Kapitel 11 DIE NORMAL-VERTEILUNG

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1 Kapitel DIE NORMAL-VERTEILUNG Fassug vom 7. Februar 006 Prof. Dr. C. Porteier Mathematik für Humabiologe ud Biologe 49

2 . De itio der Normal-Verteilug. De itio der Normal-Verteilug Bisher habe wir ur diskret verteilte Zufallsvariable betrachtet. Bei physikalische Messuge, wie.b. Läge, Gewicht, usw., mußma aber kotiuierlich verteilte Zufallsvariable X ulasse, dere Wertebereich R oder Itervalle i R sid. Demetspreched ist der Wahrscheilichkeitsraum sehr kompliiert. Im Allgemeie ist ma aber ur a der Wahrscheilichkeit P vo Ereigisse der Gestalt f! j X(!) Ig, wobei I ei Itervall i R ist, iteressiert,.b. oder P (a 6 X 6 b) := P (f! j a 6 X(!) 6 bg) P (X 6 b) := P (f! j X(!) 6 bg) für a; b R, ud dau geügt es, die Verteilug vo X u kee. Die wichtigste Verteilug bei kotiuierlich verteilte Zufallsvariable X ist die Normalverteilug. DEFINITION Die Fuktio : R! R : 7! () de iert durch () := p Z e t heißt Stadard-Normal-Verteilug. Die Fuktio ' : R! R de iert durch ' (t) := p e t et ma die Dichtefuktio vo. dt BEMERKUNG () ist icht durch eie eifache Formel, soder i Tabelle gegebe. Da ach Beispiel Z p e t dt = ; folgt mit der Zerlegugsregel Demach wird ur () für > 0 tabelliert : ( ) = () für alle R. 50 DIE NORMAL-VERTEILUNG Prof. Dr. C. Porteier

3 De itio der Normal-Verteilug. () () () () () 0 :5 : :5796 :4 :6554 :6 :7575 :8 :7884 :0 :50399 : :5837 :4 :659 :6 :7907 :8 :7903 :0 :50798 : :58706 :4 :6676 :6 :7337 :8 :79389 :03 :597 :3 :59095 :43 :6664 :63 :73565 :83 :79673 :04 :5595 :4 :59483 :44 :67003 :64 :7389 :84 :79955 :05 :5994 :5 :5987 :45 :67364 :65 :745 :85 :8034 :06 :539 :6 :6057 :46 :6774 :66 :74537 :86 :805 :07 :579 :7 :6064 :47 :6808 :67 :74857 :87 :80785 :08 :5388 :8 :606 :48 :68439 :68 :7575 :88 :8057 :09 :53586 :9 :6409 :49 :68793 :69 :7549 :89 :837 : :53983 :3 :679 :5 :6946 :7 :75804 :9 :8594 : :5438 :3 :67 :5 :69497 :7 :765 :9 :8859 : :54776 :3 :655 :5 :69847 :7 :7644 :9 :8 :3 :557 :33 :693 :53 :7094 :73 :7673 :93 :838 :4 :55567 :34 :63307 :54 :7054 :74 :77035 :94 :8639 :5 :5596 :35 :63683 :55 :70884 :75 :77337 :95 :8894 :6 :56356 :36 :64058 :56 :76 :76 :77637 :96 :8347 :7 :56749 :37 :6443 :57 :7566 :77 :77935 :97 :83398 :8 :574 :38 :64803 :58 :7904 :78 :783 :98 :83646 :9 :57535 :39 :6573 :59 :74 :79 :7854 :99 :8389 () () () () () :0 :8434 : :88493 :4 :994 :6 :945 :8 :96407 :0 :84375 : :88686 :4 :9073 :6 :9463 :8 :96485 :0 :8464 : :88877 :4 :9 :6 :94738 :8 :9656 :03 :84849 :3 :89065 :43 :9364 :63 :94845 :83 :96638 :04 :85083 :4 :895 :44 :9507 :64 :9495 :84 :967 :05 :8534 :5 :89435 :45 :9647 :65 :95053 :85 :96784 :06 :85543 :6 :8967 :46 :9785 :66 :9554 :86 :96856 :07 :85769 :7 :89796 :47 :99 :67 :9554 :87 :9696 :08 :85993 :8 :89973 :48 :93056 :68 :9535 :88 :96995 :09 :864 :9 :9047 :49 :9389 :69 :95449 :89 :9706 : :86433 :3 :903 :5 :9339 :7 :95543 :9 :978 : :8665 :3 :9049 :5 :93448 :7 :95637 :9 :9793 : :86864 :3 :90658 :5 :93574 :7 :9578 :9 :9757 :3 :87076 :33 :9084 :53 :93699 :73 :9588 :93 :973 :4 :8786 :34 :90988 :54 :938 :74 :95907 :94 :9738 :5 :87493 :35 :949 :55 :93943 :75 :95994 :95 :9744 :6 :87698 :36 :9309 :56 :9406 :76 :9608 :96 :975 :7 :879 :37 :9466 :57 :9479 :77 :9664 :97 :97558 :8 :88 :38 :96 :58 :9495 :78 :9646 :98 :9765 :9 :8898 :39 :9774 :59 :94408 :79 :9637 :99 :9767 Prof. Dr. C. Porteier DIE NORMAL-VERTEILUNG 5

