c r Addiert man nun beide Reihendarstellungen, so folgt f (ζ) Nach dem Cauchyschen Integralsatz gilt dann auch

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1 Residuen V Beweis Einsetzen in das Kurvenintegral über c r ergibt demnach f (ζ) 2πi ζ z dζ = f (ζ) 2πi (ζ z 0 ) c r k= c r k+ dζ Addiert man nun beide Reihendarstellungen, so folgt a k (z z 0 ) k, r z z 0 R. a k = k= wobei die Koeffizienten durch f (ζ) dζ : k = 0,, 2,... 2πi (ζ z 0 ) k+ gegeben sind. 2πi c R c r (z z 0 ) k. f (ζ) dζ : k =, 2, 3,... (ζ z 0 ) k+ Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 Laurent-Entwicklung Beweis Nach dem Cauchyschen Integralsatz gilt dann auch a k = f (ζ) dζ (k Z) 2πi (ζ z 0 ) k+ für ein beliebiges ρ [r, R]. Bemerkung ζ z 0 =ρ Die Laurent Entwicklung von f (z) ist bei vorgegebenem Kreisring eindeutig bestimmt. 2 Ist f (z) holomorph im gesamten Kreis K R (z 0), so gilt aufgrund des Cauchyschen Integralsatzes für k =, 2, 3,... die Beziehung a k = 0 und die Laurent Entwicklung stimmt dann mit der Taylor Entwicklung überein. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88

2 Laurent Entwicklung im Wir betrachten die Funktion sinz z 2 mit Entwicklungspunkt z 0 = 0 und Kreisring 0 < z <. Mit der Taylor Entwicklung sinz = ( ) k z 2k+ (2k + )! erhalten wir die Laurent Reihe sinz z 2 = ( ) k z 2k (2k + )! = z z 3! + z3 5!... Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 Laurent Entwicklung im Wir betrachten die Funktion (z + )(z 2) mit Entwicklungspunkt z 0 = 0. Der Nenner hat zwei Nullstellen in z = und z = 2. Es existieren daher drei Laurent Entwicklungen, nämlich in z <, in < z < 2, und in z > 2. Für den Kreisring < z < 2 gilt etwa: 3 z 2 3 ( = ) ( z 6 2 = k= ( ) k 3 z + = 6 ) k 3z z k + z/2 3z ( ) k z ( ) 3 2 k+ z k. + /z Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88

3 Singularitäten Definition Sei f (y) holomorph auf einem Gebiet G. Ein Punkt z 0 C heißt isolierte Singularität von f (z), falls ein r > 0 existiert mit K 0,r (z 0 ) G. Ist a k (z z 0 ) k die Laurent Entwicklung in K 0,r (z 0 ), so nennt man den Punkt z 0 eine hebbare Singularität, falls a k = 0 für alle k < 0 gilt, 2 den Punkt z 0 einen Pol der Ordnung m N, falls gilt a m 0 k < m : a k = 0 3 den Punkt z 0 eine wesentliche Singularität, falls a k 0 für unendlich viele k < 0 gilt. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 Singularitäten e Der Punkt z 0 = 0 ist eine hebbare Singularität der Funktion sinz z, denn die Taylor Entwicklung lautet 2 Die Funktion sinz z = z2 3! + z4 5!... sinz z 2 hat in z 0 = 0 einen Pol der Ordnung. 3 Rationale Funktionen haben keine wesentlichen Singularitäten: Sei p(z) q(z) Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88

4 (Fortsetzung) 3 Sei p(z) q(z) eine rationale Funktion. Die Singularitäten sind die Nullstellen von q(x). Ist nun z 0 eine m fache Nullstelle von q(z), so gilt q(z) = (z z 0 ) m r(z), r(z 0 ) 0 wobei g holomorph in z 0 ist. Daraus folgt (z z 0 ) m a k (z z 0 ) k (z z 0 ) m g(z), d.h. z 0 ist ein Pol der Ordnung m oder eine hebbare Singularität, falls a 0 = a =...a m = 0. 4 Die Funktion e /z hat in z 0 = 0 eine wesentliche Singularität, denn es gilt e /z = +! ( ) + z 2! ( ) 2 + z 3! ( ) z Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 Klassifikation von Singularitäten Satz (Klassifikation von Singularitäten) Ist z 0 eine hebbare Singularität, so existiert der Grenzwert lim z z0 f (z). Die Funktion { f (z) : z z0 lim f (z) : z = z 0 z z 0 ist eine holomorphe Fortsetzung von f (z). 2 Ist f (z) in einer Umgebung von z 0 beschränkt, so ist z 0 eine hebbare Singularität. 3 Ist z 0 ein Pol von f (z), so gilt lim z z 0 4 Ist z 0 eine wesentliche Singularität von f (z), so bildet f (z) jeden Kreisring K 0,ε (z 0 ) auf C oder C \ {a} ab. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88

