Tutoraufgabe 1 (Fibonacci-Zahlen):

Transkript

1 Prof. aa Dr. J. Giesl Programmierung WS12/13 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Otto, T. Ströder Tutoraufgabe 1 (Fibonacci-Zahlen): Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist folgendermaßen definiert: F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 + F n 2 für n > 1 Somit ist der Wert der Fibonacci-Zahlen mit den Indizes 0 und 1 genau ihr Index und jede weitere Fibonacci- Zahl entspricht der Summe ihrer beiden Vorgänger. Die direkte Implementierung zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen mittels Rekursion ist leider sehr ineffizient, da viele Berechnungen mehrmals ausgeführt statt als Zwischenergebnis wiederverwendet zu werden. Laden Sie von der Homepage die Datei Fibonacci.java herunter und ergänzen Sie darin eine statische Methode fib mit einem int Argument n, welche die Fibonacci-Zahl mit Index n berechnet und als long zurück liefert. Schreiben und verwenden Sie hierfür eine rekursive Hilfsmethode, die vier Argumente bekommt: n (int) gibt den Index der gesuchten Fibonacci-Zahl an aktuell (int) gibt den Index der Fibonacci-Zahl an, die die Summe der beiden nachfolgenden Argumente ist vorher (long) ist die Fibonacci-Zahl mit Index aktuell 1 zweivorher (long) ist die Fibonacci-Zahl mit Index aktuell 2 Die Rückgabe dieser Methode soll die Fibonacci-Zahl mit Index n (als long-wert) sein. Ihr Programm sollte schnell genug sein, um fib(70) = auch auf langsamen Computern in deutlich unter einer Sekunde zu berechnen. Für diese Aufgabe dürfen Sie keine Schleife verwenden. Lösung: public class Fibonacci { public static long fib ( int n) { if (n < 2) { return n; else { return fib (2, n, 0, 1); private static long fib ( int aktuell, int n, long zweivorher, long vorher ) { if ( aktuell == n) { return zweivorher + vorher ; return fib ( aktuell + 1, n, vorher, vorher + zweivorher ); public static void main ( String [] args ) { // Berechne die ersten 71 Fibonacci - Zahlen for ( int i = 0; i <= 70; i ++) { System. out. print (i + ": "); System. out. println ( fib (i )); 1

2 Tutoraufgabe 2 (Datenstrukturen): In dieser Aufgabe geht es um einfach verkettete Listen als Beispiel für eine dynamische Datenstruktur. Wir legen hier besonderen Wert darauf, dass eine einmal erzeugte Liste nicht mehr verändert werden kann. Achten Sie also in der Implementierung darauf, dass die Attribute der einzelnen Listen-Elemente nur im Konstruktor geschrieben bzw. verändert werden. Beachten Sie, dass die hier verwendete Datenstruktur für Listen von der in der Vorlesung vorgestellten abweicht. Für diese Aufgabe benötigen Sie die Klassen List.java und ListExercise.java, welche Sie von unserer Webseite herunter laden können. In der gesamten Aufgabe dürfen Sie keine Schleifen verwenden (die Verwendung von Rekursion ist hingegen erlaubt). a) Vervollständigen Sie die Klasse List, indem Sie darin eine Methode length und eine Methode tostring jeweils ohne Argumente implementieren. Die Methode length soll die Länge der Liste als int zurück liefern. Die Methode tostring soll eine textuelle Repräsentation der Liste als String zurück liefern, wobei die Elemente der Liste durch Kommata separiert hintereinander stehen. Beispielsweise ist die textuelle Repräsentation der Liste mit den Elementen 2, 3 und 1 der String "2, 3, 1". b) Ergänzen Sie diese Klasse darüber hinaus noch um eine Methode getsublist, welche ein Argument vom Typ int erhält und eine unveränderliche Liste zurück liefert, welche die ersten i Elemente der aktuellen Liste enthält, wobei i der übergebene int Wert ist. Sollte die aktuelle Liste nicht genügend Elemente besitzen, wird einfach eine Liste mit allen Elementen der aktuellen Liste zurück gegeben. c) Vervollständigen Sie die Methode merge in der Klasse ListExercise.java. Diese Methode erhält zwei Listen als Eingabe, von denen wir annehmen, dass diese bereits aufsteigend sortiert sind, und soll eine Liste zurück liefern, die alle Elemente der beiden übergebenen Listen in aufsteigender Reihenfolge enthält. Verwenden Sie zwei Zeiger, die jeweils auf das kleinste noch nicht in die Ergebnisliste eingefügte Element in den Argumentlisten zeigen. Vergleichen Sie die beiden Elemente und fügen Sie das kleinere ein, wobei Sie den entsprechenden Zeiger ein Element weiter rücken. Sobald eine der Argumentlisten vollständig eingefügt ist, können die Elemente der anderen Liste ohne weitere Vergleiche hintereinander eingefügt werden. d) Vervollständigen Sie die Methode mergesort in der Klasse ListExercise.java. Diese Methode erhält eine unveränderliche Liste als Eingabe und soll eine Liste mit den gleichen Elementen in aufsteigender Reihenfolge zurückliefern. Falls die übergebene Liste weniger als zwei Elemente enthält, soll sie unverändert zurück geliefert werden. Ansonsten soll die übergebene Liste mit der vorgegebenen Methode divide in zwei kleinere Listen aufgespalten werden, welche dann mit mergesort sortiert und mit merge danach wieder zusammengefügt werden. Sie können die ausführbare main-methode verwenden, um das Verhalten Ihrer Implementierung zu überprüfen. Um beispielsweise die unveränderliche Liste [2,4,3] sortieren zu lassen, rufen Sie die main-methode durch java ListExercise auf. Lösung: public class List { Listing 1: List.java 2