4 . De itio der Normal-Verteilug () () () () () :0 :9775 : :986 :4 :998 :6 :99534 :8 :99744 :0 :97778 : :98645 :4 :990 :6 :99547 :8 :9975 :0 :9783 : :98679 :4 :994 :6 :9956 :8 :9976 :03 :9788 :3 :9873 :43 :9945 :63 :99573 :83 :99767 :04 :9793 :4 :98745 :44 :9966 :64 :99585 :84 :99774 :05 :9798 :5 :98778 :45 :9986 :65 :99598 :85 :9978 :06 :9803 :6 :98809 :46 :99305 :66 :99609 :86 :99788 :07 :98077 :7 :9884 :47 :9934 :67 :996 :87 :99795 :08 :984 :8 :9887 :48 :99343 :68 :9963 :88 :9980 :09 :9869 :9 :98899 :49 :9936 :69 :99643 :89 :99807 : :984 :3 :9898 :5 :99379 :7 :99653 :9 :9983 : :9857 :3 :98956 :5 :99396 :7 :99664 :9 :9989 : :983 :3 :98983 :5 :9943 :7 :99674 :9 :9985 :3 :9834 :33 :990 :53 :9943 :73 :99683 :93 :9983 :4 :9838 :34 :99036 :54 :99446 :74 :99693 :94 :99836 :5 :984 :35 :9906 :55 :9946 :75 :9970 :95 :9984 :6 :9846 :36 :99086 :56 :99477 :76 :997 :96 :99846 :7 :985 :37 :99 :57 :9949 :77 :997 :97 :9985 :8 :98537 :38 :9934 :58 :99506 :78 :9978 :98 :99856 :9 :98574 :39 :9958 :59 :995 :79 :99736 :99 :9986 () () () () () 3:0 : : :9993 3:4 : :6 : :8 : :0 : : : :4 : :6 : :8 : :0 : : : :4 : :6 : :8 : :03 : :3 : :43 :9997 3:63 : :83 : :04 :9988 3:4 :9994 3:44 :9997 3:64 : :84 : :05 : :5 :9994 3:45 :9997 3:65 : :85 : :06 : :6 : :46 : :66 : :86 : :07 : :7 : :47 : :67 : :87 : :08 : :8 : :48 : :68 : :88 : :09 :999 3:9 :9995 3:49 : :69 : :89 : : : :3 :9995 3:5 : :7 : :9 : : : :3 : :5 : :7 :9999 3:9 : : :999 3:3 : :5 : :7 :9999 3:9 : :3 :9993 3:33 : :53 : :73 :9999 3:93 : :4 :9996 3:34 : :54 :9998 3:74 :9999 3:94 : :5 :9998 3:35 :9996 3:55 :9998 3:75 :9999 3:95 : :6 :999 3:36 :9996 3:56 :9998 3:76 :9999 3:96 : :7 :9994 3:37 :9996 3:57 :9998 3:77 :9999 3:97 : :8 :9996 3:38 : :58 : :78 :9999 3:98 : :9 :9999 3:39 : :59 : :79 :9999 3:99 : DIE NORMAL-VERTEILUNG Prof. Dr. C. Porteier

5 De itio der Normal-Verteilug ' : t 7! p e t ud : 7! p R e t dt DEFINITION Eie Zufallsvariable X heißt ormalverteilt mit Erwartugswert ud Varia, ma schreibt da we gilt. X ist N (; ) -verteilt, b P (X 6 b) = N (; ) (b) := für alle b R BEMERKUNG Ist X N (; )-verteilt, so gilt P (X 6 b) = P (X < b) = P (X > b) = P (X > b) ud P (a 6 X 6 b) = P (X 6 b) P (X 6 a). Isbesodere gilt P r 6 X 6 + r = P r = X 6 + r P r r = X 6. r = BEISPIEL Bei eiem Präparat sei das Gewicht X des Wirksto es i de Tablette N (; )- verteilt mit = 80 mg ud = mg. Wie großist die Wahrscheilichkeit, daßbei eier Tablette die Mege a Wirksto um Prof. Dr. C. Porteier DIE NORMAL-VERTEILUNG 53

