Die Normalverteilung. Die Normal- oder Gauß-Verteilung ist die am häufigsten vorkommende Verteilung.

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Thomas Fuhrmann
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1 D Normalvrtlung D Normal- odr Gauß-Vrtlung st d am häufgstn vorkommnd Vrtlung. S rd bschrbn durch folgndn funktonaln Zusammnhang G ( ) π S rd durch z Paramtr bschrbn: und Dr Zusammnhang zur nomal-vrtlung (Sh tr Vorlsung) n! p! const Vorlsung 6

2 D Normalvrtlung Egnschaftn dr Funkton: symmtrsch um Dr größt Wrt rd an dr Stll ngnommn D Funkton ght schnll ggn Null, sobald ( ) groß rd Egnschaftn, d n Vrtlung von ssrtn darstllt. Dr Vorfaktor dnt dr Normrung. G ( ) π Vorlsung 6

3 D Normalvrtlung Dr Enfachht halbr folgn all trn Übrlgungn für 0 Wchtg Intgral (ohn s) 0 d d d d π π π W groß st d Standardabchung? Vorlsung 6

4 D Normalvrtlung W groß st d Standardabchung? nalogs Vorghn b dr nomalvrtlung Erartungsrt von (-), ob 0 (Standardabchung) π d π π Standardabchung Vorlsung 6 4

5 Vorlsung 6 5 D Normalvrtlung π π π d d d d G. bltung: π G amum b

6 Vorlsung 6 6 D Normalvrtlung 0 4 π π π π π d d d d d G d bltung: Wndpunkt b ±

7 D Fhlrfunkton Wr fragn, lchr ntl dr ssungn lgt zschn - a und b? P ( nnrhalb a und b) π b a ( ) d Zunächst a b Vorlsung 6 7

8 D Fhlrfunkton Wr fragn, lchr ntl dr ssungn lgt zschn - und? P ( nnrhalb ) π ( ) d Vrnfachung durch Substtuton ( ) / z damt rd d dz und d Intgratonsgrnzn P ( nnrhalb ) dz π z Vorlsung 6 8

9 P D Fhlrfunkton ( nnrhalb ) dz π Dss Intgral st n Standardntgral dr mathmatschn Physk und rd oft als Fhlrfunkton bzchnt, zchnung rf(t) [rrorfuncton]. z P t ( nnrhalb t ) dz π t z Vorlsung 6 9

10 P D Fhlrfunkton t ( nnrhalb t ) dz π Dss Intgral kann ncht analytsch ausgrtt rdn. Es lgt n tabllarschr Funkton vor. t z t P (%) Vorlsung 6 0

11 P D Fhlrfunkton t ( nnrhalb t ) dz π t z Vorlsung 6

12 Fhlrntgral n andrr Form Häufg auftrtnd Fragstllungn: W vl % dr ssrt lgn obrhalb (untrhalb) ns bstmmtn ssrts? W groß st das Intgral bs zu nm bstmmtn Wrt? Φ ( zschn und t ) π t z dz Vorlsung 6

13 Wahrschnlchktspapr Φ ( zschn und t ) π t z dz Ds führt zum Wahrschnlchktspapr vrglch Übungsaufgab Ltztlch zur graphschn antortung dr Frag: Ist ssrh normalvrtlt? Vorlsung 6

14 Das Chauvnt sch Krtrum Vrrfn von Datn ssrh:.8,.5, 4.0,.9,.4,.8 Ist dr Wrt.8 n ssfhlr?, chnfhlr? odr lgtmr ssrt? ttlrt:.40 Standardabchung 0.8 Dr ssrt.8 untrschdt sch vom ttlrt.40 um.95 Standardabchungn. Gauß-Vrtlung: P (außrhalb.95 ) - P(nnrhalb.95 ) 5. % Das hßt, r rartn b nr Normal-Vrtlung, dass 5% dr ssrt dn glchn odr nn größrn bstand vom ttlrt bstzn Vorlsung 6 4

15 Das Chauvnt sch Krtrum Vrrfn von Datn Ist dr Wrt.8 n ssfhlr?, chnfhlr? odr lgtmr ssrt? Das hßt, r rartn b nr Normal-Vrtlung, dass 5% dr ssrt dn glchn odr nn größrn bstand vom ttlrt bstzn 5% bdutt ssrt b ta 0 ssungn. Wr habn abr nur 6 ssungn durchgführt. schs ssungn und 5 % Wahrschnlchkt hättn r m ttl ta 0. ssrt rartn könnn, d ähnlch schlcht snd.8. W glaubürdg st dr ssrt.8? Vorlsung 6 5

16 Das Chauvnt sch Krtrum Vrrfn von Datn W glaubürdg st dr ssrt.8? Entschdung ds Eprmntators Chauvntsch Krtrum sagt, nn d rartt nzahl von ssrtn, d bnso schlcht snd dr vrdächtg ssrt, klnr als / st, dann st dr ssrt zu vrrfn. Wr vrrfn also dn Wrt.8 Nu rchnung ds ttlrts Vorlsung 6 6

17 Das Chauvnt sch Krtrum Vrrfn von Datn.8,.5, 4.0,.9,.4.7 (.40) 0.6 (0.8) Wdrholung ds Krtrums? ußrhalb von lgn % dr ssrt, also 0. * 5.6 von 5 ssrtn solltn außrhalb dss Intrvalls lgn. Wr habn z, as akzptabl st Vorlsung 6 7

18 Gchtt ttlrt Problm: Zusammnfassung von ssrgbnssn Z rbtsgruppn und mt untrschdlchn Vrsuchsmthodn ± ± Zusammnfassn zu nm ssrt. Wnn - größr als d Summ dr bdn Standardfhlr, dann nr dr ssungn msstraun. D ssrgbnss snd nkonsstnt. nnahm d ssrt sn konsstnt. Wlchn Wrt bstzt dr strt? Vorlsung 6 8

19 Gchtt ttlrt Erstr nahlgndr Gdank: ( )/ Unggnt, nn d bdn Standardfhlr untrschdlch snd. obgr ttlung habn bd ssrgbnss das glch Gcht, obohl b nr dr ssungn dr ttlrt gnaur st als b dr andrn nnahm bd ssungn folgn nr Gauß-Vrtlung G ( ) ( ) G ( ) ( ) D Wahrschnlchkt, dass dn ssrt und dn Wrt fndt, st das Produkt dr Wahrschnlchktn Vorlsung 6 9

20 Vorlsung 6 0 Gchtt ttlrt G G G χ χ D bkürzung "CHI-Quadrat" st d Summ dr Quadrat dr bchungn dr bdn ssrt von, jls dvdrt durch d ntsprchnd Unschrht. st dr zu suchnd strt, dssn Wahrschnlchkt mamal st, odr as dntsch st, dssn χ mnmal st. nmrung dr "Summ dr Quadrat" odr thod dr klnstn Quadrat

21 Vorlsung 6 Gchtt ttlrt Dffrnzrn nach und bltung glch Null stzn. 0 uflösn nach rgbt dn strt: st Übrschtlchr Schrbs mt dn bkürzungn: und st N N st llgmn Formulrung

22 spl zum gchttn ttlrt ssung ds Ohm schn Wdrstands durch Studntn (Ergbnss n Ohm) ±, ±, 0 ±, und /9 st ( ) ( ) Ω 9 W groß st dr Fhlr von st? Vorlsung 6

23 Vorlsung 6 spl zum gchttn ttlrt st st und llgmn Formulrung: st In unsrm spl: st (/9) -/ 0.69 Ω (.4 ± 0.69) Ω st st st st

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