3 private final List next ; private final int value ; public List ( List n, int v) { this. next = n; this. value = v; public List getnext () { return this. next ; public int getvalue () { return this. value ; * Returns a String representation of this list. public String tostring () { if ( this. next == null ) { return String. valueof ( this. value ); return this. value + ", " + this. next. tostring (); * Computes the length of the list. public int length () { if ( this. next == null ) { return 1; return 1 + this. next. length (); * Returns a list containing the first <code >length </ code > elements of the * current list. If this list does not contain enough elements, the whole * list is returned instead. public List getsublist ( int length ) { if ( length == 0) { return null ; else if ( this. next == null ) { return this ; else { List newnext = this. getnext (). getsublist ( length - 1); return new List ( newnext, this. value ); public class ListExercise { Listing 2: ListExercise.java * Sorts the given list. public static List mergesort ( List list ) { if ( list == null list. getnext () == null ) { return list ; else { List [] twolists = divide ( list ); List newlista = mergesort ( twolists [0]); List newlistb = mergesort ( twolists [1]); return merge ( newlista, newlistb ); * Merges two sorted non - empty lists to one sorted list. private static List merge ( List first, List second ) { if ( first == null ) { return second ; else if ( second == null ) { 3

4 return first ; else { if ( first. getvalue () > second. getvalue ()) { return new List ( merge ( first, second. getnext ()), second. getvalue () ); else { return new List ( merge ( first. getnext (), second ), first. getvalue () ); * Divides a list of at least two elements into two lists of the same * length ( up to rounding ). private static List [] divide ( List list ) { List [] res = new List [2]; int length = list. length () / 2; res [0] = list. getsublist ( length ); for ( int i = 0; i < length ; i++) { list = list. getnext (); res [1] = list ; return res ; * Creates a list from the given inputs and outputs the sorted list and * the original list thereafter. public static void main ( String [] args ) { if ( args!= null && args. length > 0) { List list = buildlist (0, args ); System. out. println ( mergesort ( list )); System. out. println ( list ); * Builds a list from the given input array. private static List buildlist ( int i, String [] args ) { if (i < args. length ) { return new List ( buildlist (i + 1, args ), Integer. parseint ( args [i]) ); else { return null ; Aufgabe 3 (Terme): ( = 12 Punkte) Um den Umgang mit rekursiven Datenstrukturen zu üben, verwenden wir in dieser Aufgabe arithmetische Terme. Ein Term ist wie folgt induktiv definiert: jede Zahl ist ein Term jede Variable ist ein Term wenn a und b Terme sind, dann ist auch (a + b) ein Term wenn a und b Terme sind, dann ist auch (a b) ein Term wenn a und b Terme sind, dann ist auch (a b) ein Term wenn a und b Terme sind, dann ist auch (a/b) ein Term 4