6 . De itio der Normal-Verteilug höchstes 5% vo abweicht? Es ist 0:05 P 0:05 6 X 6 + 0:05 = = () = = 0:9775 = 0:955 = 95:5% mit Hilfe der Tabelle. Wie großist die Stadard-Abweichug u wähle, damit midestes 99% der Tablette höchstes 5% Abweichug vo habe? Nach obiger Rechug mußgelte 0:05 > 0:99, d.h. 4 > :99 = 0:995. Nach der Tabelle ist dies gerade erfüllt, we 4 > :58 gilt, also folgt 6 4 :58 = : DIE NORMAL-VERTEILUNG Prof. Dr. C. Porteier

7 Berechug der Normal-Verteilug.. Berechug der Normal-Verteilug Ist X eie N(; )-verteilte Zufallsvariable, so gilt b P (X 6 b) = = p = Z b p e Z b (t ) dt = Z b t ' e t dt = dt ach der Verschiebugs- ud Streckugsregel. Die N (; )-Verteilug b 7! b die Dichte t 7! ' t. hat also t 7! '(t ) = p e (t ), t 7! '( (t 5)) = p e (t 5) Die Wedepukte dieser Dichte liege bei, d.h. ud 5 0:5. ANWENDUNG Zu eier Zufallsvariable X ist eie Meßreihe x ; x ; ; x gegebe, ud ma vermutet, daßsie ormalverteilt ist. (a) Zuerst werde ud mit Hilfe dieser Meßdate geschätt : := X x j ud := X (x j ). j= (b) Da utersucht ma graphisch, ob eie Normal-Verteilug vorliegt. Ma uterteilt das Messitervall [a; b] (mit x j [a; b] für alle j ) i m Teilitervalle I ; I ; ; I m der gleiche Läge L, wobei m <, am beste so, daßm ' p. Ma de iert da eie Treppefuktio ~' j= Prof. Dr. C. Porteier DIE NORMAL-VERTEILUNG 55

8 . Berechug der Normal-Verteilug durch ~' = L k auf I l falls k der Meßwerte x ; : : : ; x i I l liege. Die Normierug ist gerade so gewählt, dass das Itegral über ~', ebeso wie das über ' x, de Wert hat. Ist ~' eie gute Approximatio vo ' x, wobei ud wie i (a) bestimmt sid, so geht ma davo aus, daßx ormalverteilt ist. BEMERKUNG Eie aturwisseschaftliche Zufallsvariable X (.B. das Geburtsgewicht) sett sich aus viele Faktore X j usamme (.B. geetische Faktore, Erährug der Mutter,...). Es gilt der Zetrale Grewertsat : HAUPTSATZ Ist X = X + X +, ud sid alle X j klei gege X ud paarweise uabhägig, so ist X ormal verteilt. Dies erklärt das häu ge Auftrete vo Normal-Verteiluge bei aturwisseschaftliche Experimete. Eie typische Situatio wird auch durch Sat.3 beschriebe. BEISPIEL Gewicht der Gesamtbevölkerug : Es ist icht ormalverteilt. Z.B. sid Alter ud Geschlecht icht kleie Ei ußgröße. 56 DIE NORMAL-VERTEILUNG Prof. Dr. C. Porteier

9 Normal- ud Biomial-Verteilug.3.3 Normal- ud Biomial-Verteilug Ei typisches Problem der Statistik ist die Schätug vo Wahrscheilichkeite. Wir diskutiere dies am Beispiel der Biomial-Verteilug. Ausgagspukt ist der folgede SATZ Ist X eie biomialverteilte Zufallsvariable mit Erwartugswert = p ud Varia = p q, ud ist, (i.a. geügt > 3 ), so ist X aäherd N (; )-verteilt, d.h es gilt kx k P (X 6 k) = p j q j '. j Isbesodere gilt P p j=0 6 X 6 p + ' = () =: (). Die lette Aussage folgt Bemerkug... DEFINITION Die Zahl () := () wird als Ko deahl beeichet. BEMERKUNG Aus der Tabelle für liest ma die folgede, häu g beutte Werte für (), ud damit Näherugswerte für P p 6 X 6 p + ab : :96 :58 :97 3:9 () 0:683 0:95 0:99 0:997 0:999 Frage Ma möchte die Zahl p [0; ], die praktisch icht bekat ist, mit Hilfe eier Stichprobe! schäte. Ma wählt als Schätwert für p. bp := X (!) Für die Stichprobe! gilt also mit Wahrscheilichkeit () p 6 X (!) 6 p +, d.h. p 6 bp 6 p + oder ud mit = p ( p) auch (p bp) [ p ( 6 = Es folgt p p bp + bp 6 p ( 6 p bp 6, p)] = p) = p p, p ( p). () Prof. Dr. C. Porteier DIE NORMAL-VERTEILUNG 57

