Motivation der Dierenzial- und Integralrechnung

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1 Moivaion der Dierenzial- und Inegralrechnung Fakulä Grundlagen Hochschule Esslingen SS Fakulä Grundlagen (Hochschule Esslingen) SS / 9

2 Übersich 1 Vorberachungen Ableiungsbegri Physikalische Geseze akulä Grundlagen (Hochschule Esslingen) SS / 9

3 Vorberachungen Ableiungsbegri Dierenzialquoien; geomerisch y y = f (x) y y = f (x) Grenzprozess y x 0 x x x x 0 x0 + x x 0 Sekanenseigung: m(x 0, x) = f (x0+ x) f (x0) x = y x Tangenenseigung: f (x m(x 0, 0) = lim 0+ x) f (x 0) x }{{} x 0 = f (x 0 ) Fakulä Grundlagen (Hochschule Esslingen) SS / 9

4 Vorberachungen Physikalische Geseze Dierenzialquoien; Weg - Geschwindigkei - Beschleunigung Bewegung auf einer Geraden wird durch Weg-Zei-Funkion s() beschrieben. s 0 s( 0 ); v( 0 ) s( 0 + ); v( 0 + ) Zum Zeipunk 0 bende sich der Massenpunk bei s( 0 ) und besiz dor die Geschwindigkei v( 0 ); ewas späer, zum Zeipunk 0 +, is der Massenpunk in s( 0 + ) und besiz die Geschwindigkei v( 0 + ). Milere Geschwindigkei im Zeiinervall [ 0, 0 + ] 0 ṽ( 0, ) = s( 0 + ) s( 0 ) Milere Beschleunigung im Zeiinervall [ 0, 0 + ] ã( 0, ) = v( 0 + ) v( 0 ) 0 s() ds d ( 0) = ṡ( 0 ) = v( 0 ) dv d ( 0) = v( 0 ) = a( 0 ) Beispiel: s() = 2 ; ṡ() = v() = 2; s() = v() = a() = 2 Fakulä Grundlagen (Hochschule Esslingen) SS / 9

5 Vorberachungen Physikalische Geseze Dierenzialquoien; Ladung Sromsärke Ladung Q: Elekriziäsmenge; häug Elekronen Ladungen erzeugen Kraffeld Spannung U zwischen zwei Punken: benöige Energie um eine Ladungseinhei von einem zum anderen Punk zu bringen. ransporiere Ladung Bei konsanem Gleichsrom: Sromsärke I : I = = Q benöige Zei bei zeiabhängigen Srömen gil für die milere Sromsärke in [ 0, 0 + ] 0 Ĩ ( 0, ) = Q( 0 + ) Q( 0 ) Bei konsanem Gleichsrom: Arbei A: A = U Q Analogie: Rohrleiungsnez Vol() q: Querschni v v dq d ( 0) = Q(0 ) = I ( 0 ) Leisung L: L = U Q Sromsärke I () Srömungsgeschwindigkei v() Vol( + ) Vol() q ṽ( 0, ) ; q = 1 0 ṽ( 0, ) = Vol(0+ ) Vol(0) Spannung U() Druckdierenz p() Arbei: A = U Q p Vol dvol d ( 0 ) = v( 0 ) akulä Grundlagen (Hochschule Esslingen) SS / 9

6 Vorberachungen Physikalische Geseze RC -Glied oder die erse Dierenzialgleichung an der FH Kapaziä: Ladung proporional Spannung Q() = C U C () Ohmscher Widersand: Ladungsranspor proporional Spannung U Ω () = R I () RC-Glied U C Kapaziä C Maschenregel: Summe der Spannungsabfälle ergib Null! U Ω () + U C () = 0 bzw. R I () + Q() C = 0 I () = Q() = 1 RC Q() Der Kondensaor sei für = 0 mi Q 0 aufgeladen. Im weieren Verlauf enläd er sich über den Ohmschen Widersand. U R R Ω Q 0 Q() Theorie der DGL: Q() = Q 0 e 1 RC Nachrechnen!! Die Seigung is ses negaiv; sie wird beragsmäÿig immer kleiner. Seigung bei = 0: m = 1 RC Fakulä Grundlagen (Hochschule Esslingen) SS / 9

7 Vorberachungen Physikalische Geseze Formales Dierenzieren Regeln: ( αf (x) + βg(x) ) = αf (x) + βg (x) ( f (x) g(x) ) = f (x) g(x) + f (x) g (x) ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) ( ) g(x) 2 g(x) ( f (g(x)) ) = f (g(x)) g (x) bzw. d dx [ ] df f (g(x)) = dg dg dx Beispiele: f (x) = x 3 2x f (x) = 3x 3 4x s() = sin(2) ṡ() = 1 sin(2) + ( cos(2) 2 ) f (x) = sin x cos x f (x) = f (x) = cos ( x 2) f (x) = sin ( x 2) 2x.. cos x cos x sin x ( sin x) cos 2 x = 1 cos 2 x akulä Grundlagen (Hochschule Esslingen) SS / 9

8 Vorberachungen Physikalische Geseze Bewegung mi konsaner Beschleunigung s() : Weg in Abhängigkei von v() : Geschwindigkei: Veränderung Weg bzgl. a() : Beschleunigung: Veränderung Geschwindigkei bzgl. Newon: m a() = F (, s) speziell für a() = a 0, d. h. konsane Beschleunigung a() v( 0 ) v() s( 0 ) v = a 0 s() a 0 s = a Mahemaischer Formalismus: [ ds = d a0 2] = a d d 2 0 s() = 0 a 0τ dτ [ dv = ] d d d a0 = a 0 v() = a 0 dτ dτ : Flächeninhalsfunkion... dτ : Umkehrung der Dierenziaion Fakulä Grundlagen (Hochschule Esslingen) SS / 9

9 Vorberachungen Physikalische Geseze Bewegungsvorgänge a() v() s( 1 ) s() d d a( 2 ) d d Is die Weg-zei-Funkion bekann, so ergib sich daraus durch Dierenzieren eindeuig die Geschwindigkei v() und Beschleunigung a(). Is nur a() bekann, so muss noch die Sargeschwindigkei bekann sein, d. h. die Geschwindigkei läss sich aus a() nur bis auf eine addiive Konsane besimmen. Analog is bei bekanner Geschwindigkei v() die Weg-Zei-Funkion s() nur bis auf eine addiive Konsane - der Sarpunk besimm. Man läss beide Inegraionsgrenzen weg:... d unbesimmes Inegral s() = v() = a() = 10 6 a() = v() = (1 + 2)d = v 0 a() = ( v 0)d = v0 + s0 2 3 akulä Grundlagen (Hochschule Esslingen) SS / 9

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