5 Beispielsweise ist also ((x + y) (9/y)) ein Term mit Variablen x und y. Auf der Homepage finden Sie den Aufzählungstypen Typ und die Klasse Term. Wir repräsentieren Terme als Objekte der Klasse Term, wobei hierfür die Attribute die folgende Bedeutung haben: typ gibt an, ob der Term ein Literal (eine Zahl), eine Variable oder ein mit einer der vier Rechenoperationen zusammengesetzter Term ist erster ist der erste bzw. linke Teilterm (bei Literalen und Variablen ist dieses Attribut null) zweiter ist der zweite bzw. rechte Teilterm (bei Literalen und Variablen ist dieses Attribut null) wert ist der Wert des Literals (bei anderen Termen ist dieses Attribut null) var ist der Name der Variablen (bei anderen Termen ist dieses Attribut null) Wir repräsentieren also beispielsweise für Term-Objekte a und b den Term a + b durch ein Term-Objekt, bei dem die Attribute wert und var beide null sind, das Attribut typ den Wert ADD hat, das Attribut erster auf a verweist und zweiter auf b. Verwenden Sie in dieser Aufgabe keine Schleifen, sondern ausschließlich Rekursion! Verändern Sie in den Methoden den jeweiligen Eingabe-Term (this) nicht, sondern erzeugen Sie bei Bedarf neue Objekte! Testen Sie Ihre Implementierung mit Hilfe der gegebenen main-methode. Sie dürfen davon ausgehen, dass in den Attributen erster bzw. zweiter niemals null steht (außer wenn der Typ LIT oder VAR ist). Verwenden Sie in Ihrer Implementierung an den passenden Stellen eine switch-anweisung zur Fallunterscheidung anhand des Typs des jeweiligen Terms. Da der Compiler nicht erkennt, dass Sie alle Möglichkeiten durch case-ausdrücke berücksichtigt haben, ist es unter Umständen nötig, eine zusätzliche (unerreichbare) return-anweisung in einem letzten default-fall zu schreiben. In diesen Fällen ist es erlaubt, beliebige Werte (beispielsweise null) zurückzugeben. Ignorieren Sie die folgenden möglichen Probleme und gehen Sie davon aus, dass diese nicht auftreten: Über- und Unterläufe unpräzise double-arithmetik Division durch 0 Implementieren Sie nun in der Klasse Term die folgenden Konstruktoren und Methoden: a) Schreiben Sie drei Konstruktoren. Der erste Konstruktor soll einen double-wert bekommen und die Attribute so setzen, dass das Objekt ein Literal mit diesem Wert repräsentiert. Der zweite Konstruktor soll einen String übergeben bekommen und die Attribute so setzen, dass das Objekt eine Variable mit diesem Namen repräsentiert. Der dritte Konstruktor soll einen Typ sowie zwei Term-Objekte übergeben bekommen. Der Typ soll hierbei in das Attribut typ übernommen werden und die beiden übergebenen Terme sollen (in dieser Reihenfolge) als Teilterme in erster bzw. zweiter gespeichert werden. b) Schreiben Sie die Methode tostring(). Für eine Variable soll nur der Name der Variablen zurückgegeben werden. Bei Literalen soll die String-Darstellung des Wertes zurückgegeben werden (verwenden Sie hierfür die Methode String.valueOf). Bei den verbleibenden vier Term-Typen soll das Ergebnis ein String der Form (a b) sein, wobei a bzw. b die String-Darstellung des ersten bzw. zweiten Teilterms ist und, je nach Typ, entweder +,, oder / ist. c) Schreiben Sie die Methode groesse(), die die Größe des Terms als int-wert zurückgibt. Hierbei haben Variablen und Literale die Größe 1. Die Größe eines aus zwei Teiltermen zusammengesetzten Terms (a b) ist 1 + a + b, wenn x die Größe des Terms x angibt. Der Term ((x + y) (9/y)) hat also die Größe 7. 5