10 .3 Normal- ud Biomial-Verteilug also f (p) := + p bp + p + bp 6 0. Somit gilt f (p) 6 0 mit Wahrscheilichkeit (). Die wei Nullstelle des Polyoms f werde mit p beeichet : 0 s p + + bp bp A. Weiterhi ist ud f (0) = bp > 0 ud f () = f (bp) = + bp + bp + + bp = ( bp) > 0 bp + bp + bp = bp bp = bp (bp ) < 0, da die Werte 0 ud für bp uwahrscheilich sid. Damit habe wir geeigt, daß 0 < p < p + < gilt. Da f (p) 6 0 u p [p ; p + ] äquivalet ist, folgt die erste Behauptug im folgede KOROLLAR de Schätwert vo p. (i) sowie (ii) Seie X eie b ;p -verteilte Zufallsvariable mit,! eie Stichprobe ud bp := X (!) Mit Wahrscheilichkeit () gilt (äherugsweise): p bp p [p ; p + ], p ; bp + p Ist 0 < p 0 6 ud besitt ma die Voriformatio p 6 p 0 über p, so gilt p bp p p p 0 ( p 0 ); bp + p p p 0 ( p 0 ) mit Wahrscheilichkeit (). Für die weite Aussage i (i) folgt aus () ud achstehedes Lemma, daßmit Wahrscheilichkeit () gilt. also jp bpj 6 p, d.h. p 6 p (p bp) 6 p ( p) 6 4, h bp bp 6 p oder p i p ; bp + p. 58 DIE NORMAL-VERTEILUNG Prof. Dr. C. Porteier

11 Normal- ud Biomial-Verteilug.3 Gilt p 6 p 0 6, so folgt (p bp) 6 p ( p) 6 p 0 ( p 0 ), mit Wahrscheilichkeit (), woraus die Behauptug sich wie im erste Teil ergibt. LEMMA Für das Polyom x 7! x ( x) : R! R gilt x 7! x ( x) 0 6 x ( x) 6 4 für alle x [0; ]. I der Tat ist 0 6 x ( x) = x x = 4 x 6 4 für alle x [0; ]. BEMERKUNG Die weite Aussage ist eifacher ud ugeauer, d.h. das Itervall ist größer, dagege aber sicherer! DEFINITION Ei Itervall [a; b] [0; ], so daßgilt p [a; b] mit Wahrscheilichkeit (), heißt Ko deitervall um Ko deiveau (). BEISPIEL ei. Ierhalb eier Populatio tritt eie allergische Reaktio auf eie Chemikalie Prof. Dr. C. Porteier DIE NORMAL-VERTEILUNG 59

12 .3 Normal- ud Biomial-Verteilug Vo 00 ufällig ausgewählte Persoe reagiere allergisch, es ist also X (!) = ud bp = 00 = 0:055. Zur Ko deahl = 0:95, also = :96, erhält ma das Polyom (gerudet) f (p) = p 0:3 p + 0: p 7! p 0:3 p + 0:003 Das gesuchte Ko deitervall ergibt sich aus de Nullstelle p vo f : s 0:3 p = 0:3 0:003, ud damit p = 0:03 ud p + = 0:. Mit 95% Sicherheit liegt also die Wahrscheiichkeit p für eie allergische Reaktio wische 0:03 ud 0:. BEISPIEL Ma möchte die Schätug vo p aus dem Beispiel durch eie Vergrößerug der Stichprobe verbesser. Um 00 % Sicherheit u bekomme, müsste ma fast alle Persoe utersuche, ma wählt deshalb wieder eie Ko deahl <. Wir beute weiter de Wert aus dem Beispiel, also = 0:95 ud = :96, ud suche ei so, daßmit Wahrscheilichkeit der Wert vo p im Ko deitervall [bp ; bp + ] liegt, wobei.b. = 0:0 sei. Der Schätwert bp sei wieder durch X(!) = = 0:055 gegebe. 00 Mit Hilfe des Korollars geügt es so u wähle, daß p 6 gilt, d.h. > 4 = :96 4 0:0 = DIE NORMAL-VERTEILUNG Prof. Dr. C. Porteier

13 Normal- ud Biomial-Verteilug.3 BEMERKUNG 3 Besitt ma Voriformatioe über p,.b. wird ma ach Beispiel p 6 0: aehme köe, so geügt es so u wähle, daß p p 0: ( 0:) 6 = 0:0, oder d.h. = 865 u ehme. > :96 0:09 = 864:36, 0:0 Prof. Dr. C. Porteier DIE NORMAL-VERTEILUNG 6