Musterlösung zur Klausur Grundwissen Schulmathematik am

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1 Musterlösung zur Klausur Grundwissen Schulmathematik am Aufgabe 1 (10 Punkte) Zeigen Sie: Für alle n N ist n 3 3n 2 +2n durch 6 teilbar. svorschläge Beweis durch Induktion nach n n = 1. Es ist = = 0, und dies ist offensichtlich durch n teilbar. n n+1. Es sei, für ein bestimmtes n N, n 3 3n 2 +2n durch 6 teilbar (I.V.). z.z.: (n+1) 3 3(n+1) 2 +2(n+1) ist durch 6 teilbar. Es ist (n+1) 3 3(n+1) 2 +2(n+1) = n 3 +3n 2 +3n+1 3n 2 6n 3+2n+2 = n 3 n = (n 3 3n 2 + 2n) + (3n 2 3n). Der erste Summand ist nach I.V. durch 6 teilbar. Der zweite Summand ist offensichtlich durch 3 teilbar. Außerdem ist er gerade, denn n 2 n = n(n 1), was immer gerade ist. Direkter Beweis mit Fallunterscheidung Man beachte die folgende Tabelle n n 3 3n 2 +2n = (n 2 3n+2) n = 0 2 (4 6+2) 2 = 0 3 (9 9+2) 3 = 6 0 mod 6 4 ( ) 4 = mod 6 5 ( ) 5 = mod 6 Somit gilt die Behauptung für n = 0,...,5. Wenn nun n eine beliebige natürliche (sogar ganze) Zahl ist, dann ist n modulo 6 kongruent zu einer der Zahlen in der linken Spalte. Somit ist dann n 3 3n 2 +2n kongruent zu der entsprechenden Zahl in der rechten Seite, d.h. zu 0.

2 Zweiteiliger Beweis mit Fallunterscheidung Wir zeigen, dass die angegebene Zahl stets durch 2 und durch 3 teilbar ist. Teilbarkeit durch 2: Es ist n 3 3n 2 +2n n 3 3n 2 = n 2 (n 3) mod 2. Dies ist stets kongruent zu 0 modulo 2. Teilbarkeit durch 3: Es ist n 3 3n 2 +2n n 3 +2n = n(n 2 +2) mod 3. Wenn n 0 mod 3 ist, ist offensichtlich auch n(n 2 +2) 0 mod 3. Wenn n 1 mod 3 ist, ist n(n 2 +2) 1 (1+2) = 3 0 mod 3. Wenn n 2 mod 3 ist, ist n(n 2 +2) 2 (4+2) 12 0 mod 3. Aufgabe 2 (10 Punkte) a) (6 Punkte) Sei f : X Y eine Abbildung. Wir definieren wie folgt eine Relation R auf X: x 1 R x 2 : f(x 1 ) = f(x 2 ) Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist. b) (4 Punkte) Sei nun A eine Äquivalenzrelation auf einer Menge X. Geben Sie eine Abbildung f : X Y in eine von Ihnen gewählte Menge Y an, so dass für x 1,x 2 X gilt: x 1 A x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) Begründen Sie Ihre Antwort kurz. Sie können sich dabei auf die Vorlesung beziehen. a) Wir müssen zeigen, dass die Relation reflexiv(r), symmetrisch(s) und transitiv (T) ist. (R) Sei x X beliebig. Dann ist f(x) = f(x) und somit x R x. (S) Seien x 1,x 2 X mit x 1 R x 2. Dann ist f(x 1 ) = f(x 2 ) und somit f(x 2 ) = f(x 1 ), also x 2 R x 1. (T) Seien x 1,x 2,x 3 X mit x 1 R x 2,x 2 R x 3. Dann ist f(x 1 ) = f(x 2 ) und f(x 2 ) = f(x 3 ). Also ist f(x 1 ) = f(x 2 ) und somit x 1 R x 3. b) Betrachte Y := X / A, die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich A, und sei f : X Y = X / A, x [x] A (3 Punkte). Begründung: Für x 1,x 2 X sind (per Definition) äquivalent: x 1 A x 2 [x 1 ] A = [x 2 ] A f(x 1 ) = f(x 2 ) (1 Punkt)

