Musterlösung zum Grundlagenbeispiel Getriebewelle Klausur Maschinenelemente, 29. Oktober 1999

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1 . Musterlösung zum Grundlagenbeispiel Getriebewelle Klausur Maschinenelemente, 29. Oktober Januar 23 1 Riemenkräfte Abbildung 1 zeigt die Kräfte und Momente, die auf die freigeschnittene untere Riemenscheibe wirken.. J C Abbildung 1: Kräfte und Momente an der unteren Riemenscheibe Zur Bestimmung der Riemenkräfte F 1 und F 2 setzt man die Gleichgewichtsbedingungen (1) an der unteren Scheibe an. ΣF ver (1a) ΣF hor (1b) ΣM (1c) Die erste Beziehung (1a) bringt keine für uns nützliche Information, sie dient nur zur Bestimmung der (für die Aufgabe nicht benötigten) horizontalen Führungskraft. Die beiden anderen Gleichungen ergeben folgendes Gleichungssystem 1

2 F 1 + F 2 sin (α) M g F 1 d1 2 F 2 d1 2 M (2) mot mit den unbekannten Trumkräften F 1 und F 2. Das Motormoment M mot bestimmt man aus M mot P mot 3 π n mot (3) Aus (2) und (3) folgt für die Trumkräfte F 2 M g Pmot π n mot d sin (α) F 1 M g F 2 sin (α) Mit den angegebenen Zahlenwerten ergeben sich (4) F N F N (5) 2 Verzahnungsgeometrie Zur Bestimmung der Geometrie der Zahnradstufe bestimmt man zuerst die notwendige Übersetzung. Gegeben sind die An- und Abtriebsdrehzahl sowie das Durchmesserverhältnis der Riemenscheiben. Daraus kann man die Drehzahl der Getriebewelle bestimmen. Der Schlupf am Riemen wird dabei vernachlässigt. n welle n mot d1 d min 1 (6) Daraus folgt die notwendige Übersetzung der Zahnradstufe zu i n welle (7) n ab 3 Die Zähnezahl des Rades bestimmt man durch z 2 i z (8) Die Wälzkreisdurchmesser von Ritzel und Rad ergeben sich zu d w1 2 a z 1 (z 1 + z 2 ) d w2 2 a z 2 (z 1 + z 2 ) ( ) 19.1 mm ( ) 21.9 mm (9) Abt. f. Maschinenlehre - Uni Linz 2

3 O. N * Klausur Maschinenelemente - Musterlösung 29. Oktober Zahnkräfte Die Umfangskraft F t berechnet man aus dem Momentengleichgewicht F t 2 M welle d w1 6 P mot n welle π d w π N (1) Zur Bestimmung der Radialkraft F r benötigt man den Wirkeingriffswinkel α wt. Dieser berechnet sich aus Nullachsabstand und ausgeführtem Achsabstand zu 1 cos (α wt ) a d a cos (α t) (z 1 + z 2 ) m cos (α t ) α wt (11) 2 a Damit bestimmt man die Radialkraft F r F t tan (α wt ) 332 tan (21.88 ) 1334 N (12) 4 Auflagerkräfte Nachdem alle auf die Getriebewelle wirkenden äußeren Kräfte bestimmt sind, kann man nun die Auflagerkräfte berechnen. Abbildung 2 zeigt die auf die Welle wirkenden Kräfte. * O * ) O ). H ) N.. J. Abbildung 2: Zur Bestimmung der Auflagerkräfte an der Getriebewelle Man setzt jetzt die beiden Gleichgewichtsbedingungen (Kräfte und Momente) für die Getriebewelle an. 1 Für ein geradverzahntes Stirnrad mit Verzahnungsprofil nach DIN 867 gilt: α n α t α 2 Abt. f. Maschinenlehre - Uni Linz 3

4 Σ F (13a) Σ M (13b) Die Berechnung vereinfacht sich, wenn man den Koordinatenursprung in eines der Auflager legt, z.b. Lager A. Dann folgt aus (13) 2 Weiter eingesetzt ergibt sich F 1 + F F n + A + B (14a) F 1 r 1A + F 2 r 2A + F n r ZA + B r BA (14b) F 1 F 1 l 1 d 1 /2 F 2 cos (β) F 2 sin (β) F r F t F 2 cos (β) F 2 sin (β) l l 1 l 2 d w1 /2 F r F t A x A y A z l 1 d 1 /2 sin (β) d 1 /2 cos (β) B y B z B y B z l l 1 + (15a) (15b) Die erste Zeile von (15a) bestimmt A x. Aus der zweiten Zeile von (15b) folgt B z F 1 l 1 + F 2 sin (β) l 1 + F t (l l 1 l 2 ) l l N (16) Man verwendet nun die dritte Zeile von (15a) zur Bestimmung von Analog geht man bei der Bestimmung von A z F t F 1 F 2 sin (β) B z 27 N (17) B y F r (l l 1 l 2 ) F 2 cos (β) l 1 l l 1 53 N (18) aus der zweiten Zeile von (15b) vor und setzt in die dritte Zeile von (15a) ein, um zu bestimmen. A y F 2 cos (β) + F r l 1 B y 1321 N (19) 2 Im folgenden werden die Vektorpfeile weggelassen, vektorielle Größen werden durch Fettdruck gekennzeichnet 3 Hinweis: Die zum Antrieb des Hilfsaggregats notwendige Leistung kann vernachlässigt werden. Daher bleibt der Betrag von F 2 an der oberen Riemenscheibe gleich wie in Abschnitt 1 berechnet. Abt. f. Maschinenlehre - Uni Linz 4