6 d) Schreiben Sie die Methode subst, die als erstes Argument einen String und als zweites Argument einen double-wert übergeben bekommt. Die Methode soll ein Term-Objekt zurückgeben, bei dem jedes Vorkommen von Variablen mit dem Namen aus dem ersten Argument durch Literale mit dem Wert aus dem zweiten Argument ersetzt wurden. Ruft man also term.subst("y", 2) auf, wobei term das Term-Objekt ((x + y) (9/y)) ist, so ist das Ergebnis das Term-Objekt ((x + 2) (9/2)) (und term ist unverändert ((x + y) (9/y))). Hinweis: Vergleichen Sie String-Objekte mit equals statt ==! e) Schreiben Sie die Methode auswerten(), die Terme ohne Variablen auswertet und das berechnete Ergebnis als Double zurückgibt. Wenn der Term eine Variable enthält, gibt die Methode null zurück. Für den Term ((1 + 2) (9/2)) soll die Methode also 13.5 zurückgeben. Hinweis: Beachten Sie den Unterschied zwischen double und Double! f) Schreiben Sie die Methode vereinfache(), die ein vereinfachtes Term-Objekt zurückgibt. Hierbei muss das folgende Kriterium erfüllt sein: Wenn man auf einem Term t beliebig viele beliebige Substitutionen anwendet und den dadurch entstehenden Term anschließend erfolgreich auswertet, so soll sich das gleiche Ergebnis ergeben, wie wenn man auf den vereinfachten Term die gleichen Substitutionen anwendet und anschließend auswertet. Es soll also, wenn ohne Vereinfachung erfolgreich ausgewertet werden kann, t.subst(...).auswerten() == t.vereinfache().subst(...).auswerten() gelten. Beispielsweise kann man ((x + 0) (1 (y y))) zu x vereinfachen, wobei das obige Kriterium gilt. Vereinfachen Sie Terme der Form a + 0, 0 + a, a 0, 0 a, a 1, 1 a, a 0, a a, 0/a, a/1, wobei a für einen beliebigen Term steht. Vereinfachen Sie außerdem Terme der Form a+b durch einfaches Ausrechnen, wenn sowohl a als auch b Literale sind (analog für die anderen drei Rechenoperationen). Verwenden Sie die Methode auswerten und beachten Sie, dass diese auch null zurückgeben kann. Sie dürfen (x 0) zu 0 vereinfachen, obwohl der Term (x 0) mit der Methode auswerten() zu keinem Ergebnis führt. Das genannte Kriterium wird hier nicht verletzt! Tutoraufgabe 4 (Drachenkurve): Ziel dieser Aufgabe ist es, ein Programm zur Visualisierung der Drachenkurve zu schreiben. Die Drachenkurve erhält man, indem man einen Papierstreifen wie folgt faltet: Man falte die beiden Enden des Papierstreifens so aufeinander, dass sich die Länge des Streifens halbiert. Den so verkürzten Streifen faltet man wieder auf dieselbe Art (und wichtig in dieselbe Richtung). Nach ein paar Wiederholungen faltet man den Streifen wieder auseinander und richtet ihn dann so aus, dass jeder Knick genau rechtwinklig verläuft. Hat man den Streifen anfänglich n-mal halbiert, erhält man durch diese Anleitung eine Drachenkurve der n-ten Ordnung. 1 Diese Drachenkurve n-ter Ordnung lässt sich auch durch ihre Folge von Rechts- bzw. Linksknicken beschreiben: 1 Bild lizenziert unter CC BY-SA 3.0, Quelle: 6