5 Komplexe Partialbruchzerlegung Definition Besitzt die Funktion f (z) bei z 0 die Laurent Entwicklung a k (z z 0 ) k, 0 < z z 0 < r, so nennt man h(z; z 0 ) = a k (z z 0 ) k den Hauptteil von f (z) zum Entwicklungspunkt z 0. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 Komplexe Partialbruchzerlegung und Residuen Satz Ist r(z) = p(z)/q(z) eine rationale Funktion, wobei der Grad des Zählers echt kleiner als der Grad des Nenners ist, und sind z,...,z m die (verschiedenen) Nullstellen von q(z), so gilt r(z) = h(z; z ) + + h(z; z m ). Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88

6 Beweis Komplexe Partialbruchzerlegung Beweis Idee: Wir zeigen, dass die Funktion g(z) definiert durch g(z) = r(z) m h(z; z j ) j= beschränkt und auf ganz C holomorph ist. Nach dem Satz von Liouville folgt dann, dass g(z) konstant ist. Mit lim g(z) = 0, folgt dann die z Behauptung. Offensichtlich ist g(z) holomorph auf dem Definitionsbereich C \ {z,...,z m } und die Hauptteile der Laurent Entwicklungen zu den Entwicklungspunkten z,...,z m verschwinden identisch. Demnach sind die Punkte z,...,z m hebbare Singularitäten und g(z) ist holomorph auf ganz C. Wegen grad p < grad q folgt lim z Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 Beweis Komplexe Partialbruchzerlegung Beweis und damit auch lim g(z) = 0. z Also ist g(z) beschränkt und holomorph auf ganz C. Nach dem Satz von Liouville folgt g(z) = const und aufgrund des Grenzverhaltens für z folgt g(z) = 0. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88

7 Komplexe Partialbruchzerlegung Anwendung Anwendung des Satzes: Die Partialbruchzerlegung einer komplexen rationalen Funktion kann über die Hauptteile der Laurent Entwicklungen berechnet werden, wobei die Entwicklungspunkte gerade die Singularitäten der rationalen Funktion sind. Wir betrachten dazu ein. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 Partialbruchzerlegung Man bestimme die Partialbruchzerlegung der Funktion 4 (z + ) 2 (z ). Der Nenner besitzt die beiden Nullstellen z = und z =. Wir bestimmen daher die Hauptteile der Laurent Entwicklungen um gerade diese beiden Punkte. ) Für z = schreibt man (z + ) 2 4. } z {{ } g(z) Nun ist g(z) in einer Umgebung des Punktes z = holomorph und kann in eine Taylor Reihe entwickelt werden. Es gilt daher (z + ) 2 ( 2 (z + ) + O((z + ) 2 ) ) Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88

8 Partialbruchzerlegung II (Fortsetzung) und wir erhalten damit 2 (z + ) z + }{{} h(z; ) 2) Analog schreiben wir für den Punkt z = z 4 (z + ) }{{ 2 } g(z) und erhalten durch Taylor Entwicklung z ( (z ) + O((z ) 2 ) ) Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 Partialbruchzerlegung (Fortsetzung) Demnach ist die komplexe Partialbruchzerlegung von f (z) gegeben durch 2 (z + ) 2 z + + z. Definition Ist z 0 eine isolierte Singularität von f (z), so besitzt f (z) eine Laurent Entwicklung zum Punkt z 0, d.h. a k (z z 0 ) k, 0 < z z 0 < r. Man nennt dann Res (f ; z 0 ) = a Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 das Residuum von f (z) in z 0.

