100 Trials mit Signal 1. Durchgang: Treffer wichtig (Belohnung für hit) 2. Durchgang: kein falscher Alarm (Belohnung für correct rejection) 1. Durchgang 2. Durchgang N N S S Überführung in rel. Häufigkeiten Anz. Treffer Trefferrate (hit rate): h = Anz. Signaldurchgänge falscher Alarm Rate (false-alarm rate): f = N S Redundante Werte: und N S Auslassungsrate, Fehlerrate (miss rate)= 1 h Anz. false alarm Anz. Rauschdurchgänge h f 1. Durchg Durchg Rate der korr. Zurückweisungen (corr. rej. rate)= 1 f Modell der Entscheidung Setzen des Kriteriums Nein λ Ja Noise Signal Noise Signal x Verteilung der Zufallsvariablen X bei Rauschdurchgängen (X n ) und Signaldurchgängen (Xs ) Zufallsvar. x > λ Entscheidung Ja false-alarm rate: P F = P(Ja noise) = P(X > λ noise) = P(X n > λ) = R λ hit rate: P F = P(Ja signal) = P(X > λ signal) = P(X s > λ) = R λ f n (x)dx = 1 F n (λ) f s (x)dx = 1 F s (λ)

4 Variation von λ Modell der statistischen Entscheidung λl λ λ k Noise Signal Veränderung von λ wirkt auf h und f gemeinsam λ k : (konservativ) Vermeidung von false alarm, aber wenig Treffer λ l : Viele Treffer, aber auch viele false alarm Modell zur Bestimmung interpretierbarer Variablen 3 Voraussetzungen Gesamte Information in einer Zahl repräsentiert Diese Zahl ist Zufallsvariable Überschreiten einer festen Schwelle Entscheidung ja Analogie zur NHST (Nullhypothesensignifikanztest) Geringere Überlappung der Dichtefunktionen f n und f s höhere Trennschärfe Das Gaußsche Modell Die Normalverteilung X n N (µ n, σ n ) und X s N (µ s, σ s ) Skalierung: µ n = 0, σ n = 1 X n N (0, 1) und X s N (µ s, σ s ) Rechtfertigung für Normalverteilungsannahme Gut untersuchte Eigenschaften Zentraler Grenzwertsatz Empirische Befunde Bei speziellen Fragestellungen andere Verteilung Dichte an der Stelle x :φ(x) = 1 σ 2π e 1 x µ 2 ( σ ) 2 Akkumulierte Dichte: Φ(x) = x φ(t) dt mit µ Erwartungswert und σ Standardabweichung der Verteilung Im univariaten Modell µ = 0 ; σ = 1 ; φ(x) = 1 2π e 1 2 x 2

5 Das univariate Gaußsche Modell Problem Ein Experiment 2 Meßwerte (f, h) aber 3 unbekannte Variablen (λ, µ s, σ s ) Setze σ s = σ n = 1, µ s wird zu d X n N (0, 1) und X s N (d, 1) Vorsicht: Echte Einschränkung, sollte überprüft werden. Beispiel zur Berechnung von d und λ 2. Beispiel oben, 1. Durchg. N f = 0.46 S h = P F = 0.46 = 1 F n (λ) = 1 Φ(λ) Φ(λ) = = 0.54 λ = Z(1 0.46) = Z(0.54) = X s N (d, 1) λ d = Z(1 