5 O N A * Klausur Maschinenelemente - Musterlösung 29. Oktober Schnittgrößen Nach der Bestimmung der Auflagerkräfte kann man die Schnittgrößen an der Kerbe ermitteln. In der nachfolgenden Festigkeitsrechnung können Quer- und Normalkräfte vernachlässigt werden, deshalb bestimmt man hier nur das Torsionsmoment M x und die beiden Biegemomente M y und M z. Abbildung 3 zeigt das geschnittene Wellenstück mit den auftretenden Belastungen. * O *. H.. J Abbildung 3: Zur Bestimmung der Schnittgrößen In vektorieller Schreibweise ergibt sich: M F n r ZA + B r BA M x M y M z F r F t F t d w1 /2 F t e + B z (e + l 2 ) F r e B y (e + l 2 ) e d w1 /2 Die maximal auftretende Biegespannung ergibt sich nach M b M 2 y + M 2 z 6 Sicherheit gegen Dauerbruch B y B z e + l 2 (2) Nm (21) ( 42.3) Nm (22) Mit den im vorigen Punkt berechneten Schnittgrößen können jetzt die auftretenden Spannungen bestimmt werden. Zuerst berechnet man die Widerstandsmomente Abt. f. Maschinenlehre - Uni Linz 5

6 Für die Biegespannung ergibt sich dann W d3 π π mm3 (23a) W t d3 π π mm3 (23b) σ b M b W und die Torsionsspannung N/mm 2 (24) τ t M t W t N/mm 2 (25) Die Biegebeanspruchung wirkt dabei wechseln (umlaufende Welle bei raumfester Belastung), die Torsion hingegen ruhend. Daher bestimmt man die Mittel- und Ausschlagsspannung folgendermaßen: Als erster Schritt werden die Spannungskonzentrationsfaktoren α k,i aus Tafel 3/6 in [Nie81] (wurde bei der Klausur ausgegeben) bestimmt. Dazu benötigt man die beiden Kennzahlen d/d 35/ X d/r 35/ (26a) (26b) mit denen man dann die Koeffizienten A, B und C bestimmt. Für die Biegung ergibt sich α k,b A + B (X C) (27a) α k,t A + B (X C) (4.18.3) 1.51 (27b) Für die wechselde Biegung muß noch die Kerbwirkungszahl β k,b bestimmt werden. Dazu benötigt man die Werkstoffkonstante ρ.38 mm (für Stahl mit einer Zugfestigkeit von 5 N/mm 2, aus Tafel 3/8, ebenfalls [Nie81]) und das bezogene Spannungsgefälle s σ (siehe Tafel 3/7, wieder aus [Nie81]) s σ 4 D + d + 1 r Nun bestimmt man den dynamischen Stützfaktor.55 (28) und damit folgt v 1 + ρ s σ (29) Abt. f. Maschinenlehre - Uni Linz 6

7 β k,b α k,b 1.99 v (3) Mit diesen Werten kann man nun die Mittel- und Ausschlagsvergleichsspannungen bestimmen. Es ergibt sich σ v,m σ 2 m + 3 τ 2 m 3 (α k,t τ t ) N/mm 2 (31a) σ v,a σ 2 a + 3 τ 2 a β k,b σ b N/mm 2 (31b) Nun bestimmt man die für die Mittelspannung σ v,m zulässige Ausschlagsspannung σ v,a,zul aus dem Smith-Diagramm (siehe z.b. [MMWB94], hier dargestellt in Abbildung 4. I L K Abbildung 4: Smith-Diagramm für Baustähle (Zug-Druck-Beanspruchung) Dort liest man für σ v,a,zul ca. 19 N/mm 2 ab. Zur Bestimmung der Sicherheit gegen Dauerbruch fehlen nur mehr Oberflächenbeiwert b S und Größenbeiwert b. Für diese Werte gibt es eine Tabelle bzw. ein Diagramm in [Sch99]. Dort liest man für eine geschlichtete Welle aus einem Werkstoff mit einer Bruchfestigkeit von 5 N/mm 2 einen Oberfächenfaktor von b S.92 und für einen Wellendurchmesser von ca. 4 mm einen Größenfaktor b.88 ab. Damit berechnet man die Sicherheit gegen Dauerbruch S b S b σ v,a,zul σ v,a Der Wellenabsatz ist somit dauerfest (32) Abt. f. Maschinenlehre - Uni Linz 7

8 Literatur [MMWB94] Matek, Wilhelm ; Muhs, Dieter ; Wittel, Herbert ; Becker, Manfred: Maschinenelemente - Tabellenbuch. 13. überarbeitete Auflage. Braunschweig : Vieweg, 1994 [Nie81] Niemann, Gustav: Maschinenelemente. Bd Auflage. Berlin Heidelberg New York : Springer-Verlag, Konstruktion und Berechnung von Verbindungen, Lagern, Wellen. ISBN [Sch99] Scheidl, Rudolf. Vorlesungsskriptum Maschinenelemente I. Februar 1999 Abt. f. Maschinenlehre - Uni Linz 8