9 Residuensatz Satz (Residuensatz) Sei G ein Gebiet, f : G \ {z,...,z m } C sei holomorph, c eine geschlossene, stückweise C Kurve in G \ {z,...,z m }, die in G nullhomotop ist, d.h. innerhalb von c liegen höchstens die isolierten Singularitäten z,...,z m. Dann gilt c f (z)dz = 2πi m Uml (c; z k ) Res (f ; z k ). k= Beweis ) Zunächst genügt es, die Singularitäten, die innerhalb von c liegen, zu untersuchen, da sonst die Umlaufzahl Null ist. 2) Man zerlegt c in geschlossene Kurven c,...,c s, sodass jede dieser Kurven c j nur Singularitäten mit gleicher Umlaufzahl l j enthält. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 Residuensatz II Beweis (Fortsetzung) 3) Jede Kurve c j ist innerhalb von G \ {z,...,z m } homotop zu einer l j fach durchlaufenen einfach geschlossenen Kurve c j, siehe Zeichnung auf Folie. Daraus folgt c f (z)dz = s j= c j f (z)dz = s l j j= c j f (z)dz 4) Jeder einfach geschlossene Weg c j kann in eine Summe von Kreisen um die Singularitäten innerhalb von c j zerlegt werden. Daraus folgt c f (z)dz = m Uml (c; z k ) k= z z k =ρ k f (z)dz. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88

10 Residuensatz II Beweis (Fortsetzung) Mit der Laurent Entwicklung um z k gilt aber z z k =ρ k f (z)dz = = z z k =ρ k j= a j j= a j (z z k ) j dz z z k =ρ k (z z k ) j dz = 2πi a = 2πi Res (f ; z k ) Für die Kurve in der Beweisskizze erhält man also f (z)dz = 2πi [2Res (f ; z ) + Res (f ; z 2 ) c Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 +Res (f ; z 3 ) + 2Res (f ; z 4 ) + 2Res (f ; z 5 )] Methoden zur Berechnung von Residuen Satz Ist z 0 ein einfacher Pol von f (z), so besitzt f (z) eine Darstellung der Form g(z) z z 0 mit einer in z 0 holomorphen Funktion g(z). Für das Residuum gilt dann Res (f ; z 0 ) = g(z 0 ) = lim z z0 (z z 0 )f (z) 2 Ist p(z)/q(z) mit auch in z 0 holomorphen Funktionen p und q eine rationale Funktion und z 0 eine einfache Nullstelle von q(z), so gilt Res (f ; z 0 ) = p(z 0) q (z 0 ) Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88

11 Berechnung von Residuen Satz (Fortsetzung) Gilt g(z)/(z z 0 ) m, m mit einer in einer Umgebung von z 0 holomorphen Funktion g(z), so gilt Res (f ; z 0 ) = g(m ) (z 0 ) (m )! Beweis Die erste Aussage ist ein Spezialfall von Teil 3), der über Taylor Entwicklung bewiesen werden kann, da g(z) in einer Umgebung von z 0 holomorph ist: g(z) (z z 0 ) m = g (k) (z 0 ) (z z 0 ) k m. k! Reiner Man Lauterbach kann(universität dann direkt Hamburg) das Residuum Komplexe Funktionen ablesen und es folgt SS / 88 Berechnung von Residuen Beweis (Fortsetzung) Für Teil 2) definieren wir q(z) = (z z 0 )r(z) Dann ist r(z) im Punkt z 0 holomorph fortsetzbar mit r(z 0 ) 0. Damit ist die Funktion g(z) = p(z) r(z) bei z = z 0 holomorph und wir erhalten für f (z) die Darstellung g(z) z z 0 Nach Teil ) folgt wegen q (z) = r(z) + (z z 0 )r (z) Res (f ; z 0 ) = g(z 0 ) = p(z 0) Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 r(z 0 )

12 Residuen Für die Funktion (z + )(z 2) hat man nach Teil ) des letzten Satzes Res (f ; ) = z 2 = z= 3 Res(f ; 2) = z + = z=2 3 Für gilt nach 2) + z 2 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88 Residuen Die Funktion e iz z(z 2 + ) 2 hat bei z 0 = i einen Pol zweiter Ordnung. Nach dem letzten Satz, Teil 3), gilt Res (f ; i) = g (i) = 3 4e wobei die Funktion g(z) aufgrund der Darstellung e iz z(z + i) 2 (z i) 2 durch g(z) = e iz z(z + i) 2 gegeben ist. Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen SS / 88