09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen

Transkript

1 09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen Definition. Seien V und W Vektorräume. Unter einer linearen Abbildung versteht man eine Abbildung F : V W, v F v w mit folgender Eigenschaft: F λ v + µ v λf v + µf v, v, v V, λ, µ R Bemerkung. Dies ist gleichbedeutend damit, dass F v + v F v + F v und F λ v λf v v, v V, λ, µ R Bemerkung. Die Abbildung F : V W ist genau dann linear, wenn das Bild jeder Linearkombination von Vektoren aus V die entsprechende Linearkombination der Bildvektoren ist, i.e. F λ v + λ v λ k v k λ F v + λ F v λ k F v k Bemerkung. Die durch eine Matrix A Mm n beschriebene Abbildung φ : R n R m, x y A x ist eine lineare Abbildung. Umgekehrt kann jede lineare Abbildung φ : R n R m A Mm n in obiger Form beschrieben werden. durch eine Matrix Beispiele. 0. A, y A x x... identische Abbildung

2 c 0. A cx, c >, y A x Dehnung in Richtung der x Achse 3. A 0 0 c, c >, y A x Dehnung in Richtung der x Achse x x cx 4. Für 0 < c < erhält man bei obigen Matrizen jeweils eine Stauchung. 5. A 0 0, y A x x x Spiegelung an Richtung der x Achse 6. A 0 x x, y A x Spiegelung an Richtung der x Achse 7. A 0, y A x x x Spiegelung an der Geraden x x 8. A c x + cx, y A x Scherung entlang der x Achse 9. A 0 c x x, y A x x + cx Scherung entlang der x Achse Satz. Jede Matrix A M mit det A 0 kann dargestellt werden als Komposition von Dehnungen, Scherungen und Spiegelungen.

3 cos φ sin φ Beispiel. Sei A sin φ cos φ A A 0 x x cos φ sin φ, A 0 x cos φ x sin φ x sin φ + x cos φ. Dann gilt det A. sin φ cos φ Dies ist eine Drehung um den Winkel φ in positiver Richtung. Wir kommen nun zum Begriff des Koordinatensystems. Die grundsätzliche Idee ist dabei, jedem Vektor v aus einem Vektorraum V mit dim V n in gewisser Weise n Zahlen, also einen Vektor aus R n, zuzuordnen, welche dann die Koordinaten von v sind. Diese Zuordnung wird ermöglicht, wenn wir in V eine Basis wählen. Insbesondere wird im R n b,..., b n angegeben. ein Koordinatensystem durch Wahl einer Basis Beispiel. Im R gibt es folglich ein Koordinatensystem, welches durch die kanonische Basis e, e definiert ist. Wir können aber auch ein Koordinatensystem betrachten, welches durch die Basis b, b mit b, b definiert ist. 0 3

4 Definition. Sei b,..., b n eine Basis des R n. Dann kann jeder Vektor OP im R n in eindeutiger Weise als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden, OP x b + x b x n bn Die Zahlen x,..., x n nennt man die Koordinaten des Vektors bezüglich der Basis b,..., b n. x Der Vektor x. heißt Koordinatenvektor von OP x n der Basis b,..., b n. OP bezüglich Beispiel. Im R seien e, e und b, b die im vorigen Beispiel angegebenen Basen. Sei weiters OP. OP e + e x OP b + b x 4

5 Definition. Unter einer Koordinatentransformation versteht man den Übergang von einer Basis b,..., b n zu einer anderen Basis b,..., b n. Dabei ändern sich natürlich die Koordinaten eines Vektors OP siehe Beispiel vorher. Sei also OP R n und x b,..., b n und x x. x n x. x n der Koordinatenvektor bzgl. der Koordinatenvektor bzgl. b,..., b n. Da jeder Vektor b i eine Linearkombination der Vektoren b,..., b n ist, können wir schreiben b t b + t b t n bn b t b + t b t n bn. b n t n b + t n b t nn bn Stellt man die Koeffizienten t ij in einer Matrix dar, so erhält man die Transformationsmatrix T t ij : t t t n t t t n T t n t n t nn Wir erhalten nun OP x b + x b x n b n x t b + t b t n bn x nt n b + t n b t nn bn t x + t x t n x n b + t n x + t n x t nn x n b n 5

6 Daraus folgt nun, dass x T T x bzw. x T T x. Bemerkung. In der Literatur wird oft die Matrix T T T als Transformationsmatrix bezeichnet. Ist x der Koordinatenvektor von OP bzgl. der ersten Basis b,..., b n und x der Koordinatenvektor von OP bzgl. der zweiten Basis b,..., b n, dann gilt x T x. Beispiel. Wir betrachten wieder die Basen e, e und b, b von vorher, und OP. b 0 Damit ist T e + 0 e, b 0 Folglich ist x T T x, T T e + e und T T Die geführte Diskussion kann auch auf geometrische Weise interpretiert werden. a Veränderung des Koordinatenssystems Der Punkt P wird festgehalten, man wählt eine neue Basis. Es erfolgt eine Transsformation des alten Koordinatenvektors in einen neuen. x x b Veränderung des Punktes Das Koordinatensystem bleibt fest, der Punkt wird durch eine lineare Abbildung in einen anderen Punkt transformiert. 6

7 Beispiel. Betrachten wir nun eine Drehung im R. cos φ e cos φ e sin φ + sin φ e sin φ e sin φ e cos φ + cos φ e Daraus ergibt sich die Transformationsmatrix Drehmatrix cos φ sin φ T sin φ cos φ a Drehung des Koordinatenssystems, wobei der Punkt fest bleibt Siehe vorher: x T T x bzw. x T T x b Veränderung des Punktes Das Koordinatensystem bleibt fest, der Punkt wird in einen neuen Punkt transformiert. Die Transformationsformel für die Drehung eines Punktes bzw. dessen Ortsvektors, wobei das Koordinatensystem fest bleibt, ist durch x T T x gegeben. 7

8 Bemerkung. Einer Drehung des Koordinatensystems um den Winkel φ bei festgehaltenem Punkt P entspricht eine Drehung des Punktes P bei festgehaltenem Koordinatensystem um den Winkel φ. Beispiel. fix bleibt. Wir betrachten eine Drehung, wobei das Koordinatensystem Gegeben sei der Punkt P mit den Koordinaten x Winkel φ π 4 gedreht wird. cos φ sin φ T sin φ cos φ Also T T T x T T x, φ π 4, sin π 4 cos π 4 T T T , der um den 8