3 Aufgabe 3 (10 Punkte) a) (5 Punkte) Rechnen Sie die Zahl 8634 vom Dezimalsystem ins 9-er System um. b) (5 Punkte) Rechnen Sie im 8-er System schriftlich. (54314) 8 (15373) 8 (26373) 8 Benutzen Sie hierbei die ganz normale schriftliche Subtraktion, aber eben im 8-er System. Rechnen Sie nicht ins 10-er System um! a) Es ist Somit ist also 8634 = (12753) 9. b) Also ist die (10326) = = = = = Aufgabe 4 (10 Punkte) a) (6 Punkte) Bestimmen Sie ganze Zahlen a, b, welche die Gleichung 43a+18b = 1 lösen. (Die gesamte smenge der Gleichung ist nicht gefragt.) b) (2 Punkte) Bestimmen Sie ganze Zahlen e,f mit e 1 mod 43, e 0 mod 18 f 0 mod 43, f 1 mod 18 c) (2 Punkte) Geben Sie smenge des Systems von Kongruenzen an. x 2 mod 43, x 1 mod 18 (x Z)

4 a) 43 = = = = (3 Punkte) 1 = 4 3 = 4 (7 4) = = 2 (18 2 7) 7 = = ( ) = Eine ist somit a = 5,b = 12. (3 Punkte) b) Die Zahlen e := = 216 und f := 5 43 = 215 erfüllen die angegebenen Kongruenzen. (2 Punkte) c) Eine ist 2e+f = = 217. Ferner ist = 774. Somit ist die smenge gleich Z. (2 Punkte) Aufgabe 5 (15 Punkte) Es sei eine affine Ebene E gegeben. (Zur Wiederholung: Dies heißt: wir haben eine Punktmenge, eine Geradenmenge und die drei sogenannten Inzidenzaxiome gelten.) Es sei nun weiterhin eine Abbildung δ : E E R 0, genannt Abstandsfunktion oder Abstandsabbildung, gegeben. a) (5 Punkte) Wie lautet nun das Abstandsaxiom(das 4. Axiom in der Vorlesung)? Was ist für eine gegebene Gerade g eine Koordinatenabbildung für g? b) (4 Punkte) Seien A,B verschiedene Punkte und P AB. Wann sagen wir, dass P zwischen A und B liegt? Wie kann man dies mittels einer geeigneten Koordinatenabbildung charakterisieren? (Hier ist kein Beweis gefragt.) c) (6 Punkte) Wie lautet das Trennungsaxiom (das 5. Axiom in der Vorlesung)? Gehen Sie dabei auf alle Begriffe ein, die Sie verwenden und die noch nicht definiert sind. a) Das Abstandsaxiom lautet: Für jede Gerade g gibt es eine bijektive Abbildung ϕ : g R mit δ(p,q) = P Q für alle P,Q g (3 Punkte). So eine Abbildung heißt dann eine Koordinatenabbildung für g (2 Punkte). b) Es muss gelten: P A,B und ferner δ(a,b) = δ(a,p)+δ(p,b) (2 Punkte).

5 Nun zum gefragten Kriterium: Sei ϕ : AB R eine Koordinatenabbildung mit ϕ(a) < ϕ(b). So eine Koordinatenabbildung gibt es immer. (Wenn für eine Koordinatenabbildung ϕ das Vorzeichen falsch herum ist, kann man stattdessen die Abbildung ϕ betrachten.) Dann lautet das Kriterium: ϕ(a) < ϕ(p) < ϕ(b). (2 Punkte) c) Wir müssen zuerst definieren, was eine Strecke und was eine konvexe Punktmenge ist. SeienA,B zweiverschiedenepunkte.diestrecke vonanachb,ab,istdiemenge der Punkte auf AB, die zwischen A und B liegen, vereinigt mit der Menge {A,B}. (1 Punkt) Eine Punktmenge X heißt konvex, wenn für alle Punkte A,B X auch die Strecke AB vollständig in X liegt. (2 Punkte) Das Trennungsaxiom lautet nun: Sei g eine beliebige Gerade. Dann gibt es zwei disjunkte konvexe Mengen H 1,H 2 mit E = H 1 H 2 g und der folgenden Eigenschaft: Für alle Paare von Punkten A H 1,B H 2 schneidet die Strecke AB die Gerade g. (3 Punkte) Aufgabe 6 Es seien nun Strecken AB und CD in einer Euklidischen Ebene gegeben, die sich in einem einzigen Punkt E schneiden, der kein Endpunkt der Strecken ist. Zeigen Sie, dass die Winkel AEC und BED kongruent zueinander sind. Setzen Sie für Ihren Beweis nur die Axiome voraus. Machen Sie auch eine Skizze der Situation. Nach dem Winkelmessungsaxiom haben wir m( AEC) + m( BEC) = 180 und m( BEC)+m( BED) = 180. Somit ist also m( AEC)+m( BEC) = m( BEC)+m( BED). Hieraus folgt sofort m( AEC) = m( BED). (4 Punkte) Ein Punkt für die Skizze.

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