7 Ordnung Folge 1 R 2 R R L 3 R R L R R L L 4 R R L R R L L R R R L L R L L Hierbei ergibt sich folgende Konstruktionsvorschrift: Eine Drachenkurve der 1-ten Ordnung hat nur einen Rechtsknick. Um eine Drachenkurve der Ordnung (n + 1) zu erhalten, führt man erst die Folge von Knicken einer Kurve der Ordnung n durch, dann einen Rechtsknick und dann wieder die Knicke einer Folge der Ordnung n, wobei man in deren Mitte anstelle eines Rechtsknicks einen Linksknick macht. Für Ihre Implementierung benötigen Sie die Datei Staffelei.java von der Homepage. Verwenden Sie das Programm Javadoc, um die Schnittstellendokumentation dieser Klasse zu erzeugen. Ergänzen Sie die Datei Drachenkurve.java um zwei statische Methoden kurvel und kurver, die jeweils eine Drachenkurve beliebiger Ordnung mit einem Links- bzw. Rechtsknick in der Mitte darstellen. Diese Methoden bekommen als Argumente jeweils ein Objekt der Klasse Staffelei sowie eine Ordnung als int-wert. Mit Hilfe der Methoden des Staffelei-Objektes kann die Zeichnung gefertigt werden. Verwenden Sie die Methode drawforward der Klasse Staffelei um einen Strich zu malen. Als Länge eignen sich 10 Pixel. Rotationen können Sie mit der Methode rotate der Klasse Staffelei erreichen, die eine Gradzahl als Parameter bekommt. Implementieren Sie die Methoden kurvel und kurver rekursiv. Lösung: public class Drachenkurve { Listing 3: Drachenkurve.java public static void kurver ( Staffelei s, int ordnung ) { if ( ordnung <= 0) { s. drawforward (10); else { kurver ( s, ordnung - 1); s. rotate (90); kurvel ( s, ordnung - 1); public static void kurvel ( Staffelei s, int ordnung ) { if ( ordnung <= 0) { s. drawforward (10); else { kurver ( s, ordnung - 1); s. rotate ( -90); kurvel ( s, ordnung - 1); public static void main ( String [] args ) { Staffelei s = new Staffelei (); s. rotate ( 180); // Rotiert die aktuelle Ausrichtung nach oben kurver (s, 10); 7

8 Aufgabe 5 (Fraktal): (7 Punkte) In dieser Aufgabe geht es darum, eine fraktale Struktur grafisch darzustellen. Die Struktur besteht aus Quadraten, die nach einem bestimmten Vorgehen angeordnet werden. Das Vorgehen läßt sich rekursiv beschreiben: In der ersten Iteration besteht die Struktur aus nur einem Quadrat. Die Struktur der n-ten Iteration entsteht dadurch, dass erst ein Quadrat und danach auf dessen vier Ecken jeweils eine verkleinerte Variante der n 1- ten Iteration der Struktur gemalt wird. Hierbei haben die größten Quadrate der n 1-ten Iteration die halbe Kantenlänge des größten Quadrates der n-ten Iteration. In folgendem Bild sind die ersten 5 Iterationen der fraktalen Struktur dargestellt. Verwenden Sie zur graphischen Darstellung die Klasse Staffelei, welche in der Datei Staffelei.java definiert ist. Die Klasse stellt (unter anderem) die Methoden move und square zur Verfügung, die ein bzw. zwei double-zahlen als Parameter bekommen. Sei s eine Objekt der Klasse Staffelei. Dann bewegt der Aufruf s.move(3, 4) die Position an der als nächstes gezeichnet wird um 3 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach unten. Ein Aufruf s.square(5) zeichnet ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 5 Einheiten, wobei der Mittelpunkt des Quadrats auf der aktuellen Zeichenposition liegt. Implementieren Sie eine statische Methode malefraktal in einer neuen Klasse Quadrate, welche eine int-zahl n, eine Referenz s auf ein Objekt der Klasse Staffelei und eine double-zahl l übergeben bekommt und mit Hilfe der Staffelei s die beschriebene fraktale Struktur der Iteration n malt, wobei die Kantenlänge des größten Quadrats l beträgt. Verwenden Sie hierzu Rekursion. Die folgende Methode eignet sich dazu Ihr, Programm zu testen. public static void main(string[] args) { Staffelei s = new Staffelei(); malefraktal(7, s, 100); Lösung: public class Quadrate { Listing 4: Quadrate.java public static void main ( String [] args ) { Staffelei s = new Staffelei (); malefraktal (7, s, 100); private static void malefraktal ( int iterations, Staffelei s, double length ) { if ( iterations <= 0) { return ; 8

9 s. square ( length ); double lh = length / 2; // move to upper left corner s. move (-lh, -lh ); malefraktal ( iterations - 1, s, lh ); // move to upper right corner s. move ( length, 0); malefraktal ( iterations - 1, s, lh ); // move to lower right corner s. move (0, length ); malefraktal ( iterations - 1, s, lh ); // move to lower left corner s. move (- length, 0); malefraktal ( iterations - 1, s, lh ); // move back to center s. move (lh, -lh ); 9