d x 2 = 1 y ' x 2 d x 2

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1 2. Variationsrechnung 2.1. Variation ohne Nebenbedingungen Eine Funktion y = y(x) ordnet jedem x-wert eine Zahl (den y-wert) zu. In der Variationsrechnung betrachtet man Funktionale, die jeder Funktion eine Zahl (den Wert des Funktionals) zuordnen. y(x) P 2 P 1 P 2 J = J [ y] = ds = 1 y' x 2 P 1 ist ein Funktional, das die Wegstrecke entlang der Kurve y = y(x) zwischen den Punkten P 1 = (, y( )) und P 2 = (, y( )) angibt. Dieses Funktional ordnet jeder Kurve y=y(x), die die beiden Punkte verbindet, eine Zahl (die Weglänge) zu. Das Wegelement ds ergibt sich aus: dy P 2 d s 2 = d x 2 d y 2 = 1 d y d x P 2 1 d x 2 = 1 y ' x 2 d x 2 38

2 Zur Unterscheidung von Funktionalen von Funktionen geben wir das Argument y des Funktionals in eckigen Klammern an J[y]. Für welche Funktion y(x) wird nun ein bestimmtes Funktional extremal? In Analogie zu Funktionen suchen wir eine notwendige Bedingung für einen Extremwert. Im Allgemeinen liefert diese Bedingung einen maximalen oder minimalen Wert, der Einfachheit halber beschränken wir uns auf Minima. Fragestellung: Für welche Kurve ist die Wegstrecke zwischen zwei gegebenen Punkten minimal? Physikalisch suchen wir also die Bahnkurve, für die die Wegstrecke ein Minimum ist. Mathematisch suchen wir also die Funktion y(x), für die das Funktional J[y] minimal wird. 39

3 Euler-Lagrange-Gleichung Die allgemeine Problemstellung lautet: Welche Funktion y(x) minimiert das Funktional J[y]? F(y,y',x) und die Randwerte y( ) = y 1 und y( ) = y 2 werden als gegeben vorausgesetzt. J = J [ y] = F y, y ', x P 2 P 1 Angenommen, wir kennen die gesuchte Funktion y(x), die das Funktional minimiert, dann muss J[y+δy] mit einer beliebigen kleinen Abweichung δy größer als J[y] sein. Eine beliebige infinitesimale Abweichung δy(x) von y(x) schreiben wir als y x = x P 2 P 1 40

4 Der Faktor є ist infinitesimal (klein). Die Funktion η(x) ist insofern eingeschränkt, dass alle Kurven durch die Randpunkte gehen = = 0. Die Funktion η(x) ist ansonsten eine beliebige, differenzierbare Funktion in dem uns interessierenden Bereich. y y x y x x x Das Funktional J[y + єη] ist selbst eine Funktion von є, die wir mit J(є) bezeichnen. Für die gesuchte Funktion y(x) muss J(є) bei є minimal sein für beliebiges η(x). J[y] minimal 0 є 41

5 Würde dies für irgendein η 0 nicht gelten, so könnte durch kleiner als J[y] gemacht werden. Dann würde aber die neue Funktion y(x) + є. η 0 (x) das Funktional minimieren und nicht y(x), entgegen unserer Annahme. Damit erhalten wir die folgende Bedingung für ein lokales Extremum d J [ y ] = 0 d =0 J [ y 0 ] Zur Berechnung schreiben wir J[y+єη] als Reihenentwicklung in є 0 J [ y ] = F y, y ' ', x = F y, y ', x y, y', x y x y, y', x ' x O 2 42

6 Damit erhalten wir 0 = dj [ y ] d =0 = y, y ', x y x y, y ', x ' x Durch partielle Integration die η'(x) nach η(x) umformen f g ' = fg f ' g kann man im zweiten Term f = y, y ', x, g = x 0 = y, y ', x x d y, y', x x 2 x y, y ', x y x Der 1. Term verschwindet, da η( ) = η( ) = 0. 43

7 0 = y, y ', x y d y, y', x x Da η(x) eine beliebige Funktion sein kann, muss der Klammerausdruck verschwinden. d y, y ', x = y, y ', x y Euler-Lagrange-Gleichung Die Euler-Lagrange-Gleichung der Variationsrechnung ist eine Differenzialgleichung 2. Ordnung für die gesuchte Funktion y(x). Sie ist eine notwendige Bedingung für ein Extremum des Funktionals J[y]. 44

8 δy(x) = є η(x) wird auch Variation von y(x) genannt. Für das gesuchte y(x) ist J stationär, d.h. J ändert sich nicht bei infinitesimalen Änderungen δy von y(x)). Die Variation δj von J verschwindet. Als übliche Kurznotation schreibt man J = J [ y y] J [ y] = = y d y y y dy ' y ' Da δy eine beliebige Variation ist, folgt die Euler-Lagrange-Gleichung aus δj=0 y d = 0 J = 0 45

9 Beispiel: kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten J [ y]= 1 y' x 2 F = 1 y ' x 2 Für die Euler-Lagrange-Gleichung benötigen wir y = 1 y ' 2 y = 0 Damit erhalten wir als Euler-Lagrange-Gleichung d = 1 y ' 2 y' x 1 y' x 2 = 0 = y' 1 y ' = y ' x 2 1 y ' x 2 y d = 0 Die Integration dieser Gleichung liefert y' = const. Y = a x + b Die Konstanten a, b werden durch die Randpunkte festgelegt. Wir erhalten das erwartete Ergebnis: Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist die Gerade. 46

10 Verallgemeinerungen der Euler-Lagrange-Gleichung I. Mehrere Funktionen J = J [ y 1,..., y N ] = F y 1,..., y N, y ' 1,..., y ' N, x N-Funktionen y 1 (x), y 2 (x),..., y N (x) mit festen Randwerten y i ( ) = y i1, y i ( ) = y i2 (i= 1,..., N) Wir suchen die Funktionen y i (x), für die J minimal wird. Für diese Funktionen y i gilt wieder J 1, 2,..., N = J [ y 1 1 1, y 2 2 2,..., y N N n ] mit J 1, 2,..., N i i =0 =0 47

11 Damit erhalten wir N Euler-Lagrange-Gleichung d y i ' y i = 0 i = 1,..., N Dies sind N Differenzialgleichungen 2. Ordnung für die N gesuchten Funktionen y 1,..., y N. II. Mehrere Argumente Wir betrachten mehrere Argumente,..., x D anstelle von x. Gesucht sei die Funktion y(,..., x D ), die das Funktional J = J [ y] = d... D F y, y,..., y x D,,..., x D extremal macht. Dabei sei y(,..., x D ) auf dem Rand des Integrationsbereichs fest vorgegeben. Für die Variation δy = є η(,..., x D ) ergibt sich wieder eine Funktion J(є), aus dem Verschwinden der Variation δj folgt die Euler- Lagrange-Gleichung D i=1 x i y/ x i y = 0. 48

12 Für die partiellen Ableitungen nach / y und / y / x i ist zunächst die Form F y, y x i, x i zu nehmen. Für x i allein der x i aufzufassen. ist y / x i dann als Funktion *** 2.2. Variation mit Nebenbedingung (Ergänzung: wird nicht geprüft) In manchen Problemen sind nicht alle möglichen Funktionen als Lösung erlaubt, sondern nur Funktionen, die zusätzliche Bedingungen erfüllen. Beispiel: Ein Seil sei an zwei Punkten im Schwerefeld aufgehängt. Durch welche Kurve wird die Gleichgewichtslage beschrieben? y 1 y(x) Interessenten: siehe Webseiten Theorie. y 2 x 49