0.82) = Z(0.18) = Kombination: d = λ (λ d ) = = 1.02 Schätzer für d und λ Fortsetzung 2. Beispiel symm. 1. Z(1 f ) = ˆλ ˆλ = Z(f ) 2. Z(1 h) = ˆλ ˆd Z(h) = ˆd ˆλ 3. ˆd = Z(h) Z(f )! Vorsicht! Vorzeichen überprüfen! Beispiel oben, rel. H. 1. Durchgang: ˆd = 1.02; ˆλ = 0.10 h f 1. Durchg Durchg Durchgang: ˆd = 1.00; ˆλ = 0.88 ˆλ = Z(f ) = Z(0.19) = 0.88 ˆd = Z(h) Z(f ) = Z(0.55) Z(0.19) = 0.12 ( 0.88) = 1.00 ˆd ˆλ 1. Durchg Durchg

6 Erhöhung der Entdeckbarkeit Messung des Bias (Tendenz/Neigung) Ja-Sage-Tendenz von Kriterium λ und d abhängig. zentriertes Kriterium: λ center = λ 1 2 d = 1 2 [Z(f ) + Z(h)] Wahrscheinlichkeitsverhältnis (likelihood ratio): β = f s(λ) = φ(λ d ) φ(λ) µ=0;σ=1 = e 1 2 (λ d ) 2 f n (λ) e 1 2 λ2 = e 1 2 [(λ d ) 2 +λ 2] = e d (λ 1 2 d ) Weniger Überlappung der Verteilungen durch Erhöhung von d Verringerung der Varianz σ 2 Verlauf von β Der ideale Beobachter Maximierung der Wahrscheinlichkeit richtiger Antwort s Wahrscheinlichkeit für Signaltrial 1 s = Wahrscheinlichk. für Noisetrial P C = P(signal) P(Ja signal) + P(noise) P(Nein noise) = s[1 F s (λ)] + (1 s)f n (λ) Pc Asymmetrisch von am Schnittpunkt [ ] von f s und f n log(β) = log fs (λ) f n (λ) = log(f s (λ)) log(f n (λ)) λ * Kriterium λ

7 Optimales Kriterium Pay-off Matrix Optimales Krit. λ für β = f s(λ ) f n (λ ) = 1 s s s = 1 2 f s(λ ) = f n (λ ) Schnittpunkt der Kurven. : Wettchance (odds) Mehr Signaltrials: s > s s < 1 f s (λ ) < f n (λ ) Das Kriterium verschiebt sich nach links (wird liberaler) Kosten und Nutzen der Verschiedenen Möglichkeiten ungleich Optimierung des Erwartungswertes des Gesamtwerts E(V ) = P(Signal + Ja)V (hit) + P(Signal + Nein)V (miss) +P(Noise + Ja)V (false alarm) +P(Noise + Nein)V (cor. rej.) V (miss) und V (f. a.) meist negativ Graph zu 2. Bespiel Umsetzung in -Graph 2. Bsp.: h f ˆd ˆλ 1. Durchg Durchg Trefferrate gegen Falschen Alarm auftragen Punkte auf einer Linie, weil d gleich groß 1 S1 P H S2 λ 1 λ d' P F

8 Eine Isosensitivitätskurve!! " # $ % & ' ( ) Isosensitivitätslinien bei versch. d * +, -. / : ; < = A B C D E C F G H I J K L I G K G M N G I H I O P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ ` a b c d e c f e g h i e j k l m n o p q n m r o s t u v w w x y z { } ~ ~ ƒ ~ ~ ˆ ƒ { Š Œ Ž š œ ž Ÿ œ ª ««ª ± ± ª «ª «µ «Univariates Gaußsches Modell Isokriteriumslinien (λ fest) ¹ º» º ¼ ½ º ¹ ¾ ¹ ¹ ¾ À Á Â Ã ¼ º Ä Å Æ ¼ Ã ¼ ¹ º Ç È Ç É ¹ Ê À» È Á Â Ã ¼ º Ë ¾ Ã Ç Á ¹ ½ Ì ¾ Æ ¼ Í» º º ¹ Î Ê ¼ ¼ Ï ¼ Á ¾ º» È Ç Ã À ¹ ½ Ì ¾ Æ ¼ Á Ã ¹ ¾ ¼ Ã ¹ Ç È» Ã º ¹ Ì ½ Ç Ê º Ð ¹ ¾ Æ Ñ ¹ Ï ¼ Ã ¼ ½ ¾ Ñ ¼ Ì Ã ¼ ¼ º» È Ñ ¼ ¾ ¼ Á ¾ Ç Î ¹ Ê ¹ ¾ À Ä Ò ¹ Ì Â Ã ¼ Ó Ä Ó º Æ» Ð º» É ¼ É ¼ É Î ¼ Ã º» È ¾ Æ 1¹ º È Ç É ¹ Ê À Ä Å Æ ¼ º ¼ Ç Ã ¼ Ñ Ã Ç Ð ½ È» Ã ¾ Æ ¼ ¼ Ô Õ Ö Ø Ù Ö Ú Û Ö Ü Ý Þ ß à á â â ã à ä å æ ç è é ê á â ã ä ë ì í è å è ì í æ ç â ç è â î ï ã ð è ç ã ä ì í è ä è ñ ì â è î ì ã æ ä ò 1.5 à ä ç à ï è é à ð è é è ç ó ã ì í ô à é á è â æ õ ö ø ù í è ä ö ú û ì í è í ã ì ï à ì è à ä ç ì í è õ à é â è ü à é à ï å 1ï à ì è â à ï è ã ç è ä ì ã î à é à ä ç ì í è æ ý è ï à ì ã ä ë î í à ï à î ì è ï ã â ì ã î é ã è â à é æ ä ë ì í è ç ã à ë æ ä à é æ õ ì í è â þ á à ï è ø ÿ æ ï ý æ â ã ì ã ô è ô à é á è â æ õ ö ì í è î á ï ô è â é ã è à ð æ ô è ì í ã â ç ã à ë æ ä à é å æ ô ã ä ë î é æ â 0.5 è à ä ç î é æ â è ï ì æ ì í è á ý ý è ï é è õ ì ü í à ä ç î æ ï ä è ï à â ö ã ä î ï è à â è â ø ù Pí è ä ö ã â ô è ï H é à ï ë è ì í è æ ý è ï à ì ã ä ë î í à ï à î ì è ï ã â ì ã î ã â à é å æ â ì ã ç è ä ì ã î à é ì æ ì í è ì ó æ é ã ä è â à ì ï ã ë í ì à ä ë é è â ì í à0ì å à è á ý ì í è é è õ ì à ä ç ì æ ý â ã ç è â æ õ ì í è â þ á à ï è ø í ã â æ ý è ï à ì ã ä ë î í à ï à î ì è ï ã â ì ã î ç è â î ï ã ð è â ý è ï õ æ ï å à ä î è ã ä à â ã ì á à ì ã æ ä ó í è ï è ì í è â ã ë ä à é ã â â æ â ì ï æ ä ë ì í à ì ì í è æ ð â è ï ô è ï î à ä à ô æ ã ç å à 0.5 ã ä ë è ï ï æ ï â à é å æ â ì à é ì æ ë è ì í è ï ø 1! " # $ # % & ' ( # % # ) % # * # $ # % ) + % # ) *!, * " ( - ' ( # -!.. ) * /!, ) + + -! % 2 3 ( # * / # * '! 6 ' ( # * # % # ) *!, * / * * ) 4 5 P+ F /, 7 # % %! % 2 8 ( #, ' ( # 9 # ' #. ' /!, ' ) * : / * $ # % - 9 / ; < = A B? C D?? C E B F E G D? H I J < C D G D <? E G H A? H < > H E A I E D G? C E K H D J B I D C E I? C E G D I K B L M D G H D? H B I H I D Roland A L D Marcus > > A D LRutschmann F > E < D I E D A N < G E D? E D F B H I? O E > B P? C E K H D J B I D > Q! " # $ % & ' ( ) ( * +, -. / : ; < ; = ; : A B C D E F G F H I J K L M F N O P Q R S T U V W X X Y Z [ \ ] ^ _ ` a _ b c d e f g h h i f j k l m n o p q r n i j h n s t h h r l u v w x y z { } ~ } ƒ } ˆ Š Œ Ž š œ œ ž Ÿ ª «± ² ³ ² ± µ ³ µ ¹ º» ¼ ½ ¾ À Á Â Ã Ä Å Ã Æ im univ. Gaußschen Modell Ç È É Ê Ë Ì Í Î Ì Ï Í Ð Ñ Ì Í Ò Ò Ó Ô Õ Ö Ø Ù Ú Û Ü Ý Þ Ü Ý ß à á Ú Þ â ã Ú ä â å æ ç è é ê ë ì í î ï ì î ï ì ð ñ ò ó ô õ ö ø ù ú û ü ù ý þ ÿ ÿ ÿ ÿ! " # $! # $ % & & '! " ( ) * +, + -. / / / 9 : ; < ; < = A C D E F G H I J K L M N M O P O Q R Q S N Q T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ ` a ] Z \ a ] _ b ` _ b Z _ c a ^ d a \ e \ a Z ] ` d f f ] b \ ^ d Z ` _ b ^ Z d b Z e d f c \ ^ _ g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z { v } ~ } ~ ƒ x ~ t v x v ƒ ~ x ƒ x ˆ u v ~ w x v u } Š Œ Ž Ž Es gilt Œ Ž P F = λ š f n(x)dx œ ž Ÿ und P H = λª «f s(x)dx «ª ± ² ³ µ ¹ º ¹ ¹» ¼ ½ µ µ ¼ ¾ ¼ im À ¹ univariaten À ¹» ¼ Á Â ½ º ¾ ¼ Fall Ã Ä also ¹ ¹» ¼ Ã º Å º Æ Ç ½ ¹ ¹ Å º Ç ¾ Á Á ¹» ¼ Á Á ¼ Á ¹ È ¹ É Ç ½ ¾ È ¼ Á Ê Ë Å ½ P¾ ¼ Ì Í Î Æ ¾ Å» ¹ Í Ï Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ö Ó Ô Ñ Ø Ù Ô Ð Ñ Ú Ô Ø Ð Ò Û Ó Ü Ö Ð Ø Ó Ö Û Ð Û Ø Ý Ý Þ Ñ ß Ý Ö Ð Ð à Ó Ø Ò Õ Ô Ò Ø Ý F = 1 Φ(λ) = Φ( λ) und Ô Õ Ö Ó Ö Ð Õ Õ á Ø P Õ á Ö Ô Ð Ñ Ð Ö Ð Ô Õ Ô Ü Ô Õ Þ Ò Û Ó Ü Ö Ð â ß Ñ Ó Ô Õ Ô Ð Ö Ø Ð Ô Ö Ó Õ Ñ ã ä å æ ç è é ê è ç ë ä æ ì í î ï î ë ä î H = 1 Φ(λ d ) = Φ(d λ) î ð ñ ò ó ô õ ô ö ò õ ò õ ø ô ø ù ø ô ú ô û ü ò ý þ ø ó û õ ô þ ô ÿ ö ø ò ô ö ò ø þ õ ó ö þ ò õ ô ö þ õ ø ô þ ô ø û õ ÿ ö ò ü ò û ò ò Durch ð ñ ò ó ô õ einsetzen ô ö ò ó ü ø ô ò ü gewinnt ø û û ü ô öman ò ø þdie õ ô Kurve: û ü ò ý þ ø ó û õ ô þ ô ÿ ö ø ò õ ò õ ø ô ø ù ø ô ú ó ö þ ò õ P H = Φ(d + Φ 1 (P F )) Nur durch Tabellen! " " # $ oder % & Computerprogramme ' ( & " ) * errechenbar ( + # ) " ", " # - & # $ ( " -.. $ " + # % " / 0 1 " # " # " ' & ( & $ $ & ' * & % & / & + ( & # + ( % " $, # (. & " ) 2 * &, " # % ( # ( " # ( 0 1 " $,. " & - " " & # + " # " & -! " " ( & ( &! & ' ( "! " " ( /. * & - " %. # " $ " $ " / + " & / 2 " # ) " # : ; < 4 = > Roland 9 6 4? A 8 < Rutschmann B < 6 4 B C 4 4 < B 6 : D ? D E F G H I F G H J K H F G I L M

9 Weiterführende Themen Literatur Weiterführende Themen Literatur Weitere Themen Literatur * -Gerade mit Gaußschen Koordinaten * Ungleiche Varianzen σ 2 n und σ 2 s Verschiedene Alternativen zu d Anwendung auf Vertrauensskalen forced-choice Paradigma Diskrimination, bzw. Identifikation Likelihoods und Bayesscher Beobachter Goldstein, E. B. (1997) Wahrnehmungspsychologie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, erste Auflage. Macmillan, N. A. (2002) Signal detection theory. In: Pashler, H. (Hrsg.), Stevens Handbook of Experimental Psychology, Band 1, Kapitel 2, Seiten Wiley, New York, dritte Auflage. Wickens, T. D. (2002) Elementary Signal Detection Theory. Oxford University Press, New York, New York.